第4章 4.3 对数及其运算-【创新教程】2027年职教高考总复习数学（配套课件）

4．3　对数及其运算 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 梳理 必备知识 提升 学科素养 01 02 突破 高效演练 03 第四章 指数函数与对数函数 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 梳理 必备知识 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 提升 学科素养 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 突破 高效演练 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 [知识点一]　对数　 1．指数式与对数式的互化及有关概念： 2．底数a的范围是　a>0，且a≠1　. [知识点二]　常用对数与自然对数　 [知识点三]　对数的基本性质　 1．负数和零　没有　对数． 2．loga1＝　0　(a>0，且a≠1)． 3．logaa＝　1　(a>0，且a≠1)． 4．对数恒等式＝　N　(a>0且a≠1，N >0)． [知识点四]　对数的运算性质　 1．对数运算的三条性质：如果a＞0且a≠1，M＞0， N＞0，那么： (1)　loga(MN)＝logaM＋logaN　，即积的对数等于对数的和． (2)　logaeq \f(M,N)＝logaM－logaN　，即商的对数等于对数的差． (3)　logaMn＝nlogaM(n∈R)　，即指数幂的对数等于底数的对数的指数倍． 2．对数的换底公式：　logaN＝eq \f(logcN,logcb)(b＞0，且b≠1；c＞0，且c≠1；N＞0)　. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)logaN是loga与N的乘积．(　　) (2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.(　　) (3)对数运算的实质是求幂指数．(　　) (4)在b＝log3(m－1)中，实数m的取值范围是(1，＋∞)．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．把指数式ab＝N化为对数式是(　　 ) A．logba＝N　　　　 B．logaN＝b C．logNb＝a D．logNa＝b 解析：B　[根据对数定义知ab＝N⇔logaN＝b.] 3．若log3eq \f(2x－3,3)＝1，则x＝　________　；若log3(2x－1)＝0，则x＝　________　. 解析：若log3eq \f(2x－3,3)＝1，则eq \f(2x－3,3)＝3，即2x－3＝9，x＝6；若log3(2x－1)＝0，则2x－1＝1，即x＝1. 答案：6　1 指数式与对数式的互化 [例1]　(1)根据对数定义，将下列指数式写成对数式． ①3x＝eq \f(1,27)；②eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x＝64；③log16eq \f(1,2)＝－eq \f(1,4)； ④ln 10＝x. (2)利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值． ①log2x＝－eq \f(1,2)；②logx25＝2；③log5x2＝2. [解] (1)①log3eq \f(1,27)＝x；②logeq \f(1,4)64＝x； ③16－eq \f(1,4)＝eq \f(1,2)；④ex＝10. (2)①由log2x＝－eq \f(1,2)，得＝x，∴x＝eq \f(\r(2),2). ②由logx25＝2，得x2＝25.∵x＞0，且x≠1，∴x＝5. ③由log5x2＝2，得x2＝52，∴x＝±5.∵52＝25＞0， (－5)2＝25＞0，∴x＝5或x＝－5. 指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． (1)43＝64；(2)ln a＝b；(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))m＝n； (4)lg 1000＝3. 解：(1)因为43＝64，所以log464＝3； (2)因为ln a＝b，所以eb＝a； (3)因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))m＝n，所以； (4)因为lg 1 000＝3，所以103＝1 000. 2．(1)求下列各式的值： ①log981＝　________　.②log0.41＝　________　. ③ln e2＝　________　. 解析：①设log981＝x，所以9x＝81＝92，故x＝2，即log981＝2；②设log0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40，故x＝0，即log0.41＝0；③设ln e2＝x，所以ex＝e2，故x＝2，即ln e2＝2. 答案：①2　②0　③2 (2)求下列各式中x的值： ①log64x＝－eq \f(2,3)；②logx8＝6; ③lg 100＝x； ④－ln e2＝x. 解：①由log64x＝－eq \f(2,3)得x＝64－eq \f(2,3)＝43×(－eq \f(2,3)) ＝4－2＝eq \f(1,16)； ②由logx8＝6，得x6＝8，又x>0，即x＝8eq \f(1,6)＝23×eq \f(1,6)＝eq \r(2)； ③由lg 100＝x，得10x＝100＝102，即x＝2； ④由－ln e2＝x，得ln e2＝－x，所以e－x＝e2，所以－x＝2，即x＝－2. 　　利用指数式与对数式的互化求变量的值 [例2]　求值． (1)log2x＝－eq \f(2,3)，则x＝　________　. (2)若－ln e3＝x，则x＝　________　. (3)若xlog34＝1，则4x＋4－x＝　________　. (4)若f(x)＝3x，则f(log32)＝　________　. [解析]　(1)由log2x＝－eq \f(2,3)，可得x＝.∴x＝＝eq \r(3,\f(1,4))＝eq \f(\r(3,2),2). (2)由－ln e3＝x，则ln e3＝－x.∴e－x＝e3，∴x＝－3. (3)由xlog34＝1，∴log34＝eq \f(1,x)，∴＝4,4x＝3， ∴4－x＝eq \f(1,3)，4x＋4－x＝3＋eq \f(1,3)＝eq \f(10,3). (4)设t＝log32，则3t＝2，∴f(log32)＝f(t)＝3t＝2. [答案]　(1)eq \f(\r(3,2),2)　(2)－3　(3)eq \f(10,3)　(4)2 ①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题． ②利用幂的运算性质和指数的性质计算． 3．方程log2x＝eq \f(1,2)的解为(　　 ) A.eq \f(1,2)　B.eq \f(1,4)　　C.eq \f(\r(2),2)　　D.eq \r(2) 解析：D　[方程log2x＝eq \f(1,2)，化为：x＝＝eq \r(2).故选D.] [答案]　①0　②4 对数基本性质的应用 [例3]　(1)求下列式子值： ①2log23＋2log31－3log77＋3ln 1＝_____________________. ②9eq \f(1,2)log34＝　________　. [解析]　①原式＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0. ②9eq \f(1,2)log34＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9\f(1,2)))log34＝3log34＝4. (2)求下列各式中的x的值： ①log2(log3x)＝0； ②log5(log2x)＝1. [解]　①因为log2(log3x)＝0， 所以log3x＝1，所以x＝3. ②因为log5(log2x)＝1，所以log2x＝5， 所以x＝25＝32. 利用对数性质求值的方法 (1)性质loga1＝0，logaa＝1　 (a>0，且a≠1)． (2)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值． 4．求下列各式中的x的值． (1)log8[log7(log2x)]＝0； (2)log2[log3(log2x)]＝1. 解析：(1)由log8[log7(log2x)]＝0得log7(log2x)＝1，所以log2x＝7，所以x＝27＝128. (2)由log2[log3(log2x)]＝1得log3(log2x)＝2，所以log2x＝32，所以x＝29＝512. 5．化简求值． 解析：(1)原式＝ (2)原式＝×100－lg2＝10lg9×eq \f(1,100lg 2)＝9×eq \f(1,102lg 2)＝9×eq \f(1,10lg 4)＝eq \f(9,4). 对数运算性质的应用 [例4]　求下列各式的值． (1)log345－log35； (2)lg 25＋eq \f(2,3)lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2. [解析]　(1)log345－log35＝log3eq \f(45,5)＝log39＝log332＝2. (2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. 利用对数运算性质化简与求值的原则和方法： (1)基本原则： ①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． (2)两种常用的方法： ①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数． ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． 6．计算(1)2log63＋log64； (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg 25－lg\f(1,4)))÷. 解析：(1)原式＝log632＋log64＝log6(32×4)＝log662＝2log66＝2. (2)原式＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,\f(1,4))))÷＝lg 102÷10－1＝2×10＝20. 对数换底公式的应用 [例5]　计算：①log29·log34； ②eq \f(log5\r(2)×log79,log5\f(1,3)×log7\r(3,4)). [解]　①原式＝eq \f(lg 9,lg 2)·eq \f(lg 4,lg 3)＝eq \f(lg 32·lg 22,lg 2·lg 3)＝eq \f(2lg 3·2lg 2,lg 2·lg 3)＝4. ②原式＝eq \f(log5\r(2),log5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))))·eq \f(log79,log7\r(3,4))＝·＝eq \f(lg\r(2),lg\f(1,3))·eq \f(lg 9,lg\r(3,4))＝eq \f(\f(1,2)lg 2·2lg 3,－lg 3·\f(2,3)lg 2)＝－eq \f(3,2). (1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用． (2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式． 7．log2eq \f(1,25)·log3eq \f(1,8)·log5eq \f(1,9)＝　________　. 解析：原式＝eq \f(lg\f(1,25),lg 2)·eq \f(lg\f(1,8),lg3)·eq \f(lg\f(1,9),lg 5)＝eq \f(－2lg 5·－3lg 2·－2lg 3,lg 2lg 3lg 5)＝－12. 答案：－12 [基础题组练] 1．对于下列说法： (1)零和负数没有对数； (2)任何一个指数式都可以化成对数式； (3)以10为底的对数叫作自然对数； (4)以e为底的对数叫作常用对数． 其中错误说法的个数为(　　 ) A．1　　B．2　　　C．3　　　D．4 答案：C 2．将eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－2＝9写成对数式，正确的是(　　 ) A．log9eq \f(1,3)＝－2 B．9＝－2 C． (－2)＝9 D．log9(－2)＝eq \f(1,3) 答案：B 3．若10a＝lgb＝c，则a，b，c的大小关系为(　　 ) A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜a＜c 解析：B　[令a＝1，则b＝1010，c＝10，a＜c＜b，排除ACD. 故选B.] 4．－lg 0.01＋ln e3等于(　　 ) A．14 B．0 C．1 D．6 答案：B 5．设2a＝5b＝m，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2，则m等于(　　 ) A.eq \r(10) B．10 C．20 D．100 解析：A　[由2a＝5b＝m，得a＝log2m，b＝log5m，所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝logm2＋logm5＝logm10＝2，所以m＝eq \r(10).] 6．方程lg(2x－3)＝1的解为　________　. 解析：由lg(2x－3)＝1知2x－3＝10，解得x＝eq \f(13,2). 答案：eq \f(13,2) 7．在对数式y＝log(x－2)(4－x)中，实数x的取值范围是　________　. 解析：由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4－x>0,x－2>0,x－2≠1))，解得2<x<4且x≠3. 答案：(2,3)∪(3,4) 8．计算(lg 2)2＋lg 2×lg 50＋lg 25的结果为　________　. 解析：原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 52＝lg 2×lg 100＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2lg 10＝2. 答案：2 解：(1)原式＝21＋0＋2＝2＋2＝4. (2)原式＝－1＋20＝4－1＋1＝4. [综合题组练] 1．计算log29×log34＋2log510＋log50.25等于(　　 ) A．0　　B．2　　　C．4　　　D．6 解析：D　[log29×log34＋2log510＋log50.25＝2log23×eq \f(log24,log23)＋log5(102×0.25)＝4＋2＝6.] 2．已知正实数a，b，c满足log2a＝log3b＝log6c，则(　　 ) A．a＝bc B．b2＝ac C．c＝ab D．c2＝ab 解析：C　[设log2a＝log3b＝log6c＝k，则a＝2k， b＝3k，c＝6k，所以ab＝2k·3k＝(2×3)k＝6k＝c.] 3．(2023·春招，10)不等式log2|x－1|＞1的解集是(　　) A．(－1，＋∞) B．(－∞，－1) C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．(－∞，3)∪(3，＋∞) 解析：C　[log2|x－1|＞log22，∵底数2＞1，∴|x－1|＞2，解得x＜－1或x＞3，故选C.] 4．已知函数f(x)＝x3＋alog3x，若f(2)＝6，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝　________　. 解析：由f(2)＝8＋alog32＝6，解得a＝－eq \f(2,log32)，所以 feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq \f(1,8)＋alog3eq \f(1,2)＝eq \f(1,8)－alog32＝eq \f(1,8)＋eq \f(2,log32)×log32＝eq \f(17,8). 答案：eq \f(17,8) 5．计算下列各式的值： (1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))－2·＋eq \r(1－\r(3)2)； (2)(lg 2)2＋lg 5(lg 2＋1)＋4log4eq \r(3)·log3 2. 解：(1)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))3×eq \f(2,3)＋eq \r(3)－1＝eq \f(4,9)×eq \f(9,4)＋eq \r(3)－1＝eq \r(3). (2)lg 2＋lg 5－0.125eq \f(1,3)＋ln 1＋log2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＋(1＋eq \r(2 026))0＝lg(2×5)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8))) eq \f(1,3)＋0＋4log2eq \f(1,2)＋1＝lg 10－eq \f(1,2)－4＋1＝1－eq \f(1,2)－4＋1＝－eq \f(5,2). $