第3章 3.1 函数的概念及其表示方法-【创新教程】2027年职教高考总复习数学（教师用书Word版）

思维导图 3．1　函数的概念及其表示方法 [知识点一]　函数的概念　 概念 一般地，设A，B是非空的　实数集　，如果对于集合A中的　任意一个数x　，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有　唯一确定　的数y和它对应，那么就称f∶A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 　x　的取值范围 值域 与x的值相对应的y 的值的集合{f(x)|x∈A} [知识点二]　相同函数　 值域是由　定义域　和　对应关系　决定的，如果两个函数的定义域和　对应关系　相同，我们就称这两个函数是同一函数．两个函数如果仅对应关系相同，但定义域不同，则它们　不是　相同的函数． [知识点三]　函数的三种表示方法　 表示法 定义 解析法 用　数学表达式　表示两个变量之间的对应关系 图象法 用　图象　表示两个变量之间的对应关系 列表法 列出　表格　来表示两个变量之间的对应关系 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)根据函数的定义，定义域中的一个x可以对应着不同的y.(　　) (2)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了．(　　) (3)f(x)＝3x＋4与f(t)＝3t＋4是相同的函数．(　　) (4)函数值域中每一个数在定义域中有唯一的数与之对应．(　　) (5)两个函数相同指定义域和值域相同的函数．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)× 2．函数y＝＋的定义域为(　　 ) A.　　　　 B．(－∞，3)∪(3，＋∞) C.∪(3，＋∞) D．(3，＋∞) 解析：C　[由解得x≥且x≠3，所以已知函数的定义域为∪(3，＋∞)．] 3．下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是(　　 ) A．y＝()2 B．y＝＋1 C．y＝＋1 D．y＝＋1 解析：B　[对于A，函数y＝()2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C，函数y＝＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数．] 4．已知f＝x2＋5x，则f(x)＝　________　. 解析：令t＝，则t≠0，x＝，f(t)＝2＋5·＝.所以f(x)＝(x≠0)． 答案：(x≠0) 函数概念的理解 [例1]　下列四个图形中，不是函数图象的是(　　 ) [解析]　[对于ABC，每一个x的取值均有唯一的一个y值与其对应，符合函数定义，则ABC中图象均为函数图象；对于D，对于每一个x∈(0,2]的取值，都有两个y值与其对应，不符合函数定义，则D中图象不是函数图象．故选D.] [答案]　D (1)一个对应关系函数，要满足 A，B必须是非空数集；A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应． (2)函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”． 1．若集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤3}，则下列图形给出的对应中能构成从M到N的函数f∶M→N的是(　　 ) 解析：D　[A中的对应不满足函数的存在性，即存在x∈M，但N中无与之对应的y；B、C均不满足函数的唯一性，只有D正确．] 已知函数的解析式求定义域 [例2]　求下列函数的定义域． (1)y＝2＋；(2)y＝. [解]　(1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，函数y＝2＋有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}． (2)要使函数有意义，需x2－2x－3≥0，即(x－3)(x＋1)≥0，所以x≥3或x≤－1，即函数的定义域为{x|x≥3或x≤－1}． 求函数定义域的几种类型 (1)若f(x)是整式，则函数的定义域是R. (2)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零． (3)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零． (4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集． (5)若f(x)是实际情境的解析式，则应符合实际情境，使其有意义． 2．求下列函数的定义域： (1)y＝－； (2)y＝. 解：(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足，即. 即.解得－3≤x≤2且x≠－1，即函数定义域为{x|－3≤x≤2，且x≠－1}． (2)要使函数有意义，则，解得－≤x≤，且x≠±3，即定义域为{x|－≤x≤，且x≠±3}． 函数相同 [例3]　下列各组函数： ①f(x)＝，g(x)＝x－1；②f(x)＝，g(x)＝；③f(x)＝，g(x)＝x＋3；④f(x)＝x＋1，g(x)＝x＋x0；⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5)． 其中表示相等函数的是　________　(填上所有正确的序号)． [解析]　①f(x)与g(x)的定义域不同，不是相等函数；②f(x)与g(x)的解析式不同，不是相等函数； ③f(x)＝|x＋3|，与g(x)的解析式不同，不是相等函数；④f(x)与g(x)的定义域不同，不是相等函数；⑤f(t)与g(x)的定义域、值域、对应关系皆相同，故是相等函数． [答案]　⑤ 判断两个函数为同一函数的方法 判断两个函数是否为同一函数，要先求定义域，若定义域不同，则不是同一函数；若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同． [注意]　(1)在化简解析式时，必须是等价变形．(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的． 3．与函数y＝x－1为同一函数的是(　　 ) A．y＝　　　　　　 B．m＝()2 C．y＝x－x0 D．y＝ 解析：D　[A中的x不能取0；B中的n≥1；C中的x不能取0；D化简以后为y＝t－1.故选D.] 求函数解析式 [例4]　(1)已知函数f(x)是一次函数，若f[f(x)]＝4x＋8，求f(x)的解析式． (2)已知函数f(＋1)＝x＋2＋1，求f(x)的解析式． (3)已知函数f(x)满足2f(x)＋f＝3x，求f(x)的解析式． [解]　(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b. 又f[f(x)]＝4x＋8，∴a2x＋ab＋b＝4x＋8， 即，解得，或， ∴f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8. (2)配凑法：∵f(＋1)＝x＋2＋1＝(＋1)2， ∴f(x)＝x2.又＋1≥1，∴f(x)＝x2(x≥1)． 换元法：令t＝＋1，则x＝(t－1)2.由于x≥0，所以t≥1. 代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＋1＝t2，所以 f(x)＝x2(x≥1)． (3)(1)∵2f(x)＋f＝3x，①∴将x用替换，得2f＋f(x)＝，② 联立①②得，解得f(x)＝2x－(x≠0)，即f(x)的解析式是f(x)＝2x－(x≠0)． (1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式． (2)已知f(g(x))＝h(x)，求f(x)，常用的有两种方法： ①换元法，即令t＝g(x)，解出x，代入h(x)中，得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意：换元后新元的范围． ②配凑法，即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可． (3)方程组法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)． 4．(1)已知f(x)是二次函数且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，则函数f(x)的解析式为　________　. (2)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)． (3)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)． (1)解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1得c＝1，则f(x)＝ax2＋bx＋1，f(x＋1)－f(x)＝[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1]－(ax2＋bx＋1)＝2ax＋a＋b＝2x. 故得，解得a＝1，b＝－1， 故得f(x)＝x2－x＋1. 答案：f(x)＝x2－x＋1 (2)解：配凑法：∵f(x＋1)＝x2－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，∴f(x)＝x2－5x＋6. 换元法：令t＝x＋1，则x＝t－1，∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，即f(x)＝x2－5x＋6. (3)解：∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，① ∴将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.② ∴由①②得3f(x)＝x2－6x，∴f(x)＝x2－2x. [基础题组练] 1．函数符号y＝f(x)表示(　　 ) A．y等于f与x的乘积 B．f(x)一定是一个式子 C．y是x的函数 D．对于不同的x，y也不同 解析：C　[符号y＝f(x)，即“y是x的函数”的数学表示，它仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定是解析式，可以是图象、表格，也可以是文字叙述，故A、B错误；当y＝x2时，x＝1或x＝－1时，y＝1，故D错误．故选C.] 2．函数y＝的定义域是(　　) A．(－2,4)　　 B．(－∞，－2)∪(4，＋∞) C．[－2,4] D．(－∞，－2]∪[4，＋∞) 答案：D 3．y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为(　　 ) A．y＝　　　　 B．y＝－ C．y＝ D．y＝－ 答案：C 4．(多选题)下列函数中，值域为(0，＋∞)的是(　　 ) A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝x2＋1 解析：BC　[y＝的值域为[0，＋∞)，y＝的值域为(0，＋∞)，y＝的值域为(0，＋∞)，y＝x2＋1的值域为[1，＋∞)．] 5．已知函数f(x)＝的定义域为(－∞，1]，则实数a的取值集合为(　　) A．{1} B．(－∞，1] C．[1，＋∞) D．(－∞，1)∪(1，＋∞) 解析：A　[由a－x≥0可得x≤a，即f(x)的定义域为(－∞，a]，所以a＝1，则实数a的取值集合为{1}，故选A.] 6．(2023·春招，2)函数f(x)＝的定义域是(　　) A．[0,3) B．[0，＋∞) C．(－∞，3)∪(3，＋∞) D．[0,3)∪(3，＋∞) 答案：D 7．设函数f(x)＝x2－2x－1，若f(a)＝2，则实数a＝　________　. 解析：由f(a)＝2，得a2－2a－1＝2，解得a＝－1或a＝3. 答案：－1或3 8．已知函数f(x)＝的定义域为　___________　. 解析：由f(x)＝有意义可知，x2－1＞0，解得x＜－1或x＞1， 故函数的定义域为{x|x＞1或x＜－1}． 答案：{x|x＞1或x＜－1} 9．一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，则它的高y与x的函数关系为　______________　. 解析：由梯形的面积公式有100＝·y，得y＝(x>0)． 答案：y＝(x>0) 10．已知函数f(x)＝＋，求f(x)的定义域． 解：由题可知，要使函数有意义，则有 ，解得，则有 ①当a＜时，f(x)的定义域为 ； ②当≤a＜3时，f(x)的定义域为{x|x≥3}； ③当a≥3时，f(x)的定义域为{x|x＞a}． [综合题组练] 1．已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的表达式是(　　 ) A．f(x)＝x2＋6x　　 B．f(x)＝x2＋8x＋7 C．f(x)＝x2＋2x－3 D．f(x)＝x2＋6x－10 解析：A　[设t＝x－1，则x＝t＋1. ∵f(x－1)＝x2＋4x－5， ∴f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x.故选A.] 2．已知函数f(x)＝x－的图像经过点(5,4)，则实数m的值为(　　 ) A．3　　　B．4　　　C．5　　　D．6 解析：C　[由题意可得4＝5－，解得m＝5，故选C.] 3．函数f(x)＝＋(2x－1)0的定义域为　___________________________　. 解析：列式得， 解得x∈∪. 答案：∪ 4．已知函数f(x)＝. (1)求函数f(x)的定义域． (2)若a≥f(x)恒成立，求a的取值范围． 解：(1)由题意，函数f(x)＝，要使函数 f(x)＝有意义，则满足2x－x2≥0， 即x2－2x＝x(x－2)≤0，解得0≤x≤2， 故函数f(x)的定义域为[0,2]． (2)由(1)知x∈[0,2]， 令y＝2x－x2＝－(x－1)2＋1， 当x＝1时，ymax＝1；当x＝0或2时，ymin＝0， 所以0≤2x－x2≤1，可得0≤≤1， 又由a≥f(x)恒成立，得a≥f(x)max＝1， 故a的取值范围为[1，＋∞)． 学科网（北京）股份有限公司 $