第5章 5.1 数列的概念-【创新教程】2027年职教高考总复习数学（配套课件）

5．1　数列的概念 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 梳理 必备知识 提升 学科素养 01 02 突破 高效演练 03 第五章 数列 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 梳理 必备知识 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 提升 学科素养 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 突破 高效演练 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第五章 数列 思维导图 [知识点一]　数列　 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为　{an}_　. [知识点二]　通项公式　 1．如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫作这个数列的　通项公式　. 2．已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(　S1　，n＝1，,　Sn－Sn－1　，n≥2.)) [知识点三]　数列的分类　 1．按项数分类，项数有限的数列叫作　有穷　数列，项数无限的数列叫作　无穷　数列． 2．按项的大小变化分类，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫作　递增数列　；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫作　递减数列　；各项相等的数列叫作　常数列　； 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫作　摆动数列　. [知识点四]　递推公式　 如果数列{an}的第1项或前几项已知，并且数列{an}的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫作这个数列的　递推公式　. 　递推公式　也是数列的一种表示方法． [知识点五]　数列的单调性　 判断一个数列的单调性，可以利用递增数列、递减数列、常数列的定义进行，通常转化为判断一个数列{an}的任意相邻两项之间的大小关系来确定． 1．若an＋1－an　>　0恒成立，则数列{an}是递增数列； 2．若an＋1－an　<　0恒成立，则数列{an}是递减数列； 3．若an＋1－an　＝　0恒成立，则数列{an}是常数列． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(　　) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(　　) (3)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点．(　　) (4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　) (5)递推公式也是表示数列的一种方法．(　　) (6)所有数列都有递推公式．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√　(6)× 2．下列叙述正确的是(　　) A．所有数列可分为递增数列和递减数列两类 B．数列中的数由它的位置序号唯一确定 C．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7} D．同一个数在数列中不可能重复出现 解析：B　[按项的变化趋势，数列可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列等数列，A错误；数列1,3,5,7与由实数1,3,5,7组成的集合{1,3,5,7}是两个不同的概念，C错误；同一个数在数列中可能重复出现，如2,2,2，…表示由实数2构成的常数列，D错误；对于给定的数列，数列中的数由它的位置序号唯一确定，B正确．] 3．数列{an}的通项公式为an＝eq \f(1,2)(n－1)(n＋1)，则a5＝(　　 ) A．10　　B．12　　　C．14　　　D．16 解析：B　[由题意，通项公式为an＝eq \f(1,2)(n－1)(n＋1)， 则a5＝eq \f(1,2)×(5－1)×(5＋1)＝12.故选B.] 4．2 026是数列0,2,4,6,8，…的(　　) A．第1 012项 B．第1 013项 C．第1 014项 D．第1 015项 解析：C　[数列0,2,4,6,8，…的通项公式为an＝2(n－1)．设2(n－1)＝2 026，解得n－1＝1 013⇒n＝1 014.] 5．若数列{an}的通项公式是an＝n2－1，则该数列的第10项a10＝　__________　，224是该数列的第　__________　项. 解析：a10＝102－1＝99.令an＝n2－1＝224，解得n＝15，即224是该数列的第15项． 答案：99　15 6．设数列{an}满足a1＝1，an＝1＋eq \f(1,an－1)(n∈N*，n>1)，则a3＝　__________　. 解析：由已知，得a2＝1＋eq \f(1,a1)＝2, a3＝1＋eq \f(1,a2)＝eq \f(3,2). 答案：eq \f(3,2) 由数列的前几项求通项公式 [例1]　根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式． (1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…； [解析]　(1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)． (2)将数列变形为eq \f(8,9)(1－0.1)，eq \f(8,9)(1－0.01)，eq \f(8,9)(1－0.001)，…，∴an＝eq \f(8,9) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,10n))). 解决由数列的前几项求通项公式此类问题，需抓住下面的特征： (1)各项的符号特征，通过(－1)n或(－1)n＋1来调节正负项． (2)考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系． (3)相邻项(或其绝对值)的变化特征． (4)拆项、添项后的特征． (5)通过通分等方法变化后，观察是否有规律． 1．根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式． (1)eq \f(2,3)，eq \f(4,15)，eq \f(6,35)，eq \f(8,63)，eq \f(10,99)，…； (2)eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，－eq \f(5,8)，eq \f(13,16)，－eq \f(29,32)，eq \f(61,64)，…. 解析：(1)这是一个分数数列，分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2,4,6，…，相邻的偶数．故所求数列的一个通项公式为an＝eq \f(2n,2n－12n＋1). (2)数列可以改为－eq \f(－1,2)，eq \f(1,4)，－eq \f(5,8)，eq \f(13,16)，－eq \f(29,32)，eq \f(61,64)，…，则分母为2n，分子为2n－3，所以数列的一个通项公式为an＝(－1)neq \f(2n－3,2n). 由an与Sn的关系求通项公式 [例2]　若数列{an}的前n项和Sn＝－2n2＋10n，求数列{an}的通项公式． [解析]　∵Sn＝－2n2＋10n，∴Sn－1＝－2(n－1)2＋10(n－1)，(n≥2) ∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2n2＋10n＋2(n－1)2－10(n－1)＝－4n＋12.当n＝1时，a1＝－2＋10＝8＝－4×1＋12. 此时满足an＝－4n＋12， ∴数列{an}的通项公式为an＝12－4n. 已知数列{an}的前n项和Sn，求通项公式的步骤： (1)当n＝1时，a1＝S1. (2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1. (3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的式子， 那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1； 如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的式子， 那么数列{an}的通项公式要分段表示为an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.)) 2．设数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则a6的值为(　　 ) A．8　　B．9　　　C．10　　　D．11 解析：D　[S6＝62＋1＝37，S5＝52＋1＝26，故a6＝S6－S5＝37－26＝11.故选D.] 由递推关系求通项公式 [例3]　分别求出满足下列条件的数列的通项公式． (1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)； (2)a1＝1，an＋1＝2nan(n∈N*)． [解]　(1)an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝0＋1＋3＋…＋(2n－5)＋(2n－3)＝(n－1)2，所以数列的通项公式为an＝(n－1)2. (2)由于eq \f(an＋1,an)＝2n，故eq \f(a2,a1)＝21，eq \f(a3,a2)＝22，…，eq \f(an,an－1)＝2n－1， 将这n－1个等式叠乘， 得eq \f(an,a1)＝21＋2＋…＋(n－1)＝，故an＝， 所以数列的通项公式为an＝. 由递推关系求数列的通项公式的常用方法 3．在数列{an}中，若a1＝2，an＋1＝an＋2n－1，则an＝　________　. 解析：a1＝2，an＋1＝an＋2n－1⇒an＋1－an＝2n－1⇒an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1， 则an＝2n－2＋2n－3＋…＋2＋1＋a1＝eq \f(1－2n－1,1－2)＋2＝2n－1＋1. 答案：2n－1＋1 数列的函数特征 [例4]　已知数列{an}的通项公式为an＝eq \f(3n＋k,2n)，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为(　　) A．(3，＋∞)　　　　　 B．(2，＋∞) C．(1，＋∞) D．(0，＋∞) [解析]　因为an＋1－an＝eq \f(3n＋3＋k,2n＋1)－eq \f(3n＋k,2n)＝eq \f(3－3n－k,2n＋1)，由数列{an}为递减数列知，对任意n∈N*，an＋1－an＝eq \f(3－3n－k,2n＋1)＜0，所以k＞3－3n对任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞)．故选D. [答案]　D (1)解决数列单调性问题的三种方法： ①用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列； ②用作商比较法，根据eq \f(an＋1,an)(an＞0或an＜0)与1的大小关系进行判断； ③结合相应函数的图象直观判断． (2)求数列最大项或最小项的方法： ①可以利用不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(an－1≤an，,an≥an＋1))(n≥2)找到数列的最大项； ②利用不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(an－1≥an，,an≤an＋1))(n≥2)找到数列的最小项． 4．等差数列{an}的公差d＜0，且aeq \o\al(2,1)＝aeq \o\al(2,11)，则数列{an}的前n项和Sn取得最大值时的项数n的值为(　　) A．5 B．6 C．5或6 D．6或7 解析：C　[由aeq \o\al(2,1)＝aeq \o\al(2,11)，可得(a1＋a11)(a1－a11)＝0，因为d＜0，所以a1－a11≠0，所以a1＋a11＝0，又2a6＝a1＋a11，所以a6＝0. 因为d＜0，所以{an}是递减数列， 所以a1＞a2＞…＞a5＞a6＝0＞a7＞a8＞…，显然前5项和或前6项和最大，故选C.] [基础题组练] 1．下列各项表示数列的是(　　) A．△，○，☆，□ B．2 011,2 012,2 013，…，2 026 C．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 D．a＋b，a－b，ab，λa 答案：B 2．已知数列{an}满足an＝4an－1＋3，且a1＝0，则此数列的第5项是(　　) A．15　B．255　　C．16　　D．63 答案：B 3．已知数列{an}，an－1＝man＋1(n>1)，且a2＝3，a3＝5，则实数m等于(　　) A．0 B.eq \f(2,5) C．2 D．5 答案：B 4．若数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋25n，则数列{an}的各项中最大项是(　　) A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 解析：C　[因为an＝－2n2＋25n＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(25,4)))2＋eq \f(625,8)，且n∈N*， 所以当n＝6时，an的值最大，即最大项是第6项．] 5．已知an＝eq \f(n＋0.99,n－0.99)，那么数列{an}是(　　 ) A．递减数列 B．递增数列 C．常数列 D．摆动数列 解析：A　[an＝eq \f(n＋0.99,n－0.99)＝eq \f(n－0.99＋1.98,n－0.99)＝1＋eq \f(1.98,n－0.99)，因为函数y＝1＋eq \f(1.98,x－0.99)在(0.99，＋∞)上是减函数，所以数列{an}是递减数列．] 6．已知数列eq \r(3)，eq \r(7)，eq \r(11)，eq \r(15)，…，则5eq \r(3)是该数列的第　________　项. 解析：观察可得数列的一个通项公式是an＝eq \r(4n－1)，而5eq \r(3)＝eq \r(75)＝eq \r(4×19－1)，所以5eq \r(3)是该数列的第19项． 答案：19 7．已知数列{an}的通项公式为an＝log3(2n＋1)，则a3＝　__________　. 解析：∵an＝log3(2n＋1)，∴a3＝log3(23＋1)＝log39＝2. 答案：2 8．已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后猜想an＝　______　. 解析：因为an＝an－1＋2n－1，a1＝1，所以a2＝a1＋2×2－1＝4，a3＝a2＋2×3－1＝9，a4＝a3＋2×4－1＝16，所以猜想an＝n2.故答案为n2. 答案：n2 9．若数列{an}的前n项和为Sn，首项a1>0，且2Sn＝aeq \o\al(2,n)＋an(n∈N*)．求数列{an}的通项公式． 解析：当n＝1时，2S1＝aeq \o\al(2,1)＋a1，则a1＝1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝eq \f(a\o\al(2,n)＋an,2)－eq \f(a\o\al(2,n－1)＋an－1,2)， 即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0⇒an＝－an－1或an＝an－1＋1， 所以an＝(－1)n－1或an＝n. [综合题组练] 1．已知数列{an}中a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则an＝(　　 ) A．2n－1　　　　　 B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,n)))n－1 C．n D．n2 解析：C　[an＝n(an＋1－an)，而eq \f(an＋1,an)＝eq \f(n＋1,n)，则an＝eq \f(an,an－1)×eq \f(an－1,an－2)×…×eq \f(a3,a2)×eq \f(a2,a1)＝eq \f(n,n－1)×eq \f(n－1,n－2)×…×eq \f(3,2)×eq \f(2,1)＝n.故选C.] 2．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－2λn(n∈N*)，则“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[若数列{an}为递增数列，则有an＋1－an>0，即2n＋1>2λ对任意的n∈N*都成立，于是有3>2λ，λ<eq \f(3,2).由λ<1可推得λ<eq \f(3,2)，但反过来，由λ<eq \f(3,2)不能得到λ<1，因此“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件，故选A.] 3．在数列{an}中，已知an＝(－1)n＋n＋a(a为常数)，且a1＋a4＝3a2，则a100＝　________　. 解析：由题意，得a1＝a，a4＝5＋a，a2＝3＋a. 因为a1＋a4＝3a2，所以a＋5＋a＝3(3＋a)， 解得a＝－4，所以an＝(－1)n＋n－4， 所以a100＝(－1)100＋100－4＝97. 答案：97 4．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝eq \f(n＋2,3)an. (1)求a2，a3； (2)求{an}的通项公式． 解：(1)由S2＝eq \f(4,3)a2，得3(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1＝3. 由S3＝eq \f(5,3)a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，解得a3＝eq \f(3,2)(a1＋a2)＝6. (2)当n>1时，有an＝Sn－Sn－1＝eq \f(n＋2,3)an－eq \f(n＋1,3)an－1， 整理得an＝eq \f(n＋1,n－1)an－1.又a1＝1，所以a2＝eq \f(3,1)a1，a3＝eq \f(4,2)a2， … an－1＝eq \f(n,n－2)an－2，an＝eq \f(n＋1,n－1)an－1， 将以上n个等式两端分别相乘，整理得an＝eq \f(nn＋1,2). 当n＝1时，满足上式．综上，{an}的通项公式an＝eq \f(nn＋1,2). $