第2章 2.1 不等式的基本性质-【创新教程】2027年职教高考总复习数学（配套课件）

2．1　不等式的基本性质 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第二章 不等式 梳理 必备知识 提升 学科素养 01 02 突破 高效演练 03 第二章 不等式 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第二章 不等式 梳理 必备知识 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第二章 不等式 提升 学科素养 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第二章 不等式 突破 高效演练 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第二章 不等式 下一页 上一页 返回导航 职教高考总复习 数学 第二章 不等式 思维导图 [知识点一]　实数大小的基本性质　 1．a－b＞0⇔　a＞b　；2.a－b＝0⇔　a＝b　； 3．a－b＜0⇔　a＜b　. [知识点二]　不等式的基本性质　 1．对称性：　a＞b⇔b＜a　. 2．传递性：如果a＞b，b＞c，那么　a＞c　. 3．加法法则：如果a＞b，那么　a＋c＞b＋c　. 4．乘法法则：如果a＞b，c＞0，那么　ac＞bc　.如果a＞b，c＜0，那么　ac＜bc　. [知识点三]　不等式性质的相关推论　 1．移项法则：a＋b＞c⇒　a＞c－b　. 2．不等式相加法则：a＞b，c＞d⇒　a＋c＞b＋d　. 3．不等式相乘法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒　ac＞bd　. 4．乘方法则：a＞b＞0⇒　an＞bn　(n≥2，n∈N*) [知识点四]　几个常用重要不等式　 1．a2　≥　0，(a∈R)． 2．(a－b)2　≥　0，当且仅当　a＝b　时等号成立． 3．a2＋b2　≥　2ab，当且仅当　a＝b　时等号成立． 思考： 1. 若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？ 提示：a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立，但a－d>b－c成立． 2．若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？ 提示：不一定，但当a>b>0，c>d>0时，一定成立． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a＝b是eq \f(a,c)＝eq \f(b,c)成立的充要条件．( ) (2)a>b ⇒ ac2>bc2.( ) (3)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.( ) (4)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．( ) (5)设a，b∈R，且a>b，则a3>b3.( ) (6)若eq \f(a,b)>1，则a>b.( ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　(6)× 2．已知a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中一定成立的是(　　) A．ab>ac　　　　　　 B．c(b－a)<0 C．cb2<ab2 D．ac(a－c)>0 解析：A　[因为c<b<a，且ac<0，所以a>0，c<0，b的符号不确定，b－a<0，a－c>0，b－c＞0，据此判断A成立，B，D不成立，C不一定成立．] 3．若a>b>0，c<d<0，则下列结论正确的是(　　) A.eq \f(a,c)－eq \f(b,d)>0 B.eq \f(a,c)－eq \f(b,d)<0 C.eq \f(a,d)>eq \f(b,c) D.eq \f(a,d)<eq \f(b,c) 解析：D　[因为c<d<0，所以0<－d<－c，又0<b<a，所以－bd<－ac，即bd>ac，又因为cd>0，所以eq \f(bd,cd)>eq \f(ac,cd)，即eq \f(b,c)>eq \f(a,d).] 4．若－eq \f(π,2)<α<β<eq \f(π,2)，则α－β的取值范围是　________　. 解析：由－eq \f(π,2)<α<eq \f(π,2)，－eq \f(π,2)<－β<eq \f(π,2)，α<β， 得－π<α－β<0. 答案：(－π，0) 用性质解不等式 [例1]一元一次不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋25－x≥2，,3x－1＞－2x－2))的解集是(　　) A．(1,8]　　　　 B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,5)，8)) C．[－8,1) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)，8)) [解析]　由题，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋25－x≥2，,3x－1＞－2x－2，))其中x＋2(5－x)≥2，化简得－x≥－8，解得x≤8,3(x－1)－2(x－2)，化简得3x－3＞－2x＋4，解得x＞eq \f(7,5)，故不等式组解集为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,5)，8)).