第1章 1.3 充要条件-【创新教程】2027年职教高考总复习数学（教师用书Word版）

1.3　充要条件 [知识点一]　命题　 1．命题：　能够判断真假的语句　叫命题． 2．真命题与假命题： (1)真命题：　当命题给出的判断正确或符合客观实际　时，称该命题为真命题． (2)假命题：　当命题给出的判断不正确或不符合客观实际　时，称该命题为假命题． [注]　没有真假意义的语句都不是命题．如：感叹句、疑问句、祈使句等． [知识点二]　充要条件　 如果p是q的充分条件(p⇒q)，p又是q的必要条件(q⇒p)，则称p是q的　充分且必要　条件，简称　充要　条件．记作p⇔q. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“x－3>0”是命题．(×) (2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(×) (3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(√) (4)q不是p的必要条件时，“p⇒/ q”成立．(√) 2．对于任意两个集合A，B，“x∈A∩B”是“x∈A”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[∵(A∩B)⊆A，∴x∈A∩B⇒x∈A， ∴“x∈A∩B”是“x∈A”的充分条件．] 3．“x＝1”是“(x－1)2＝0”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：C　[将x＝1代入方程(x－1)2＝0中，显然方程成立；解方程(x－1)2＝0，可得x＝1；故“x＝1”为方程“(x－1)2＝0”的充要条件．故选C.] 4．已知条件甲：0<x<5，条件乙：－3<x－2<3，那么甲是乙的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[条件乙：－1<x<5.所以0<x<5⇒－1<x<5，但－1<x<5⇒/ 0<x<5，所以甲是乙的充分不必要条件，故选A.] 5．写出－1＜x＜2的一个必要不充分条件　________　. 解析：因为{x|－1＜x＜2}{x|x＜3}，所以“x＜3”是不等式“－1＜x＜2”成立的一个必要不充分条件． 答案：x＜3 命题及其关系 [例1]　(1)命题真假的判断 ①下面的命题中是真命题的是(　　) A．y＝sin2x的最小正周期为2π B．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根同号，则＞0 C．如果M⊆N，那么M∪N＝M D．在△ABC中，若·＞0，则B为锐角 ②能说明“若a>b，则＜”为假命题的一组a，b的值依次为　________　. [解析]　①B　[y＝sin2x＝，T＝＝π.所以A是假命题；若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根同号，则x1x2＝＞0，所以B是真命题；当M⊆N时，M∪N＝N，故C是假命题；当·＞0时，向量与的夹角为锐角，而B可为钝角，故D是假命题．故选B.] ②ⅰ若a>b>0，则<成立； ⅱ若a>0>b，则>0，<0，所以<不成立； ⅲ若0>a>b，则<<0成立． 综上，只需选取符合“a>0>b”的一组a，b，就能说明原命题是假命题． 例如，a＝1，b＝－1；a＝2，b＝－1等． [答案]　1，－1(答案不唯一) (2)四种命题的关系 命题“已知a>1，若x>0，则ax>1”的否命题为(　　) A．已知0<a<1，若x>0，则ax>1 B．已知a>1，若x≤0，则ax>1 C．已知a>1，若x≤0，则ax≤1 D．已知0<a<1，若x≤0，则ax≤1 解析：C　[根据原命题与否命题的关系，得原命题的否命题为“已知a>1，若x≤0，则ax≤1”．] 1．写一个命题的其他三种命题时的注意事项 (1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写为“若p，则q”形式． (2)若命题有大前提，需保留大前提． (3)注意一些常见词语及其否定表示： 词语 是 都是 都不是 等于 大于 否定 不是 不都是 至少一个是 不等于 不大于 2.判断命题真假的两种方法 (1)直接判断：判断一个命题是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可． (2)间接判断(等价转化)：由于原命题与其逆否命题为等价命题，如果原命题的真假不易直接判断，那么可以利用这种等价性间接地判断命题的真假． 1．转化与化归的数学思想很重要，比如要证明命题p：“若a≥，则a·ex≥x”，我们可以证明命题(　　) A．若a·ex＜x，则a＜ B．若a·ex≤x，则a＜ C．若a·ex＜x，则a≤ D．若a＜，则a·ex＜x 解析：A　[由题意可知，应证明命题p的逆否命题，即“若a·ex＜x，则a＜”．] 2．下列命题的逆命题是真命题的是(　　) A．两直线平行，内错角相等 B．如果a＝b，那么a2＝b2 C．钝角三角形中有两个锐角 D．内错角相等 解析：A　[A.逆命题：内错角相等，两直线平行， 该逆命题是真命题，故A符合题意； B．逆命题：如果a2＝b2，那么a＝b， ∵如果a2＝b2，那么a＝±b， ∴该逆命题是假命题，故B不符合题意； C．逆命题：有两个锐角的三角形是 钝角三角形，该逆命题是假命题，故C不符合题意； D．逆命题：相等的角是内错角，是假命题，∴该逆命题是假命题，故D不符合题意，数选A.] 充分条件、必要条件的判断 [例2]　(1)已知a，b都是实数，那么“b>a>0”是“>”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)已知p：x＝2，q：x－2＝，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]　(1)若>，则－＝>0.当0<a<b时，>成立；当a>0，b<0时，满足>，但0<a<b不成立．故“b>a>0”是“>”的充分不必要条件，故选A. (2)当x－2＝时，两边平方可得(x－2)2＝2－x，即(x－2)(x－1)＝0，解得x1＝2，x2＝1.当x＝1时，－1＝，不成立，故舍去，则x＝2，所以p是q的充要条件，故选C. [答案]　(1)A　(2)C 充分条件、必要条件的两种判断方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断． (2)集合法：根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断． [提醒]　判断充要条件需注意三点： (1)要分清条件与结论分别是什么． (2)要从充分性、必要性两个方面进行判断． (3)直接判断比较困难时，可举出反例说明． 3．已知a∈R，若集合M＝{0，a}，N＝{0,1,2}，则“a＝1”是“M⊆N”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[当a＝1时，集合M＝{1,0}，N＝{0,1,2}，可得M⊆N，满足充分性，若M⊆N，则a＝1或a＝2，不满足必要性，所以“a＝1”是“M⊆N”的充分不必要条件，故选A.] 4．已知a∈R，若集合M＝{1，a}，N＝{－1,0,1}，则“a＝0”是“M⊆N”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[当a＝0时，M＝{1,0}，可解M⊆N，当M⊆N时，a＝0或－1，即“a＝0”是“M⊆N”的充分不必要条件，故选A.] 全称命题与特称命题 [例3]　已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，则“a>1”是“f(x)在(－∞，1)内单调递减”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]　由题意，f(x)＝x2－2ax＋1＝(x－a)2＋1－a2, 此二次函数的对称轴为x＝a， 当a>1时，f(x)在(－∞，1)上单调递减成立，若f(x)在(－∞，1)上单调递减，可得a≥1， ∴“a>1”是“f(x)在(－∞，1)上单调递减”的充分不必要条件．故选A. [答案]　A 判断充要条件需注意的3点 (1)要分清条件与结论分别是什么． (2)要从充分性、必要性两个方面进行判断． (3)直接判断比较困难时，可举出反例说明． 5．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的充要条件是　________　. 解析：①确定抛物线的开口方向 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是抛物线，其开口方向由二次项系数a决定．当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下．要使图象在x轴上方，抛物线需开口向上，因此a必须大于0，所以a>0. ②判断抛物线与x轴的交点情况 抛物线与x轴的交点个数由判别式Δ＝b2—4ac决定．当Δ>0时，抛物线与x轴有两个不同交点；当Δ＝0时，抛物线与x轴有一个交点(顶点在x轴上)；当Δ<0时，抛物线与x轴没有交点．要使图象在x轴上方，抛物线需与x轴无交点，因此判别式需小于0，Δ＝b2－4ac<0. 综上，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的充要条件是a>0且Δ＝b2－4ac<0. 答案：a＞0且Δ＝b2－4ac＜0 [基础题组练] 1．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是(　　) A．若x＋y不是偶数，则x，y都不是偶数 B．若x＋y是偶数，则x，y不都是偶数 C．若x＋y是偶数，则x，y都不是偶数 D．若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数 答案：D 2．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不是充分条件也不是必要条件 D．无法判断 解析：A　[由a＝1可得|a|＝1成立，由|a|＝1得，a＝1或a＝－1，即|a|＝1得不到a＝1，所以“a＝1”是“|a|＝1”的充分不必要条件．故选A.] 3．向量a＝(m,1)，b＝(1，m)，则“m＝1”是“a∥b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 4．设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[由x2－5x<0可得0<x<5.由|x－1|<1可得0<x<2.由于区间(0,2)是(0,5)的真子集，故“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的必要而不充分条件．] 5．已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[由线面平行的判定定理可知，m∥n⇒m∥α，但m∥α⇒/ m∥n.] 6．“－2＜x＜1”是“x＞1或x＜－1”的　______　条件． 解析：因为－2＜x＜1 ⇒/ x＞1或x＜－1，并且x＞1或x＜－1 ⇒/ －2＜x＜1，所以“－2＜x＜1”是“x＞1或x＜－1”的既不充分条件，也不必要条件． 答案：既不充分也不必要 7．已知集合A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，则A∩B＝∅的充要条件是　____________________　. 解析：A∩B＝∅⇔⇔0≤a≤2. 答案：0≤a≤2 8．若“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，则a的最小值为　________　. 解析：由x2－x－6>0，解得x<－2或x>3. 因为“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件， 所以{x|x>a}是{x|x<－2，或x>3}的真子集，即a≥3，故a的最小值为3. 答案：3 9．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的什么条件？(充分不必要条件，必要不充分条件，既是充分条件也是必要条件，既不充分也不必要条件) (1)若x＝1，则x2－4x＋3＝0； (2)若x为无理数，则x2为无理数； (3)若x＝y，则x2＝y2； (4)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等． 解：(1)因为命题“若x＝1，则x2－4x＋3＝0”是真命题，而命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝1”是假命题，所以p是q的充分条件，但不是必要条件，即p是q的充分不必要条件． (2)因为p ⇒/ q ，而q⇒p，所以p是q的必要不充分条件． (3)因为p⇒q，而q ⇒/ p，所以p是q的充分不必要条件． (4)因为p⇒q，而q ⇒/ p，所以p是q的充分不必要条件． [综合题组练] 1．“不到长城非好汉，屈指行程二万”，出自毛主席1935年10月所写的一首词《清平乐·六盘山》，反映了中华民族的一种精神气魄，一种积极向上的奋斗精神．从数学逻辑角度分析，其中“好汉”是“到长城”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[设綈p为不到长城，推出綈q非好汉，即綈p⇒綈q，则q⇒p，即好汉⇒到长城，故“好汉”是“到长城”的充分条件，故选A.] 2．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC” 是“A∩B＝∅”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[由A⊆C，B⊆∁UC，易知A∩B＝∅，但A∩B＝∅时未必有A⊆C，B⊆∁UC，如图所示． 所以“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的充分不必要条件．] 3．已知x，y为两个正整数，p：x＝2且y＝3，q：x＋y＝5，则p是q的　________　条件． 解析：若x＝2且y＝3，则x＋y＝5成立．可知p⇒q，反之当x＝1，y＝4时，满足x＋y＝5， 但x＝2且y＝3不成立．p⇒q，q⇒/ p，故p是q的充分不必要条件． 答案：充分不必要 4．设p：P＝{x|x2－8x－20≤0}，q：非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}，且p是q的充分不必要条件．求实数m的取值范围． 解：由题知P＝{x|－2≤x≤10}． ∵p是q的充分不必要条件． ∴p⇒q且q⇒/ p，即PS. ∴，或， ∴m≥9，又因为S为非空集合， 所以1－m≤1＋m，解得m≥0， 综上，实数m的取值范围是[9，＋∞)． 学科网（北京）股份有限公司 $