第3章 3.5 二次函数(二次函数的图象与性质)-【创新教程】2027年职教高考总复习数学（教师用书Word版）

3．5　二次函数(二次函数的图象与性质) [知识点一]　二次函数的概念　 1．定义：形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫作二次函数．其中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项． 2．解析式 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中顶点为(h，k)； (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中抛物线与x轴的交点为(x1,0)，(x2,0)． [知识点二]　二次函数的图象和性质　 解析式 f(x)＝ax2＋bx ＋c(a＞0) f(x)＝ax2＋bx ＋c(a＜0) 图象 定义域 　R　 　R　 值域 　　 　　 单调性 在上单调递减；在　　上单调递增 在　　上单调递增；在　　上单调递减 对称性 函数的图象关于直线x＝－对称 [基础自测] 1．函数y＝－(x＋1)2＋2的顶点坐标是(　　 ) A．(1,2)　　　　　　 B．(1，－2) C．(－1,2) D．(－1，－2) 答案：C 2．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(4)＝f(1)，那么(　　 ) A．f(2)＞f(3) B．f(3)＞f(2) C．f(3)＝f(2) D．f(3)与f(2)大小不能确定 答案：C 3．函数f(x)＝x2＋bx＋c的对称轴是直线x＝1，则(　　) A．f(0)＝f(3) B．f(0)＞f(3) C．f(0)＜f(3) D．无法比较 解析：C　[抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，则f(0)＝f(2)．因为函数在区间[1，＋∞)上单调递增，所以f(2)＜f(3)，即f(0)＜f(3)．故选C.] 4．抛物线y＝2x2－x＋1的对称轴和顶点坐标分别是(　　 ) A．x＝， B．x＝， C．x＝， D．x＝， 解析：B　[y＝2x2－x＋1＝2＝ 22＋，所以抛物线的对称轴为直线x＝，顶点坐标为.故选B.] 5．已知函数y＝x2＋bx＋c在区间(－∞，1)上是单调递减函数，则实数b的取值范围是(　　) A．b≥－2 B．b≤－2 C．b＞－2 D．b＜－2 解析：B　[x＝－≥1，解得b≤－2.故选B.] 6．(1)二次函数y＝2x2－mx＋n图象的顶点坐标为(1，－2)，则m＝　________　，n＝　________　. (2)已知二次函数y＝x2＋(m－2)x－2m，当m＝　______　时，函数图象的顶点在y轴上；当m＝　______　时，函数图象的顶点在x轴上；当m＝　______　时，函数图象经过原点． (3)函数y＝－3(x＋2)2＋5的图象的开口向　______　，对称轴为　______　，顶点坐标为　______　；当x＝　______　时，函数取最　______　值y＝　______　；当x　______　时，y随着x的增大而减小． 答案：(1)4,0　(2)2，－2,0　(3)下，x＝－2， (－2,5)，－2，大，5，＞－2. 　二次函数的三种解析式形式 [例1]　已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2,8)，求此二次函数的表达式． [解]　设该二次函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2,8)，可得，解得a＝－2，b＝12，c＝－8. 所以，所求的二次函数为y＝－2x2＋12x－8. (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)； (3)交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标． 在求二次函数的表达式时，可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题． 1．已知某二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点(3，－1)，求二次函数的解析式． 解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标， ∴顶点的纵坐标为2. 又顶点在直线y＝x＋1上， ∴2＝x＋1，∴x＝1.∴顶点坐标是(1,2)． 设该二次函数的解析式为y＝a(x－1)2＋2 ∵二次函数的图象经过点(3，－1)， 代入解得a＝－. ∴二次函数的解析式为y＝－x2＋x＋. 二次函数的图象性质 [例2]　如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的大致图象为(　　 ) [解析]　若a＜0，b＞0，c＜0，则该二次函数开口向下，对称轴x＝－＞0，与y轴的交点位于x轴下方，符合条件的图象只有选项B.故选B. [答案]　B (1)当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；当x＜－时，y随着x的增大而减小；当x＞－时，y随着x的增大而增大；当x＝－时，函数取最小值y＝. (2)当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；当x＜－时，y随着x的增大而增大；当x＞－时，y随着x的增大而减小；当x＝－时，函数取最大值y＝. 2．二次函数y＝x2＋ax＋a－2的图象与x轴的两个交点间的距离是2，求实数a的值． 解：设二次函数y＝x2＋ax＋a－2的图象与x轴的两个交点为A(x1,0)，B(x2,0)，则由题意得，x1，x2是方程x2＋ax＋a－2＝0的两个实数根，可得x1＋x2＝－a，x1x2＝a－2.因此由|AB|＝＝2得，(x1＋x2)2－4x1x2＝4， 即(－a)2－4(a－2)＝4，化简得a2－4a＋4＝0，即(a－2)2＝0，解得a＝2. 　　一元二次方程中根与系数的关系 [例3]　(1)若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根． ①求|x1－x2|的值； ②求＋的值； ③求x＋x的值． (2)已知方程5x2＋kx－6＝0的一个根是2，求它的另一个根及k的值． [解]　(1)∵x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根， ∴x1＋x2＝－，x1x2＝－. ①∵|x1－x2|2＝x＋x－2x1x2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝2－4×＝＋6＝， ∴|x1－x2|＝. ②＋＝＝＝ ＝＝. ③x＋x＝(x1＋x2)(x－x1x2＋x)＝(x1＋x2)[(x1＋x2)2－3x1x2] ＝×＝－. (2)设方程的另一个根为x1，则2x1＝－，∴x1＝－.