第3章 3.3 函数的单调性-【创新教程】2027年职教高考总复习数学（配套课件）

3．3　函数的单调性 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 梳理 必备知识 提升 学科素养 01 02 突破 高效演练 03 第三章 函数 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 梳理 必备知识 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 提升 学科素养 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 突破 高效演练 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 [知识点一]　增函数与减函数的定义　 条件 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1，x2∈D，当x1＜x2时 都有　f(x1)＜f(x2)　 都有　f(x1)＞f(x2)　 结论 那么就称函数f(x)在区间D上是　增　函数 那么就称函数 f(x)在区间D上是　减　函数 图示 [知识点二]　函数的单调性与单调区间　 如果函数y＝f(x)在区间D上是　增函数或减函数　，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫作y＝f(x)的　单调区间　. [知识点三]　基本初等函数的单调区间如下表所示　 函数 条件 单调递增区间 单调递减区间 正比例函数(y＝kx，k≠0)与一次函数(y＝kx＋b，k≠0) k＞0 R 无 k＜0 无 R 反比例函数(y＝eq \f(k,x)，k≠0) k＞0 无 (－∞，0)和 (0，＋∞) k＜0 (－∞，0)和(0，＋∞) 无 二次函数(y＝ax2＋bx＋c，a≠0) a＞0 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞)) eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a))) a＜0 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a))) eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞)) [知识点四]　复合函数的单调性判断：　同增异减 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)因为f(－1)<f(2)，所以函数f(x)在[－1,2]上是增函数．(　　) (2)若f(x)为R上的减函数，则f(0)>f(1)．(　　) (3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．(　　) (4)若函数f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，则f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．(　　) (5)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数．(　　) (6)函数y＝eq \f(1,x)的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　　) (7)对于函数y＝f(x)，若f(1)<f(3)，则f(x)为增函数．(　　) (8)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ (6)×　此单调区间不能用“∪”连接，故单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)． (7)×　应对任意的x1＜x2，f(x1)＜f(x2)成立才可以． (8)×　若f(x)＝x，在[1，＋∞)上为增函数，但y＝f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞)． 2．下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是(　　 ) A．y＝eq \f(1,x)－x　　　　　 B．y＝x2－x C．y＝ln x－x D．y＝ex 解析：A　[易知A中y＝eq \f(1,x)－x在(0，＋∞)内是减函数，B，C中函数y＝x2－x与y＝ln x－x在(0，＋∞)内不单调，D中y＝ex在(0，＋∞)内是增函数．故选A.] 3．函数f(x)＝eq \f(2,x)的单调递减区间是(　　 ) A．(－∞，0)，(0，＋∞) B．(0，＋∞) C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(－∞，0) 解析：A　[因为函数f(x)＝eq \f(2,x)是反比例函数，函数图像为一三象限双曲线，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，故函数的单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．故选A.] 4．设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为　________　. 解析：由题图可知函数的单调递增区间为[－1,1]和[5,7]． 答案：[－1,1]，[5,7] 5．函数y＝4x－x2＋3，x∈[0,3]的单调递增区间是　__________　，最小值是　________　，最大值是　________　. 解析：因为y＝4x－x2＋3＝－(x－2)2＋7， 所以函数y＝4x－x2＋3，x∈[0,3]的单调递增区间是[0,2]．当x＝2时，ymax＝7；当x＝0时，ymin＝3. 答案：[0,2]　3　7 6．函数f(x)＝(2a－1)x－3是R上的减函数，则a的取值范围是　________　. 解析：因为函数f(x)＝(2a－1)x－3是R上的减函数，所以2a－1＜0，解得a＜eq \f(1,2). 答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) 函数单调性的判定与证明 [例1]　用定义证明：函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)在(－1,0)上是减函数. 证明：设－1＜x1＜x2＜0，则有f(x1)－f(x2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(1,x1)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)))＝(x1－x2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)－\f(1,x2)))＝eq \f(x1－x2·x1x2－1,x1x2)， 由于－1＜x1＜x2＜0,0＜x1x2＜1，x1x2－1＜0，又x1x2＞0，x1－x2＜0， 则f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以函数在(－1,0)上为减函数． 利用定义证明函数单调性的4个步骤 1．用定义证明，函数y＝eq \f(2x,x＋1)在(－1，＋∞)上为增函数． 解：设x1>x2>－1， y1－y2＝eq \f(2x1,x1＋1)－eq \f(2x2,x2＋1)＝eq \f(2x1－x2,x1＋1x2＋1)>0， ∴y1>y2，∴函数y＝eq \f(2x,x＋1)在(－1，＋∞)上为增函数． 利用图象确定函数的单调区间 [例2]　如图为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象， 指出它的单调区间． [解析]　函数的单调递增区间为[－1.5,3)，[5,6)， 单调减区间为[－4，－1.5)，[3,5)，[6,7]． 1．求函数单调区间的方法： (1)利用基本初等函数的单调性，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解； (2)利用函数的图象． 2．若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”“和”连接，不能用“∪”连接． 2．画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间． 解析：y＝－x2＋2|x|＋3＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋3＝－x－12＋4x≥0,－x2－2x＋3＝－x＋12＋4x<0)) 函数图象如图所示． 函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数； 函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数． 所以函数的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)． 函数单调性的应用 [例3]　已知函数f(x)的定义域为[－2,2]，且f(x)在区间[－2,2]上是减函数，且f(1－m)＞f(m)，求实数m的取值范围． [解]　因为f(x)在区间[－2,2]上单调递减，所以当－2≤x1＜x2≤2时，总有f(x1)>f(x2)成立，反之也成立，即若f(x1)>f(x2)，则－2≤x1＜x2≤2.因为f(1－m)＞f(m)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2≤m≤2,－2≤1－m≤2，,1－m＜m))解得eq \f(1,2)＜m≤2. 已知函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1)确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数． (2)依据常见函数的单调性，如一次函数、反比例函数、二次函数的单调性求解． (3)要注意：“函数f(x)的增区间是(a，b)”与“函数f(x)在区间(a，b)上单调递增”是不同的，后者意味着区间(a，b)是函数f(x)的增区间的一个子集． 3．若函数f(x)＝(m－1)x＋b在R上是增函数，则f(m)与f(1)的大小关系是(　　 ) A．f(m)＜f(1) B．f(m)＞f(1) C．f(m)≤f(1) D．f(m)≥f(1) 解析：B　[由题意得m－1＞0，即m＞1，而f(x)在R上是增函数，则f(m)＞f(1)，故选B.] [基础题组练] 1．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是(　　 ) A．[0,1]　　　　 B．[－4，－3]∪[1,4] C．[－3,1] D．[－3,4] 答案：C 2．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系正确的是(　　) A．f(1)＜f(0)＜f(－1) B．f(0)＜f(－1)＜f(1) C．f(－1)＜f(0)＜f(1) D．f(0)＜f(1)＜f(－1) 答案：A 3．已知f(x)＝(3a－1)x＋b在(－∞，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是(　　 ) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)) 答案：B 4．已知函数f(x)的定义域是R，若对于任意两个不相等的实数x1，x2，总有eq \f(fx2－fx1,x2－x1)＞0成立，则函数f(x)一定是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数 解析：C　[由题意可知x1≠x2，因为eq \f(fx2－fx1,x2－x1)＞0⇒(x2－x1)(f(x2)－f(x1))＞0⇒在R上，当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2)成立，所以选C.] 5．函数f(x)＝x2＋x－2(x∈[0,2])的值域是(　　 ) A．[－2,4] B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(9,4)，4)) C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,4)，＋∞)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(7,4)，4)) 解析：A　[函数f(x)＝x2＋x－2的对称轴为x＝－eq \f(1,2)，故函数f(x)＝x2＋x－2在[0,2]上单调递增，又f(0)＝－2，f(2)＝4，所以函数f(x)＝x2＋x－2(x∈[0,2])的值域是[－2,4]，故选A.] 6．若函数f(x)＝x2－2ax＋3在(2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是　_______　. 解析：由已知可得函数f(x)＝x2－2ax＋3的图 象为开口向上的抛物线，对称轴方程为x＝a， 又函数在(2，＋∞)上是增函数，故可得a≤2， 综上所述，答案是(－∞，2]． 答案：(－∞，2] 7．已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，求实数x的取值范围为　________　. 解析：因为函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f(2x－3)＞f(5x－6)， 所以2x－3＞5x－6，解得x＜1， 即实数x的取值范围为(－∞，1)． 答案：(－∞，1) 8．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝　________　. 解析：f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋a，x≥－\f(a,2),－2x－a，x＜－\f(a,2)))，∴f(x)的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，＋∞))，∴－eq \f(a,2)＝3，即a＝－6. 答案：－6 9．设a为实数，已知函数y＝f(x)在定义域R上是减函数，且f(a＋1)＞f(2a)，求a的取值范围． 解：因为函数y＝f(x)在定义域R上是减函数，且f(a＋1)＞f(2a)，所以a＋1＜2a，解得a＞1，所以a的取值范围(1，＋∞)． [综合题组练] 1．(多选)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法正确的是(　　 ) A．函数在区间[－5，－3]上单调递增 B．函数在区间[1,4]上单调递增 C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减 D．函数在区间[－5,5]上没有单调性 解析：ABD　[由题图可知，f(x)在区间[－3,1]，[4,5]上单调递减，单调区间不可以用并集“∪”连接，故不选C.] 2．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A可能是(　　 ) A．(－∞，0)　　　　　 B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) C．[0，＋∞) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) 解析：B　[y＝|x|(1－x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1－x，x≥0,－x1－x，x<0))＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x2＋x，x≥0,x2－x，x<0))＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋\f(1,4)，x≥0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2－\f(1,4)，x<0.))画出函数的图象如图所示． 由图易知原函数在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上单调递增．故选B.] 3．(2023·春招，7)若函数f(x)＝(m－2)x＋4在(－∞，＋∞)上是减函数，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，0) B．(－∞，2) C．(0，＋∞) D．(2，＋∞) 解析：B　[∵f(x)为减函数，∴m－2＜0，即m＜2，故选B]． 4．若函数f(x)＝ax＋1在R上递减，则函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的增区间是　_______　 . 解析：因为函数f(x)＝ax＋1在R上递减，所以a<0，所以g(x)＝a(x2－4x＋3)＝a[(x－2)2－1]的增区间是(－∞，2)． 答案：(－∞，2) 5．已知f(x)＝eq \f(x,x－a)(x≠a)． (1)若a＝－2，证明：f(x)在(－∞，－2)上单调递增； (2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围． 解：(1)证明：当a＝－2时，f(x)＝eq \f(x,x＋2). 设x1<x2<－2， 则f(x1)－f(x2)＝eq \f(x1,x1＋2)－eq \f(x2,x2＋2)＝eq \f(2x1－x2,x1＋2x2＋2). 因为(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0， 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增． (2)设1<x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝eq \f(x1,x1－a)－eq \f(x2,x2－a)＝eq \f(ax2－x1,x1－ax2－a). 因为a>0，x2－x1>0， 所以要使f(x1)－f(x2)>0， 只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，所以a≤1. 综上所述，0<a≤1. $