第2章 2.3 一元二次不等式-【创新教程】2027年职教高考总复习数学（教师用书Word版）

2．3　一元二次不等式 [知识点一]　一元二次方程 1．一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且　未知数的最高次数是2的整式方程　叫做　一元二次方程　.一元二次方程的一般形式为　ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数，且a≠0)　，其中a叫做　二次项系数　，b叫做　一次项系数　，c叫做　常数项　. 2．方程的解与解方程 能够使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做　方程的解　.求出方程的解或者确定方程无解的过程，叫做　解方程　. [知识点二]　用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一般步骤 1．把二次项系数化为1. 2．把常数项移动到等号的另一边． 3．在等号的两边同加　相同的数　. 4．写成完全平方的形式． 5．开平方，注意根的个数． 6．求出结果． [知识点三]　解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的方法 1．直接开方法． 2．因式分解法(提公因式法、公式法、十字相乘法)， 3．求根公式法：判别式Δ＝b2—4ac. 当Δ>0时，方程有　2　个解； 当Δ＝0时，方程有　1　个解； 当Δ<0时，方程有　0　个解． 当Δ≥0时，一元二次方程的求根公式为x＝　.　 [知识点四]　一元二次方程的根与系数的关系 设方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝　－ 　，x1x2＝　　. [知识点五]　一元二次不等式的概念　 一般地，我们把只含有　一个　未知数，并且未知数的最高次数是　2　的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是　ax2＋bx＋c<0　或　ax2＋bx＋c>0　，其中a，b，c均为常数，a≠0. [知识点六]　图象法解一元二次不等式　 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两个不相等 的实根x1，x2， 且x1＜x2 有两个相等 的实数根 x1＝x2 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 　{x|x＜x1，或x＞x2}　 　　 　R　 ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 　{x|x1＜x＜x2}　 　∅　 　∅　 [知识点七]　分式不等式的解法　 解分式不等式总的原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式(组)求解． 1.>0⇔　f(x)g(x)>0　； 2.<0⇔　f(x)g(x)<0　； 3.≥0⇔； 4.≤0⇔. [知识点八]　 一元二次不等式恒成立问题　 1．不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为； 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为； 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为. 2．分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)mx2－5x<0是一元二次不等式．(　　) (2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．(　　) (3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1<x2)，则一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1<x<x2}．(　　) (4)不等式x2－2x＋3>0的解集为R.(　　) (5)若不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　　) (6)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　　) (7)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　) (8)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√　(6)×　(7)×　(8)√ 2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(　　) A．(－2,1) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C．[－2,1] D．(－∞，－2]∪[1，＋∞) 解析：A　[由题中图象可知－2＜x＜1时，y＞0即ax2＋bx＋c＞0，故选A.] 3．设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N＝(　　) A．(0,4]　　　　　　 B．[0,4) C．[－1,0) D．(－1,0] 解析：B　[因为M＝{x|－1<x<4}，N＝{x|0≤x≤5}，所以M∩N＝[0,4)．] 4．不等式－x2－2x＋3≥0的解集为　________　. 解析：不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x2＋2x－3≤0. 方程x2＋2x－3＝0的解为x1＝－3，x2＝1. 而y＝x2＋2x－3的图象开口向上，可得原不等式－x2－2x＋3≥0的解集是{x|－3≤x≤1}． 答案：{x|－3≤x≤1} 5．不等式2x(x－7)>3(x－7)的解集为　________　. 解析：2x(x－7)>3(x－7)⇔2x(x－7)－3(x－7)>0⇔(x－7)(2x－3)>0，解得x<或x>7，所以原不等式的解集为. 答案： 6．已知函数f(x)＝ax2＋ax－1，若对任意实数x，恒有f(x)≤0，则实数a的取值范围是　________　. 解析：当a＝0时，f(x)＝－1≤0成立， 当a≠0时，若对∀x∈R，f(x)≤0， 须有，解得－4≤a＜0. 综上知，实数a的取值范围是[－4,0]． 