第4章 4.4 对数函数-【创新教程】2027年职教高考总复习数学（配套课件）

4．4　对数函数 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 梳理 必备知识 提升 学科素养 01 02 突破 高效演练 03 第四章 指数函数与对数函数 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 梳理 必备知识 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 提升 学科素养 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 突破 高效演练 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 [知识点一]　对数函数的概念　 一般地，把函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是　(0，＋∞)　. [知识点二]　对数函数的图象与性质　 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表： 定义 y＝logax(a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 　(0，＋∞)　 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上 是增函数 在(0，＋∞)上 是减函数 共点性 图象过定点　(1,0)　，即x＝1时，y＝0 共点性 图象过定点　(1,0)　，即x＝1时，y＝0 函数值 特点 x∈(0,1)时，y∈　(－∞，0)　； x∈[1，＋∞)时，y∈ [0，＋∞) x∈(0,1)时，y∈　(0，＋∞)　； x∈[1，＋∞)时，y∈ (－∞，0]　 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于　x轴　对称 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对数函数的定义域为R.(　　) (2)y＝log2x2与logx3都不是对数函数．(　　) (3)对数函数的图象一定在y轴的右侧．(　　) (4)loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　) (5)logax·logay＝loga(x＋y)．(　　) (6)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×　(6)× 2．下列函数是对数函数的是(　　 ) A．y＝ln x　　　　　 B．y＝ln(x＋1) C．y＝logxe D．y＝logxx 答案：A 3．函数f(x)＝log2(x－1)的定义域是(　　 ) A．[1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D. (－∞，1] 答案：B 4．函数f(x)＝logax在(0，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是(　　 ) A．(0，＋∞) B．(－∞，1) C．(0,1) D．(1，＋∞) 解析：C　[由对数函数的单调知识易知0<a<1.] 5．函数y＝(3m＋1)logax(a＞0，a≠1)是对数函数，则2 026m＝(　　) A．1 B．4 C．2 025 D．2 026 解析：A　[由于函数y＝(3m＋1)logax(a＞0，a≠1)是对数函数，所以3m＋1＝1，即m＝0，此时2 026m＝2 0260＝1.] 6．函数y＝loga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过的定点是　________　. 解析：当x＝2时，函数y＝loga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的值为2，所以图象恒过定点(2,2)． 答案：(2,2) 对数型函数的定义域 [例1]　求下列函数的定义域． (1)y＝log(1－x)5；(2)y＝ eq \r(log0.54x－3). [解析]　(1)要使函数式有意义，需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－x>0,1－x≠1))，解得x<1，且x≠0，所以函数y＝log(1－x)5的定义域是{x|x<1，且x≠0}． (2)要使函数式有意义，需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4x－3>0,log0.54x－3≥0))，解得eq \f(3,4)＜x≤1，所以函数y＝eq \r(log0.54x－3)的定义域是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)＜x≤1)))). 求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数大于零且不等于1. 1．已知函数log0.5(2x－3)＞0，求x的取值范围． 解：由log0.5(2x－3)＞0得：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－3＞0,log0.52x－3＞0＝log0.51))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－3＞0,2x－3＜1)) 即eq \f(3,2)＜x＜2，所以log0.5(2x－3)＞0的x的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2)). 对数函数的图象 [例2]　(1)对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx在同一坐标系内的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是　________　. (2)y＝logaeq \f(2x＋1,x－1)＋2图象恒过定点坐标是　________　. [解析]　(1)在第一象限内顺时针旋转，底数逐渐增大，故a>b>c>d. (2)令eq \f(2x＋1,x－1)＝1，得x＝－2，此时y＝2， ∴函数y＝logaeq \f(2x＋1,x－1)＋2过定点(－2,2)． [答案]　(1)a>b>c>d　(2)(－2,2) 1．对数函数的底与图象变化的关系： 在第一象限内，底数越大，图象越靠近x轴． 2．对数型函数过定点问题： 求函数y＝m＋loga f(x)(a>0，且a≠1)的图象过的定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m)． 2．(1)当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为(　　 ) (2)函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点　________　. 解析：(1)∵a>1，∴0<eq \f(1,a)<1，∴y＝a－x是减函数，y＝logax是增函数，故选C. (2)因为函数y＝logax (a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，则令x＋1＝1得x＝0，此时y＝loga(x＋1)－2＝－2，所以函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，－2)． 答案：(1)C　(2)(0，－2) 比较对数值的大小 [例3]　比较下列各组中两个值的大小． (1)log31.9，log32； (2)log23，log0.32； (3)logaπ，loga3.14(a>0，a≠1)． [解析]　(1)因为y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，所以log31.9<log32. (2)因为log23>log21＝0，log0.32<log0.31＝0，所以log23>log0.32. (3)当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，则有logaπ>loga3.14； 当0<a<1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，则有logaπ<loga3.14. 综上所得，当a>1时，logaπ>loga3.14；当0<a<1时，logaπ<loga3.14. 比较对数值大小的常用方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性； (2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化； (3)底数和真数都不同，找中间量． 3．下列不等式成立的是(其中a>0且a≠1)(　　 ) A．loga5.1<loga5.9 B．2.1>2.2 C．log1.1(a＋1)<log1.1a D．log32.9<log0.52.2 解析：B　[对于选项A，因为a和1大小的关系不确定，无法确定指数函数和对数函数的单调性，故A不成立；对于选项B，因为以eq \f(1,2)为底的对数函数是减函数，所以成立；对于选项C，因为以1.1为底的对数函数是增函数，所以不成立；对于选项D，log32.9>0，log0.52.2<0，故不成立，故选B.] 解对数不等式 [例4]　已知log0.3(3x)<log0.3(x＋1)，则x的取值范围为(　　 ) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))　　 B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) [解析]　A　[因为函数y＝log0.3x是(0，＋∞)上的减函数，所以原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x>0,x＋1>0,3x>x＋1))，解得x>eq \f(1,2).] 两类对数不等式的解法 (1)形如logaf(x)<logag(x)的不等式． ①当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0；②当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x)． (2)形如logaf(x)<b的不等式可变形为logaf(x)<b＝logaab. ①当0<a<1时，可转化为f(x)>ab； ②当a>1时，可转化为0<f(x)<ab. 4．已知logab＜loga(b－1)，则a的取值范围是(　　 ) A．a＞1 B．0＜a＜1 C．a＞b D．a＜1 解析：B　[∵b＞b－1，logab＜loga(b－1)，∴y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，∴0＜a＜1.故选B.] 对数型复合函数的单调性 [例5]　求函数y＝log0.3(3－2x)的单调区间． [解析]　由3－2x>0，解得x<eq \f(3,2)，设t＝3－2x，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))，∵函数y＝log0.3t是减函数，且函数t＝3－2x是减函数，∴函数y＝log0.3(3－2x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))上是增函数，即函数y＝log0.3(3－2x)的单调递增区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))，没有单调递减区间． 求复合函数单调性的具体步骤 (1)求定义域；(2)拆分函数；(3)分别求y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性；(4)按“同增异减”得出复合函数的单调性． 5．函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　 ) A．(－∞，－2) B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(4，＋∞) 解析：D　[要使函数有意义，则：x2－2x－8>0，解得：x<－2或x>4，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则，可得函数的单调增区间为(4，＋∞)，故选D.] [基础题组练] 1．(多选)下列函数为对数函数的是(　　 ) A．y＝logax＋1(a＞0且a≠1) B．y＝loga(2x)(a＞0且a≠1) C．y＝log(a－1)x(a＞1且a≠2) D．y＝logax(a＞0且a≠1) 答案：CD 2．函数f(x)＝eq \f(1,lg x)的定义域是(　　) A．(0，＋∞)　　　　　 B．(0,1)∪(1，＋∞) C．[0,1)∪(1，＋∞) D．(1，＋∞) 答案：B 3．已知函数f(x)＝log3(x＋1)，若f(a)＝1，则a等于(　　 ) A．0　　B．1　　　C．2　　　D．3 答案：C 4．函数y＝lg(x＋1)的图象大致是(　　 ) 答案：C 5．已知定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f(1)＝2，则不等式f(log2x)>2的解集为(　　 ) A．(2，＋∞) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))∪(eq \r(2)，＋∞) D．(eq \r(2)，＋∞) 解析：B　[因为偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数， 所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数． 又f(1)＝2，所以不等式f(log2x)>2＝f(1)， 即|log2x|>1，解得0<x<eq \f(1,2)或x>2.] 6．已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是　________　. 解析：y＝logax的图象恒过点(1,0)， 令x－3＝1，得x＝4，则y＝－1. 答案：(4，－1) 7．函数f(x)＝ln(3＋2x－x2)的单调递增区间是　______　，单调递减区间是　_______　. 解析：∵3＋2x－x2>0，∴x2－2x－3<0.∴－1<x<3. 令u＝3＋2x－x2＝－(x2－2x－3)＝－(x－1)2＋4， ∴当x∈(－1,1)时，u是x的增函数，y是ln u的增函数，故函数f(x)＝ln(3＋2x－x2)的单调递增区间是(－1,1)．同理，函数f(x)＝ln(3＋2x－x2)的单调递减区间是(1,3)． 答案：(－1,1)　(1,3) 8．设f(x)为奇函数，且x＞0时，f(x)＝ex＋ln x，则f(－1)＝　________　. 解析：由题可知，f(－1)＝－f(1)＝－e.故答案为－e. 答案：－e 9．已知函数f(x)＝log2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2x)＋a)). (1)若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值； (2)若函数f(x)的定义域是一切实数，求a的取值范围； 解析：(1)若函数f(x)是R上的奇函数，则f(0)＝0， ∴log2(1＋a)＝0，∴a＝0. 当a＝0时，f(x)＝－x是R上的奇函数．所以a＝0. (2)若函数f(x)的定义域是一切实数，则eq \f(1,2x)＋a>0恒成立．即a>－eq \f(1,2x)恒成立，由于－eq \f(1,2x)∈(－∞，0)，故只要a≥0，则a的取值范围是[0，＋∞)． [综合题组练] 1．已知函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图象如图所示，则函数y＝(1－a)x2＋1的图象大致是(　　) 解析：B　[由y＝logax(a＞0且a≠1)的图象可知a＞1，所以1－a＜0.所以y＝(1－a)x2＋1是开口向下，顶点为(0,1)的抛物线，故选B.] 2．(多选)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是(　　 ) A．奇函数 B．偶函数 C．在(0,1)上是增函数 D．在(0,1)上是减函数 解析：AC　[由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(x)＝lneq \f(1＋x,1－x)＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1－x)－1))，易知y＝eq \f(2,1－x)－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数，又f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数，选AC.] 3．已知函数y＝loga(2x－3)＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则b＝　________　. 解析：令2x－3＝1，得x＝2，∴定点为A(2,2)，将定点A的坐标代入函数f(x)中，得2＝32＋b，解得b＝－7. 答案：－7 4．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝loga(x＋1)(a>0，且a≠1)． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若－1<f(1)<1，求实数a的取值范围． 解：(1)当x<0时，－x>0，由题意知f(－x)＝loga(－x＋1)，又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)． 所以当x<0时，f(x)＝loga(－x＋1)， 所以函数f(x)的解析式为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(logax＋1，x≥0，,loga－x＋1，x<0.)) (2)因为－1<f(1)<1，所以－1<loga2<1，所以logaeq \f(1,a)<loga2<logaa. ①当a>1时，原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,a)<2,a>2))，解得a>2； ②当0<a<1时，原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,a)>2,a<2))，解得0<a<eq \f(1,2). 综上可得，实数a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞)． $