第5章 5.3 等比数列-【创新教程】2027年职教高考总复习数学（配套课件）

5．3　等比数列 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 梳理 必备知识 提升 学科素养 01 02 突破 高效演练 03 第五章 数列 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 梳理 必备知识 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 提升 学科素养 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 突破 高效演练 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 [知识点一]　等比数列的有关概念　 1．定义： (1)文字语言：一个数列从　第2项　起，每一项与它的前一项的　比　都等于　同　一个常数(非零)． (2)符号语言：　eq \f(an＋1,an)　＝q(n∈N*，q为非零常数)． 2．等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么　G　叫作a与b的等比中项．即G2＝　ab　. [知识点二]　等比数列的有关公式　 1．通项公式：an＝　a1qn－1　. 2．前n项和公式：Sn＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(　na1　，q＝1，,　\f(a11－qn,1－q)　＝　\f(a1－anq,1－q)　，q≠1.)) [知识点三]　等比数列的性质　 已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．(m，n，p，q，r，k∈N*) 1．若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝　ap·aq　＝　aeq \o\al(2,r)　； 2．数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列； 3．数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)． [知识点四]　常用结论　 1．等比数列的单调性： 当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是　递增数列　； 当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是　递减数列　； 当q＝1时，{an}是常数列． 2．等比数列与指数函数的关系： 当q≠1时，an＝eq \f(a1,q)·qn，可以看成函数y＝cqx，是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{an}各项所对应的点都在函数y＝cqx的图象上． 3．等比数列{an}的前n项和Sn＝A＋B·Cn⇔A＋B＝0，公比q＝C(A，B，C均不为零) [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　　) (2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.(　　) (3)如果数列{an}为等比数列，则数列{lg an}是等差数列．(　　) (4)若数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝eq \f(a1－an,1－a).(　　) (5)若数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 2．方程x2－5x＋4＝0的两根的等比中项是(　　 ) A.eq \f(5,2)　B．±2　　C．±eq \r(5)　　D．2 解析：B　[设方程的两根分别为x1，x2，由根与系数的关系，得x1x2＝4，∴两根的等比中项为±eq \r(x1x2)＝±2.] 3．(2020·春招，4)在等比数列{an}中，a1＝1，a2＝－2，则a9等于(　　) A．256 B．－256 C．512 D．－512 解析：A　[∵{an}是等比数列，a1＝1，a2＝－2， ∴公比q＝eq \f(a2,a1)＝－2，∴a9＝a1q8＝1×(－2)8＝256，所以选A.] 4．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝(　　 ) A.eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3) C.eq \f(1,9) D．－eq \f(1,9) 解析：C　[由已知条件及S3＝a1＋a2＋a3，得a3＝9a1，设数列{an}的公比为q，则q2＝9，所以a5＝9＝a1·q4＝81a1，得a1＝eq \f(1,9).] 5．数列{an}中a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和，若Sn＝126，则n＝　________　. 解析：因为a1＝2，an＋1＝2an，所以an≠0，故eq \f(an＋1,an)＝2. 所以数列{an}是公比为2的等比数列，因为Sn＝126，所以eq \f(21－2n,1－2)＝126，所以2n＝64，故n＝6. 答案：6 6．在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为　________　. 解析：设该数列的公比为q，由题意知， 243＝9×q3，得q3＝27，所以q＝3. 所以插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81. 答案：27,81 等比数列基本量的运算 [例1]　设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝eq \f(3,2)，S3＝eq \f(9,2). (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝log2eq \f(6,a2n＋1)，求数列{bn}的前n项和Tn. [解析]　(1)①当公比q＝1时，∵a3＝eq \f(3,2)，S3＝eq \f(9,2)，∴an＝eq \f(3,2)； ②当q≠1时，∵a3＝eq \f(3,2)，S3＝eq \f(9,2)， ∴a1q2＝eq \f(3,2)，eq \f(a11－q3,1－q)＝eq \f(9,2)，解得a1＝6，q＝－eq \f(1,2)， 此时an＝6·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－1. 