故选B. [答案]　B 1．熟记不等式性质． 2．应用不等式性质时，注意字母有正有负还可能是0. 1．不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－6＜0，,3x＋3＞0))的解集为(　　) A．(－3,1)　　 B．(－∞，－3)∪(1，＋∞) C．(－1,3) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 解析：C　[∵不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－6＜0，,3x＋3＞0，)) ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＜3，,x＞－1，)) ∴－1＜x＜3， ∴不等式组的解集为(－1,3)．故选C.] 不等式性质的应用 [例2](特值法)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 [解析]　当b<0时， 显然有a>b⇔a|a|>b|b|； 当b＝0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|； 当b>0时，由a>b有|a|>|b|， 所以a>b⇔a|a|>b|b|. 综上可知a>b⇔a|a|>b|b|，故选C. [答案]　C 解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案． 2．(一题多解)已知a>0>b，则下列不等式一定成立的是(　　 ) A．a2<－ab　　　　 B．|a|<|b| C.eq \f(1,a)>eq \f(1,b) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))b 解析：C　[通解：当a＝1，b＝－1时，满足a>0>b，此时a2＝－ab，|a|＝|b|，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))b，所以A，B，D不一定成立，因为a>0>b，所以b－a<0，ab<0，所以eq \f(1,a)－eq \f(1,b)＝eq \f(b－a,ab)>0，所以eq \f(1,a)>eq \f(1,b)一定成立，故选C. 优解：因为a>0>b，所以eq \f(1,a)>0>eq \f(1,b)，所以eq \f(1,a)>eq \f(1,b)一定成立．故选C.] 数(式)的大小比较 [例3]　已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac<e－bc. [证明]　(1)因为a>b，c>0，所以ac>bc， 即－ac<－bc. 又e>f，即f<e，所以f－ac<e－bc. 作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 (1)作差法比较的步骤：作差―→变形―→定号―→结论． (2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论． 3．已知x＞1，a＝x3－1，b＝x2－x，则(　　) A．a＞b＞0 B．b＞a＞0 C．a＞b＞1 D．b＞a＞1 解析：A　[利用作差法比较大小．因为x＞1，所以a－b＝x3－x2＋x－1＝x2(x－1)＋(x－1)＝(x－1)(x2＋1)＞0，b＝x(x－1)＞0，所以a＞b＞0.故选A.] [基础题组练] 1．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)，g(x)的大小关系是(　　) A．f(x)＝g(x) B．f(x)>g(x) C．f(x)<g(x) D．随x的值变化而变化 答案：B 2．已知a，b∈R，若a>b，eq \f(1,a)<eq \f(1,b)同时成立，则(　　) A．ab>0　　　　　　 B．ab<0 C．a＋b>0 D．a＋b<0 答案：A 3．若m<0，n>0且m＋n<0，则下列不等式中成立的是(　　) A．－n<m<n<－m B．－n<m<－m<n C．m<－n<－m<n D．m<－n<n<－m 答案：D 4．已知a，b为非零实数，且a<b，下列不等式一定成立的是(　　) A．a2<b2 B．ab2>a2b C.eq \f(1,ab2)<eq \f(1,a2b) D.eq \f(b,a)<eq \f(a,b) 解析：C　[若a<b<0，则a2>b2，故A错；若0<a<b，则eq \f(b,a)>eq \f(a,b)，故D错；若ab<0，即a<0，b>0，则a2b>0>ab2，eq \f(1,a2b)＞0＞eq \f(1,ab2)，故B错，C正确．所以选C.] 5．设a，b∈R，则“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析：A　[若a>2且b>1，则由不等式的同向可加性可得a＋b>2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab>2×1＝2.即“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分条件．反之，若“a＋b>3且ab>2”，则“a>2且b>1”不一定成立，如a＝6，b＝eq \f(1,2).所以“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分不必要条件．故选A.] 6．已知下列四个条件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推出eq \f(1,a)<eq \f(1,b)成立的有(　　 ) A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 解析：C　[由不等式的倒数性质易知条件①，②，④都能推出eq \f(1,a)<eq \f(1,b).由a>0>b得eq \f(1,a)>eq \f(1,b)，故能推出eq \f(1,a)<eq \f(1,b)成立的条件有3个．] 7．已知－2＜x＜2,1＜y＜3，则x－2y的取值范围是(　　) A．(－8,0) B．(－8,2) C．(－4,2) D．(－10，－2) 解析：A　[因为1＜y＜3，所以－6＜－2y＜－2，又因为－2＜x＜2，所以－8＜x－2y＜0.故选A.] 8．(多选题)设b>a>0，c∈R，则下列不等式中正确的是(　　) A．aeq \f(1,2)<beq \f(1,2) B.eq \f(1,a)－c>eq \f(1,b)－c C.eq \f(a＋2,b＋2)>eq \f(a,b) D．ac2<bc2 解析：ABC　[因为y＝xeq \f(1,2)在(0，＋∞)上是增函数，所以aeq \f(1,2)<beq \f(1,2).因为y＝eq \f(1,x)－c在(0，＋∞)上是减函数，所以eq \f(1,a)－c>eq \f(1,b)－c.因为eq \f(a＋2,b＋2)－eq \f(a,b)＝eq \f(2b－a,b＋2b)>0，所以eq \f(a＋2,b＋2)>eq \f(a,b).当c＝0时，ac2＝bc2，所以D不成立．故选ABC.] 9．若a1<a2，b1<b2，则a1b1＋a2b2与a1b2＋a2b1的大小关系是　________　. 解析：作差可得(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1) ＝(a1－a2)·(b1－b2)，因为a1<a2，b1<b2， 所以(a1－a2)(b1－b2)>0， 即a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1. 答案：a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1 10．设a>b，有下列不等式：①eq \f(a,c2)>eq \f(b,c2)；②eq \f(1,a)<eq \f(1,b)；③|a|>|b|；④a|c|≥b|c|，其中一定成立的有　________　.(填正确的序号) 解析：对于①，eq \f(1,c2)>0，故①成立； 对于②，a>0，b<0时不成立； 对于③，取a＝1，b＝－2时不成立； 对于④，|c|≥0，故④成立． 答案：①④ [综合题组练] 1．已知条件甲：a>0，条件乙：a>b且eq \f(1,a)>eq \f(1,b)，则甲是乙的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[由a>0不能推出a>b且eq \f(1,a)>eq \f(1,b)，故甲不是乙的充分条件．若a>b且eq \f(1,a)>eq \f(1,b)，即a>b且eq \f(b－a,ab)>0，则ab<0，所以a>0，b<0.所以由a>b且eq \f(1,a)>eq \f(1,b)能推出a>0.故甲是乙的必要条件．所以甲是乙的必要不充分条件．] 2．已知1＜a＜4,2＜b＜8，则2a＋b的取值范围是(　　) A．1＜2a＋b＜4　　　　　 B．2＜2a＋b＜8 C．4＜2a＋b＜16 D．4＜2a＋b＜8 解析：C　[由1＜a＜4可得2＜2a＜8，而2＜b＜8，故4＜2a＋b＜16，故选C.] 3．若角α，β满足－eq \f(π,2)<α<β<π，则α－β的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)，\f(3π,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)，0)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0)) 解析：B　[∵－eq \f(π,2)<α<π，－eq \f(π,2)<β<π，∴－π<－β<eq \f(π,2)，∴－eq \f(3π,2)<α－β<eq \f(3π,2).又α<β，∴α－β<0，从而－eq \f(3π,2)<α－β<0.] 4．若bc－ad≥0，bd>0，求证：eq \f(a＋b,b)≤eq \f(c＋d,d). 证明：∵bc－ad≥0，∴bc≥ad，∴bc＋bd≥ad＋bd， 即b(c＋d)≥d(a＋b)． 又bd>0，两边同除以bd得eq \f(a＋b,b)≤eq \f(c＋d,d). 5．a<b<0，求证：eq \f(b,a)<eq \f(a,b). 证明：由于eq \f(b,a)－eq \f(a,b)＝eq \f(b2－a2,ab)＝eq \f(b＋ab－a,ab)， ∵a<b<0，∴b＋a<0，b－a>0，ab>0， ∴eq \f(b＋ab－a,ab)<0，故eq \f(b,a)<eq \f(a,b). $