第4章 4.2 指数函数-【创新教程】2027年职教高考总复习数学（配套课件）

4．2　指数函数 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 梳理 必备知识 提升 学科素养 01 02 突破 高效演练 03 第四章 指数函数与对数函数 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 梳理 必备知识 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 提升 学科素养 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 突破 高效演练 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第四章 指数函数与对数函数 [知识点]　指数函数及其图象和性质　 1．(1)一般地，函数　y＝ax(a＞0且a≠1)　称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1. (2)指数函数y＝ax(a>0且a≠1)具有下列性质： ①定义域是　(－∞，＋∞)　. ②值域是　(0，＋∞)　，即对任何实数x，都有ax>0，也就是说函数图象一定在x轴的上方． ③函数图象一定过点　(0,1)　. ④当a>1时，y＝ax是　在R上是增函数　；当0<a<1时，y＝ax是　在R是减函数　. ⑤指数函数的图象． 底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a＞1时，指数函数的图象是“上升”的；当0＜a＜1时，指数函数的图象是“下降”的． 2．指数函数解析式的3个特征： (1)底数a为大于0且不等于1的常数． (2)自变量x的位置在指数上，且x的系数是1. (3)ax的系数是1. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(　　) (2)函数y＝a－x是R上的增函数．(　　) (3)函数 (a>1)的值域是(0，＋∞)．(　　) (4)函数y＝2x－1是指数函数．(　　) (5)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　　) (6)y＝x2是指数函数．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)× 2．函数y＝(eq \r(3)－1)x在R上是(　　 ) A．增函数　　　　　　 B．奇函数 C．偶函数 D．减函数 答案：D 3．设f(x)＝ax，且f(1)＝2，则f(0)＋f(2)＝(　　 ) A．4　B．5　　C．6　　D．7 解析：B　[由题意，函数f(x)＝ax，因为f(1)＝2，可得f(1)＝a1＝2，解得a＝2，即f(x)＝2x，所以f(0)＋f(2)＝20＋22＝5.故选B.] 4．函数y＝(a－2)ax是指数函数，则(　　 ) A．a＝1或a＝3 B．a＝1 C．a＝3 D．a>0且a≠1 答案：C 5．已知函数y＝f(x)是偶函数，当x∈(0，＋∞)时，y＝ax(0＜a＜1)，则该函数在(－∞，0)上的图象大致是(　　) 解析：B　[由指数函数可知y＝ax(0＜a＜1)在(0，＋∞)上图象为 (－∞，0)上的图象是，故选B.] 6．函数f(x)＝2x＋3的值域为　________　. 答案：(3，＋∞) 比较指数幂的大小 [例1]　比较下列各题中的两个值的大小． (1)0.8－0.1,1.250.2； (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))－π，1； (3)0.2－3，(－3)0.2. [解析]　(1)因为0.8－0.1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))－0.1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))0.1，1．250.2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))0.2， 又指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))x为增函数，且0.1＜0.2， 所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))0.1＜eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))0.2，即0.8－0.1＜1.250.2. (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)))－π＝ππ＞π0＝1， (3)0.2－3＞0.20＝1，(－3)0.2＝(－3)eq \f(1,5)＝eq \r(5,－3)＜0，所以0.2－3＞(－3)0.2. 比较指数幂大小的常用方法 一是单调性法，不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底． 二是取中间值法，不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是0,1)比较大小，然后得出大小关系． 三是图解法，根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较大小． 1．比较下列各题中两个值的大小： (1)1.72.5与1.73 (2)0.8－eq \r(2)与0.8－eq \r(3) (3)1.70.3与0.93.1. 解析：(1)(单调性法)由于1.73与1.72.5的底数是1.7，故构造函数y＝1.7x，而函数y＝1.7x在R上是增函数．又2.5<3，∴1.72.5<1.73. (2)(单调性法)由于0.8－eq \r(2)与0.8－eq \r(3)的底数是0.8，故构造函数y＝0.8x，而函数y＝0.8x在R上是减函数． 又－eq \r(2)＞－eq \r(3)，所以0.8－eq \r(2)＜0.8－eq \r(3). (3)(中间量法)由指数函数的性质，知0.93.1<0.90＝1,1.73.1>1.70＝1，则1.73.1 >　0.93.1. 　　　求解含有指数幂的函数定义域或不等式 [例2]　求函数y＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))x－64)的定义域． [解]　根据题意得，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))x－64≥0， 即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))x≥64，化简整理得2－4x≥26，所以－4x≥6，解得x≤－eq \f(3,2). 所以函数y＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))x－64)的定义域为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2))). 函数的定义域一般从以下几个方面考虑： (1)分式的分母不为零； (2)偶次根号eq \r(n,a)(n∈N*，n≥2，n为偶数)中，a≥0； (3)零的零次方没有意义． 2．已知函数. (1)求函数f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的奇偶性，并证明； (3)解不等式f(x)≥4. 解析：(1)易知函数，x∈R. 所以定义域为R. (2)由，从而知f(x)为偶函数； (3)由条件得≥4＝22，得x2－1≥2，解得x≥eq \r(3)或x≤－eq \r(3). 所以不等式的解集为：{x|x≥eq \r(3)或x≤－eq \r(3)}． 指数函数的值域及最值问题 [例3]　求下列函数的定义域、值域． (1)y＝eq \f(3x,1＋3x)；(2)y＝4x－2x＋1. [解析](1)∵对一切x∈R,3x≠－1；∴函数的定义域为R； ∵y＝eq \f(1＋3x－1,1＋3x)＝1－eq \f(1,1＋3x)；又∵3x>0,1＋3x>1； ∴0<eq \f(1,1＋3x)<1，∴－1<－eq \f(1,1＋3x)<0； ∴0<1－eq \f(1,1＋3x)<1，∴值域为(0,1)． (2)函数的定义域为R； y＝(2x)2－2x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)； ∵2x>0，∴2x＝eq \f(1,2)，即x＝－1时，y取最小值eq \f(3,4)； 同时y可以取一切大于eq \f(3,4)的实数； ∴值域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞)). 要熟悉指数函数的图象和性质，对一些简单的复合函数可以用换元法，但要注意换元后的范围． 3．函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在区间[－2，－1]上的最小值为　________　； 解析：∵f(x)在[－2，－1]上单调递减， ∴f(x)min＝f(－1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1＝2 故答案为：2. 答案：2 [答案]　(－∞，1] 指数型复合函数的相关问题 [例4]　若k＜4x＋1对一切实数x都成立，则实数k的取值范围是　______　. [解析]　k＜4x＋1对一切实数x都成立， 即k＜(4x＋1)min 因为4x＞0，所以4x＋1＞1，所以k≤1. 故答案为：(－∞，1]． 求指数型复合函数的单调区间和值域的方法 (1)形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数求值域时，要借助换元法：令u＝f(x)，先求出u＝f(x)的值域，再利用y＝au的单调性求出y＝af(x)的值域． (2)形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数单调性的判断，首先确定定义域D，再当a>1时，若f(x)在区间(m，n)上，其中(m，n)⊆D 具有单调性，则函数y＝af(x)在区间(m，n)上的单调性与f(x)在区间(m，n)上的单调性相同； 当0<a<1时，若f(x)在区间(m，n)上，其中(m，n)⊆D具有单调性，则函数y＝af(x)在区间(m，n)上的单调性与f(x)在区间(m，n)上的单调性相反．以上概括为同增异减． 4．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xx＜－1,2x≥－1))的值域是　_______________　. 解析：当x＜－1时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＞eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1＝2 当x≥－1时，f(x)＝2. ∴f(x)的值域为[2，＋∞)． 答案：[2，＋∞) [基础题组练] 1．函数y＝eq \r(2x－1)的定义域是(　　 ) A．(－∞，0)　　　　　 B．(－∞，0] C．[0，＋∞) D．(0，＋∞) 解析：C　[由2x－1≥0，得2x≥20，所以x≥0.] 2．下列判断正确的是(　　 ) A．2.52.5＞2.53 B．0.82＜0.83 C．π2＜eq \r(π2) D．0.90.3＞0.90.5 解析：D　[因为y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.3， 所以0.90.3＞0.90.5.] 3．若函数y＝2x在区间[2，a]上的最大值比最小值大4，则a＝(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：C　[∵y＝2x在R上单调递增，∴y＝2x在[2，a]上单调递增，∴当x＝2时，y＝2x取得最小值为4；当x＝a时，y＝2x取得最大值为2a，∴2a－4＝4，解得：a＝3.故选C.] 4．若2x＋1<1，则x的取值范围是(　　 ) A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．(0,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1) 解析：D　[∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是增函数， ∴x＋1<0，∴x<－1.] 5．函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1－x的单调增区间为(　　 ) A．R B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D．(0,1) 解析：A　[令u(x)＝1－x，则u(x)在R上是减函数，又y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))u(x)是减函数， 故y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1－x在R上单调递增，故选A.] 6．已知函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是(　　 ) A．(1,6) B．(1,5) C．(0,5) D．(5,0) 解析：A　[由x－1＝0得x＝1，f(1)＝4＋2a0＝6.所以函数 f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过定点(1,6)．] 7．若－1＜x＜0，a＝2－x，b＝2x，c＝0.2x，则a，b，c的大小关系是　________　. 解析：因为－1＜x＜0，所以由指数函数的图象和性质可得：2x＜1,2－x＞1,0.2x＞1，又因为0.5x＜0.2x，所以b＜a＜c. 答案：b＜a＜c 8．已知a＝eq \f(\r(5)－1,2)，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为　________　. 解析：∵a＝eq \f(\r(5)－1,2)∈(0,1)，∴f(x)＝ax在R上是减函数，又f(m)>f(n)，∴m<n. 答案：m<n 9．已知指数函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)， 过点(2,4)． (1)求f(x)的解析式； (2)若f(2m－1)－f(m＋3)＜0，求实数m的取值范围． 解：(1)将点(2,4)代入f(x)＝ax，得4＝a2，a＝2， 故f(x)＝2x； (2)∵2＞1，∴f(x)是增函数，f(2m－1)－f(m＋3)＜0，即f(2m－1)＜f(m＋3)，2m－1＜m＋3，m＜4；所以m的取值范围，m＜4. [综合题组练] 1．函数的值域是(　　 ) A．(－∞，4)　　　　　 B．(0，＋∞) C．(0,4] D．[4，＋∞) 解析：C　[设t＝x2＋2x－1，则y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t.因为0<eq \f(1,2)<1，所以y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t为关于t的减函数．因为t＝(x＋1)2－2≥－2，所以0<y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－2＝4，故所求函数的值域为(0,4]．] 2．已知a，b∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x>0时，1<bx<ax，则(　　 ) A．0<b<a<1 B．0<a<b<1 C．1<b<a D．1<a<b 解析：C　[因为x>0时，1<bx，所以b>1.因为x>0时，bx<ax，所以x>0时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))x>1.所以eq \f(a,b)>1，所以a>b.所以1<b<a.故选C.] 3．函数f(x)＝eq \f(\r(2x－4),3x－9)的定义域为　________　. 解析：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－4≥0，,3x－9≠0，))解得x＞2. 所以函数f(x)的定义域为(2，＋∞)． 答案：(2，＋∞) 4．已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))ax，a为常数，且函数的图象过点(－1,2)． (1)求a的值； (2)若g(x)＝4－x－2，且g(x)＝f(x)，求满足条件的x的值． 解：(1)由已知得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－a＝2.解得a＝1. (2)由(1)知f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，又g(x)＝f(x)，则4－x－2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x， 所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－2＝0，令eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＝t，则t>0，t2－t－2＝0， 即(t－2)(t＋1)＝0，又t>0，故t＝2，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＝2.解得x＝－1， 故满足条件的x的值为－1. $