第3章 3.1 函数的概念及其表示方法-【创新教程】2027年职教高考总复习数学（配套课件）

3．1　函数的概念及其表示方法 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 梳理 必备知识 提升 学科素养 01 02 突破 高效演练 03 第三章 函数 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 梳理 必备知识 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 提升 学科素养 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 突破 高效演练 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第三章 函数 思维导图 [知识点一]　函数的概念　 概念 一般地，设A，B是非空的　实数集　，如果对于集合A中的　任意一个数x　，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有　唯一确定　的数y和它对应，那么就称f∶A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 　x　的取值范围 值域 与x的值相对应的y 的值的集合{f(x)|x∈A} [知识点二]　相同函数　 值域是由　定义域　和　对应关系　决定的，如果两个函数的定义域和　对应关系　相同，我们就称这两个函数是同一函数．两个函数如果仅对应关系相同，但定义域不同，则它们　不是　相同的函数． [知识点三]　函数的三种表示方法　 表示法 定义 解析法 用　数学表达式　表示两个变量之间的对应关系 图象法 用　图象　表示两个变量之间的对应关系 列表法 列出　表格　来表示两个变量之间的对应关系 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)根据函数的定义，定义域中的一个x可以对应着不同的y.(　　) (2)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了．(　　) (3)f(x)＝3x＋4与f(t)＝3t＋4是相同的函数．(　　) (4)函数值域中每一个数在定义域中有唯一的数与之对应．(　　) (5)两个函数相同指定义域和值域相同的函数．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)× 2．函数y＝eq \r(2x－3)＋eq \f(1,x－3)的定义域为(　　 ) A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))　　　 B．(－∞，3)∪(3，＋∞) C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3))∪(3，＋∞) D．(3，＋∞) 解析：C　[由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－3≥0，,x－3≠0，))解得x≥eq \f(3,2)且x≠3，所以已知函数的定义域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3))∪(3，＋∞)．] 3．下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是(　　 ) A．y＝(eq \r(x＋1))2 B．y＝eq \r(3,x3)＋1 C．y＝eq \f(x2,x)＋1 D．y＝eq \r(x2)＋1 解析：B　[对于A，函数y＝(eq \r(x＋1))2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C，函数y＝eq \f(x2,x)＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数．] 4．已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝x2＋5x，则f(x)＝　________　. 解析：令t＝eq \f(1,x)，则t≠0，x＝eq \f(1,t)，f(t)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)))2＋5·eq \f(1,t)＝eq \f(5t＋1,t2).所以f(x)＝eq \f(5x＋1,x2)(x≠0)． 答案：eq \f(5x＋1,x2)(x≠0) 函数概念的理解 [例1]　下列四个图形中，不是函数图象的是(　　 ) [解析]　D　[对于ABC，每一个x的取值均有唯一的一个y值与其对应，符合函数定义，则ABC中图象均为函数图象；对于D，对于每一个x∈(0,2]的取值，都有两个y值与其对应，不符合函数定义，则D中图象不是函数图象．故选D.] (1)一个对应关系函数，要满足 A，B必须是非空数集；A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应． (2)函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”． 1．若集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤3}，则下列图形给出的对应中能构成从M到N的函数f∶M→N的是(　　 ) 解析：D　[A中的对应不满足函数的存在性，即存在x∈M，但N中无与之对应的y；B、C均不满足函数的唯一性，只有D正确．] 已知函数的解析式求定义域 [例2]　求下列函数的定义域． (1)y＝2＋eq \f(3,x－2)；(2)y＝eq \r(x2－2x－3). [解析]　(1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，函数y＝2＋eq \f(3,x－2)有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}． (2)要使函数有意义，需x2－2x－3≥0，即(x－3)(x＋1)≥0，所以x≥3或x≤－1，即函数的定义域为{x|x≥3或x≤－1}． 求函数定义域的几种类型 (1)若f(x)是整式，则函数的定义域是R. (2)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零． (3)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零． (4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集． (5)若f(x)是实际情境的解析式，则应符合实际情境，使其有意义． 2．求下列函数的定义域： (1)y＝eq \f(x＋12,x＋1)－eq \r(－x2－x＋6)； (2)y＝eq \f(\r(10－x2),|x|－3). 解析：(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋1≠0,－x2－x＋6≥0))，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠－1,x2＋x－6≤0)).即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠－1,x＋3x－2≤0)).解得－3≤x≤2且x≠－1，即函数定义域为{x|－3≤x≤2，且x≠－1}． (2)要使函数有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(10－x2≥0,|x|－3≠0))，解得－eq \r(10)≤x≤eq \r(10)，且x≠±3，即定义域为{x|－eq \r(10)≤x≤eq \r(10)，且x≠±3}． 函数相同 [例3]　下列各组函数： ①f(x)＝eq \f(x2－x,x)，g(x)＝x－1；②f(x)＝eq \f(\r(x),x)，g(x)＝eq \f(x,\r(x))；③f(x)＝eq \r(x＋32)，g(x)＝x＋3；④f(x)＝x＋1，g(x)＝x＋x0；⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5)． 其中表示相等函数的是　________　(填上所有正确的序号)． [解析]　①f(x)与g(x)的定义域不同，不是相等函数；②f(x)与g(x)的解析式不同，不是相等函数； ③f(x)＝|x＋3|，与g(x)的解析式不同，不是相等函数；④f(x)与g(x)的定义域不同，不是相等函数；⑤f(t)与g(x)的定义域、值域、对应关系皆相同，故是相等函数． [答案]　⑤ 判断两个函数为同一函数的方法 判断两个函数是否为同一函数，要先求定义域，若定义域不同，则不是同一函数；若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同． [注意]　(1)在化简解析式时，必须是等价变形．(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的． 3．与函数y＝x－1为同一函数的是(　　 ) A．y＝eq \f(x2－x,x)　　　　　 B．m＝(eq \r(n－1))2 C．y＝x－x0 D．y＝eq \r(3,t－13) 解析：D　[A中的x不能取0；B中的n≥1；C中的x不能取0；D化简以后为y＝t－1.故选D.] 求函数解析式 [例4]　(1)已知函数f(x)是一次函数，若f[f(x)]＝4x＋8，求f(x)的解析式． (2)已知函数f(eq \r(x)＋1)＝x＋2eq \r(x)＋1，求f(x)的解析式． (3)已知函数f(x)满足2f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝3x，求f(x)的解析式． [解析]　(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b. 又f[f(x)]＝4x＋8，∴a2x＋ab＋b＝4x＋8， 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝4,ab＋b＝8))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2,b＝\f(8,3)))，或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－2,b＝－8))， ∴f(x)＝2x＋eq \f(8,3)或f(x)＝－2x－8. (2)配凑法：∵f(eq \r(x)＋1)＝x＋2eq \r(x)＋1＝(eq \r(x)＋1)2， ∴f(x)＝x2.又eq \r(x)＋1≥1，∴f(x)＝x2(x≥1)． 换元法：令t＝eq \r(x)＋1，则x＝(t－1)2.由于x≥0，所以t≥1. 代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＋1＝t2，所以 f(x)＝x2(x≥1)． (3) (1)∵2f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝3x，①∴将x用eq \f(1,x)替换，得2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋f(x)＝eq \f(3,x)，② 联立①②得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2fx＋f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝3x,2f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋fx＝\f(3,x)))，解得f(x)＝2x－eq \f(1,x)(x≠0)，即f(x)的解析式是f(x)＝2x－eq \f(1,x)(x≠0)． (1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式． (2)已知f(g(x))＝h(x)，求f(x)，常用的有两种方法： ①换元法，即令t＝g(x)，解出x，代入h(x)中，得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意：换元后新元的范围． ②配凑法，即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可． (3)方程组法：已知关于f(x)与feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)． 4．(1)已知f(x)是二次函数且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，则函数f(x)的解析式为　________　. (2)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)． (3)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)． (1)解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1得c＝1，则f(x)＝ax2＋bx＋1，f(x＋1)－f(x)＝[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1]－(ax2＋bx＋1)＝2ax＋a＋b＝2x. 