第3章 3.2 分段函数-【创新教程】2027年职教高考总复习数学（配套课件）

3．2　分段函数 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 梳理 必备知识 提升 学科素养 01 02 突破 高效演练 03 第三章 函数 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 梳理 必备知识 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 提升 学科素养 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 突破 高效演练 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 [知识点]　分段函数　 1．分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围有着不同的　对应关系　的函数表达式．例如：函数y＝|x|与函数y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x，x≥0,－x，x＜0))是同一分段函数． 2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的　并集　；各段函数的定义域的交集是　空集　. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分段函数由几个函数构成．(　　) (2)函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤1,－x＋3，x>2))是分段函数．(　　) (3)分段函数的图象不一定是连续的．(　　) (4)y＝|x－1|与y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－1，x≥1,1－x，x<1))是同一函数．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－2，x＜2,－\f(2,x)，x≥2))则f(2)等于(　　) A．－1　　B．0　　　C．1　　　D．2 解析：A　[当x＝2 时，则f(2)＝－eq \f(2,2)＝－1.故选A.] 3．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2x，x＞0,x2＋1，x≤0))，若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于(　　) A．1 B．－1 C．－1或1 D．－3或3 解析：B　[函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2x，x＞0,x2＋1，x≤0))， 若a＞0，可得f(a)＝－2a，由f(a)＋f(1)＝0，知－2a－2＝0，解得a＝－1(舍)； 若a≤0，可得f(a)＝a2＋1，由f(a)＋f(1)＝0，知a2＋1－2＝0，解得a＝1(舍)或a＝－1，符合题意．综上，a＝－1. 故选B.] 4．已知函数f(x)的对应值如下表所示： 函数y＝f(x)的对应值表 x 0 1 2 3 4 5 y 3 6 5 4 2 7 则f[f(2)]等于(　　) A．4　　B．5　　　C．6　　　D．7 解析：D　[由表可解f(2)＝5，所以f[f(2)]＝ f(5)＝7，故选D.] 5．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0，x＞0,π，x＝0,π2＋1，x＜0))，则f(f(f(－1)))的值等于　________　. 解析：因为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0，x＞0,π，x＝0,π2＋1，x＜0))，所以f(－1)＝π2＋1， 所以f(f(－1))＝f(π2＋1)＝0，所以f(f(f(－1)))＝f(0)＝π. 故答案为π. 答案：π 分段函数求值 [例1]　已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－5，x≥0,x2＋2x，x＜0)) (1)求f[f(1)]的值； (2)求f(|a－1|)＜3，求实数a的取值范围． [解]　(1)因为1＞0，所以f(1)＝2×1－5＝－3，因为－3＜0，所以f[f(1)]＝f(－3)＝(－3)2＋2×(－3)＝3. (2)因为|a－1|≥0，则f(|a－1|)＝2|a－1|－5，因为f(|a－1|)＜3，所以2|a－1|－5＜3，即|a－1|＜4，解得－3＜a＜5. (1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解．对于含有多层“f”的问题，要按照“由内到外”的顺序，逐层处理． (2)已知函数值，求自变量的值时，要先将“f”脱掉，转化为关于自变量的方程求解． (3)求解函数值的不等式时，直接转化为不等式求解，也可通过图象求解． 1．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋1　x≤0,－\f(2,x)　x＞0))，则f[f(1)]＝(　　 ) A．5　　B．－5　　　C．－2　　　D．2 解析：A　[∵1>0，∴f(1)＝－2，∵－2＜0， ∴f(－2)＝(－2)2＋1＝5，故B，C，D错误．故选A.] 分段函数的应用 [例2]　某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x吨、3x吨． (1)求y关于x的函数； (2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费． [解析]　(1)当5x≤4，即x≤eq \f(4,5)时，3x＜4，所以y＝1.8×(5x＋3x)＝14.4x. 当5x＞4,3x≤4，即eq \f(4,5)＜x≤eq \f(4,3)，y＝1.8×4＋3×(5x－4)＋1.8×3x＝20.4x－4.8.当3x＞4，即x＞eq \f(4,3)时，5x＞4，y＝1.8×(4＋4)＋3×(5x－4)＋3×(3x－4)＝24x－9.6，综上y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(14.4x，0≤x≤\f(4,5),20.4x－4.8，\f(4,5)＜x≤\f(4,3),24x－9.6，x＞\f(4,3))) (2)由(1)知，当0≤x≤eq \f(4,5)时，0≤y≤11.52；当eq \f(4,5)＜x≤eq \f(4,3)时，11.52＜y≤22.4；当x＞eq \f(4,3)时，y＞22.4.所以若甲、乙两户共交水费26.4元时，x＞eq \f(4,3) 所以24x－9.6＝26.4，解得x＝1.5,5x＝7.5， 3x＝4.5； 所以甲户用水量为7.5吨，应缴水费1.8×4＋3×3.5＝17.7元；乙户用水量为4.5吨，应缴水费1.8×4＋3×0.5＝8.7元． 2．某市居民生活用电电价实行全市同价，并按三档累进递增．第一档：月用电量为0～200千瓦时(以下简称度)，每度0.5元；第二档：月用电量超过200度但不超过400度时，超出的部分每度0.6元；第三档：月用电量超过400度时，超出的部分每度0.8元；若某户居民9月份的用电量是420度，则该用户9月份应缴电费是(　　) A．210元 B．232元 C．236元 D．276元 解析：C　[依题意可得某户居民9月份的用电量是420度时，该用户9月份应缴电费为200×0.5＋200×0.6＋20×0.8＝236元．故选C.] 3．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\r(x＋1)，－1<x<0,2x，x≥0))，若实数a满足f(a)＝f(a－1)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝　______　. 解析：由题意得a>0.