第4章 4.4 对数函数-【创新教程】2027年职教高考总复习数学（教师用书Word版）

4．4　对数函数 [知识点一]　对数函数的概念　 一般地，把函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是　(0，＋∞)　. [知识点二]　对数函数的图象与性质　 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表： 定义 y＝logax(a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 　(0，＋∞)　 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点　(1,0)　，即x＝1时，y＝0 函数值 特点 y∈　(－∞，0)　； x∈[1，＋∞)时， y∈　[0，＋∞)　 y∈　(0，＋∞)　； x∈[1，＋∞)时， y∈　(－∞，0]　 对称性 函数y＝logax与y＝logx的图象关于　x轴　对称 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对数函数的定义域为R.(　　) (2)y＝log2x2与logx3都不是对数函数．(　　) (3)对数函数的图象一定在y轴的右侧．(　　) (4)loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　) (5)logax·logay＝loga(x＋y)．(　　) (6)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×　(6)× 2．下列函数是对数函数的是(　　 ) A．y＝ln x　　　　　　B．y＝ln(x＋1) C．y＝logxe D．y＝logxx 答案：A 3．函数f(x)＝log2(x－1)的定义域是(　　 ) A．[1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D. (－∞，1] 答案：B 4．函数f(x)＝logax在(0，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是(　　 ) A．(0，＋∞) B．(－∞，1) C．(0,1) D．(1，＋∞) 解析：C　[由对数函数的单调知识易知0<a<1.] 5．函数y＝(3m＋1)logax(a＞0，a≠1)是对数函数，则2 026m＝(　　) A．1 B．4 C．2 025 D．2 026 解析：A　[由于函数y＝(3m＋1)logax(a＞0，a≠1)是对数函数，所以3m＋1＝1，即m＝0，此时2 026m＝2 0260＝1.] 6．函数y＝loga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过的定点是　________　. 解析：当x＝2时，函数y＝loga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的值为2，所以图象恒过定点(2,2)． 答案：(2,2) 对数型函数的定义域 [例1]　求下列函数的定义域： (1)y＝log(1－x)5；(2)y＝ . [解]　(1)要使函数式有意义，需，解得x<1，且x≠0，所以函数y＝log(1－x)5的定义域是{x|x<1，且x≠0}． (2)要使函数式有意义，需，解得＜x≤1，所以函数y＝的定义域是. 求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数大于零且不等于1. 1．已知函数log0.5(2x－3)＞0，求x的取值范围． 解：由log0.5(2x－3)＞0， 得⇒， 即＜x＜2，所以log0.5(2x－3)＞0的x的取值范围为. 对数函数的图象 [例2]　(1)对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx在同一坐标系内的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是　________　. (2)y＝loga＋2图象恒过定点坐标是　________　. [解析]　(1)在第一象限内顺时针旋转，底数逐渐增大，故a>b>c>d. (2)令＝1，得x＝－2，此时y＝2， ∴函数y＝loga＋2过定点(－2,2)． [答案]　(1)a>b>c>d　(2)(－2,2) (1)对数函数的底与图象变化的关系： 在第一象限内，底数越大，图象越靠近x轴． (2)对数型函数过定点问题： 求函数y＝m＋loga f(x)(a>0，且a≠1)的图象过的定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m)． 2．(1)当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为(　　 ) (2)函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点　________　. 解析：(1)∵a>1，∴0<<1，∴y＝a－x是减函数，y＝logax是增函数，故选C. (2)因为函数y＝logax (a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，则令x＋1＝1得x＝0，此时y＝loga(x＋1)－2＝－2，所以函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，－2)． 答案：(1)C　(2)(0，－2) 比较对数值的大小 [例3]　比较下列各组中两个值的大小： (1)log31.9，log32； (2)log23，log0.32； (3)logaπ，loga3.14(a>0，a≠1)． [解]　(1)因为y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，所以log31.9<log32. (2)因为log23>log21＝0，log0.32<log0.31＝0，所以log23>log0.32. (3)当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，则有logaπ>loga3.14； 当0<a<1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，则有logaπ<loga3.14. 综上所得，当a>1时，logaπ>loga3.14；当0<a<1时，logaπ<loga3.14. 比较对数值大小的常用方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性； (2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化； (3)底数和真数都不同，找中间量． 3．下列不等式成立的是(其中a>0且a≠1)(　　 ) A．loga5.1<loga5.9 B．log2.1>log2.2 C．log1.1(a＋1)<log1.1a D．log32.9<log0.52.2 解析：B　[对于选项A，因为a和1大小的关系不确定，无法确定指数函数和对数函数的单调性，故A不成立；对于选项B，因为以为底的对数函数是减函数，所以成立；对于选项C，因为以1.1为底的对数函数是增函数，所以不成立；对于选项D，log32.9>0，log0.52.2<0，故不成立，故选B.] 解对数不等式 [例4]　已知log0.3(3x)<log0.3(x＋1)，则x的取值范围为(　　 ) A.　　　B. C. D. [解析]　A　[因为函数y＝log0.3x是(0，＋∞)上的减函数，所以原不等式等价于，解得 x>.] 两类对数不等式的解法 (1)形如logaf(x)<logag(x)的不等式． ①当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0；②当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x)． (2)形如logaf(x)<b的不等式可变形为 logaf(x)<b＝logaab. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>ab； ②当a>1时，可转化为0<f(x)<ab. 4．已知logab＜loga(b－1)，则a的取值范围是(　　 ) A．a＞1 B．0＜a＜1 C．a＞b D．a＜1 解析：B　[∵b＞b－1，logab＜loga(b－1)，∴y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，∴0＜a＜1.故选B.] 对数型复合函数的单调性 [例5]　求函数y＝log0.3(3－2x)的单调区间． [解]　由3－2x>0，解得x<，设t＝3－2x，x∈，∵函数y＝log0.3t是减函数，且函数t＝3－2x是减函数，∴函数y＝log0.3(3－2x)在上是增函数，即函数y＝log0.3(3－2x)的单调递增区间是，没有单调递减区间． 求复合函数单调性的具体步骤 (1)求定义域；(2)拆分函数；(3)分别求y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性；(4)按“同增异减”得出复合函数的单调性． 5．函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　 ) A．(－∞，－2) B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(4，＋∞) 解析：D　[要使函数有意义，则：x2－2x－8>0，解得：x<－2或x>4，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则，可得函数的单调增区间为(4，＋∞)，故选D.] [基础题组练] 1．(多选题)下列函数为对数函数的是(　　 ) A．y＝logax＋1(a＞0且a≠1) B．y＝loga(2x)(a＞0且a≠1) C．y＝log(a－1)x(a＞1且a≠2) D．y＝logax(a＞0且a≠1) 答案：CD 2．函数f(x)＝的定义域是(　　) A．(0，＋∞)　　　　　　 B．(0,1)∪(1，＋∞) C．[0,1)∪(1，＋∞) D．(1，＋∞) 答案：B 3．已知函数f(x)＝log3(x＋1)，若f(a)＝1，则a＝(　　 ) A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3 答案：C 4．函数y＝lg(x＋1)的图象大致是(　　 ) 答案：C 5．已知定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f(1)＝2，则不等式f(log2x)>2的解集为(　　 ) A．(2，＋∞) B.∪(2，＋∞) C.∪(，＋∞) D．(，＋∞) 解析：B　[因为偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数， 所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数． 又f(1)＝2，所以不等式f(log2x)>2＝f(1)， 即|log2x|>1，解得0<x<或x>2.] 6．已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是　________　. 解析：y＝logax的图象恒过点(1,0)， 令x－3＝1，得x＝4，则y＝－1. 答案：(4，－1) 7．函数f(x)＝ln(3＋2x－x2)的单调递增区间是　______　，单调递减区间是　_______　. 解析：∵3＋2x－x2>0，∴x2－2x－3<0. ∴－1<x<3. 令u＝3＋2x－x2＝－(x2－2x－3) ＝－(x－1)2＋4， ∴当x∈(－1,1)时，u是x的增函数，y是ln u的增函数，故函数f(x)＝ln(3＋2x－x2)的单调递增区间是(－1,1)．同理，函数f(x)＝ln(3＋2x－x2)的单调递减区间是(1,3)． 答案：(－1,1)　(1,3) 8．设f(x)为奇函数，且x＞0时，f(x)＝ex＋ln x，则f(－1)＝　________　. 解析：由题可知，f(－1)＝－f(1)＝－e.故答案为－e. 答案：－e 9．已知函数f(x)＝log2. (1)若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值； (2)若函数f(x)的定义域是一切实数，求a的取值范围． 解：(1)若函数f(x)是R上的奇函数， 则f(0)＝0， ∴log2(1＋a)＝0，∴a＝0. 当a＝0时，f(x)＝－x是R上的奇函数． 所以a＝0. (2)若函数f(x)的定义域是一切实数，则＋a>0恒成立．即a>－恒成立，由于－∈(－∞，0)， 故只要a≥0，则a的取值范围是[0，＋∞)． [综合题组练] 1．已知函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图象如图所示，则函数y＝(1－a)x2＋1的图象大致是(　　) 解析：B　[由y＝logax(a＞0且a≠1)的图象可知a＞1，所以1－a＜0.所以y＝(1－a)x2＋1是开口向下，顶点为(0,1)的抛物线，故选B.] 2．(多选题)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是(　　 ) A．奇函数 B．偶函数 C．在(0,1)上是增函数 D．在(0,1)上是减函数 解析：AC　[由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(x)＝ln＝ln，易知y＝－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数，又f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数，选AC.] 3．已知函数y＝loga(2x－3)＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则b＝　________　. 解析：令2x－3＝1，得x＝2，∴定点为A(2,2)，将定点A的坐标代入函数f(x)中，得2＝32＋b，解得b＝－7. 答案：－7 4．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝loga(x＋1)(a>0，且a≠1)． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若－1<f(1)<1，求实数a的取值范围． 解：(1)当x<0时，－x>0，由题意知f(－x)＝loga(－x＋1)，又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)． 所以当x<0时，f(x)＝loga(－x＋1)， 所以函数f(x)的解析式为f(x)＝ (2)因为－1<f(1)<1，所以－1<loga2<1， 所以loga<loga2<logaa. ①当a>1时，原不等式等价于，解得a>2； ②当0<a<1时，原不等式等价于， 解得0<a<. 综上可得，实数a的取值范围为 ∪(2，＋∞)． 学科网（北京）股份有限公司 $