综上所述，数列{an}的通项公式为an＝eq \f(3,2)或an＝6·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－1. (2)①当an＝eq \f(3,2)时，bn＝log2eq \f(6,a2n＋1)＝2，故Tn＝2n； ②当an＝6·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－1时， bn＝log2eq \f(6,a2n＋1)＝2n， 此时Tn＝2·eq \f(nn＋1,2)＝n(n＋1)． 综上所述，Tn＝2n或Tn＝n(n＋1)． 等比数列的基本运算方法 (1)等比数列可以由首项a1和公比q确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕a1和q进行． (2)对于等比数列问题，一般给出两个条件，就可以通过列方程(组)求出a1，q.如果再给出第三个条件就可以完成a1，n，q，an，Sn的“知三求二”问题． 1．已知递增等比数列{an}的第三项、第五项、第七项的积为512，且这三项分别减去1,3,9后成等差数列． (1)求{an}的首项和公比； (2)设Sn＝aeq \o\al(2,1)＋aeq \o\al(2,2)＋…＋aeq \o\al(2,n)，求Sn. 解析：(1)根据等比数列的性质，可得a3·a5·a7＝aeq \o\al(3,5)＝512，解得a5＝8. 设数列{an}的公比为q，则a3＝eq \f(8,q2)，a7＝8q2， 由题设可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,q2)－1))＋(8q2－9)＝2×(8－3)＝10， 解得q2＝2或eq \f(1,2). ∵{an}是递增数列，可得q＞1，∴q2＝2，得q＝eq \r(2). 因此a5＝a1q4＝4a1＝8，解得a1＝2. (2)由(1)得{an}的通项公式为an＝a1qn－1＝2×(eq \r(2))n－1＝(eq \r(2))n＋1，∴aeq \o\al(2,n)＝[(eq \r(2))n＋1]2＝2n＋1， 可得{aeq \o\al(2,n)}是以4为首项，2为公比的等比数列． 因此Sn＝aeq \o\al(2,1)＋aeq \o\al(2,2)＋…＋aeq \o\al(2,n)＝eq \f(41－2n,1－2)＝2n＋2－4. 等比数列的判定与证明 [例2]　已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an，设bn＝eq \f(an,n). (1)求b1，b2，b3； (2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； (3)求{an}的通项公式． [解析]　(1)由条件可得an＋1＝eq \f(2n＋1,n)an. 将n＝1代入，得a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4. 将n＝2代入，得a3＝3a2，所以a3＝12. 从而b1＝1，b2＝2，b3＝4. (2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列． 由题设条件可得eq \f(an＋1,n＋1)＝eq \f(2an,n)，即bn＋1＝2bn， 又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得eq \f(an,n)＝2n－1，所以an＝n·2n－1. 等比数列的判定方法 (1)定义法：若eq \f(an＋1,an)＝q(q为非零常数，n∈N*)或eq \f(an,an－1)＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列． (2)等比中项公式法：若数列{an}中，an≠0且aeq \o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列． (4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列． 2．设数列{an}的前n项和为Sn，满足：Sn＋an＝eq \f(n－1,nn＋1)，n＝1,2，…，n. (1)求证：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(Sn－\f(1,n＋1)))是等比数列； (2)求Sn. 解析：(1)证明：由题意，n＝1时，S1＋a1＝0， 即a1＝0，n≥2时，Sn＋Sn－Sn－1＝2Sn－Sn－1＝eq \f(n－1,nn＋1)＝eq \f(2,n＋1)－eq \f(1,n)， 所以Sn－eq \f(1,n＋1)＝eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Sn－1－\f(1,n)))，S1－eq \f(1,2)＝－eq \f(1,2)， 所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(Sn－\f(1,n＋1)))是以－eq \f(1,2)为首项，eq \f(1,2)为公比的等比数列． (2)由(1)知，Sn－eq \f(1,n＋1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n，所以Sn＝eq \f(1,n＋1)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n. 　　等比数列前n项和及性质的应用 [例3]　已知数列{an}是递增的等比数列，且a4a6－2aeq \o\al(2,4)＋a2a4＝144，则a5－a3＝(　　 ) A．6　　B．8　　　C．10　　　D．12 [解析]　D　[∵{an}是递增的等比数列，∴由a4a6－2aeq \o\al(2,4)＋a2a4＝144，a5－a3>0，可得aeq \o\al(2,5)－2a3a5＋aeq \o\al(2,3)＝144，(a5－a3)2＝144，∴a5－a3＝12，故选D.] 等比数列性质应用问题的解题突破口 等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项公式的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． 3．已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(　　 ) A．21 B．42 C．63 D．84 解析：B　[设{an}的公比为q，由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得1＋q2＋q4＝7，解得q2＝2(负值舍去)．∴a3＋a5＋a7＝a1q2＋a3q2＋a5q2＝(a1＋a3＋a5)q2＝21×2＝42.故选B.] [基础题组练] 1．已知{an}是等比数列，a1＝4，公比q＝eq \f(1,2)，则a5＝(　　 ) A.eq \f(1,4)　　B.eq \f(1,5)　　　C.eq \f(1,2)　　　D.eq \f(1,3) 答案：A 2．