第4章 4.1 实数指数-【创新教程】2027年职教高考总复习数学（教师用书Word版）

思维导图 4.1　实数指数 [知识点一]　n次方根、n次根式　 1．a的n次方根的定义：一般地，如果　xn＝a　，那么x叫作a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2．a的n次方根的表示： n的奇偶性 a的n次方根 的表示符号 a的取值范围 n为奇数 a∈R n为偶数 ± [0，＋∞) 3.根式：式子叫作根式，这里n叫作　根指数　，a叫作被开方数． [知识点二]　根式的性质　 1.＝　0　(n∈N*，且n>1)； 2．( )n＝　a　(n∈N*，且n>1)； 3.＝a(n为大于1的奇数)； 4.＝|a|＝(n为大于1的偶数)． [知识点三]　分数指数幂　 1．规定正数的正分数指数幂的意义是：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； 2．规定正数的负分数指数幂的意义是：a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； 3．0的正分数指数幂等于　0　，0的负分数指数幂　没有意义　. [知识点四]　有理数指数幂的运算性质　 整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： 1．aras＝　ar＋s　(a>0，r，s∈Q)； 2．(ar)s＝　ars　(a>0，r，s∈Q)； 3．(ab)r＝　arbr　(a>0，b>0，r∈Q)． [知识点五]　无理数指数幂　 一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的　实数　.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 常用的几个幂函数的图象，如下 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意实数的奇次方根只有一个．(　　) (2)当n∈N*时，()n都有意义．(　　) (3)＝π－3.(　　) (4)只要根式有意义，都能化成分数指数幂的形式．(　　) (5)分数指数幂a可以理解为个a相乘．(　　) (6)0的任何指数幂都等于0.(　　) (7)函数y＝2x是幂函数．(　　) (8)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．(　　) (9)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×　(6)×　(7)×　(8)√　(9)√ 2.的运算结果是(　　 ) A．2　　B．－2　　C±2　　D．± 解析：A　[＝＝2.] 3．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是(　　 ) A　　B.　　C　　D. 解析：C　[当m<0时，没有意义，其余各式均有意义．] 4．计算：π0＋2－2×＝　________　. 答案： 5．若x3＝－5，则x＝　________　. 解析：x3＝－5，则x＝＝－. 答案：－ 6．若x4＝3，这样的x有几个，如何表示？ 解：有2个，表示为± n次方根的概念问题 [例1]　(1)27的立方根是　________　；16的4次方根是　________　. (2)已知x6＝2 016，则x＝　________　. (3)若有意义，求实数x的取值范围为　________　. [解析]　(1)27的立方根是3；16的4次方根是±2. (2)因为x6＝2 016，所以x＝±. (3)要使有意义，则需要x＋3≥0，即x≥－3.所以实数x的取值范围是[－3，＋∞)． [答案]　(1)3　±2　(2)± (3)[－3，＋∞) n次方根的个数及符号的确定 (1)n的奇偶性决定了n次方根的个数； (2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号． 1．已知a∈R，n∈N*，给出下列4个式子： ①；②；③；④，其中无意义的有(　　 ) A．1个　　B．2个　　C 3个　　D．0个 解析：A　[①中(－3)2n>0，所以有意义，②中根指数为5有意义，③中(－5)2n＋1<0，因此无意义，④中根指数为9，有意义．选A.] 根式与分数指数幂的互化 [例2]　用分数指数幂的形式表或下列各式a2·(a＞0)；(a＞0)． [解]　a2·＝a2·a＝a2＋＝a. ＝＝＝(a)＝a. (1)根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子． (2)当根式为多重根式时，要清楚哪个是被开方数，一般由里向外用分数指数幂依次写出． 2．下列根式与分数指数幂的互化正确的是(　　 ) A．－＝(－x)　(x＞0) B.＝y(y＜0) C．x－＝(x＞0) D．x－＝－(x≠0) 解析：C　[－＝－x(x＞0)；＝[(y)2] ＝－y (y＜0)； x－＝(x－3)＝(x＞0)；x－ ＝＝(x≠0)．] 　　　利用分数指数幂的运算性质化简求值 [例3]　(1)求值：0.064－－0＋ [(－2)3]－＋16－0.75＋[(－0.1)2]. (2)化简：÷÷(a>0)． [解]　(1)原式＝(0.43)－－1＋(－2)－4＋(24)－＋(0.12)＝0.4－1－1＋＋＋0.1＝. (2)原式＝÷÷ ＝÷÷＝a÷÷a－ ＝a÷a÷a－＝a－＋＝a＝. 进行指数幂运算时，有根式的，先将根式化成分数指数幂的形式，可将系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的． 3．若x≠0，则|x|－＋的值为(　　 ) A．－1　　B．0　　C．1　　D．2 解析：C　[因为x≠0，所以|x|－＋＝ |x|－|x|＋＝1.故选C.] [基础题组练] 1．下列说法正确的个数是(　　 ) ①16的4次方根是2；②的运算结果是±2； ③当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义． A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4 答案：B 2．已知m10＝2，则m等于(　　) A. B．－ C D．± 答案：D 3．把根式a化成分数指数幂是(　　 ) A．(－a) B．－(－a) C－a D．a 答案：D 4．计算＝(　　) A. B. C. D. 答案：B 5．若x＜y，则的值为(　　) A．x－y B．y－x C．|y|－|x| D．±(x－y) 答案：B 6.＋＝　________　. 解析：＋＝4－π＋π－3＝1. 答案：1 7．设x<0，则()2＝　________　. 解析：∵x<0，∴－x>0，∴()2＝－x. 答案：－x 8．计算 ＝　_________　. 答案：8 9．计算：化简a2···a的结果是　______　. 答案：a2 10．(1)若x<0，求x＋|x|＋的值． (2)若－3<x<3，求－的值. 解：(1)∵x＜0，∴原式＝x－x＋＝－1， (2)－＝－＝|x－1|－|x＋3|，当－3<x≤1时， 原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2.当1<x<3时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4. 因此，原式＝ [综合题组练] 1．下列各式正确的是(　　) A.＝a　　 B.＝ C．a0＝1 D.＝ 答案：D 2．已知a＞0，则化为(　　) A．a　　　B．a　　　C．a　　　D．a 答案：B 3．已知＝－4a－1，则实数a的取值范围是　________　. 解析：∵＝|4a＋1|＝－4a－1， ∴4a＋1≤0，∴a≤－. 答案： 4.4＝　________　. 答案：a2 5．计算下列各式： (1)－×0＋80.25×＋(×)6；(2)； 解：(1)原式＝3×(－)×1＋(23)×2＋(2)6×(3)6＝2＋2＋＋22×33＝112. (2)＝5×(－4)××x(－)－(－1)－×y－－(－)＝24x0y＝24y. 学科网（北京）股份有限公司 $