当0<a<1时，由f(a)＝f(a－1)，即2a＝eq \r(a). 解得a＝eq \f(1,4)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝f(4)＝8，当a≥1时， 由f(a)＝f(a－1)，得2a＝2(a－1)，无解． 答案：8 [基础题组练] 1．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≤1,\f(2,x)，x>1))，则f[f(3)]＝(　　 ) A.eq \f(1,5)　　B．3　　　C.eq \f(2,3)　　　D.eq \f(13,9) 答案：D 2．已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x，x>0,fx＋1，x≤0))，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))的值等于(　　 ) A．－2 B．4 C．2 D．－4 答案：B 3．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≤0,－2x，x＞0))，若f(x)＝10，则x＝(　　 ) A．－20 B．3 C．－3 D．－5 解析：C　[当x≤0时，由x2＋1＝10得：x＝－3或x＝3(舍)；当x＞0时，由－2x＝10得：x＝－5(舍)；∴x＝－3.故选C.] 4．(多选题)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x，x≤0,x2，x＞0))，若f(a)＝4，则实数a＝(　　 ) A．2 B．－2 C．4 D．－4 解析：AD　[由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a≤0,－a＝4))，或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＞0,a2＝4))，得a＝－4或a＝2.] 5．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋2，x≤0,－x＋2，x＞0))，则不等式f(x)≥2x的解集是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,3))) B．(－∞，0] C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3))) D．(－∞，2) 解析：A　[当x>0时，f(x)＝－x＋2≥2x，解得3x≤2，所以0<x≤eq \f(2,3)；当x≤0时，f(x)＝x＋2≥2x，解得x≤2，又x≤0，所以x≤0. 综上，原不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,3)))，故选A.] 6．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋x－2，x≤1,－lg x，x>1))，则f[f(－4)]＝　________　. 解析：f[f(－4)]＝f(16－4－2)＝f(10)＝－1. 答案：－1 7．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤1,1－x2，x>1))，若f(x)＝－3，则x＝　________　. 解析：若x≤1，由x＋1＝－3得x＝－4. 若x>1，由1－x2＝－3得x2＝4，解得x＝2或x＝－2(舍去)．综上可得，所求x的值为－4或2. 答案：－4或2 8．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x，x>0,x＋1，x≤0))，若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于　________　. 解析：因为f(1)＝2，且f(1)＋f(a)＝0，所以f(a)＝－2<0，故a≤0.依题知a＋1＝－2，解得a＝－3. 答案：－3 9.已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4－x2，x＞0,2，x＝0,1－2x，x＜0))， (1)画出函数f(x)的简图(不必列表)； (2)求f(f(3))的值； (3)当－4≤x＜3时，求f(x)取值的集合． 解析：(1)由分段函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4－x2，x＞0,2，x＝0,1－2x，x＜0))可知，函数f(x)的简图为 (2)因为f(3)＝4－32＝4－9＝－5，所以f(f(3))＝f(－5)＝1－2×(－5)＝1＋10＝11. (3)当－4≤x＜0时，f(x)＝1－2x∈(1,9]； 当x＝0时，f(x)＝f(0)＝2； 当0＜x＜3时，f(x)＝4－x2∈(－5,4)， 所以一当－4≤x＜3时，f(x)取值的集合为(－5,9]． [综合题组练] 1．设f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－\r(x)，x≥0,2x，x<0))，则f[f(－2)]等于(　　 ) A．－1　B.eq \f(1,4)　　C.eq \f(1,2)　　D.eq \f(3,2) 解析：C　[由已知得f(－2)＝2－2＝eq \f(1,4)，f[f(－2)]＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝1－eq \r(\f(1,4))＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2).故选C.] 2．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋6，x∈[1，2],x＋7，x∈[－1，1]))，则f(x)的最大值和最小值分别为(　　) A．10,6 B．10,8 C．8,6 D．10,7 解析：A　[由题意得当1≤x≤2时，7≤f(x)≤10；当－1≤x＜1时，6≤f(x)＜8.所以函数f(x)的最大值为10，最小值为6.故选A.] 3．(2023·春招，5)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，分别给出甲、乙同学在1 500 m比赛中所跑的路程y(m)关于时间x(s)的函数图象，其中(0，x1)为起跑阶段，(x2，x3)为冲剌阶段，则下列结论正确的是(　　) A．起跑阶段，甲跑得比乙快 B．起跑阶段，甲、乙跑得一样快 C．冲刺阶段，甲跑得比乙快 D．冲刺阶段，甲、乙跑得一样快 答案：A 4．若函数f(x)在闭区间[－1,2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为　________　. 解析：由题图可知，当－1≤x<0时，f(x)＝x＋1；当0≤x≤2时，f(x)＝－eq \f(1,2)x， 所以f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋1，－1≤x<0,－\f(1,2)x，0≤x≤2)) 答案：f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋1，－1≤x<0,－\f(1,2)x，0≤x≤2)) 5．已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋1，x≤0，,－x－12，x＞0，))试求使f(x)≥－1成立的x的取值范围． 解：∵f(x)≥－1，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≤0，,\f(1,2)x＋1≥－1))，或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＞0，,－x－12≥－1.)) 解得－4≤x≤0或0＜x≤2，即－4≤x≤2，∴x的取值范围是[－4,2]．故填[－4,2]． $