已知等比数列{an}的各项均为正数，且a3·a7＝9，则log3a1＋log3a5＋log3a9＝(　　 ) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：A　[根据等比数列的性质可得a1a9＝a2a8＝a3a7＝a4a6＝aeq \o\al(2,5)＝9，又an＞0，所以a5＝3，所以log3a1＋log3a5＋log3a9＝log3(a1a5a9)＝log3(aeq \o\al(3,5))＝log333＝3.故选A.] 3．若各项均为正数的等比数列{an}满足a3＝3a1＋2a2，则公比q＝(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 4．等比数列{an}中a4－a1＝14，a5－a2＝28，则a2 026＝(　　) A．22 023 B．22 024 C．22 025 D．22 026 解析：D　[依题意，等比数列{an}的公比q＝eq \f(a5－a2,a4－a1)＝eq \f(28,14)＝2，则a4－a1＝a1(q3－1)＝7a1＝14，解得a1＝2.因此an＝a1qn－1＝2n，所以a2 026＝22 026.] 5．等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝2，当Sn＝127时，n＝(　　 ) A．8 B．7 C．6 D．5 解析：B　[由Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)，a1＝1，q＝2. 当Sn＝127时，则127＝eq \f(1－2n,1－2)，解得n＝7.故选B.] 6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这一个问题：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为　______　里． 解析：记该人每天走的路程里数为{an}，可知{an}是公比q＝eq \f(1,2)的等比数列，由S6＝378，得S6＝eq \f(a1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,26))),1－\f(1,2))＝378，解得a1＝192，所以a6＝192×eq \f(1,25)＝6. 答案：6 7．等比数列{an}满足a1＝eq \f(1,4)，a3a5＝4(a4－1)，则q＝　________　. 解析：由等比数列的性质得aeq \o\al(2,4)＝a3a5，又因为a3a5＝4(a4－1)，所以aeq \o\al(2,4)＝4(a4－1)，解得a4＝2.又a1＝eq \f(1,4)，所以q3＝eq \f(a4,a1)＝8，解得q＝2. 答案：2 8．已知数列{an}满足an＋1－2an＝0，且a3＝－1，则a1＝　________　. 解析：an＋1－2an＝0，∴eq \f(an＋1,an)＝2＝q，∴a3＝a1q2，∴－1＝a1×22，∴a1＝－eq \f(1,4).故答案为－eq \f(1,4). 答案：－eq \f(1,4)或－0.25 9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S9＝－27， S10＝－40. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝an＋2n，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)设{an}公差为d，由S9＝－27，S10＝－40得，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(9a1＋\f(9×8,2)d＝－27,10a1＋\f(10×9,2)d＝－40))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝5,d＝－2))， ∴an＝5－2(n－1)＝7－2n； (2)由bn＝an＋2n得bn＝7－2n＋2n，∴Tn＝Sn＋eq \f(21－2n,1－2)＝n×5＋eq \f(nn－1,2)×(－2)＋2n＋1－2＝－n2＋6n＋2n＋1－2. [综合题组练] 1．已知等比数列{an}中，a4＋a8＝－2，则a6(a2＋2a6＋a10)的值为(　　) A．4　　B．6　　　C．8　　　D．－9 解析：A　[a6(a2＋2a6＋a10)＝a6a2＋2aeq \o\al(2,6)＋a6a10＝aeq \o\al(2,4)＋2a4a8＋aeq \o\al(2,8)＝(a4＋a8)2，因为a4＋a8＝－2，所以a6(a2＋2a6＋a10)＝4.] 2．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4＝(　　) A．16 B．15 C．8 D．7 解析：B　[设公比为q，由题意得4a2＝4a1＋a3，即4a1q＝4a1＋a1q2，又a1≠0，所以4q＝4＋q2，解得q＝2，所以S4＝eq \f(1×1－24,1－2)＝15， 故选B.] 3．(2023·春招，6)若3，x,12，－24成等比数列，则实数x的值是(　　) A．－6 B．－8 C．6或－6 D．8或－8 解析：A　[∵等比数列eq \f(－24,12)＝－2，∴q＝－2，x＝3×(－2)＝－6，故选A.] 4．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝eq \f(1,3)，aeq \o\al(2,4)＝a6，则S5＝　________　. 解析：由aeq \o\al(2,4)＝a6，得(a1q3)2＝a1q5，整理得q＝eq \f(1,a1)＝3. ∴S5＝eq \f(\f(1,3)×1－35,1－3)＝eq \f(121,3). 答案：eq \f(121,3) 5．等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通项公式； (2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m. 解：(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1. 由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2. 故an＝(－2)n－1或an＝2n－1. (2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝eq \f(1－－2n,3). 由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解． 若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6. $