第3章 3.2 分段函数-【创新教程】2027年职教高考总复习数学（教师用书Word版）

3．2　分段函数 [知识点]　分段函数　 1．分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围有着不同的　对应关系　的函数表达式．例如：函数y＝|x|与函数y＝是同一分段函数． 2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的　并集　；各段函数的定义域的交集是　空集　. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分段函数由几个函数构成．(　　) (2)函数f(x)＝是分段函数．(　　) (3)分段函数的图象不一定是连续的．(　　) (4)y＝|x－1|与y＝是同一函数．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．函数f(x)＝则f(2)＝(　　) A．－1　　　B．0　　　C．1　　　D．2 解析：A　[当x＝2 时，则f(2)＝－＝－1.故选A.] 3．已知函数f(x)＝，若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于(　　) A．1 B．－1 C．－1或1 D．－3或3 解析：B　[函数f(x)＝， 若a＞0，可得f(a)＝－2a，由f(a)＋f(1)＝0，知－2a－2＝0，解得a＝－1(舍)； 若a≤0，可得f(a)＝a2＋1，由f(a)＋f(1)＝0，知a2＋1－2＝0，解得a＝1(舍)或a＝－1，符合题意．综上，a＝－1. 故选B.] 4．已知函数f(x)的对应值如下表所示： 函数y＝f(x)的对应值表 x 0 1 2 3 4 5 y 3 6 5 4 2 7 则f[f(2)]＝(　　) A．4　　　B．5　　　C．6　　　D．7 解析：D　[由表可解f(2)＝5，所以f[f(2)]＝ f(5)＝7，故选D.] 5．已知函数f(x)＝，则f(f(f(－1)))的值等于　________　. 解析：因为f(x)＝， 所以f(－1)＝π2＋1， 所以f(f(－1))＝f(π2＋1)＝0， 所以f(f(f(－1)))＝f(0)＝π. 故答案为π. 答案：π 分段函数求值 [例1]　已知函数f(x)＝ (1)求f[f(1)]的值； (2)求f(|a－1|)＜3，求实数a的取值范围． [解]　(1)因为1＞0，所以f(1)＝2×1－5＝－3， 因为－3＜0，所以f[f(1)]＝f(－3) ＝(－3)2＋2×(－3)＝3. (2)因为|a－1|≥0，则f(|a－1|)＝2|a－1|－5，因为f(|a－1|)＜3，所以2|a－1|－5＜3， 即|a－1|＜4， 解得－3＜a＜5. (1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解．对于含有多层“f”的问题，要按照“由内到外”的顺序，逐层处理． (2)已知函数值，求自变量的值时，要先将“f”脱掉，转化为关于自变量的方程求解． (3)求解函数值的不等式时，直接转化为不等式求解，也可通过图象求解． 1．已知函数f(x)＝，则f[f(1)]＝(　　 ) A．5　　　B．－5　　　C．－2　　　D．2 解析：A　[∵1>0，∴f(1)＝－2，∵－2＜0， ∴f(－2)＝(－2)2＋1＝5，故B，C，D错误．故选A.] 分段函数的应用 [例2]　某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x吨、3x吨． (1)求y关于x的函数； (2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费． [解]　(1)当5x≤4，即x≤时，3x＜4， 所以y＝1.8×(5x＋3x)＝14.4x. 当5x＞4,3x≤4， 即＜x≤，y＝1.8×4＋3×(5x－4)＋1.8×3x＝20.4x－4.8.当3x＞4，即x＞时，5x＞4，y＝1.8×(4＋4)＋3×(5x－4)＋3×(3x－4)＝24x－9.6， 综上y＝ (2)由(1)知，当0≤x≤时，0≤y≤11.52；当＜x≤时，11.52＜y≤22.4；当x＞时，y＞22.4.所以若甲、乙两户共交水费26.4元时，x＞， 所以24x－9.6＝26.4，解得x＝1.5,5x＝7.5， 3x＝4.5； 所以甲户用水量为7.5吨，应缴水费1.8×4＋3×3.5＝17.7元；乙户用水量为4.5吨，应缴水费1.8×4＋3×0.5＝8.7元． 2．某市居民生活用电电价实行全市同价，并按三档累进递增．