第4章 4.2 指数函数-【创新教程】2027年职教高考总复习数学（教师用书Word版）

4．2　指数函数 [知识点]　指数函数及其图象和性质　 1．(1)一般地，函数　y＝ax(a＞0且a≠1)　称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1. (2)指数函数y＝ax(a>0且a≠1)具有下列性质： ①定义域是　(－∞，＋∞)　. ②值域是　(0，＋∞)　，即对任何实数x，都有ax>0，也就是说函数图象一定在x轴的上方． ③函数图象一定过点　(0,1)　. ④当a>1时，y＝ax是　在R上是增函数　；当0<a<1时，y＝ax是　在R是减函数　. ⑤指数函数的图象． 底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a＞1时，指数函数的图象是“上升”的；当0＜a＜1时，指数函数的图象是“下降”的． 2．指数函数解析式的3个特征 (1)底数a为大于0且不等于1的常数． (2)自变量x的位置在指数上，且x的系数是1. (3)ax的系数是1. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(　　) (2)函数y＝a－x是R上的增函数．(　　) (3)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．(　　) (4)函数y＝2x－1是指数函数．(　　) (5)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　　) (6)y＝x2是指数函数．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)× 2．函数y＝(－1)x在R上是(　　 ) A．增函数　　　　　　　 B．奇函数 C．偶函数 D．减函数 答案：D 3．设f(x)＝ax，且f(1)＝2，则f(0)＋f(2)＝(　　 ) A．4　　　　B．5　　　　C．6　　　　D．7 解析：B　[由题意，函数f(x)＝ax，因为f(1)＝2，可得f(1)＝a1＝2，解得a＝2，即f(x)＝2x，所以f(0)＋f(2)＝20＋22＝5.故选B.] 4．函数y＝(a－2)ax是指数函数，则(　　 ) A．a＝1或a＝3 B．a＝1 C．a＝3 D．a>0且a≠1 答案：C 5．已知函数y＝f(x)是偶函数，当x∈(0，＋∞)时，y＝ax(0＜a＜1)，则该函数在(－∞，0)上的图象大致是(　　) 解析：B　[由指数函数可知y＝ax(0＜a＜1)在(0，＋∞)上图象为，所以f(x)在 (－∞，0)上的图象是，故选B.] 6．函数f(x)＝2x＋3的值域为　________　. 答案：(3，＋∞) 比较指数幂的大小 [例1]　比较下列各题中的两个值的大小． (1)0.8－0.1,1.250.2； (2)－π，1； (3)0.2－3，(－3)0.2. [解]　(1)因为0.8－0.1＝－0.1＝0.1， 1．250.2＝0.2， 又指数函数y＝x为增函数，且0.1＜0.2， 所以0.1＜0.2，即0.8－0.1＜1.250.2. (2)－π＝ππ＞π0＝1， (3)0.2－3＞0.20＝1，(－3)0.2＝(－3)＝＜0， 所以0.2－3＞(－3)0.2. 比较指数幂大小的常用方法 一是单调性法，不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底． 二是取中间值法，不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是0,1)比较大小，然后得出大小关系． 三是图解法，根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较大小． 1．比较下列各题中两个值的大小： (1)1.72.5与1.73； (2)0.8－与0.8－； (3)1.70.3与0.93.1. 解：(1)(单调性法)由于1.73与1.72.5的底数是1.7，故构造函数y＝1.7x，而函数y＝1.7x在R上是增函数．又2.5<3，∴1.72.5<1.73. (2)(单调性法)由于0.8－与0.8－的底数是0.8，故构造函数y＝0.8x，而函数y＝0.8x在R上是减函数． 又－＞－，所以0.8－＜0.8－. (3)(中间量法)由指数函数的性质，知0.93.1<0.90＝1,1.73.1>1.70＝1，则1.73.1 >　0.93.1. 　　　求解含有指数幂的函数定义域或不等式 [例2]　求函数y＝的定义域． [解]　根据题意得，x－64≥0， 即x≥64，化简整理得2－4x≥26，所以－4x≥6，解得x≤－. 所以函数y＝的定义域为. 函数的定义域一般从以下几个方面考虑： (1)分式的分母不为零； (2)偶次根号(n∈N*，n≥2，n为偶数)中，a≥0； (3)零的零次方没有意义． 2．已知函数f(x)＝2x2－1. (1)求函数f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的奇偶性，并证明； (3)解不等式f(x)≥4. 解：(1)易知函数f(x)＝2x2－1，x∈R. 所以定义域为R. (2)由f(－x)＝2(－x)2－1＝2x2－1＝f(x)，从而知 f(x)为偶函数． (3)由条件得2x2－1≥4＝22，得x2－1≥2，解得x≥或x≤－. 所以不等式的解集为：{x|x≥或x≤－}． 指数函数的值域及最值问题 [例3]　求下列函数的定义域、值域． (1)y＝；(2)y＝4x－2x＋1. [解](1)∵对一切x∈R,3x≠－1， ∴函数的定义域为R，∵y＝＝1－， 又∵3x>0,1＋3x>1， ∴0<<1，∴－1<－<0， ∴0<1－<1，∴值域为(0,1)． (2)函数的定义域为R， y＝(2x)2－2x＋1＝2＋， ∵2x>0，∴2x＝，即x＝－1时，y取最小值， 同时y可以取一切大于的实数， ∴值域为. 要熟悉指数函数的图象和性质，对一些简单的复合函数可以用换元法，但要注意换元后的范围． 3．函数f(x)＝x在区间[－2，－1]上的最小值为　________　. 解析：∵f(x)在[－2，－1]上单调递减， ∴f(x)min＝f(－1)＝－1＝2， 故答案为：2. 答案：2 指数型复合函数的相关问题 [例4]　若k＜4x＋1对一切实数x都成立，则实数k的取值范围是　______　. [解析]　k＜4x＋1对一切实数x都成立， 即k＜(4x＋1)min， 因为4x＞0，所以4x＋1＞1，所以k≤1. 故答案为：(－∞，1]． [答案]　(－∞，1] 求指数型复合函数的单调区间和值域的方法 (1)形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数求值域时，要借助换元法：令u＝f(x)，先求出u＝f(x)的值域，再利用y＝au的单调性求出y＝af(x)的值域． (2)形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数单调性的判断，首先确定定义域D，再当a>1时，若f(x)在区间(m，n)上，其中(m，n)⊆D 具有单调性，则函数y＝af(x)在区间(m，n)上的单调性与f(x)在区间(m，n)上的单调性相同； 当0<a<1时，若f(x)在区间(m，n)上，其中(m，n)⊆D具有单调性，则函数y＝af(x)在区间(m，n)上的单调性与f(x)在区间(m，n)上的单调性相反．以上概括为同增异减． 4．函数f(x)＝的值域是　_________　. 解析：当x＜－1时，f(x)＝x＞－1＝2， 当x≥－1时，f(x)＝2. ∴f(x)的值域为[2，＋∞)． 答案：[2，＋∞) [基础题组练] 1．函数y＝的定义域是(　　 ) A．(－∞，0)　　　　　　 B．(－∞，0] C．[0，＋∞) D．(0，＋∞) 解析：C　[由2x－1≥0，得2x≥20，所以x≥0.] 2．下列判断正确的是(　　 ) A．2.52.5＞2.53 B．0.82＜0.83 C．π2＜ D．0.90.3＞0.90.5 解析：D　[因为y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.3， 所以0.90.3＞0.90.5.] 3．若函数y＝2x在区间[2，a]上的最大值比最小值大4，则a＝(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：C　[∵y＝2x在R上单调递增，∴y＝2x在[2，a]上单调递增，∴当x＝2时，y＝2x取得最小值为4；当x＝a时，y＝2x取得最大值为2a，∴2a－4＝4，解得：a＝3.故选C.] 4．若2x＋1<1，则x的取值范围是(　　 ) A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．(0,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1) 解析：D　[∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是增函数， ∴x＋1<0，∴x<－1.] 5．函数y＝1－x的单调增区间为(　　 ) A．R B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D．(0,1) 解析：A　[令u(x)＝1－x，则u(x)在R上是减函数，又y＝u(x)是减函数，故y＝1－x在R上单调递增，故选A.] 6．已知函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是(　　 ) A．(1,6) B．(1,5) C．(0,5) D．(5,0) 解析：A　[由x－1＝0，得x＝1，f(1)＝4＋2a0＝6.所以函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过定点(1,6)．] 7．若－1＜x＜0，a＝2－x，b＝2x，c＝0.2x，则a，b，c的大小关系是　________　. 解析：因为－1＜x＜0，所以由指数函数的图象和性质可得：2x＜1,2－x＞1,0.2x＞1， 又因为0.5x＜0.2x，所以b＜a＜c. 答案：b＜a＜c 8．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为　________　. 解析：∵a＝∈(0,1)，∴f(x)＝ax在R上是减函数，又f(m)>f(n)，∴m<n. 答案：m<n 9．已知指数函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)， 过点(2,4)． (1)求f(x)的解析式； (2)若f(2m－1)－f(m＋3)＜0，求实数m的取值范围． 解：(1)将点(2,4)代入f(x)＝ax，得4＝a2，a＝2， 故f(x)＝2x. (2)∵2＞1，∴f(x)是增函数，f(2m－1)－f(m＋3)＜0，即f(2m－1)＜f(m＋3)，2m－1＜m＋3，m＜4，所以m的取值范围是m＜4. [综合题组练] 1．函数y＝x2＋2x－1的值域是(　　 ) A．(－∞，4)　　　　　　B．(0，＋∞) C．(0,4] D．[4，＋∞) 解析：C　[设t＝x2＋2x－1，则y＝t.因为0<<1，所以y＝t为关于t的减函数．因为t＝(x＋1)2－2≥－2，所以0<y＝t≤－2＝4，故所求函数的值域为(0,4]．] 2．已知a，b∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x>0时，1<bx<ax，则(　　 ) A．0<b<a<1 B．0<a<b<1 C．1<b<a D．1<a<b 解析：C　[因为x>0时，1<bx，所以b>1.因为x>0时，bx<ax，所以x>0时，x>1.所以>1，所以a>b.所以1<b<a.故选C.] 3．函数f(x)＝的定义域为　________　. 解析：由解得x＞2. 所以函数f(x)的定义域为(2，＋∞)． 答案：(2，＋∞) 4．已知函数f(x)＝ax，a为常数，且函数的图象过点(－1,2)． (1)求a的值； (2)若g(x)＝4－x－2，且g(x)＝f(x)，求满足条件的x的值． 解：(1)由已知得－a＝2.解得a＝1. (2)由(1)知f(x)＝x， 又g(x)＝f(x)，则4－x－2＝x， 所以x－x－2＝0， 令x＝t，则t>0，t2－t－2＝0， 即(t－2)(t＋1)＝0， 又t>0，故t＝2，即x＝2.解得x＝－1， 故满足条件的x的值为－1. 学科网（北京）股份有限公司 $