由＋2＝－，得k＝－7.所以，方程的另一个根为－.k的值为－7. 利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形： x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2 ＋＝ (x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2 |x1－x2|＝ 3．已知α、β是方程x2＋2x－5＝0的两个实数根，则α2＋αβ＋2α的值为　________　. 解析：由于α、β是方程x2＋2x－5＝0的实数根， ∴α2＋2α－5＝0，αβ＝－5，∴α2＋2α＝5 ∴α2＋αβ＋2α＝α2＋2α＋αβ＝5－5＝0. 答案：0 [基础题组练] 1．已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，在区间(－∞，－2]上是减函数，则m＝(　　) A．16　　B．－16　　C．8　　D．－8 答案：B 2．设x∈R，则“x2－5x＋6＜0”是“|x－2|＜1”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 3．二次函数y＝x2－2x＋3图象的对称轴方程为(　　 ) A．x＝1 B．x＝2 C．x＝－1 D．x＝－2 解析：A　[二次函数y＝x2－2x＋3图象的对称轴方程为x＝－＝1.故选A.] 4．不等式y＝ax2－x－c＞0的解集为{x|－2＜x＜1}，则函数y的图象为(　　) 答案：B 5．函数y＝－ax＋1与y＝ax2在同一坐标系中的图象大致是图中的(　　) 解析：A　[当a＞0时，y＝－ax＋1在x，y轴上截距分别是＞0,1，而y＝ax2开口向上，顶点为原点且对称轴为y轴，排除B； 当a＜0时，y＝－ax＋1在x，y轴上截距分别是＜0,1，而y＝ax2开口向下，顶点为原点且对称轴为y轴，排除C、D，故选A.] 6．函数f(x)＝x2＋bx＋4的图象总在x轴上方，则b的取值范围是　________　. 解析：因为函数f(x)＝x2＋bx＋4的图象总在x轴上方，∴Δ＝b2－16＜0，解得－4＜b＜4. 故答案为(－4,4)． 答案：(－4,4) 7．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，确定下列各式的正负：b　________　0，ac　________　0，a－b＋c　________　0. 解析：∵a<0，－>0，c>0，∴b>0，ac<0. 设y＝f (x)＝ax2＋bx＋c，则a－b＋c＝f (－1)<0. 故答案为＞；＜；＜. 答案：>　<　< 8．二次函数y＝f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)，且f(x)＝0有两个实根x1，x2，x1＋x2＝　________　. 解析：∵二次函数y＝f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)， ∴二次函数y＝f(x)的对称轴为x＝3， ∴二次函数f(x)与x轴的两个交点关于x＝3对称，即两个交点的中点为3. 根据中点坐标公式得到f(x)＝0的两个实数根之和为x1＋x2＝2×3＝6. 故本题答案为6. 答案：6 9．(1)已知函数f(x－3)＝x2－4x＋6，求f(x)的解析式． (2)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝2， f(x＋2)－f(x)＝2x＋4，求f(x)的解析式． 解：(1)令t＝x－3，则x＝t＋3. 因为f(x－3)＝x2－4x＋6， 所以f(t)＝(t＋3)2－4(t＋3)＋6＝t2＋2t＋3， 故f(x)＝x2＋2x＋3. (2)设所求的二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ∵f(0)＝2，∴c＝2，则f(x)＝ax2＋bx＋2. 又∵f(x＋2)－f(x)＝2x＋4， ∴a(x＋2)2＋b(x＋2)＋2－(ax2＋bx＋2)＝2x＋4，即4ax＋4a＋2b＝2x＋4， 由恒等式性质得，∴， ∴所求二次函数为f(x)＝x2＋x＋2. [综合题组练] 1．关于x的方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的一个根比1大，另一个根比1小，则(　　 ) A．－1＜a＜1　　　　B．|a|＞1 C．－2＜a＜1 D．a＜－2或a＞1 解析：C　[设f(x)＝x2＋(a2－1)x＋a－2.由f(1)＜0⇒a2＋a－2＜0，解得－2＜a＜1.所以应选C.] 2．函数f(x)＝－x2＋2|x|的大致图象为(　　) 解析：D　[函数f(－x)＝－x2＋2|x|＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故A错误； 因为f(1)＝－1＋2＝1，故B错误； 当x＝5时，f(5)＝－52＋25＝7＞0，故C错误．故选D.] 3．函数y＝的递增区间是　________　. 解析：由题意得2x－x2≥0，即0≤x≤2， 又因y＝2x－x2的对称轴为x＝1，所以y＝2x－x2在[0,1]上单调递增，故根据复合函数单调性，得函数y＝的递增区间为[0,1]． 答案：[0,1] 4．若二次函数满足f(x＋1)－f(x)＝2x且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式； (2)若在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1， 得c＝1，f(x)＝ax2＋bx＋1. ∵f(x＋1)－f(x)＝2x， ∴2ax＋a＋b＝2x，∴，∴， ∴f(x)＝x2－x＋1. (2)由题意，x2－x＋1>2x＋m在[－1,1]上恒成立，即x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立． 令g(x)＝x2－3x＋1－m＝2－－m，其对称轴为x＝， ∴g(x)在区间[－1,1]上是减函数， ∴g(x)min＝g(1)＝1－3＋1－m>0，∴m<－1. 学科网（北京）股份有限公司 $