故得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a＝2,a＋b＝0))，解得a＝1，b＝－1，故得f(x)＝x2－x＋1. 答案：f(x)＝x2－x＋1 (2)解析：配凑法：∵f(x＋1)＝x2－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，∴f(x)＝x2－5x＋6. 换元法：令t＝x＋1，则x＝t－1，∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，即f(x)＝x2－5x＋6. (3)解析：∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，①∴将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.② ∴由①②得3f(x)＝x2－6x，∴f(x)＝eq \f(1,3)x2－2x. [基础题组练] 1．函数符号y＝f(x)表示(　　 ) A．y等于f与x的乘积 B．f(x)一定是一个式子 C．y是x的函数 D．对于不同的x，y也不同 解析：C　[符号y＝f(x)，即“y是x的函数”的数学表示，它仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定是解析式，可以是图象、表格，也可以是文字叙述，故A、B错误；当y＝x2时，x＝1或x＝－1时，y＝1，故D错误．故选C.] 2．函数y＝eq \r(|x－1|－3)的定义域是(　　) A．(－2,4)　 B．(－∞，－2)∪(4，＋∞) C．[－2,4] D．(－∞，－2]∪[4，＋∞) 答案：D 3．y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为(　　 ) A．y＝eq \f(1,x)　　　 B．y＝－eq \f(1,x) C．y＝eq \f(2,x) D．y＝－eq \f(2,x) 答案：C 4．(多选)下列函数中，值域为(0，＋∞)的是(　　 ) A．y＝eq \r(x) B．y＝eq \f(1,\r(x)) C．y＝eq \f(1,x2) D．y＝x2＋1 解析：BC　[y＝eq \r(x)的值域为[0，＋∞)，y＝eq \f(1,\r(x))的值域为(0，＋∞)，y＝eq \f(1,x2)的值域为(0，＋∞)，y＝x2＋1的值域为[1，＋∞)．] 5．已知函数f(x)＝eq \r(a－x)的定义域为(－∞，1]，则实数a的取值集合为(　　) A．{1} B．(－∞，1] C．[1，＋∞) D．(－∞，1)∪(1，＋∞) 解析：A　[由a－x≥0可得x≤a，即f(x)的定义域为(－∞，a]，所以a＝1，则实数a的取值集合为{1}，故选A.] 6．(2023·春招，2)函数f(x)＝eq \f(\r(x),x－3)的定义域是(　　) A．[0,3) B．[0，＋∞) C．(－∞，3)∪(3，＋∞) D．[0,3)∪(3，＋∞) 答案：D 7．设函数f(x)＝x2－2x－1，若f(a)＝2，则实数a＝　________　. 解析：由f(a)＝2，得a2－2a－1＝2，解得a＝－1或a＝3. 答案：－1或3 8．(2021·浙江高三月考)已知函数f(x)＝eq \f(x－1,\r(x2－1))的定义域为　___________　. 解析：由f(x)＝eq \f(x－1,\r(x2－1))有意义可知，x2－1＞0，解得x＜－1或x＞1， 故函数的定义域为{x|x＞1或x＜－1}． 答案：{x|x＞1或x＜－1} 9．一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，则它的高y与x的函数关系为　______________　. 解析：由梯形的面积公式有100＝eq \f(x＋3x,2)·y，得y＝eq \f(50,x)(x>0)． 答案：y＝eq \f(50,x)(x>0) 10．已知函数f(x)＝eq \r(2x2－7x＋3)＋eq \f(1,\r(x－a))，求f(x)的定义域． 解：由题可知，要使函数有意义，则有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x2－7x＋3≥0,x－a＞0))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≤\f(1,2)或x≥3,x＞a))，则有 ①当a＜eq \f(1,2)时，f(x)的定义域为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＜x≤\f(1,2)或x≥3))))； ②当eq \f(1,2)≤a＜3时，f(x)的定义域为{x|x≥3}； ③当a≥3时，f(x)的定义域为{x|x＞a}． [综合题组练] 1．已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的表达式是(　　 ) A．f(x)＝x2＋6x　 B．f(x)＝x2＋8x＋7 C．f(x)＝x2＋2x－3 D．f(x)＝x2＋6x－10 解析：A　[设t＝x－1，则x＝t＋1. ∵f(x－1)＝x2＋4x－5 ∴f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x.故选A.] 2．已知函数f(x)＝x－eq \f(m,x)的图像经过点(5,4)，则实数m的值为(　　 ) A．3　　B．4　　　C．5　　　D．6 解析：C　[由题意可得4＝5－eq \f(m,5)，解得m＝5，故选C.] 3．函数f(x)＝eq \f(2x2,\r(1－x))＋(2x－1)0的定义域为　___________　. 解析：列式得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－x＞0,2x－1≠0))， 解得x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)). 答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) 4．已知函数f(x)＝eq \r(2x－x2). (1)求函数f(x)的定义域． (2)若a≥f(x)恒成立，求a的取值范围． 解析：(1)由题意，函数f(x)＝eq \r(2x－x2)，要使函数 f(x)＝eq \r(2x－x2)有意义，则满足2x－x2≥0， 即x2－2x＝x(x－2)≤0，解得0≤x≤2， 故函数f(x)的定义域为[0,2]． (2)由(1)知x∈[0,2]，令y＝2x－x2＝－(x－1)2＋1， 当x＝1时，ymax＝1；当x＝0或2时，ymin＝0， 所以0≤2x－x2≤1，可得0≤eq \r(2x－x2)≤1， 又由a≥f(x)恒成立，得a≥f(x)max＝1， 故a的取值范围为[1，＋∞)． $