第2章 2.2 一元一次不等式(组)与含绝对值的不等式-【创新教程】2027年职教高考总复习数学（教师用书Word版）

2.2　一元一次不等式(组)与含绝对值的不等式 [知识点一]　区间及有关概念　 1．一般区间的表示：设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 　[a，b]　 {x|a<x<b} 开区间 　(a，b)　 {x|a≤x<b} 半开半 闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半 闭区间 (a，b] 2.特殊区间的表示： 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 　(－∞，＋∞)　 　[a，＋∞)　 　(a，＋∞)　 　(－∞，a]　 　(－∞，a)　 [知识点二]　一元一次不等式及其解法　 1．定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是　1　且系数　不等零　的不等式叫一元一次不等式，其一般形式为　ax>b　或　ax<b　. 2．一元一次不等式的解法步骤，即包含　先去分母　、　去括号　、　再移项　、　合并同类项　、　化系数为1　 等五个步骤． [知识点三]　一元一次不等式组及其解法　 一元一次不等式组解集的四种情况(a<b) 解集：(b，＋∞)，口诀：　同大取大　. 解集：(－∞，a)，口诀：　同小取小　. 解集：　(a，b)　，口诀：　大小小大中间找　. 解集：　∅　，口诀：　大大小小找不到　. [知识点四]　含绝对值的不等式　 1．绝对值的意义：|a|＝ 2．实数a的绝对值|a|的几何意义：在数轴上表示对应实数a的点到原点的距离． 3．若m＞0，|x|≤m⇔－m≤x≤m；|x|≥m⇔x≤－m或x≥m. 4．含绝对值不等式的解法： (1)若c＞0，|ax＋b|＜c⇔－c＜ax＋b＜c；|ax＋b|＞c⇔ax＋b＜－c或ax＋b＞c. (2)若c＜0，|ax＋b|＜c⇔x∈Ø；|ax＋b|＞c⇔x∈R. [基础自测] 1．不等式3x＋2＜2x＋3的解集在数轴上表示正确的是(　　) 答案：D 2．不等式－≤1的解集是(　　) A．x≤4　　　　　　 B．x≥4 C．x≤－1 D．x≥－1 答案：A 3．关于x的不等式≥1的解集如图所示，则a的值是(　　) A．9　　B．－9　　C．5　　D．－5 解析：A　[去分母得：4x＋a≥5，移项得：4x≥5－a，系数化为1得：x≥，根据数轴图知解集为x≥－1，∴＝－1，∴a＝9.故选A.] 4．如果关于x的不等式(a＋1)x>a＋1的解集为x<1，那么a的取值范围是(　　) A．a>0 B．a<0 C．a>－1 D．a<－1 答案：D 5．下列说法正确的是(　　) A．不等式组的解是5＜x＜3，即解集为：(5,3) B.的解是－3＜x＜－2，即解集为：(－2，－3) C.的解是x＝2，即解集为：{2} D.的解是x≠－3，即解集为：{x|x≠－3} 解析：C　[不等式组的解集是(5，＋∞)；无解；的解集是{x|x＝2}；无解．故选C.] 6．解下列不等式： (1)|2x－1|＜3； (2)|3－2x|＞5； (3)2＜|x－1|＜3. 解：(1)由|2x－1|＜3，得－3＜2x－1＜3，即－2＜2x＜4，故不等式的解集为{x|－1＜x＜2}． (2)由|3－2x|＞5，得|2x－3|＞5，即2x－3＜－5或2x－3＞5，所以x＜－1或x＞4， 所以不等式的解集为：{x|x＜－1或x＞4}． (3)法一：原不等式等价于， 即，， 所以，不等式的解集为：(－2，－1)∪(3,4)． 法二：原不等式等价于2＜x－1＜3或2＜1－x＜3， 即3＜x＜4或－2＜x＜－1， 所以，不等式的解集为：(－2，－1)∪(3,4). 用区间表示数集 [例1]　把下列数集用区间表示： (1){x|x≥－2}; (2){x|x<0}; (3){x|－1<x<1，或2≤x<6}． [解]　(1){x|x≥－2}用区间表示为[－2，＋∞)； (2){x|x<0}用区间表示为(－∞，0)； (3){x|－1<x<1，或2≤x<6}用区间表示为(－1,1)∪[2,6)． 熟悉记牢区间的表达方式． 1．已知区间[－2a,3a＋5]，则a的取值范围为　________　. 解析：由题意可知3a＋5>－2a，解得a>－1. 故a的取值范围是(－1，＋∞)． 答案：(－1，＋∞) 不等式(组)的解法 [例2]　(1)不等式2x－1＞x的解是　________　. (2)一个不等式组的解集在数轴上表示出来如图所示，则下列符合条件的不等式组为(　　) A.　　　　　　 B. C. D. [解析]　(1)去分母得，4x－2＞x， 移项得，4x－x＞2，合并同类项得，3x＞2， 系数化为1得，x＞. (2)由题图示可看出，从－1出发向右画出的折线且表示－1的点是实心圆，表示x≥－1； 从2出发向左画出的折线且表示2的点是空心圆，表示x＜2，所以这个不等式组的解集为－1≤x＜2， 即：.