答案：[－4,0] 　　　　　不含参数的一元二次不等式的解法 [例1]　解下列不等式： (1)－x2＋7x>6； (2)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)． [解]　(1)原不等式可化为x2－7x＋6<0. 解方程x2－7x＋6＝0得，x1＝1，x2＝6. 结合二次函数y＝x2－7x＋6的图象知，原不等式的解集为{x|1<x<6}． (2)由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2. ∴原不等式等价于9x2－12x＋4>0. 解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝. 结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为. 解一元二次不等式的步骤 (1)化为基本形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)； (2)计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解； (3)有根求根； (4)根据图象写出不等式的解集． 1．解不等式(2－x)(x＋3)<0. 解：原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0. 方程(x－2)(x＋3)＝0两根为2和－3. 结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x<－3，或x>2}． 　　含参数的一元二次不等式解法 [例2]　已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集． [解]　∵x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}， ∴1,2是x2＋ax＋b＝0的两根． 由韦达定理有得 代入所求不等式bx2＋ax＋1>0，得2x2－3x＋1>0. 由2x2－3x＋1>0⇔(2x－1)(x－1)>0⇔ x<或x>1. ∴bx2＋ax＋1>0的解集为. 解含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式； (2)判断一元二次不等式所对应的方程实根的个数，即讨论判别式Δ与0的关系； (3)确定方程无实根或有两个相同实根时，可直接写出解集；确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式． 2．解关于x的不等式x2－ax－2a2<0(a∈R)． 解：原不等式转化为(x－2a)(x＋a)<0，对应的一元二次方程的根为x1＝2a，x2＝－a.①当2a>－a，即a>0时，不等式的解集为{x|－a<x<2a}； ②当2a＝－a，即a＝0时，原不等式化为x2<0，无解； ③当2a<－a，即a<0时，不等式的解集为{x|2a<x<－a}． 综上所述，当a>0时，原不等式的解集为{x|－a<x<2a}；当a＝0时，原不等式的解集为∅；当a<0时，原不等式的解集为{x|2a<x<－a}． 　　一元二次不等式恒成立的问题 [例3]　设函数f(x)＝mx2－mx－1. 若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立，求m的取值范围． [解]　若m＝0，显然－1＜0恒成立； 若m≠0，则⇒－4＜m＜0. ∴m的取值范围为(－4,0]． (1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方；另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值． (2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min. 3．二次不等式ax2＋2x－1＜0的解集为R，则a的取值范围是　________　. 解析：⇒⇒a＜－1，即a的取值范围为(－∞，－1)． 答案：(－∞，－1) 　　一元二次不等式的实际应用 [例4]　近年来，我国中西部地区积极推进“一带一路“建设，提高对外开放水平，提升经济发展速度．成都某公司借此契机，成功将其生产的汽车特种玻璃销往欧洲市场．自2022年起，该种玻璃售价为30欧元/平方米，年销售量为80万平方米，年销售收入为2 400万欧元．随着生产成本的提高，该公司计划2026年起将销售价格提高x欧元/平方米．若售价每提高1欧元/平方米，年销售量将减少2万平方米． (1)用含x的代数式表示提价后该特种玻璃的年销售量； (2)要使年销售收入不低于2 400万欧元，那么该特种玻璃的售价最高为多少？ [解]　(1)设年销售量为y万平方米， ∵售价每提高1欧元/平方米，年销售量将减少2万平方米， ∴将销售价格提高x欧元/平方米后，该特种玻璃的年销售量y＝80－2x(0≤x<40)． (2)∵将销售价格提高x欧元/平方米后，该特种玻璃的年销售量y＝80－2x(0≤x<40)， ∴年销售收入为(30＋x)(80－2x) ＝－2x2＋20x＋2 400， ∵年销售收入不低于2 400万欧元， ∴－2x2＋20x＋2 400≥2 400， ∴－2x(x－10)≥0， 解之得0≤x≤10 所以该特种玻璃的售价最高为10＋30＝40欧元/平方米． 4．已知某网店销售一种电动玩具，成本为10元/个，平时按单价20元销售，日平均销售量为100个．为进一步提升业绩，该网店决定在“双11”期间举办降价促销活动，根据以往的统计，如果该电动玩具的单价每降低1元，日平均销售量就会增加20个．为了使促销活动期间日平均利润不低于平时，应如何确定降价的范围？ 解：假设降价x元，考虑到实际情况，价格的降幅应小于10元，即保证销售价高于成本价，所以要求x>0并且x<10，即0<x<10. 平时的日平均利润为(20－10)×100＝1 000(元)， 降价x元后，销售单价为(20－x)元，单个玩具的利润为(20－x)－10＝(10－x)元，日平均销售量为(100＋20x)个， 因此，降价x元后的日平均利润为(10－x)(100＋20x)元． 由题意得(10－x)(100＋20x)≥1 000， 化简得－20x2＋100x≥0，即x(x－5)≤0， 解得0≤x≤5，又0<x<10，所以取值范围是0<x≤5， 即降价的范围应在0至5元之间(含5元，不含0元)，即单价定在15元至20元之间(含15元，不含20元)． [基础题组练] 1．下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4＜0；②x2＋mx－1＞0；③ax2＋4x－7＞0；④x2＜0.其中一定为一元二次不等式的有(　　 ) A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 答案：B 2．已知关于x的不等式x2－ax＋b＜0的解集为{x|2＜x＜3}，则关于x的不等式bx2＋ax＋1＜0的解集为(　　) A．{x|2＜x＜3} B．{x|－3＜x＜－2} C. D. 解析：C　[因为关于x的不等式x2－ax＋b＜0的解集为{x|2＜x＜3}，则2＋3＝a＝5,2×3＝b＝6，不等式bx2＋ax＋1＜0为6x2＋5x＋1＜0，解集为：.故选C.] 3．已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，则M∩N＝(　　) A．{x|－4<x<3} B．{x|－4<x<－2} C．{x|－2<x<2} D．{x|2<x<3} 答案：C 4．不等式≥0的解集为(　　) A．{x|－1＜x≤1} B．{x|－1≤x＜1} C．{x|－1≤x≤1} D．{x|－1＜x＜1} 答案：B 5．(多选题)若不等式ax2－bx＋c＞0的解集是(－1,2)，则下列选项正确的是(　　) A．b＜0且c＞0 B．a－b＋c＞0 C．a＋b＋c＞0 D．不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|－2＜x＜1} 解析：ABD　[对于A，a＜0，－1,2是方程ax2－bx＋c＝0的两个根，所以－1＋2＝1＝，－1×2＝，所以b＝a，c＝－2a，所以b＜0，c＞0，所以A正确； 令y＝ax2－bx＋c，对于B，由题意可知当x＝1时，a－b＋c＞0，所以B正确； 对于C，当x＝－1时，a＋b＋c＝0，所以C错误； 对于D，因为对于方程ax2＋bx＋c＝0，设其两根为x1，x2，则x1＋x2＝－＝－1，x1x2＝＝－2，两根分别为－2和1.所以不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|－2＜x＜1}，所以D正确．] 6．不等式x2＋3x－4＜0的解集为　________　. 解析：易得方程x2＋3x－4＝0的两根为－4,1，所以不等式x2＋3x－4＜0的解集为(－4,1)． 答案：(－4,1) 7．不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a－b＝　______　 . 解析：不等式ax2＋bx＋2>0的解集是 ，可得－，是一元二次方程ax2＋bx＋2＝0的两个实数根， ∴－＋＝－，－×＝， 解得a＝－12，b＝－2， ∴a－b＝－12－(－2)＝－10. 答案：－10 8．学校计划在靠墙的位置围出一块长方形的花坛，目前有可以垒出24 m围栏的材料，要使花圃的面积不小于70 m2，与墙垂直的围栏的长度范围是　________　m. 解析：设与墙垂直的围栏的长度为x m，则与墙平行的围栏长度为(24－2x)m,0<x<12，由题意，则有x(24－2x)≥70，化简得x2－12x＋35≤0，即(x－5)(x－7)≥0，解得5≤x≤7，所以与墙垂直的围栏的长度范围是[5,7]m. 答案：[5,7] 9．关于x的不等式ax－b＜0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)＞0的解集是　______　 . 解析：关于x的不等式ax－b＜0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax＜b的解集是(1，＋∞)，∴a＝b＜0，∴不等式(ax＋b)(x－3)＞0可化为(x＋1)(x－3)＜0，解得－1＜x＜3，∴所求解集是(－1,3)． 答案：(－1,3) 10．解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0. 解：①当a＝0时，原不等式即为－x＋1<0， 解得x>1. ②当a<0时，原不等式化为(x－1)>0， 解得x<或x>1. ③当a>0时，原不等式化为(x－1)<0. 若a＝1，即＝1时，不等式无解； 若a>1，即<1时，解得<x<1； 若0<a<1，即>1时， 解得1<x<. 综上，当a<0时，不等式的解集为 ； 当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}； 当0<a<1时，不等式的解集为； 当a＝1时，不等式的解集为∅； 当a>1时，不等式的解集为. [综合题组练] 1．关于x的不等式ax－b＞0的解集是(－∞，1)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)＞0的解集是(　　) A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(1,2) C．(－1,2) D．(－∞，1)∪(2，＋∞) 解析：C　[由题知，不等式ax－b＞0的解集是(－∞，1)，所以＝1且a＜0，因为(ax＋b)(x－2)＞0可变为(x－2)＜0，所以(x＋1)(x－2)＜0，所以－1＜x＜2，所以不等式的解集是(－1,2)，故选C.] 2．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是(　　) A．{x|10≤x＜16}　　B．{x|12≤x＜18} C．{x|15＜x＜20} D．{x|10≤x＜20} 解析：C　[设这批台灯的销售单价为x元，则单价提高金额(x－15)元，其销量为2(x－15)盏，提价后日销售量30－2(x－15)，则销售收入为[30－2(x－15)]x，令[30－2(x－15)]x>400，即x2－30x＋200<0，可化为(x－10)(x－20)＜0，解得10<x<20，又x>15，所以15<x<20.故这批台灯的销售单价x的取值范围是{x|15＜x＜20}．] 3．若不等式x2－4x＋3m<0的解集为空集，则实数m的取值范围是　________　. 解析：由题意，知x2－4x＋3m≥0对一切实数x恒成立，所以Δ＝(－4)2－4×3m≤0，解得m≥. 答案：m≥ 4．已知函数f(x)＝ax2＋bx－a＋2. (1)若关于x的不等式f(x)>0的解集是(－1,3)，求实数a，b的值； (2)若b＝2，a>0，解关于x的不等式f(x)>0. 解：(1)由题意，知x＝－1，x＝3是方程ax2＋bx－a＋2＝0的两个根， 代入方程有∴ (2)当b＝2时，f(x)＝ax2＋2x－a＋2 ＝(ax－a＋2)(x＋1)，∵a>0， ∴f(x)>0可化为(x＋1)>0， ①当≥－1，即a≥1时， 解集为； ②当<－1，即0<a<1时， 解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $