第3章 3.6 函数的应用-【创新教程】2027年职教高考总复习数学（教师用书Word版）

3．6　函数的应用 [知识点一]　常见的函数模型　 名称 解析式 条件 一次函 数模型 y＝kx＋b k≠0 反比例 函数模型 y＝＋b k≠0 二次函 数模型 一般式：y＝ax2＋bx＋c顶点式： y＝a2＋ a≠0 幂函数 模型 y＝axn＋b a≠0，n≠1 分段函 数模型 这个模型实则是以上两 种或多种模型的综合， 应用也十分广泛 [知识点二]　函数模型解决实际问题的基本思路　 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在一次函数模型中，系数k的取值会影响函数的性质．(　　) (2)在幂函数模型的解析式中，a的正负会影响函数的单调性．(　　) 答案：(1)√　(2)√ 2．某自行车存车处在某一天总共存放车辆4 000辆次，存车费：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式(　　) A．y＝0.2x(0≤x≤4 000) B．y＝0.5x(0≤x≤4 000) C．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000) D．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000) 答案：C 3．已知某停车场规定：停车时间在3小时内，车主需交费5元，若停车超过3小时，每多停1小时，车主要多交3元，不足1小时按1小时计算．一辆汽车在该停车场停了7小时20分钟，在离开时车主应交的停车费为(　　) A．16元　　　　　　　 B．18元 C．20元 D．22元 解析：C　[由已知得7小时20分钟按8小时计算， 所以停车费为5＋(8－3)×3＝20元．故选C.] 4．某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的函数关系式y＝6x＋30 000，而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒(　　) A．2 000套 B．3 000套 C．4 000套 D．5 000套 解析：D　[因利润z＝12x－(6x＋30 000), 所以z＝6x－30 000， 由z≥0解得x≥5 000，故至少日生产文具盒5 000套．故选D.] 5．某物体一天内的温度T是时间t的函数关系式T(t)＝t3－3t＋60，时间单位是h，温度单位为℃，t＝0时表示中午12：00，则上午8：00时的温度为　________　℃. 答案：8 一次函数、二次函数模型 [例1]　商场销售进价为30元的商品，在销售中发现商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系： 销售单 价x(元) 30 40 45 50 日销售 量y(件) 60 30 15 0 (1)在坐标系中，根据表中提供的数据描出实数(x，y)对应的点，并确定x与y的一个函数关系式y＝f(x)； (2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少时，才能获得最大日销售利润． [解]　(1)在平面直角坐标系中画出各点，如图． 这些点近似地分布在一条直线上，猜想y与x之间的关系为一次函数关系， 设f(x)＝kx＋b(k≠0，且k，b为常数)，则， 解得， ∴f(x)＝－3x＋150，经检验，点(45,15)，点(50,0)也在此直线上．∴y与x之间的函数解析式为y＝－3x＋150(30≤x≤50)． (2)由题意，得P＝(x－30)(－3x＋150)＝－3x2＋240x－4 500＝－3(x－40)2＋300(30≤x≤50)． ∴当x＝40时，P有最大值300.故销售单价为40元时，日销售利润最大． 在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位．利用二次函数求最值时应注意： (1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题． (2)判断：取得最值时的自变量与实际意义是否相符． 1. 用一根长为l的铁丝制作一个如图所示的框架，上半部分为半圆形，下半部分为矩形，若AB＝2x，此框架的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求出其定义域． 解：由题意得2x＋2|AD|＋πx＝l，解得|AD|＝－x－x，所以此框架的面积y＝πx2＋·2x＝－x2＋lx.因为－x－x＞0，x＞0，所以0＜x＜.所以y与x之间的函数关系式为y＝－x2＋lx，定义域为. 分段函数模型 [例2]　某种商品在近30天内每件的销售价格P(元)和时间t(天)的函数关系为 P＝.(t∈N*) 设该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系为Q＝40－t(0<t≤30，t∈N*)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？ [解]　设日销售金额为y(元)，则y＝PQ， 所以y＝.(t∈N*) ①当0<t<25且t∈N*时，y＝－(t－10)2＋900，所以当t＝10时，ymax＝900. ②当25≤t≤30且t∈N*时，y＝(t－70)2－900，所以当t＝25时，ymax＝1 125.结合①②得ymax＝1 125. 因此，这种商品日销售额的最大值为1 125元，且在第25天时日销售金额达到最大． 分段函数的注意点：建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式． 2．某车间生产一种仪器的固定成本为10 000元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收入满足函数关系式 H(x)＝ 其中x是仪器的月产量． (1)将利润表示为月产量的函数(用f(x)表示)； (2)当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？(总收入＝总成本＋利润) 解：(1)设每月产量为x台，则总成本为t＝10 000＋100x.又f(x)＝H(x)－t， ∴f(x)＝. (2)当0≤x≤200时，f(x)＝－(x－150)2＋12 500，所以当x＝150时，有最大值12 500； 当x>200时，f(x)＝30 000－100x是减函数， f(x)<30 000－100×200<12 500. 所以当x＝150时，f(x)取最大值，最大值为12 500. 所以每月生产150台仪器时，利润最大，最大利润为12 500元. [基础题组练] 1．一辆匀速行驶的汽车90 min行驶的路程为180 km，则这辆汽车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是(　　 ) A．y＝2t　　　　　　 B．y＝120t C．y＝2t(t≥0) D．y＝120t(t≥0) 答案：D 2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是(　　 ) A．310元 B．300元 C．390元 D．280元 答案：B 3．下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是(　　 ) (1)这几年生活水平逐年得到提高； (2)生活费收入指数增长最快的一年是2022年； (3)生活价格指数上涨速度最快的一年是2023年； (4)虽然2024年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善． A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4 答案：C 4．一个矩形的周长是20，矩形的长y关于宽x(默认y>x)的函数解析式(　　) A．y＝10－x(0<x<5) B．y＝10－2x(0<x<10) C．y＝20－x(0<x<5) D．y＝20－2x(0<x<10) 解析：A　[由题意可知2y＋2x＝20，即y＝10－x，又10－x>x，所以0<x<5，故选A.] 5．一定范围内，某种产品的购买量y与单价x之间满足一次函数关系．如果购买1 000吨，则每吨800元，购买2 000 吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨(　　 ) A．820元 B．840元 C．860元 D．880元 解析：C　[设y＝kx＋b，则1 000＝800k＋b，且2 000＝700k＋b，解得k＝－10，b＝9 000，则y＝－10x＋9 000.解400＝－10x＋9 000，得x＝860.故选C.] 6．某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为　________　元． 解析：设彩电的原价为a元，∴a(1＋0.4)·80%－a＝270，∴0.12a＝270，解得a＝2 250. ∴每台彩电的原价为2 250元． 答案：2 250 7．已知函数关系式f(x)＝，若f(x)≥1，则x的取值范围是　______　 . 解析：因为在每段定义域对应的解析式上都有可能使得f(x)≥1成立， 所以将原不等式转化为 ，或，从而得x≥1或x≤－1，即(－∞，－1]∪[1，＋∞)． 答案：(－∞，－1]∪[1，＋∞) 8．国内快递重量在1000克以内的包裹邮资标准如下表： 运送距离 x(km) 0＜x≤500 500＜x≤1 000 1 000＜x≤1 500 1 500＜x≤2 000 … 邮资y(元) 5.00 6.00 7.00 8.00 … 如果某人从北京快递900克的包裹到距北京1 300 km的某地，它应付的邮资是　_______　 . 解析：邮资y与运送距离x的函数关系式 y＝， 所以1 300∈(1 000,1 500]，所以应付的邮资是y＝7.00元， 故答案为：7.00元． 答案：7.00元 9. 如图所示，用一根长度为18米的原材料制作一个矩形窗户边框(即矩形ABFE和矩形DCFE，窗户边框粗细忽略不计)，原材料刚好全部用完，设窗户边框AB的长度为x米，窗户的总面积为S平方米． (1)求S与x之间的函数关系式； (2)若窗户边框AB的长度不小于2米，且小于BC的长度，求S的最大值和最小值． 解：(1)由题意可得S＝x·＝－x2＋9x(0＜x＜6)，即S与x之间的函数关系式是 S＝－x2＋9x(0＜x＜6)． (2)由题意可得2≤x＜，解得2≤x＜3.6，∵S＝－x2＋9x＝－(x－3)2＋13.5,2≤x＜3.6，∴当x＝3时，S取得最大值，最大值为13.5，当x＝2时，S取得最小值，最小值为12，∴S的最大值是13.5，最小值是12. [综合题组练] 1．小婷经营一花店，每天的房租、水电等固定成本为100元，每束花的进价为6元，若日均销售量Q(束)与销售单价x(元)的函数关系式为Q＝100－5x，则当该店每天获利最大时，每束花应定价为(　　 ) A．15元 B．13元 C．11元 D．10元 解析：B　[设每天获利y元，则y＝(100－5x)(x－6)－100＝－5(x－13)2＋145， 由x>0，Q＝100－5x≥0，得0<x≤20， 故当x＝13时，每天获利最大．故选B.] 2．已知函数f(x)＝，若对任意的实数x都存在x1∈R，使得f(x)≤f(x1)成立，则x1＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：A　[函数f(x)＝， 可得x＞1时，f(x)递减，可得f(x)∈(0,2)； x≤1时，f(x)＝x3＋1递增，可得f(x)≤2， 且x＝1时，f(x)取得最大值2， 由对任意的实数x都存在x1∈R，使得f(x)≤f(x1)成立，可得x1＝1.故选A.] 3．李华经营了甲、乙两家电动车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为L甲＝－5x2＋900x－16 000，L乙＝300x－2 000 (其中x为销售辆数)，若某月两家连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为　________　元． 解析：依题意，可设甲这一家销售了x辆电动车，则乙这家销售了(110－x)辆电动车，总利润S＝－5x2＋900x－16 000＋300(110－x)－2 000＝－5x2＋600x＋15 000＝－5(x－60)2＋33 000(0≤x≤110)， 所以当x＝60时，S取得最大值，且Smax＝33 000. 答案：33 000 4．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明，当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．求 (1)当20≤x≤200时，函数v(x)的表达式； (2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/时) 解：(1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60； 当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b. 再由已知得，解得. 故函数v(x)的表达式为 v(x)＝， (2)依题意并由(1)可得 f(x)＝， 当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1 200； 当20≤x≤200时，f(x)＝x(200－x) ＝－(x－100)2＋， 所以，当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $