第1章 1.1 集合及其关系-【创新教程】2027年职教高考总复习数学（教师用书Word版）

思维导图 1．1　集合及其关系 [知识点一]　元素与集合的相关概念 1．元素：一般地，把　研究对象　统称为元素，常用小写的拉丁字母　a，b，c...　表示． 2．集合：一些　元素　组成的总体，简称　集　，常用大写拉丁字母　A，B，C...　表示． 3．集合相等：构成两个集合的元素是　一样　的． 4．集合中元素的特性：　确定性　、　互异性　和　无序性　. [知识点二]　元素与集合的关系　 1．属于：如果a是集合A的元素，就说　a属于集合A　，记作　a∈A　. 2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说　a不属于集合A　，记作　a∉A　. [知识点三]　常见的数集及表示符号　 数集 非负整数集 (自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 　实数集　 符号 　N　 　N*或N＋　 　Z　 　Q　 R [知识点四]　集合的表示　 1．列举法：把集合的元素　一一列举　出来，并用　花括号“{}”　括起来表示集合的方法叫作列举法． 2．描述法： (1)定义：用集合所含元素的　共同特征　表示集合的方法称为描述法． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的　一般符号　及　取值(或变化)范围　，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的　共同特征　. [知识点五]　集合间的基本关系　 1．一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中　任意一个　元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作　_A⊆B　(或　B⊇A　)， 读作“　A含于B　”(或“　B包含A　”)． 2．如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且　集合B是集合A的子集　(　B⊆A　)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作　A＝B　. 3．如果A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，我们称集合A是集合B的　真子集　，记作　AB　(　或BA　)． 4．不含任何元素的集合叫作　空集　，记作　∅　. 5．　空集　是任何集合的子集，　空集　是任何非空集合的真子集． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)某公司的优秀员工可以组成集合．(　　) (2)分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的．(　　) (3)由－1,1,1组成的集合中有3个元素．(　　) (4)空集中只有元素0，而无其余元素．(　　) (5)任何一个集合都有子集．(　　) (6)若A＝B，则A⊆B.(　　) (7)空集是任何集合的真子集．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√　(6)√　(7)× 2．用“∈”或“∉”填空： 　____　N；－3　____　Z；　____　Q；0　____　N*； 　____　R. 解析：因为不是自然数，所以∉N；－3是整数，所以－3∈Z；因为不是有理数，所以∉Q；0不是非零自然数，所以0∉N*；因为是实数，所以∈R. 答案：∉　∈　∉　∉　∈ 3．集合{0,1}的子集有(　　) A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 解析：D　[集合{0,1}的子集为∅，{0}，{1}，{0,1}．] 4．已知集合A＝{x|－1－x<0}，则下列各式正确的是(　　) A．0⊆A B．{0}∈A C．∅∈A D．{0}⊆A 解析：D　[集合A＝{x|－1－x<0}＝{x|x>－1}，所以0∈A，{0}⊆A，D正确．] 5．能正确表示集合M＝{x|x∈R且0≤x≤1}和集合N＝{x∈R|x2＝x}关系的Venn图是(　　) 解析：B　[N＝{x∈R|x2＝x}＝{0,1}，M＝{x|x∈R且0≤x≤1}，∴NM.] 集合的概念及其表示 [例1]　(1)(集合的确定性)下面给出的四类对象中，能组成集合的是(　　) A．高一某班个子较高的同学 B．比较著名的科学家 C．无限接近于4的实数 D．到一个定点的距离等于定长的点的全体 (2)已知a∈R，b∈R，若集合＝{a2，a＋b,0}，则b2 026－a2 026的值为(　　) A．－2　　B．－1　　C．1　　D．2 [解析]　(1)D　[选项A，B，C所描述的对象没有一个明确的标准，故不能构成一个集合， 选项D的标准唯一，故能组成集合．故选D.] (2)B　[∵＝{a2，a＋b,0}，∴＝0，则b＝0； ∴{a,0,1}＝{a2，a,0}，∴a2＝1且a≠1，∴a＝－1， ∴b2 026－a2 026＝0－1＝－1.故选B.] 与集合中的元素有关问题的求解策略 (1)确定集合的元素是什么，即集合是(数轴)数集、(平面直角坐标系)点集还是其他类型的集合． (2)看这些元素满足什么限制条件． (3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 1．(1)(集合的确定性)下列四组对象中能构成集合的是(　　) A．某市第一中学高一学习好的学生 B．在数轴上与原点非常近的点 C．很小的实数 D．倒数等于本身的数 (2)(集合的确定性)下列说法正确的是(　　) A．2026年上半年发生的大事能构成一个集合 B．小于100的整数构成的集合是无限集 C．空集中含有元素0 D．自然数集中不含有元素0 (3)(集合的互异性)若－1∈{2，a2－a－1，a2＋1}，则a＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．0 或1 解析：(1)D　(2)B (3)B　[①若a2－a－1＝－1，则a2－a＝0，解得a＝0或a＝1，a＝1时，{2，a2－a－1，a2＋1}＝{2，－1，2}，舍去，∴a＝0； ②若a2＋1＝－1，则a2＝－2，a无实数解；由①②知：a＝0.故选B.] 元素与集合的关系 [例2]　给出下列6个关系：①∈R，②∈Q，③0∉N，④∈N，⑤π∈Q，⑥|－2|∉Z. 其中正确命题的个数为(　　) A．4　　　B．3　　　C．2　　　D．1 解析：C　[R，Q，N，Z分别表示实数集、有理数集、自然数集、整数集，所以①④正确，因为0是自然数，，π都是无理数，所以②③⑤⑥不正确．] 首先确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集或其他，再明确集合元素满足的限制条件是什么． 2．用符号“∈”或“∉”填空． 若A表示第一、三象限的角平分线上的点的集合，则点(0,0)　________　A，(1,1)________________________________________________________________________A， (－1,1)　________　A. 解析：第一、三象限的角平分线上的点的集合可以用直线y＝x表示，显然(0,0)，(1,1)都在直线y＝x上，(－1,1)不在直线上．∴(0,0)∈A，(1,1)∈A，(－1,1) ∉A. 答案：∈ ∈ ∉ 集合间关系的判断 [例3]　(1)下列各式中，正确的个数是(　　 ) ①{0}∈{0,1,2}　②{0,1,2}⊆{2,1,0} ③∅⊆{0,1,2}　④∅＝{0}　⑤{0,1}＝{(0,1)} ⑥0＝{0} A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4 (2)指出下列各组集合之间的关系： ①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． [解析]　(1)B　[对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数对(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的，应选B.] (2)①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． ②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB. ③方法一　两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM. 方法二　由列举法知M＝{1,3,5,7，...}，N＝{3,5,7,9，...}，所以NM. (1)判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系(要注意区间端点的取舍)，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． 3．(1)若集合M＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1,0,1}，则M与T的关系是(　　) A．MT　　　　　　 B．M⊆T C．M＝T D．M ∈T (2)用Venn图表示下列集合之间的关系：A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，D＝{x|x是正方形}． 解析：(1)A　[因为M＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}， 又T＝{－1,0,1}，所以MT.] (2)根据几何图形的相关知识明确各元素所在集合之间的关系，再画Venn图．如图所示． 子集、真子集的个数问题 [例4]　(1)已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0<x<5}，则满足条件ACB的集合C的个数为(　　) A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4 (2)已知集合A＝{x∈R|x2＝a}，使集合A的子集个数为2个的a的值为(　　) A．－2 B．4 C．0 D．以上答案都不是 [解析]　(1)由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，所以满足条件的C可为{1,2,3}，{1,2,4}． (2)由题意知，集合A中只有1个元素，必有x2＝a只有一个解；若方程x2＝a只有一个解，必有a＝0. [答案]　(1)B　(2)C 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，应时刻关注对空集的讨论；任何集合都是自身的子集；含有n个元素的集合，共有2n个子集，有2n－1个真子集，2n－1个非空子集． 4．(1)已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则实数m＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)若集合A{1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合有　________　个． 解析：(1)根据题意，集合M有4个子集，则M中有2个元素，又由M＝{x∈Z|1≤x≤m}，其元素为大于等于1而小于等于m的全部整数，则m＝2. (2)若A中含有一个奇数，则A可能为{1}，{3}，{1,2}，{3,2}；若A中含有两个奇数，则A＝{1,3}． 答案：(1)B　(2)5 根据集合之间的关系求参数 [例5]　已知集合A＝{－1,2}，B＝{x|ax－2＝0}，若B⊆A，则实数a的取值所组成的集合是(　　) A．{－1,2} B．{－2,1} C．{－2,0,1} D．{－1,0,2} [解析]　∵B⊆A，当a＝0时，B＝∅，满足条件，当a≠0时，B＝{－1}或{2}，即－a－2＝0或2a－2＝0，解得a＝－2或a＝1.综上可得，实数a的取值所组成的集合是{0，－2,1}．故选C. [答案]　C 根据集合间的关系求参数的策略 (1)注意对集合是否为空集进行分类讨论 因为∅⊆A对任意集合A都成立． (2)借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．列出关于参数的等式或不等式(组)． (3)注意检验区间端点值． 5．设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}． (1)若a＝，试判定集合A与B的关系； (2)若B⊆A，求实数a的取值集合． 解：(1)由x2－8x＋15＝0，得x＝3或x＝5， 故A＝{3,5}，当a＝时， 由ax－1＝0，得x＝5.所以B＝{5}，所以BA. (2)当B＝∅时，满足B⊆A，此时a＝0；当B≠∅，a≠0时，集合B＝， 由B⊆A得＝3或＝5，所以a＝或a＝. 综上所述，实数a的取值集合为. [基础题组练] 1．下列对象能构成集合的是(　　) A．高一年级全体较胖的学生 B．高一(2)班的高个子学生 C．比较大的自然数 D．平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点 答案：D 2．集合A＝{1,2,3,5}，当x∈A时，若x－1∉A且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，则A中孤立元素的个数为(　　) A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4 答案：A 3．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x2－(a＋1)x＋a＝0，a∈R}，若A＝B，则a＝(　　) A．1 B．2 C．－1 D．－2 答案：B 4．已知集合A＝{－1,0,1}，则含有元素0的A的子集的个数为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：B　[根据题意，含有元素0的A的子集为{0}，{0,1}，{0，－1}，{－1,0,1}，共4个．] 5．设A＝{x|2<x<3}，B＝{x|x<m}，若A⊆B，则m的取值范围是(　　) A．m>3 B．m≥3 C．m<3 D．m≤3 解析：B　[因为A＝{x|2<x<3}，B＝{x|x<m}，A⊆B，将集合A，B表示在数轴上，如图所示，所以m≥3.] 6．已知集合A＝{x|x－3>0}，B＝{x|2x－5≥0}，则这两个集合的关系是　________　. 解析：A＝{x|x－3>0}＝{x|x>3}，B＝{x|2x－5≥0}＝. 结合数轴知AB. 答案：AB 7．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B⊆A，则a的值为　________　. 解析：∵A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B⊆A， ∴a2－a＋1∈A，∴a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a. 由a2－a＋1＝3，得a＝2或a＝－1； 由a2－a＋1＝a，得a＝1. 经检验，a＝1时集合A，B不满足集合中元素的互异性，舍去．故a＝－1或a＝2. 答案：－1或2 8．已知A＝{x|－3<x<5}，B＝{x|x>a}，A⊆B，则实数a的取值范围是　________　. 解析：在数轴上画出集合A. 又因为A⊆B，所以a<－3，当a＝－3时也满足题意，所以a≤－3. 答案：{a|a≤－3} 9．已知M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}，且M＝N，试求a与b的值． 解：根据集合中元素的互异性， 有，或，解得，或，或. 再根据集合中元素的互异性，得，或 . 10．已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B⊆A，求由实数a的值组成的集合C. 解：由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2. 所以A＝{1,2}． 因为B⊆A，所以对B分类讨论如下：①若B＝∅，即方程ax－2＝0无解，此时a＝0； ②若B≠∅，则B＝{1}或B＝{2}． 当B＝{1}时，有a－2＝0，即a＝2； 当B＝{2}时，有2a－2＝0，即a＝1.综上可知，符合题意的实数a所组成的集合C＝{0,1,2}． [综合题组练] 1．已知集合{x|x2＋ax＝0}＝{0,1}，则实数a的值为(　　) A．－1　　　B．0　　　C．1　　　D．2 解析：A　[由x2＋ax＝0，得x(x＋a)＝0，所以x＝0或x＝－a.所以由已知条件可得－a＝1，所以a＝－1.] 2．已知集合A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是(　　 ) A．a≥2 B．a>2 C．a<0 D．a≤0 解析：A　[∵A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x≤a}，∴为使A⊆B，a须满足a≥2.] 3．集合M＝{x|x＝3n，n∈N}，集合N＝{x|x＝3n，n∈N}，则集合M与集合N的关系为(　　 ) A．MN B．NM C．M＝N D．M N且NM 解析：D　[因为1∈M,1∉N，所以MN，因为0∈N，0∉M，所以NM.综上知，MN且NM.] 4．已知集合M＝，集合N＝，则(　　) A．MN B．NM C．M＝N D．以上都不对 解析：A　[∵＋＝π，k∈Z， －＝π，k∈Z， ∴任取x∈M，有x∈N，且∈N，但∉M， ∴MN.] 5．已知集合A＝{x|ax－6＝0}，B＝{x|2x2－3x＝0}，且A⊆B，则a＝　__________　. 解析：B＝{x|2x2－3x＝0}＝，当A＝∅时，A⊆B成立，此时a＝0，当A≠∅时，A＝{x|ax－6＝0}＝，因为A⊆B，所以＝，得a＝4，综上a＝0或a＝4，故答案为0或4. 答案：0或4 学科网（北京）股份有限公司 $