第一档：月用电量为0～200千瓦时(以下简称度)，每度0.5元；第二档：月用电量超过200度但不超过400度时，超出的部分每度0.6元；第三档：月用电量超过400度时，超出的部分每度0.8元；若某户居民9月份的用电量是420度，则该用户9月份应缴电费是(　　) A．210元 B．232元 C．236元 D．276元 解析：C　[依题意可得某户居民9月份的用电量是420度时，该用户9月份应缴电费为200×0.5＋200×0.6＋20×0.8＝236元．故选C.] 3．已知函数f(x)＝，若实数a满足f(a)＝f(a－1)，则f＝　______　. 解析：由题意得a>0. 当0<a<1时，由f(a)＝f(a－1)，即2a＝. 解得a＝，则f＝f(4)＝8，当a≥1时， 由f(a)＝f(a－1)，得2a＝2(a－1)，无解． 答案：8 [基础题组练] 1．设函数f(x)＝，则f[f(3)]＝(　　 ) A.　　　B．3　　　C.　　　D. 答案：D 2．已知f(x)＝，则f＋f＝(　　 ) A．－2 B．4 C．2 D．－4 答案：B 3．已知函数f(x)＝，若f(x)＝10，则x＝(　　 ) A．－20 B．3 C．－3 D．－5 解析：C　[当x≤0时，由x2＋1＝10得：x＝－3或x＝3(舍)；当x＞0时，由－2x＝10得：x＝－5(舍)；∴x＝－3.故选C.] 4．(多选题)设函数f(x)＝，若f(a)＝4，则实数a＝(　　 ) A．2 B．－2 C．4 D．－4 解析：AD　[由，或，得a＝－4或a＝2.] 5．已知函数f(x)＝，则不等式f(x)≥2x的解集是(　　) A. B．(－∞，0] C. D．(－∞，2) 解析：A　[当x>0时，f(x)＝－x＋2≥2x，解得3x≤2，所以0<x≤；当x≤0时，f(x)＝x＋2≥2x，解得x≤2，又x≤0，所以x≤0. 综上，原不等式的解集为，故选A.] 6．设函数f(x)＝，则f[f(－4)]＝　________　. 解析：f[f(－4)]＝f(16－4－2)＝f(10)＝－1. 答案：－1 7．已知函数f(x)＝，若f(x)＝－3，则x＝　________　. 解析：若x≤1，由x＋1＝－3，得x＝－4. 若x>1，由1－x2＝－3得x2＝4，解得x＝2或x＝－2(舍去)．综上可得，所求x的值为－4或2. 答案：－4或2 8．已知函数f(x)＝，若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于　________　. 解析：因为f(1)＝2，且f(1)＋f(a)＝0，所以f(a)＝－2<0，故a≤0.依题知a＋1＝－2，解得a＝－3. 答案：－3 9. 已知函数f(x)＝ ， (1)画出函数f(x)的简图(不必列表)； (2)求f(f(3))的值； (3)当－4≤x＜3时，求f(x)取值的集合． 解：(1)由分段函数f(x)＝可知，函数f(x)的简图为 (2)因为f(3)＝4－32＝4－9＝－5，所以f(f(3))＝f(－5)＝1－2×(－5)＝1＋10＝11. (3)当－4≤x＜0时，f(x)＝1－2x∈(1,9]； 当x＝0时，f(x)＝f(0)＝2； 当0＜x＜3时，f(x)＝4－x2∈(－5,4)， 所以一当－4≤x＜3时，f(x)取值的集合为(－5,9]． [综合题组练] 1．设f(x)＝，则f[f(－2)]＝(　　 ) A．－1　　B.　　C.　　D. 解析：C　[由已知得f(－2)＝2－2＝，f[f(－2)]＝f＝1－＝1－＝.故选C.] 2．函数f(x)＝，则f(x)的最大值和最小值分别为(　　) A．10,6 B．10,8 C．8,6 D．10,7 解析：A　[由题意得当1≤x≤2时，7≤f(x)≤10；当－1≤x＜1时，6≤f(x)＜8.所以函数f(x)的最大值为10，最小值为6.故选A.] 3．(2023·春招，5)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，分别给出甲、乙同学在1 500 m比赛中所跑的路程y(m)关于时间x(s)的函数图象，其中(0，x1)为起跑阶段，(x2，x3)为冲剌阶段，则下列结论正确的是(　　) A．起跑阶段，甲跑得比乙快 B．起跑阶段，甲、乙跑得一样快 C．冲刺阶段，甲跑得比乙快 D．冲刺阶段，甲、乙跑得一样快 答案：A 4．若函数f(x)在闭区间[－1,2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为　________　. 解析：由题图可知，当－1≤x<0时，f(x)＝x＋1；当0≤x≤2时，f(x)＝－x， 所以f(x)＝ 答案：f(x)＝ 5．已知f(x)＝试求使f(x)≥－1成立的x的取值范围． 解：∵f(x)≥－1， ∴，或 解得－4≤x≤0或0＜x≤2，即－4≤x≤2， ∴所求x的取值范围是[－4,2]． 学科网（北京）股份有限公司 $