第3章 3.3 函数的单调性-【创新教程】2027年职教高考总复习数学（教师用书Word版）

3．3　函数的单调性 [知识点一]　增函数与减函数的定义　 条件 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1，x2∈D，当x1＜x2时 都有　f(x1)＜f(x2)　 都有　f(x1)＞f(x2)　 结论 那么就称函数f(x)在区间D上是　增　函数 那么就称函数 f(x)在区间D上是　减　函数 图示 [知识点二]　函数的单调性与单调区间　 如果函数y＝f(x)在区间D上是　增函数或减函数　，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫作y＝f(x)的　单调区间　. [知识点三]　基本初等函数的单调区间如下表所示　 函数 条件 单调递增区间 单调递减区间 正比例函数(y＝kx，k≠0)与一次函数(y＝kx＋b，k≠0) k＞0 R 无 k＜0 无 R 反比例函数(y＝，k≠0) k＞0 无 (－∞，0)和 (0，＋∞) k＜0 (－∞，0)和(0，＋∞) 无 二次函数(y＝ax2＋bx＋c，a≠0) a＞0 a＜0 [知识点四]　复合函数的单调性判断：　同增异减 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)因为f(－1)<f(2)，所以函数f(x)在[－1,2]上是增函数．(　　) (2)若f(x)为R上的减函数，则f(0)>f(1)．(　　) (3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．(　　) (4)若函数f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，则f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．(　　) (5)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数．(　　) (6)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　　) (7)对于函数y＝f(x)，若f(1)<f(3)，则f(x)为增函数．(　　) (8)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ (6)×　此单调区间不能用“∪”连接，故单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)． (7)×　应对任意的x1＜x2，f(x1)＜f(x2)成立才可以． (8)×　若f(x)＝x，在[1，＋∞)上为增函数，但y＝f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞)． 2．下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是(　　 ) A．y＝－x　　　　　　 B．y＝x2－x C．y＝ln x－x D．y＝ex 解析：A　[易知A中y＝－x在(0，＋∞)上是减函数，B，C中函数y＝x2－x与y＝ln x－x在(0，＋∞)上不单调，D中y＝ex在(0，＋∞)上是增函数．故选A.] 3．函数f(x)＝的单调递减区间是(　　 ) A．(－∞，0)，(0，＋∞) B．(0，＋∞) C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(－∞，0) 解析：A　[因为函数f(x)＝是反比例函数，函数图像为一三象限双曲线，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，故函数的单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．故选A.] 4．设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为　________　. 解析：由题图可知函数的单调递增区间为[－1,1]和[5,7]． 答案：[－1,1]，[5,7] 5．函数y＝4x－x2＋3，x∈[0,3]的单调递增区间是　__________　，最小值是　________　，最大值是　________　. 解析：因为y＝4x－x2＋3＝－(x－2)2＋7， 所以函数y＝4x－x2＋3，x∈[0,3]的单调递增区间是[0,2]．当x＝2时，ymax＝7；当x＝0时， ymin＝3. 答案：[0,2]　3　7 6．函数f(x)＝(2a－1)x－3是R上的减函数，则a的取值范围是　________　. 解析：因为函数f(x)＝(2a－1)x－3是R上的减函数，所以2a－1＜0，解得a＜. 答案： 函数单调性的判定与证明 [例1]　用定义证明：函数f(x)＝x＋在(－1,0)上是减函数. [证明]　设－1＜x1＜x2＜0， 则有f(x1)－f(x2)＝－ ＝(x1－x2)＋＝， 由于－1＜x1＜x2＜0,0＜x1x2＜1，x1x2－1＜0，又x1x2＞0，x1－x2＜0， 则f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以函数在(－1,0)上为减函数． 利用定义证明函数单调性的4个步骤 1．用定义证明，函数y＝在(－1，＋∞)上为增函数． 解：设x1>x2>－1， y1－y2＝－＝>0， ∴y1>y2，∴函数y＝在(－1，＋∞)上为增函数． 　　利用图象确定函数的单调区间 [例2]　如图为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象， 指出它的单调区间． [解]　函数的单调递增区间为[－1.5,3)，[5,6)， 单调减区间为[－4，－1.5)，[3,5)，[6,7]． 1．求函数单调区间的方法 (1)利用基本初等函数的单调性，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解； (2)利用函数的图象． 2．若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”“和”连接，不能用“∪”连接． 2．画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间． 解：y＝－x2＋2|x|＋3＝ 函数图象如图所示． 函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数； 函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数． 所以函数的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)． 函数单调性的应用 [例3]　已知函数f(x)的定义域为[－2,2]，且f(x)在区间[－2,2]上是减函数，且f(1－m)＞f(m)，求实数m的取值范围． [解]　因为f(x)在区间[－2,2]上单调递减，所以当－2≤x1＜x2≤2时，总有f(x1)>f(x2)成立，反之也成立，即若f(x1)>f(x2)，则－2≤x1＜x2≤2.因为f(1－m)＞f(m)， 所以解得＜m≤2. 已知函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1)确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数． (2)依据常见函数的单调性，如一次函数、反比例函数、二次函数的单调性求解． (3)要注意：“函数f(x)的增区间是(a，b)”与“函数f(x)在区间(a，b)上单调递增”是不同的，后者意味着区间(a，b)是函数f(x)的增区间的一个子集． 3．若函数f(x)＝(m－1)x＋b在R上是增函数，则f(m)与f(1)的大小关系是(　　 ) A．f(m)＜f(1) B．f(m)＞f(1) C．f(m)≤f(1) D．f(m)≥f(1) 解析：B　[由题意得m－1＞0，即m＞1，而f(x)在R上是增函数，则f(m)＞f(1)，故选B.] [基础题组练] 1．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是(　　 ) A．[0,1]　　　　　 ．[－4，－3]∪[1,4] C．[－3,1] D．[－3,4] 答案：C 2．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系正确的是(　　) A．f(1)＜f(0)＜f(－1) B．f(0)＜f(－1)＜f(1) C．f(－1)＜f(0)＜f(1) D．f(0)＜f(1)＜f(－1) 答案：A 3．已知f(x)＝(3a－1)x＋b在(－∞，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是(　　 ) A. . C. . 答案：B 4．已知函数f(x)的定义域是R，若对于任意两个不相等的实数x1，x2，总有＞0成立，则函数f(x)一定是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数 解析：C　[由题意可知x1≠x2，因为＞0⇒(x2－x1)(f(x2)－f(x1))＞0⇒在R上，当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2)成立，所以选C.] 5．函数f(x)＝x2＋x－2(x∈[0,2])的值域是(　　 ) A．[－2,4] B. C. D. 解析：A　[函数f(x)＝x2＋x－2的对称轴为x＝－，故函数f(x)＝x2＋x－2在[0,2]上单调递增，又f(0)＝－2，f(2)＝4，所以函数f(x)＝x2＋x－2(x∈[0,2])的值域是[－2,4]，故选A.] 6．若函数f(x)＝x2－2ax＋3在(2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是　_______　. 解析：由已知可得函数f(x)＝x2－2ax＋3的图 象为开口向上的抛物线，对称轴方程为x＝a， 又函数在(2，＋∞)上是增函数，故可得a≤2， 综上所述，实数a的取值范围是(－∞，2]． 答案：(－∞，2] 7．已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，求实数x的取值范围为　________　. 解析：因为函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f(2x－3)＞f(5x－6)， 所以2x－3＞5x－6，解得x＜1， 即实数x的取值范围为(－∞，1)． 答案：(－∞，1) 8．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝　________　. 解析：f(x)＝，∴f(x)的单调递增区间是，∴－＝3，即a＝－6. 答案：－6 9．设a为实数，已知函数y＝f(x)在定义域R上是减函数，且f(a＋1)＞f(2a)，求a的取值范围． 解：因为函数y＝f(x)在定义域R上是减函数，且f(a＋1)＞f(2a)，所以a＋1＜2a，解得a＞1，所以a的取值范围是(1，＋∞)． [综合题组练] 1．(多选题)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法正确的是(　　 ) A．函数在区间[－5，－3]上单调递增 B．函数在区间[1,4]上单调递增 C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减 D．函数在区间[－5,5]上没有单调性 解析：ABD　[由题图可知，f(x)在区间[－3,1]，[4,5]上单调递减，单调区间不可以用并集“∪”连接，故不选C.] 2．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A可能是(　　 ) A．(－∞，0)　　　　　　 B. C．[0，＋∞) D. 解析：B　[y＝|x|(1－x)＝＝＝画出函数的图象如图所示． 由图易知原函数在上单调递增．故选B.] 3．(2023·春招，7)若函数f(x)＝(m－2)x＋4在(－∞，＋∞)上是减函数，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，0) B．(－∞，2) C．(0，＋∞) D．(2，＋∞) 解析：B　[∵f(x)为减函数，∴m－2＜0，即m＜2，故选B]． 4．若函数f(x)＝ax＋1在R上递减，则函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的增区间是　_______　 . 解析：因为函数f(x)＝ax＋1在R上递减，所以a<0，所以g(x)＝a(x2－4x＋3)＝a[(x－2)2－1]的增区间是(－∞，2)． 答案：(－∞，2) 5．已知f(x)＝(x≠a)． (1)若a＝－2，证明：f(x)在(－∞，－2)上单调递增； (2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围． 解：(1)证明：当a＝－2时，f(x)＝. 设x1<x2<－2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝. 因为(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0， 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增． (2)设1<x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝. 因为a>0，x2－x1>0， 所以要使f(x1)－f(x2)>0， 只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，所以a≤1. 综上所述，0<a≤1. 学科网（北京）股份有限公司 $