第1章 1.2 集合之间的运算-【创新教程】2027年职教高考总复习数学（教师用书Word版）

1．2　集合之间的运算 [知识点一]　并集　 1．文字语言：由所有属于集合A　或　属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的　并集　. 2．符号语言：A∪B＝　{x|x∈A，或x∈B}　. 3．图形语言：如图所示． [知识点二]　交集　 1．文字语言：由属于集合A　且　属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的　交集　. 2．符号语言：A∩B＝　{x|x∈A，且x∈B}　. 3．图形语言：如图所示． [知识点三]　并集与交集的性质　 1．A∩A＝　A　，A∪A＝　A　，A∩∅＝　∅　，A∪∅＝　A　. 2．若A⊆B，则A∩B＝　A　，A∪B＝　B　. 3．A∩B　⊆　A，A∩B　⊆　B，A　⊆　A∪B，A∩B　⊆　A∪B. [知识点四]　补集　 1．一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为　全集　，通常记作　U　. 2．对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为　集合A相对于全集U的补集　，简称为集合A的　补集　，记作　∁UA　，即∁UA＝　{x|x∈U且x∉A}　. 3．补集与全集的性质： (1)∁UU＝　∅　；(2)∁U∅＝　U　； (3)∁U(∁UA)＝　A　； (4)A∪(∁U)A＝　U　；(5)A∩(∁UA)＝　∅　. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)并集定义中的“或”就是“交”．(　　) (2)A∪B表示由集合A或集合B中元素共同组成．(　　) (3)A∩B是由属于A且属于B的所有元素组成的集合．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝(　　) A．{－1,0,1}　　　　　　B．{－1,0,1,2} C．{－1,0,2} D．{0,1} 解析：B　[M∪N表示属于M或属于N的元素组成的集合，故M∪N＝{－1,0,1,2}．] 3．设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是(　　) A．1　　　B．3　　　C．4　　　D．8 解析：C　[因为A＝{1,2}，A∪B＝{1,2,3}．所以B＝{3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3}，故选C.] 4．已知集合U＝{2,3,4}，A＝{4,3}，B＝∅，则∁UA＝　{2}　，∁UB＝　U或{2,3,4}　. 5．设U＝{三角形}，A＝{锐角三角形}，则∁UA＝　{非锐角三角形}或{直角三角形、钝角三角形}　. 集合的并、交、补运算 [例1]　(1)已知全集U＝{a，b，c，d}，集合M＝{a，c}，则∁UM＝(　　) A．∅　　　　　　　 B．{a，c} C．{b，d} D．{a，b，c，d} (2)如图，阴影部分表示的集合为(　　) A．A∩(∁UB) B．B∩(∁UA) C．B∪(∁UA) D．A∪(∁UB) [解析]　(1)∵M＝{a，c}，∴a，c不再是∁UM中元素，故∁UM＝{b，d}，所以选C. (2)在B中且不在A中的区域表示为B∩(∁UA)．故选B. [答案]　(1)C　(2)B 求集合交集、并集或补集的步骤 1．(1)设集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2<x<2}，A∪B＝(　　) A．{x|x>－2} B．{x|x>－1} C．{x|－2<x<－1} D．{x|－1<x<2} 解析：A　[画出数轴，故A∪B＝{x|x>－2}．] (2)若将(1)中A改为A＝{x|x>a}，求A∪B. 解：如图所示， 当a<－2时，A∪B＝A； 当－2≤a<2时，A∪B＝{x|x>－2}； 当a≥2时，A∪B＝{x|－2<x<2，或x>a.}． 2．设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∁UA＝{x|x>4或x<3}，求a，b的值． 解：∵A＝{x|a≤x≤b}，∴∁UA＝{x|x>b或x<a}． 又∁UA＝{x|x>4或x<3}，∴a＝3，b＝4. 知集合的运算结果求参数 [例2]　(1)已知集合A＝{x|x2－ax≤0，a＞0}，B＝{0,1,2,3}，若A∩B有3个真子集，则a的取值范围是(　　) A．(1,2]　　　　　　 B．[1,2) C．(0,2] D．(0,1)∪(1,2] (2)设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}，若(∁UA)∩B＝∅，则m＝　________　. [解析]　(1)因为集合A＝{x|0≤x≤a，a＞0}，B＝{0,1,2,3}，若A∩B有3个真子集，则A∩B＝{0,1}，所以1≤a＜2.所以a的取值范围是[1,2)． (2)A＝{－2，－1}，由(∁UA)∩B＝∅，得B⊆A. x2＋(m＋1)x＋m＝0可化为(x＋1)(x＋m)＝0， 当m＝1时，B＝{－1}，符合题意； 当m≠1时，B＝{－1，－m}，为使B⊆A成立，须有－m＝－2，即m＝2.综上知m＝1或2. [答案]　(1)B　(2)1或2 已知集合的运算结果求参数问题的两个关键点 (1)分析运算结果并进行恰当转换． 如举例说明例2－2中，由(∁UA)∩B＝∅，知B⊆A. (2)化简集合为求参数创造有利条件． 如举例说明例2(2)中，A＝{－2，－1}．当m＝1时，B＝{－1}；当m≠1时，B＝{－1，－m}． 3．已知U＝R，A＝{x|x2＋px＋12＝0}，B＝{x|x2－5x＋q＝0}，若(∁UA)∩B＝{2}，(∁UB)∩A＝{4}，求A∪B. 解：由(∁UA)∩B＝{2}，∴2∈B且2∉A. 由A∩(∁UB)＝{4}，∴4∈A且4∉B. 分别代入得， ∴p＝－7，q＝6，∴A＝{3,4}，B＝{2,3}， ∴A∪B＝{2,3,4}． [基础题组练] 1．设全集U＝{－2，－1,0,1,2,3}，集合A＝{－1,1,2}，集合B＝{x|(x－1)(x－3)＝0}，则∁U(A∪B)＝(　　) A．{0,1}　　　　　　 B．{0,3} C．{－2,0} D．{－2,3} 解析：C　[由题意得B＝{1,3}，所以A∪B＝{－1,1,2,3}，∁U(A∪B)＝{－2,0}．故选C.] 2．(2023·山东春考)已知集合M＝{a，b，c}，N＝{b，c，d，e}，则M∩N等于(　　) A．{b，c} B．{b，c，d} C．{b，c，e} D．{a，b，c，d，e} 解析：A 3．已知集合P＝{x|x2－2x－8>0}，Q＝{x|x≥a}，P∪Q＝R，则a的取值范围是(　　) A．(－2，＋∞) B．(4，＋∞) C．(－∞，－2] D．(－∞，4] 解析：C 4．已知集合U＝{0,1,2,3,4}，集合M＝{1,2,3}，N＝{2,4}，则M∩(∁UN)＝(　　) A．{2}　　　　　　 B．{1,3} C．{0,1,3} D．{0,1,2,3} 解析：B　[由题可知，∁UN＝{0,1,3}，又因M＝{1,2,3}，所以M∩(∁UN)＝{1,3}，故选B.] 5．已知集合A＝{0,1,2,3,4,5}，B＝{x|x＝2n，n∈N*}，则A∩B＝(　　) A．{0,2,4} B．{2,4} C．{1,3,5} D．{1,2,3,4,5} 解析：B　[因为集合A＝{0,1,2,3,4,5}，B＝{x|x＝2n，n∈N*}，所以A∩B＝{2,4}，故选B.] 6．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,3,4}，B＝{3,5}，则A∩B＝　________　，∁UA＝　________　. 解析：因为全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,3,4}，B＝{3,5}，所以A∩B＝{3}，则∁UA＝{2,5}． 答案：{3}　{2,5} 7．设集合U＝{(x，y)|x，y∈R}，M＝，N＝{(x，y)|y≠x＋1}，则(∁UM)∩(∁UN)＝　________　. 解析： M＝＝{(x，y)|y＝x＋1，且x≠2}，如图所示，集合U表示坐标平面内的所有点，M表示直线y＝x＋1上除去(2,3)的所有点，而N表示坐标平面内除去直线y＝x＋1之后的所有点，从而M∪N表示坐标平面内除(2,3)外的所有点．所以(∁UM)∩(∁UN)＝∁U(M∪N)＝{(2,3)}． 答案：{(2,3)} 8．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为　________　. 解析：因为A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则，所以a＝4. 答案：4 9．已知集合A＝{x|x＞1，或x＜－3}，B＝{x|a－2≤x≤2a－1}，设全集U＝R. (1)求∁UA； (2)若(∁UA)∩B＝∅，求实数a的取值范围． 解：(1)因为A＝{x|x＞1或x＜－3}，所以∁UA＝{x|－3≤x≤1}； (2)由于(∁UA)∩B＝∅，∁UA＝{x|－3≤x≤1}，当B＝∅时，即a－2＞2a－1时，即a＜－1时，显然满足题意；当B≠∅时，即a≥－1时，则a－2＞1或2a－1＜－3，解得a＞3；综上，实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)． [综合题组练] 1．(多选题)已知A＝{x|2x2－ax＋b＝0}，B＝{x|6x2＋(a＋2)x＋5＋b＝0}，且A∩B＝，则A∪B中的元素是(　　) A．－4　　　B．1　　　C.　　　D. 解析：ACD　[由已知得－a＋b＝0①；a＋b＝－② 则A＝，B＝，A∪B＝ ，故选ACD.] 2．(多选题)(补集)已知集合A＝{x∈Z|x2－x－2≥0}，则∁ZA中的元素是(　　) A．0 B．2 C．1 D．－2 解析：AC　[由集合A＝{x∈Z|x2－x－2≥0}， 解得：A＝{x∈Z|x≥2，或x≤－1}， ∴∁ZA＝{0,1}，故答案选AC.] 3．已知集合A＝{x|x－a≤0}，B＝{1,2,3}，若A∩B≠∅，则a的取值范围为　________　. 解析：集合A＝{x|x≤a}，集合B＝{1,2,3}，若A∩B≠∅，则1,2,3这三个元素至少有一个在集合A中，若2或3在集合A中，则1一定在集合A中，因此只要保证1∈A即可，所以a≥1. 答案：[1，＋∞) 4．已知集合A＝{x|a－1＜x＜2a＋1}，B＝{x|0＜x≤3}，U＝R. (1)若a＝，求A∪B；A∩(∁UB)． (2)若A∩B＝∅，求实数a的取值范围． 解：(1)若a＝时A＝，B＝{x|0＜x≤3}，∴A∪B＝， 由∁UB＝{x|x≤0或x＞3}，所以A∩(∁UB)＝. (2)由A∩B＝∅知，当A＝∅时，a－1≥2a＋1， ∴a≤－2，当A≠∅时 或 ∴a≥4或－2＜a≤－， 综上：实数a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $