第3章 3.5 二次函数(二次函数的图象与性质)-【创新教程】2027年职教高考总复习数学（配套课件）

3．5　二次函数(二次函数的图象与性质) 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 梳理 必备知识 提升 学科素养 01 02 突破 高效演练 03 第三章 函数 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 梳理 必备知识 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 提升 学科素养 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 突破 高效演练 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 [知识点一]　二次函数的概念　 1．定义：形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫作二次函数．其中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项． 2．解析式： (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中顶点为(h，k)； (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中抛物线与x轴的交点为(x1,0)，(x2,0)． [知识点二]　二次函数的图象和性质　 解析式 f(x)＝ax2＋bx ＋c(a＞0) f(x)＝ax2＋bx ＋c(a＜0) 图象 定义域 　R　 　R　 值域 　eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))　 　eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))　 单调性 在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递减；在　eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))　上单调递增 在　eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))　上单调递增；在　eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))　上单调递减 对称性 函数的图象关于直线x＝－eq \f(b,2a)对称 [基础自测] 1．函数y＝－eq \f(1,2)(x＋1)2＋2的顶点坐标是(　　 ) A．(1,2)　　　　　 B．(1，－2) C．(－1,2) D．(－1，－2) 答案：C 2．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(4)＝f(1)，那么(　　 ) A．f(2)＞f(3) B．f(3)＞f(2) C．f(3)＝f(2) D．f(3)与f(2)大小不能确定 答案：C 3．函数f(x)＝x2＋bx＋c的对称轴是直线x＝1，则(　　) A．f(0)＝f(3) B．f(0)＞f(3) C．f(0)＜f(3) D．无法比较 解析：C　[抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，则f(0)＝f(2)．因为函数在区间[1，＋∞)上单调递增，所以f(2)＜f(3)，即f(0)＜f(3)．故选C.] 4．抛物线y＝2x2－x＋1的对称轴和顶点坐标分别是(　　 ) A．x＝eq \f(1,2)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(7,8))) B．x＝eq \f(1,4)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(7,8))) C．x＝eq \f(1,2)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(7,4))) D．x＝eq \f(1,4)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(7,4))) 解析：B　[y＝2x2－x＋1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,2)x＋\f(1,2)))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))2＋eq \f(7,8)，所以抛物线的对称轴为直线x＝eq \f(1,4)，顶点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(7,8))).故选B.] 5．已知函数y＝x2＋bx＋c在区间(－∞，1)上是单调递减函数，则实数b的取值范围是(　　) A．b≥－2 B．b≤－2 C．b＞－2 D．b＜－2 解析：B　[x＝－eq \f(b,2)≥1，解得b≤－2.故选B.] 6．(1)二次函数y＝2x2－mx＋n图象的顶点坐标为(1，－2)，则m＝　________　，n＝　________　. (2)已知二次函数y＝x2＋(m－2)x－2m，当m＝　______　时，函数图象的顶点在y轴上；当m＝　______　时，函数图象的顶点在x轴上；当m＝　______　时，函数图象经过原点． (3)函数y＝－3(x＋2)2＋5的图象的开口向　______　，对称轴为　______　，顶点坐标为　______　；当x＝　______　时，函数取最　______　值y＝　______　；当x　______　时，y随着x的增大而减小． 答案：(1)4,0；(2)2，－2,0；(3)下，x＝－2， (－2,5)，－2，大，5，大于－2. 二次函数的三种解析式形式 [例1]　已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2,8)，求此二次函数的表达式． [解析]　设该二次函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2,8)，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－22＝a－b＋c,－8＝c,8＝4a＋2b＋c))，解得a＝－2，b＝12，c＝－8. 所以，所求的二次函数为y＝－2x2＋12x－8. (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)； (3)交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标． 在求二次函数的表达式时，可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题． 1．已知某二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点(3，－1)，求二次函数的解析式． 解析：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标， ∴顶点的纵坐标为2. 又顶点在直线y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1.∴顶点坐标是(1,2)． 设该二次函数的解析式为y＝a(x－1)2＋2 ∵二次函数的图象经过点(3，－1)，代入解得a＝－eq \f(3,4). ∴二次函数的解析式为y＝－eq \f(3,4)x2＋eq \f(3,2)x＋eq \f(5,4). 二次函数的图象性质 [例2]　如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的大致图象为(　　 ) 解析：B　[若a＜0，b＞0，c＜0，则该二次函数开口向下，对称轴x＝－eq \f(b,2a)＞0，与y轴的交点位于x轴下方，符合条件的图象只有选项B.故选B.] (1)当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向上；顶点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))，对称轴为直线x＝－eq \f(b,2a)；当x＜－eq \f(b,2a)时，y随着x的增大而减小；当x＞－eq \f(b,2a)时，y随着x的增大而增大；当x＝－eq \f(b,2a)时，函数取最小值y＝eq \f(4ac－b2,4a). (2)当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向下；顶点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))，对称轴为直线x＝－eq \f(b,2a)；当x＜－eq \f(b,2a)时，y随着x的增大而增大；当x＞－eq \f(b,2a)时，y随着x的增大而减小；当x＝－eq \f(b,2a)时，函数取最大值y＝eq \f(4ac－b2,4a). 2．二次函数y＝x2＋ax＋a－2的图象与x轴的两个交点间的距离是2，求实数a的值． 解析：设二次函数y＝x2＋ax＋a－2的图象与x轴的两个交点为A(x1,0)，B(x2,0)，则由题意得，x1，x2是方程x2＋ax＋a－2＝0的两个实数根，可得x1＋x2＝－a，x1x2＝a－2.因此由|AB|＝eq \r(x2－x12)＝2得，(x1＋x2)2－4x1x2＝4，即(－a)2－4(a－2)＝4，化简得a2－4a＋4＝0，即(a－2)2＝0，解得a＝2. 　　一元二次方程中根与系数的关系 [例3]　(1)若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根． ①求|x1－x2|的值； ②求eq \f(1,x\o\al(2,1))＋eq \f(1,x\o\al(2,2))的值； ③求xeq \o\al(3,1)＋xeq \o\al(3,2)的值． (2)已知方程5x2＋kx－6＝0的一个根是2，求它的另一个根及k的值． (1)[解析]　∵x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根， ∴x1＋x2＝－eq \f(5,2)，x1x2＝－eq \f(3,2). ①∵|x1－x2|2＝xeq \o\al(2,1)＋xeq \o\al(2,2)－2x1x2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))2－4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq \f(25,4)＋6＝eq \f(49,4)，∴|x1－x2|＝eq \f(7,2). ②eq \f(1,x\o\al(2,1))＋eq \f(1,x\o\al(2,2))＝eq \f(x\o\al(2,1)＋x\o\al(2,2),x\o\al(2,1)·x\o\al(2,2))＝eq \f(x1＋x22－2x1x2,x1x22)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))2－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2))),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2)＝eq \f(\f(25,4)＋3,\f(9,4))＝eq \f(37,9). ③xeq \o\al(3,1)＋xeq \o\al(3,2)＝(x1＋x2)(xeq \o\al(2,1)－x1x2＋xeq \o\al(2,2))＝(x1＋x2)[(x1＋x2)2－3x1x2]＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))2－3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))))＝－eq \f(215,8). (2)设方程的另一个根为x1，则2x1＝－eq \f(6,5)，∴x1＝－eq \f(3,5).由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＋2＝－eq \f(k,5)，得k＝－7.所以，方程的另一个根为－eq \f(3,5).k的值为－7. 利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形： 3．已知α、β是方程x2＋2x－5＝0的两个实数根，则α2＋αβ＋2α的值为　________　. 解析：由于α、β是方程x2＋2x－5＝0的实数根， ∴α2＋2α－5＝0，αβ＝－5，∴α2＋2α＝5 ∴α2＋αβ＋2α＝α2＋2α＋αβ＝5－5＝0. 答案：0 [基础题组练] 1．已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，在区间(－∞，－2]上是减函数，则m＝(　　) A．16　B．－16　　C．8　　D．－8 答案：B 2．设x∈R，则“x2－5x＋6＜0”是“|x－2|＜1”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 3．二次函数y＝x2－2x＋3图象的对称轴方程为(　　 ) A．x＝1 B．x＝2 C．x＝－1 D．x＝－2 解析：A　[二次函数y＝x2－2x＋3图象的对称轴方程为x＝－eq \f(－2,2×1)＝1.故选A.] 4．不等式y＝ax2－x－c＞0的解集为{x|－2＜x＜1}，则函数y的图象为(　　) 答案：B 5．函数y＝－ax＋1与y＝ax2在同一坐标系中的图象大致是图中的(　　) 解析：A　[当a＞0时，y＝－ax＋1在x，y轴上截距分别是eq \f(1,a)＞0,1，而y＝ax2开口向上，顶点为原点且对称轴为y轴，排除B； 当a＜0时，y＝－ax＋1在x，y轴上截距分别是eq \f(1,a)＜0,1，而y＝ax2开口向下，顶点为原点且对称轴为y轴，排除C、D，故选A.] 6．函数f(x)＝x2＋bx＋4的图象总在x轴上方，则b的取值范围是　________　. 解析：因为函数f(x)＝x2＋bx＋4的图象总在x轴上方，∴Δ＝b2－16＜0，解得－4＜b＜4. 故答案为(－4,4)． 答案：(－4,4) 7．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，确定下列各式的正负：b　________　0，ac　________　0，a－b＋c　________　0. 解析：∵a<0，－eq \f(b,2a)>0，c>0，∴b>0，ac<0. 设y＝f (x)＝ax2＋bx＋c，则a－b＋c＝f (－1)<0. 故答案为＞；＜；＜. 答案：>　<　< 8．二次函数y＝f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)，且f(x)＝0有两个实根x1、x2，x1＋x2等于　________　. 解析：∵二次函数y＝f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)， ∴二次函数y＝f(x)的对称轴为x＝3，∴二次函数f(x)与x轴的两个交点关于x＝3对称，即两个交点的中点为3. 根据中点坐标公式得到f(x)＝0的两个实数根之和为x1＋x2＝2×3＝6.故本题答案为6. 答案：6 9．(1)已知函数f(x－3)＝x2－4x＋6，求f(x)的解析式． (2)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝2，f(x＋2)－f(x)＝2x＋4，求f(x)的解析式． 解析：(1)令t＝x－3，则x＝t＋3. 因为f(x－3)＝x2－4x＋6， 所以f(t)＝(t＋3)2－4(t＋3)＋6＝t2＋2t＋3 故f(x)＝x2＋2x＋3. (2)设所求的二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ∵f(0)＝2，∴c＝2，则f(x)＝ax2＋bx＋2. 又∵f(x＋2)－f(x)＝2x＋4，∴a(x＋2)2＋b(x＋2)＋2－(ax2＋bx＋2)＝2x＋4，即4ax＋4a＋2b＝2x＋4， 由恒等式性质得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4a＝2,4a＋2b＝4))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2),b＝1))， ∴所求二次函数为f(x)＝eq \f(1,2)x2＋x＋2. [综合题组练] 1．关于x的方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的一个根比1大，另一个根比1小，则(　　 ) A．－1＜a＜1　　　 B．|a|＞1 C．－2＜a＜1 D．a＜－2或a＞1 解析：C　[设f(x)＝x2＋(a2－1)x＋a－2.由f(1)＜0⇒a2＋a－2＜0，解得－2＜a＜1.所以应选C.] 2．函数f(x)＝－x2＋2|x|的大致图象为(　　) 解析：D　[函数f(－x)＝－x2＋2|x|＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故A错误； 因为f(1)＝－1＋2＝1，故B错误； 当x＝5时，f(5)＝－52＋25＝7＞0，故C错误．故选D.] 3．函数y＝eq \r(2x－x2)的递增区间是　________　. 解析：由题意得2x－x2≥0，即0≤x≤2， 又因y＝2x－x2的对称轴为x＝1，所以y＝2x－x2在[0,1]上单调递增，故根据复合函数单调性，得函数y＝eq \r(2x－x2)的递增区间为[0,1]． 答案：[0,1] 4．若二次函数满足f(x＋1)－f(x)＝2x且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式； (2)若在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围． 解析：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1， 得c＝1，f(x)＝ax2＋bx＋1. ∵f(x＋1)－f(x)＝2x， ∴2ax＋a＋b＝2x，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a＝2,a＋b＝0))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝－1))， ∴f(x)＝x2－x＋1. (2)由题意，x2－x＋1>2x＋m在[－1,1]上恒成立，即x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立． 令g(x)＝x2－3x＋1－m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2－eq \f(5,4)－m，其对称轴为x＝eq \f(3,2)， ∴g(x)在区间[－1,1]上是减函数， ∴g(x)min＝g(1)＝1－3＋1－m>0，∴m<－1. $