第3章 3.4 函数的奇偶性-【创新教程】2027年职教高考总复习数学（配套课件）

3．4　函数的奇偶性 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 梳理 必备知识 提升 学科素养 01 02 突破 高效演练 03 第三章 函数 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 梳理 必备知识 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 提升 学科素养 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 突破 高效演练 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 [知识点一]　函数的奇偶性：　 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有　f(－x)＝f(x)　，那么函数f(x)是偶函数 关于　y轴　对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有　f(－x)＝－f(x)　，那么函数f(x)是奇函数 关于　原点　对称 [知识点二]　奇偶性与单调性：　 一般地，若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性． [知识点三]　奇偶性的推广　 一般地，对于定义域内任意x， (1)若f(a－x)＝2b－f(a＋x)，则f(x)的图象关于点(a，b)对称．当a＝b＝0时，即为奇函数的定义． (2)若f(a－x)＝f(a＋x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称，当a＝0时，即为偶函数的定义． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．(　　) (2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．(　　) (3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数，就是偶函数．(　　) (4)函数f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数．(　　) (5)“a＋b＝0”是“函数f(x)在区间[a，b](a≠b)上具有奇偶性”的必要条件．(　　) (6)若函数f(x)是奇函数，则必有f(0)＝0.(　　) (7)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，若在(－∞，0)上是减函数，则在(0，＋∞)上是增函数．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　(6)×　(7)√ 2．下列函数为奇函数的是(　　 ) A．y＝|x|　　　　　 B．y＝3－x C．y＝eq \f(1,x3) D．y＝－x2＋14 解析：C　[A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数．故选C.] 3．若函数y＝f(x)，x∈[－2，a]是偶函数，则a的值为(　　 ) A．－2 B．2 C．0 D．不能确定 解析：B　[因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－2＋a＝0，所以a＝2.故选B.] 4．下列图象表示的函数是奇函数的是______________________，是偶函数的是　________　.(填序号) 解析：(1)(3)关于y轴对称是偶函数，(2)(4)关于原点对称是奇函数． 答案：(2)(4)　(1)(3) 5．已知函数f(x)为R上的偶函数，且当x＜0时，f(x)＝x(x－1)，则当x＞0时，f(x)＝　________　. 解析：当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1)，因为函数f(x)为R上的偶函数，故f(x)＝f(－x)＝x(x＋1)． 答案：x(x＋1) 函数奇偶性的判断 [例1]　判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝x3＋x； (2)f(x)＝eq \r(1－x2)＋eq \r(x2－1). [解析]　(1)函数的定义域为R，关于原点对称． 又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝ －f(x)，因此函数f(x)是奇函数． (2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－x2≥0,x2－1≥0))，得x2＝1，即x＝±1.因此函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称． 又f(1)＝f(－1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数． 函数奇偶性判断的方法 (1)定义法： (2)图象法： 1．判断下列函数的奇偶性． (1)函数f(x)＝eq \f(2x2＋2x,x＋1)是(　　 ) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 (2)f(x)＝x2(x2＋2)； (3)f(x)＝|x＋1|－|x－1|； 解析：(1)D　[因为f(x)＝eq \f(2x2＋2x,x＋1)，所以x＋1≠0，即x≠－1，故f(x)的定义域为{x|x≠－1}，显然f(x)的定义域不关于原点对称，故f(x)既不是奇函数又不是偶函数．故选D.] (2)∵x∈R，∴－x∈R. 又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，∴f(x)为偶函数． (3)∵x∈R，∴－x∈R.又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数． 奇、偶函数的图象问题 [例2]　已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示． (1)画出f(x)在区间[－5,0]上的图象； (2)写出使f(x)<0的x的取值集合． [解析]　(1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示． (2)由图象知，使函数值f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)． 根据奇偶函数在原点一侧的图象求解与函数有关的值域、定义域、不等式问题时，应根据奇偶函数图象的对称性作出函数在定义域另一侧的图象，根据图象特征求解问题． 2．若偶函数f(x)在区间[1,2 026]上的最大值为2 026，则函数f(x)在区间[－2 026，－1]上有(　　) A．最小值－2 026　　 B．最小值2 026 C．最大值－2 026 D．最大值2 026 解析：D　[因为f(x)为偶函数，所以f(x)的图像关于x＝0，即y轴对称，也就是说自变量相反的两个数函数值一样，所以f(x)有最大值2 026.故选D.] 利用奇偶性求解析式 [例3]　已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x>0时，f(x)＝x2＋x，求当x<0时，f(x)的解析式. [解析]　设x<0，则－x>0. ∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x. 又∵f(x)是定义域为R的偶函数， ∴f(－x)＝f(x)＝x2－x，∴当x<0时，f(x)＝x2－x. 已知区间[a，b]上的解析式，求[－b，－a]上的解析式： (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)． 3．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－x2，求y＝f(x)的解析式． 解析：设x<0，则－x>0，因为f(x)是奇函数，所以当x<0时， f(x)＝－f(－x)＝－[2(－x)－(－x)2]＝2x＋x2. 因为y＝f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0.所以 f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋2x，x≤0,2x－x2，x>0)). 函数的奇偶性和单调性的综合应用 [例4]　(1)(利用奇偶性求函数值)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，若f(－3)＝10，则f(3)＝(　　 ) A．26　　B．18　　C．10　　D．－26 [解析]　[法一　由f(x)＝x5＋ax3＋bx－8， 得f(x)＋8＝x5＋ax3＋bx. 令G(x)＝x5＋ax3＋bx＝f(x)＋8，∵G(－x)＝ (－x)5＋a(－x)3＋b(－x)＝－(x5＋ax3＋bx)＝－G(x)， ∴G(x)是奇函数，∴G(－3)＝－G(3)，即f(－3)＋8＝－f(3)－8.又f(－3)＝10， ∴f(3)＝－f(－3)－16＝－10－16＝－26. 法二　由已知条件，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f－3＝－35＋a－33＋b－3－8①,f3＝35＋a·33＋b·3－8②))， ①＋②得f(3)＋f(－3)＝－16，又f(－3)＝10， ∴f(3)＝－26.] [答案]　D (2)(利用奇偶性求参数值) 若函数f(x)＝eq \f(x＋1x＋a,x)为奇函数，则a＝　________　. [解析]　∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即eq \f(－x＋1－x＋a,－x)＝－eq \f(x＋1x＋a,x)，显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，解得a＝－1. [答案]　－1 (3)已知函数y＝f(x)在定义域[－1,1]上是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)<0，求实数a的取值范围． [解]　由f(1－a2)＋f(1－a)<0，得f(1－a2)<－f(1－a)． ∵y＝f(x)在[－1,1]上是奇函数，∴－f(1－a)＝f(a－1)，∴f(1－a2)<f(a－1)． 又f(x)在[－1,1]上单调递减， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－1≤1－a2≤1,－1≤1－a≤1,－1≤a－1≤1,1－a2>a－1))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0≤a2≤2,0≤a≤2,－2<a<1))，∴0≤a<1. ∴实数a的取值范围是[0,1)． 1．充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再利用单调性脱掉“f”求解． 2．在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响． 4．定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围． 解析：∵函数f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(|x|)． ∴f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)．∴原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2≤1－m≤2,－2≤m≤2,|1－m|>|m|))，解得－1≤m<eq \f(1,2).∴实数m的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))). [基础题组练] 1．函数f(x)＝|x|＋1是(　　 ) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 答案：B 2．f(x)＝x3＋eq \f(1,x)的图象关于(　　 ) A．原点对称　　　　　 B．y轴对称 C．y＝x对称 D．y＝－x对称 答案：A 3．(多选)若奇函数f(x)在[1,3]上为增函数，且有最小值0，则它在[－3，－1]上(　　 ) A．是减函数 B．是增函数 C．有最大值0 D．有最小值0 解析：BC　[由于奇函数的图象关于原点成中心对称，故奇函数的图象在对称区间上具有相同的单调性，且一侧的最小值对应另一侧的最大值，故选BC.] 4．已知函数f(x)＝x2＋(2－m)x＋m2＋12为偶函数，则m的值是(　　 ) A．4　　B．3　　　C．2　　　D．1 解析：C　[因为函数f(x)＝x2＋(2－m)x＋m2＋12为偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即x2＋(2－m)x＋m2＋12＝(－x)2－(2－m)x＋m2＋12， 即4－2m＝0，所以m＝2.故选C.] 5．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　 ) A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3) C．f(π)<f(－3)<f(－2) D．f(π)<f(－2)<f(－3) 解析：A　[因为当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，所以有f(2)<f(3)<f(π)．又f(x)是R上的偶函数，故f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，从而有f(－2)<f(－3)<f(π)．故选A.] 6．若函数f(x)＝1－eq \f(a,2x－1)的图象关于原点对称，则实数a等于(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：A　[由已知得，函数f(x)为奇函数，所以f(1)＋f(－1)＝0，即1－eq \f(a,2－1)＋1－eq \f(a,\f(1,2)－1)＝0,1－a＋1＋2a＝0，解得a＝－2.故选A.] 7．若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝log2(x＋2)－1，则f(－6)＝(　　 ) A．2 B．4 C．－2 D．－4 解析：C　[根据题意得f(－6)＝－f(6)＝1－log2(6＋2)＝1－3＝－2.故选C.] 8．若f(x)是偶函数，其定义域为R且在[0，＋∞)上是减函数，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))与f(a2－a＋1)的大小关系是　________　. 解析：显然a2－a＋1≥eq \f(3,4).又∵f(x)在[0，＋∞)上是减函数， ∴f(a2－a＋1)≤feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4))).又f(x)是偶函数， ∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))，∴f(a2－a＋1)≤feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))). 答案：f(a2－a＋1)≤feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))) 9．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝ax2－2x，且f(4)＝8.求 (1)实数a的值； (2)该函数的解析式． 解：(1)当x≥0时，f(4)＝8，∴f(4)＝16a－8＝8，即16a＝16，a＝1. (2)由(1)知x≥0时，f(x)＝x2－2x，设x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x，又因f(x)是奇函数，所以－f(x)＝f(－x)＝x2＋2x， ∴f(x)＝－x2－2x(x＜0)，由以上可知该函数的解析式为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x2－2x　x＜0,x2－2x　x≥0)). [综合题组练] 1．设二次函数f(x)＝(a2－1)x2＋(a2－a)x＋22 026是偶函数，则a＝(　　) A．0或1 B．0或－1 C．－1 D．0 解析：D　[二次函数f(x)＝(a2－1)x2＋(a2－a)x＋22 026的定义域为R，关于原点对称．因为二次函数f(x)＝(a2－1)x2＋(a2－a)x＋22 026是偶函数， 所以f(－x)＝(a2－1)(－x)2－(a2－a)(－x)＋22 026＝(a2－1)x2＋(a2－a)x＋22 026＝f(x)，且a2－1≠0，化简得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2－1≠0,2a2－a＝0))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2－1≠0,aa－1＝0))， 解得a＝0.] 2．已知定义域为(－1,1)的奇函数f(x)是减函数，且f(a－3)＋f(9－a2)<0，则实数a的取值范围是(　　 ) A．(2eq \r(2)，3) B．(3，eq \r(10)) C．(2eq \r(2)，4) D．(－2,3) 解析：A　[由f(a－3)＋f(9－a2)<0得f(a－3)<－f(9－a2)．又由奇函数性质得f(a－3)<f(a2－9)．因为f(x)是定义域为(－1,1)的减函数，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－1<a－3<1,－1<a2－9<1,a－3>a2－9))，解得2eq \r(2)<a<3.故选A.] 3．已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，则f(1)＝　________　. 解析：由f(－x)＝a(－x)3－2(－x)＝－ax3＋2x＝－(ax3－2x)＝－f(x)且定义域为R，所以f(x)为奇函数，故f(1)＝－f(－1)＝－4.故答案为－4. 答案：－4 4．已知函数f(x)＝mx3＋nx－1，若f(3)＝2 026，则f(－3)＝　________　. 解析：设g(x)＝mx3＋nx， 由于g(x)的定义域为(－∞，＋∞)，且g(－x)＝m(－x)3＋n(－x)＝－(mx3＋nx)＝－g(x)， 所以g(x)为奇函数． 由f(3)＝g(3)－1＝2 026，可得g(3)＝2 027， 所以g(－3)＝－g(3)＝－2 027， 故f(－3)＝g(－3)－1＝－2 028. 答案：－2 028 5．函数f(x)＝eq \f(ax＋b,1＋x2)是定义在(－1,1)上的奇函数，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq \f(2,5). (1)确定函数f(x)的解析式； (2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数； (3)解不等式f(t－1)＋f(t)<0. (1)解：由于f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，则有 f(0)＝0，即eq \f(0＋b,1＋02)＝0，解得b＝0，∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq \f(2,5)， ∴eq \f(\f(1,2)a,1＋\f(1,4))＝eq \f(2,5)，∴a＝1.∴函数解析式为f(x)＝eq \f(x,1＋x2) (－1<x<1)． (2)证明　任取x1，x2∈(－1,1)，且x1<x2， f(x1)－f(x2)＝eq \f(x1,1＋x\o\al(2,1))－eq \f(x2,1＋x\o\al(2,2))＝eq \f(x1－x21－x1x2,1＋x\o\al(2,1)1＋x\o\al(2,2))， ∵－1<x1<x2<1，∴x1－x2<0,1－x1x2>0，(1＋xeq \o\al(2,1))(1＋xeq \o\al(2,2))>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．∴f(x)为(－1,1)上的增函数． (3)解析：∵f(t－1)＋f(t)<0，∴f(t－1)<－f(t)． ∵f(x)是(－1,1)上的奇函数，∴f(－t)＝－f(t)，∴f(t－1)<f(－t)． ∵f(x)为(－1,1)上的增函数，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－1<t－1<1,－1<－t<1,t－1<－t))，解得 0<t<eq \f(1,2).∴不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(t|0<t<\f(1,2))). $