故选C. [答案]　(1)x＞　(2)C 1．解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的步骤：先去分母，去括号，再移项，合并同类项，化系数为1，是解答此题的关键． 2．考查了不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键． 3．用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 2．不等式组的解集在数轴上表示为(　　) 解析：C　[， 由①得x＞1； 由②得x≤2， 故此不等式组的解集为：{x|1＜x≤2}． 在数轴上表示为： 故选C.] 　　　确定不等式(组)中字母的取值范围 [例3]　若关于x的不等式组有实数解，则a的取值范围是　_______　. [解析]　，由①得，x＜3，由②得，x＞， ∵此不等式组有实数解，∴＜3， 解得a＜4. [答案]　a＜4 由不等式的性质求出每个不等式的解集，然后根据不等式的解集得出关于a的不等式；要熟知解一元一次不等式(组)的过程，注意逆向思维． 3．若关于x的不等式的解集为(－∞，2)，则a的取值范围是　___________　. 解析：， 解不等式①得x＜2，解不等式②得x＜－a，∵不等式组的解集是(－∞，2)，∴－a≥2，∴a≤－2. 答案：a≤－2 解含绝对值的不等式 [例4]　已知|x－1|＜a(a＞0)的解集是(－1，c)，则a＋c的值为　____________　. [解析]　由|x－1|＜a(a＞0)，得－a＜x－1＜a，所以有1－a＜x＜1＋a，因为不等式的解集为(－1，c)，所以1－a＝－1,1＋a＝c，解得a＝2，c＝3，所以a＋c的值为5. [答案]　5 1．解含绝对值不等式，首先根据|x|≤m或|x|≥m去绝对值符号(或|ax＋b|＜c，|ax＋b|＞c) 2．再根据一元一次不等式(组)的解法求解． 4．不等式|2x－3|≤1的解集是(　　) A．{x|1＜x＜2} B．{x|x＞2或x＜1} C．{x|x≥2或x≤1} D．{x|1≤x≤2} 答案：D [基础题组练] 1．若|－x|＝－x，则实数x满足(　　) A．x＞0　　　　　　　 B．x＜0 C．x≤0 D．x≥0 答案：C 2．不等式组中的两个不等式的解在数轴上表示如图所示，则此不等式组可是(　　) A. B. C. D. 答案：A 3．若不等式组的解集是x>a，则a的取值范围是(　　) A．a<3 B．a＝3 C．a>3 D．a≥3 解析：D　[由于不等式组的解集是x>a，依据不等式组的解集“大大取大”的确定方法可知a≥3，故选D.] 4．不等式|x＋2|＜－6的解集是(　　) A．{x|x＜4} B．{x|x＜－4} C．∅ D．R 答案：C 5．不等式|3x－4|＜2的解集为(　　) A．{x|x＞2} B. C. D. 答案：B 6．已知不等式|x－4|＜m(m＞0)的解集是(－2，n)，则m＋n的值为　________　. 答案：16 7．不等式2＜|x|≤5的解集是　________　. 答案：{x|－5≤x＜－2，或2＜x≤5} 8．不等式2|x|－5＞3的解集为　________　. 答案：{x|x＜－4，或x＞4} 9．不等式|4－5x|＜11(x∈Z)的解集是　________　. 答案：{－1,0,1,2} 10．解不等式：|2x－1|＞3x. 解：原不等式可化为，或， 解不等式组，得x∈. [综合题组练] 1．设集合A＝{x||x－1|＜2}，则下列各式正确的是(　　) A．1∉A　　　　　　 B．{1}∈A C．1∈A D．1⊆A 答案：C 2．不等式|2x－5|＜m的解集是空集，则m的取值范围是(　　) A．m≥0 B．m≤0 C．m＞0 D．m＜0 答案：B 3．已知不等式|2x＋a|＞b(b＞0)的解集为{x|x＞3或x＜－2}，则a＝　________　，b＝　________　. 答案：－1　5 4．若不等式|x＋m|≤n＋1的解集是{x|－1≤x≤1}，则m＋n的值为　________　. 解析：因为|x＋m|≤n＋1， 所以－1－n≤x＋m≤n＋1， 即－1－n－m≤x≤n＋1－m， 又不等式|x＋m|≤n＋1的解集是{x|－1≤x≤1}， 所以，解得m＝n＝0， 所以m＋n＝0. 答案：0 5．解关于x不等式：ax－b＞3－2x(a，b∈R)． 解：原不等式可以化为(a＋2)x＞b＋3，所以 (1)当a＞－2时，a＋2＞0，不等式的解为x＞. (2)当a＜－2时，a＋2＜0，不等式的解为x＜. (3)当a＝－2时，a＋2＝0，这时原不等式转化为0＞b＋3. ①如果b＜－3，则不等式的解为全体实数； ②如果b≥－3，则不等式无解． 综上所述，当a＞－2时，原不等式的解集是； 当a＜－2时，原不等式的解集是； 当a＝－2且b＜－3时，原不等式的解集是R； 当a＝－2且b≥－3时，原不等式的解集是∅. 学科网（北京）股份有限公司 $