第4章 4.3 对数及其运算-【创新教程】2027年职教高考总复习数学（教师用书Word版）

4．3　对数及其运算 [知识点一]　对数　 1．指数式与对数式的互化及有关概念： 2．底数a的范围是　a>0，且a≠1　. [知识点二]　常用对数与自然对数　 [知识点三]　对数的基本性质　 1．负数和零　没有　对数． 2．loga1＝　0　(a>0，且a≠1)． 3．logaa＝　1　(a>0，且a≠1)． 4．对数恒等式alogaN＝　N　(a>0且a≠1，N >0)． [知识点四]　对数的运算性质　 1．对数运算的三条性质：如果a＞0且a≠1，M＞0， N＞0，那么： (1)　loga(MN)＝logaM＋logaN　，即积的对数等于对数的和． (2)　loga＝logaM－logaN　，即商的对数等于对数的差． (3)　logaMn＝nlogaM(n∈R)　，即指数幂的对数等于底数的对数的指数倍． 2．对数的换底公式：　logaN＝(b＞0，且b≠1；c＞0，且c≠1；N＞0)　. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)logaN是loga与N的乘积．(　　) (2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.(　　) (3)对数运算的实质是求幂指数．(　　) (4)在b＝log3(m－1)中，实数m的取值范围是(1，＋∞)．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．把指数式ab＝N化为对数式是(　　 ) A．logba＝N　　　　　 B．logaN＝b C．logNb＝a D．logNa＝b 解析：B　[根据对数定义知ab＝N⇔logaN＝b.] 3．若log3＝1，则x＝　______　；若log3(2x－1)＝0，则x＝　________　. 解析：若log3＝1，则＝3，即2x－3＝9，x＝6；若log3(2x－1)＝0，则2x－1＝1，即x＝1. 答案：6　1 指数式与对数式的互化 [例1]　(1)根据对数定义，将下列指数式写成对数式． ①3x＝；②x＝64；③log16＝－； ④ln 10＝x. (2)利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值． ①log2x＝－；②logx25＝2；③log5x2＝2. [解]　(1)①log3＝x；②log64＝x； ③16－＝；④ex＝10. (2)①由log2x＝－，得2－＝x，∴x＝. ②由logx25＝2，得x2＝25.∵x＞0，且x≠1，∴x＝5. ③由log5x2＝2，得x2＝52，∴x＝±5.∵52＝25＞0，(－5)2＝25＞0，∴x＝5或x＝－5. 指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． (1)43＝64；(2)ln a＝b；(3)m＝n； (4)lg 1 000＝3. 解：(1)因为43＝64，所以log464＝3； (2)因为ln a＝b，所以eb＝a； (3)因为m＝n，所以logn＝m； (4)因为lg 1 000＝3，所以103＝1 000. 2．(1)求下列各式的值： ①log981＝　________　.②log0.41＝　________　. ③ln e2＝　________　. 解析：①设log981＝x，所以9x＝81＝92，故x＝2，即log981＝2；②设log0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40，故x＝0，即log0.41＝0；③设ln e2＝x，所以ex＝e2，故x＝2，即ln e2＝2. 答案：①2　②0　③2 (2)求下列各式中x的值： ①log64x＝－；②logx8＝6; ③lg 100＝x； ④－ln e2＝x. 解：①由log64x＝－得x＝64－＝43×(－) ＝4－2＝； ②由logx8＝6，得x6＝8，又x>0，即x＝8＝23×＝； ③由lg 100＝x，得10x＝100＝102，即x＝2； ④由－ln e2＝x，得ln e2＝－x，所以e－x＝e2，所以－x＝2，即x＝－2. 　　　利用指数式与对数式的互化求变量的值 [例2]　求值： (1)log2x＝－，则x＝　________　； (2)若－ln e3＝x，则x＝　________　； (3)若xlog34＝1，则4x＋4－x＝　________　； (4)若f(x)＝3x，则f(log32)＝　________　. [解析]　(1)由log2x＝－，可得x＝2－. ∴x＝＝＝. (2)由－ln e3＝x，则ln e3＝－x. ∴e－x＝e3，∴x＝－3. (3)由xlog34＝1，∴log34＝，∴3＝4,4x＝3， ∴4－x＝， 4x＋4－x＝3＋＝. (4)设t＝log32，则3t＝2，∴f(log32)＝f(t)＝3t＝2. [答案]　(1)　(2)－3　(3)　(4)2 (1)将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题． (2)利用幂的运算性质和指数的性质计算． 3．方程log2x＝的解为(　　 ) A.　　B.　　C.　　D. 解析：D　[方程log2x＝，化为：x＝2＝.故选D.] 对数基本性质的应用 [例3]　(1)求下列式子值： ①2log23＋2log31－3log77＋3ln 1＝________________________________________________________________________. ②9log34＝　________　. [解析]　①原式＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0. ②9log34＝log34＝3log34＝4. [答案]　①0　②4 (2)求下列各式中的x的值： ①log2(log3x)＝0； ②log5(log2x)＝1. [解]　①因为log2(log3x)＝0， 所以log3x＝1，所以x＝3. ②因为log5(log2x)＝1，所以log2x＝5， 所以x＝25＝32. 利用对数性质求值的方法 (1)性质loga1＝0，logaa＝1　 (a>0，且a≠1)． (2)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值． 4．求下列各式中的x的值： (1)log8[log7(log2x)]＝0； (2)log2[log3(log2x)]＝1. 解：(1)由log8[log7(log2x)]＝0，得log7(log2x)＝1，所以log2x＝7，所以x＝27＝128. (2)由log2[log3(log2x)]＝1，得log3(log2x)＝2， 所以log2x＝32，所以x＝29＝512. 5．化简求值： (1)71－log75；(2)100. 解：(1)原式＝7×7－log75＝＝. (2)原式＝100lg 9×100－lg 2＝10lg 9× ＝9×＝9×＝. 对数运算性质的应用 [例4]　求下列各式的值： (1)log345－log35； (2)lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2. [解]　(1)log345－log35＝log3＝log39＝log332＝2. (2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. 利用对数运算性质化简与求值的原则和方法： (1)基本原则： ①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． (2)两种常用的方法： ①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数． ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． 6．计算：(1)2log63＋log64； (2)÷100－. 解：(1)原式＝log632＋log64＝log6(32×4)＝log662＝2log66＝2. (2)原式＝lg÷102×＝lg 102÷10－1 ＝2×10＝20. 对数换底公式的应用 [例5]　计算：(1)log29·log34； (2). [解]　(1)原式＝·＝＝＝4. (2)原式＝·＝log·log9 ＝·＝＝－. (1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用． (2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式． 7．log2·log3·log5＝　________　. 解析：原式＝·· ＝＝－12. 答案：－12 [基础题组练] 1．对于下列说法： (1)零和负数没有对数； (2)任何一个指数式都可以化成对数式； (3)以10为底的对数叫作自然对数； (4)以e为底的对数叫作常用对数． 其中错误说法的个数为(　　 ) A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4 答案：C 2．将－2＝9写成对数式，正确的是(　　 ) A．log9＝－2 B．log9＝－2 C．log(－2)＝9 D．log9(－2)＝ 答案：B 3．若10a＝lg b＝c，则a，b，c的大小关系为(　　 ) A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜a＜c 解析：B　[令a＝1，则b＝1010，c＝10，a＜c＜b，排除ACD.故选B.] 4．3log34－27－lg 0.01＋ln e3＝(　　 ) A．14 B．0 C．1 D．6 答案：B 5．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝(　　 ) A. B．10 C．20 D．100 解析：A　[由2a＝5b＝m，得a＝log2m，b＝log5m，所以＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，所以m＝.] 6．方程lg(2x－3)＝1的解为　________　. 解析：由lg(2x－3)＝1知2x－3＝10，解得x＝. 答案： 7．在对数式y＝log(x－2)(4－x)中，实数x的取值范围是　________　. 解析：由题意可知，解得2<x<4且x≠3. 答案：(2,3)∪(3,4) 8．计算(lg 2)2＋lg 2×lg 50＋lg 25的结果为　________　. 解析：原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 52＝lg 2×lg 100＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2lg 10＝2. 答案：2 9．计算下列各式： (1)2ln e＋lg 1＋3log3 2； (2)3log34－lg 10＋2ln 1. 解：(1)原式＝21＋0＋2＝2＋2＝4. (2)原式＝3log34－1＋20＝4－1＋1＝4. [综合题组练] 1．计算log29×log34＋2log510＋log50.25＝(　　 ) A．0　　　B．2　　　C．4　　　D．6 解析：D　[log29×log34＋2log510＋log50.25＝2log23×＋log5(102×0.25)＝4＋2＝6.] 2．已知正实数a，b，c满足log2a＝log3b＝log6c，则(　　 ) A．a＝bc B．b2＝ac C．c＝ab D．c2＝ab 解析：C　[设log2a＝log3b＝log6c＝k，则a＝2k， b＝3k，c＝6k，所以ab＝2k·3k＝(2×3)k＝6k＝c.] 3．(2023·春招，10)不等式log2|x－1|＞1的解集是(　　) A．(－1，＋∞) B．(－∞，－1) C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．(－∞，3)∪(3，＋∞) 解析：C　[log2|x－1|＞log22，∵底数2＞1， ∴|x－1|＞2，解得x＜－1或x＞3，故选C.] 4．已知函数f(x)＝x3＋alog3x，若f(2)＝6，则f＝　________　. 解析：由f(2)＝8＋alog32＝6，解得a＝－， 所以f＝＋alog3＝－alog32 ＝＋×log32＝. 答案： 5．计算下列各式的值： (1)－2·＋； (2)计算：lg 2＋lg 5－0.125＋ln 1＋log24＋0. 解：(1)原式＝2×3×＋－1 ＝×＋－1＝. (2)lg 2＋lg 5－0.125＋ln 1＋log24＋(1＋)0＝lg(2×5)－＋0＋4log2＋1 ＝lg 10－－4＋1＝1－－4＋1＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $