第3章 3.4 函数的奇偶性-【创新教程】2027年职教高考总复习数学（教师用书Word版）

3．4　函数的奇偶性 [知识点一]　函数的奇偶性：　 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有　f(－x)＝f(x)　，那么函数f(x)是偶函数 关于　y轴 对称　 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有　f(－x)＝－f(x)　，那么函数f(x)是奇函数 关于　原点 对称　 [知识点二]　奇偶性与单调性：　 一般地，若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性． [知识点三]　奇偶性的推广　 一般地，对于定义域内任意x， (1)若f(a－x)＝2b－f(a＋x)，则f(x)的图象关于点(a，b)对称．当a＝b＝0时，即为奇函数的定义． (2)若f(a－x)＝f(a＋x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称，当a＝0时，即为偶函数的定义． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．(　　) (2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．(　　) (3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数，就是偶函数．(　　) (4)函数f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数．(　　) (5)“a＋b＝0”是“函数f(x)在区间[a，b](a≠b)上具有奇偶性”的必要条件．(　　) (6)若函数f(x)是奇函数，则必有f(0)＝0.(　　) (7)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，若在(－∞，0)上是减函数，则在(0，＋∞)上是增函数．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　(6)×　(7)√ 2．下列函数为奇函数的是(　　 ) A．y＝|x|　　　　　　 B．y＝3－x C．y＝ D．y＝－x2＋14 解析：C　[A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数．故选C.] 3．若函数y＝f(x)，x∈[－2，a]是偶函数，则a的值为(　　 ) A．－2 B．2 C．0 D．不能确定 解析：B　[因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－2＋a＝0，所以a＝2.故选B.] 4．下列图象表示的函数是奇函数的是________________________________________________________________________， 是偶函数的是　________　.(填序号) 解析：(1)(3)关于y轴对称是偶函数，(2)(4)关于原点对称是奇函数． 答案：(2)(4)　(1)(3) 5．已知函数f(x)为R上的偶函数，且当x＜0时，f(x)＝x(x－1)，则当x＞0时，f(x)＝　________　. 解析：当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1)，因为函数f(x)为R上的偶函数，故f(x)＝f(－x)＝x(x＋1)． 答案：x(x＋1) 函数奇偶性的判断 [例1]　判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝x3＋x； (2)f(x)＝＋. [解]　(1)函数的定义域为R，关于原点对称． 又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝ －f(x)，因此函数f(x)是奇函数． (2)由，得x2＝1，即x＝±1.因此函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称． 又f(1)＝f(－1)＝－f(－1)＝0， 所以f(x)既是奇函数又是偶函数． 函数奇偶性判断的方法 (1)定义法： (2)图象法： 1．判断下列函数的奇偶性． (1)函数f(x)＝是(　　 ) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 (2)f(x)＝x2(x2＋2)； (3)f(x)＝|x＋1|－|x－1|. 解析：(1)D　[因为f(x)＝，所以x＋1≠0，即x≠－1，故f(x)的定义域为{x|x≠－1}，显然f(x)的定义域不关于原点对称，故f(x)既不是奇函数又不是偶函数．故选D.] (2)∵x∈R，∴－x∈R. 又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝ f(x)，∴f(x)为偶函数． (3)∵x∈R，∴－x∈R. 又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1| ＝|x－1|－|x＋1| ＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数． 奇、偶函数的图象问题 [例2]　已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示． (1)画出f(x)在区间[－5,0]上的图象； (2)写出使f(x)<0的x的取值集合． [解]　(1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示． (2)由图象知，使函数值f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)． 根据奇偶函数在原点一侧的图象求解与函数有关的值域、定义域、不等式问题时，应根据奇偶函数图象的对称性作出函数在定义域另一侧的图象，根据图象特征求解问题． 2．若偶函数f(x)在区间[1,2 026]上的最大值为2 026，则函数f(x)在区间[－2 026，－1]上有(　　) A．最小值－2 026　　 B．最小值2 026 C．最大值－2 026 D．最大值2 026 解析：D　[因为f(x)为偶函数，所以f(x)的图像关于x＝0，即y轴对称，也就是说自变量相反的两个数函数值一样，所以f(x)有最大值2 026.故选D.] 利用奇偶性求解析式 [例3]　已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x>0时，f(x)＝x2＋x，求当x<0时，f(x)的解析式. [解]　设x<0，则－x>0. ∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x. 又∵f(x)是定义域为R的偶函数， ∴f(－x)＝f(x)＝x2－x， ∴当x<0时，f(x)＝x2－x. 已知区间[a，b]上的解析式，求[－b，－a]上的解析式： (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)． 3．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－x2，求y＝f(x)的解析式． 解：设x<0，则－x>0，因为f(x)是奇函数，所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－[2(－x)－(－x)2]＝2x＋x2. 因为y＝f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0. 所以f(x)＝. 　　　函数的奇偶性和单调性的综合应用 [例4]　(1)(利用奇偶性求函数值)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，若f(－3)＝10，则f(3)＝(　　 ) A．26　　B．18　　C．10　　D．－26 [解析]　[法一　由f(x)＝x5＋ax3＋bx－8， 得f(x)＋8＝x5＋ax3＋bx. 令G(x)＝x5＋ax3＋bx＝f(x)＋8，∵G(－x)＝ (－x)5＋a(－x)3＋b(－x)＝－(x5＋ax3＋bx)＝－G(x)， ∴G(x)是奇函数，∴G(－3)＝－G(3)，即f(－3)＋8＝－f(3)－8.又f(－3)＝10， ∴f(3)＝－f(－3)－16＝－10－16＝－26. 法二　由已知条件，得 ， ①＋②得f(3)＋f(－3)＝－16，又f(－3)＝10， ∴f(3)＝－26.] [答案]　D (2)(利用奇偶性求参数值) 若函数f(x)＝为奇函数，则a＝　________　. [解析]　∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即＝－，显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，解得a＝－1. [答案]　－1 (3)已知函数y＝f(x)在定义域[－1,1]上是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)<0，求实数a的取值范围． [解]　由f(1－a2)＋f(1－a)<0，得f(1－a2)<－f(1－a)． ∵y＝f(x)在[－1,1]上是奇函数，∴－f(1－a)＝f(a－1)，∴f(1－a2)<f(a－1)． 又f(x)在[－1,1]上单调递减， ∴，解得，∴0≤a<1. ∴实数a的取值范围是[0,1)． 1．充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再利用单调性脱掉“f”求解． 2．在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响． 4．定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围． 解：∵函数f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(|x|)． ∴f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)． ∴原不等式等价于， 解得－1≤m<.∴实数m的取值范围是. [基础题组练] 1．函数f(x)＝|x|＋1是(　　 ) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 答案：B 2．f(x)＝x3＋的图象关于(　　 ) A．原点对称　　　　　　 B．y轴对称 C．y＝x对称 D．y＝－x对称 答案：A 3．(多选题)若奇函数f(x)在[1,3]上为增函数，且有最小值0，则它在[－3，－1]上(　　 ) A．是减函数 B．是增函数 C．有最大值0 D．有最小值0 解析：BC　[由于奇函数的图象关于原点成中心对称，故奇函数的图象在对称区间上具有相同的单调性，且一侧的最小值对应另一侧的最大值，故选BC.] 4．已知函数f(x)＝x2＋(2－m)x＋m2＋12为偶函数，则m的值是(　　 ) A．4　　　B．3　　　C．2　　　D．1 解析：C　[因为函数f(x)＝x2＋(2－m)x＋m2＋12为偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即x2＋(2－m)x＋m2＋12＝(－x)2－(2－m)x＋m2＋12， 即4－2m＝0，所以m＝2.故选C.] 5．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　 ) A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3) C．f(π)<f(－3)<f(－2) D．f(π)<f(－2)<f(－3) 解析：A　[因为当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，所以有f(2)<f(3)<f(π)．又f(x)是R上的偶函数，故f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，从而有f(－2)<f(－3)<f(π)．故选A.] 6．若函数f(x)＝1－的图象关于原点对称，则实数a＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：A　[由已知得，函数f(x)为奇函数，所以f(1)＋f(－1)＝0，即1－＋1－＝0,1－a＋1＋2a＝0，解得a＝－2.故选A.] 7．若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝log2(x＋2)－1，则f(－6)＝(　　 ) A．2 B．4 C．－2 D．－4 解析：C　[根据题意得f(－6)＝－f(6)＝1－log2(6＋2)＝1－3＝－2.故选C.] 8．若f(x)是偶函数，其定义域为R且在[0，＋∞)上是减函数，则f与f(a2－a＋1)的大小关系是　________　. 解析：显然a2－a＋1≥. 又∵f(x)在[0，＋∞)上是减函数， ∴f(a2－a＋1)≤f.又f(x)是偶函数， ∴f＝f，∴f(a2－a＋1)≤f. 答案：f(a2－a＋1)≤f 9．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝ax2－2x，且f(4)＝8.求 (1)实数a的值； (2)该函数的解析式． 解：(1)当x≥0时，f(4)＝8，∴f(4)＝16a－8＝8，即16a＝16，a＝1. (2)由(1)知x≥0时，f(x)＝x2－2x，设x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x，又因f(x)是奇函数， 所以－f(x)＝f(－x)＝x2＋2x， ∴f(x)＝－x2－2x(x＜0)，由以上可知该函数的解析式为f(x)＝. [综合题组练] 1．设二次函数f(x)＝(a2－1)x2＋(a2－a)x＋22 026是偶函数，则a＝(　　) A．0或1 B．0或－1 C．－1 D．0 解析：D　[二次函数f(x)＝(a2－1)x2＋(a2－a)x＋22 026的定义域为R，关于原点对称． 因为二次函数f(x)＝(a2－1)x2＋(a2－a)x＋22 026是偶函数， 所以f(－x)＝(a2－1)(－x)2－(a2－a)(－x)＋22 026＝(a2－1)x2＋(a2－a)x＋22 026＝f(x)，且a2－1≠0， 化简得，解得， 解得a＝0.] 2．已知定义域为(－1,1)的奇函数f(x)是减函数，且f(a－3)＋f(9－a2)<0，则实数a的取值范围是(　　) A．(2，3) B．(3，) C．(2，4) D．(－2,3) 解析：A　[由f(a－3)＋f(9－a2)<0，得f(a－3)<－f(9－a2)．又由奇函数性质得f(a－3)<f(a2－9)．因为f(x)是定义域为(－1,1)的减函数， 所以，解得2<a<3.故选A.] 3．已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，则f(1)＝　________　. 解析：由f(－x)＝a(－x)3－2(－x)＝－ax3＋2x＝－(ax3－2x)＝－f(x)且定义域为R，所以f(x)为奇函数，故f(1)＝－f(－1)＝－4.故答案为－4. 答案：－4 4．已知函数f(x)＝mx3＋nx－1，若f(3)＝2 026，则f(－3)＝　________　. 解析：设g(x)＝mx3＋nx， 由于g(x)的定义域为(－∞，＋∞)，且g(－x)＝m(－x)3＋n(－x)＝－(mx3＋nx)＝－g(x)， 所以g(x)为奇函数． 由f(3)＝g(3)－1＝2 026，可得g(3)＝2 027， 所以g(－3)＝－g(3)＝－2 027， 故f(－3)＝g(－3)－1＝－2 028. 答案：－2 028 5．函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝. (1)确定函数f(x)的解析式； (2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数； (3)解不等式f(t－1)＋f(t)<0. 解：(1)由于f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，则有 f(0)＝0，即＝0，解得b＝0，∵f＝， ∴＝，∴a＝1.∴函数解析式为f(x)＝ (－1<x<1)． (2)证明　任取x1，x2∈(－1,1)，且x1<x2， f(x1)－f(x2)＝－ ＝， ∵－1<x1<x2<1，∴x1－x2<0,1－x1x2>0， (1＋x)(1＋x)>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)． ∴f(x)为(－1,1)上的增函数． (3)∵f(t－1)＋f(t)<0， ∴f(t－1)<－f(t)． ∵f(x)是(－1,1)上的奇函数，∴f(－t)＝－f(t)， ∴f(t－1)<f(－t)． ∵f(x)为(－1,1)上的增函数，∴，解得0<t<.∴不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $