第1章 1.3 充要条件-【创新教程】2027年职教高考总复习数学（配套课件）

1．3　充要条件 第一章 集合与充要条件 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 梳理 必备知识 提升 学科素养 01 02 突破 高效演练 03 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 梳理 必备知识 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 提升 学科素养 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 突破 高效演练 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合与充要条件 职教高考总复习 数学 [知识点一]　命题　 1．命题：　能够判断真假的语句　叫命题． 2．真命题与假命题： (1)真命题：　当命题给出的判断正确或符合客观实际　时，称该命题为真命题． (2)假命题：　当命题给出的判断不正确或不符合客观实际　时，称该命题为假命题． [注]　没有真假意义的语句都不是命题．如：感叹句、疑问句、祈使句等． [知识点二]　充要条件　 如果p是q的充分条件(p⇒q)，p又是q的必要条件(q⇒p)，则称p是q的　充分且必要　条件，简称　充要　条件．记作p⇔q. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“x－3>0”是命题．(×) (2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(×) (3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(√) (4)q不是p的必要条件时，“p⇒/ q”成立．(√) 2．对于任意两个集合A，B，“x∈A∩B”是“x∈A”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[∵(A∩B)⊆A，∴x∈A∩B⇒x∈A， ∴“x∈A∩B”是“x∈A”的充分条件．] 3．“x＝1”是“(x－1)2＝0”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：C　[将x＝1代入方程(x－1)2＝0中，显然方程成立；解方程(x－1)2＝0，可得x＝1；故“x＝1”为方程“(x－1)2＝0”的充要条件．故选C.] 4．已知条件甲：0<x<5，条件乙：－3<x－2<3，那么甲是乙的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[条件乙：－1<x<5.所以0<x<5⇒－1<x<5，但－1<x<5⇒/ 0<x<5，所以甲是乙的充分不必要条件，故选A.] 5．写出－1＜x＜2的一个必要不充分条件　________　. 解析：因为{x|－1＜x＜2}{x|x＜3}，所以“x＜3”是不等式“－1＜x＜2”成立的一个必要不充分条件． 答案：x＜3 命题及其关系 [例1]　(1)命题真假的判断 ①下面的命题中是真命题的是(　　) A．y＝sin2x的最小正周期为2π B．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根同号，则eq \f(c,a)＞0 C．如果M⊆N，那么M∪N＝M D．在△ABC中，若eq \o(AB,\s\up6(→))·eq \o(BC,\s\up6(→))＞0，则B为锐角 ②能说明“若a>b，则eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)”为假命题的一组a，b的值依次为　________　. [解析]　①B　[y＝sin2x＝eq \f(1－cos 2x,2)，T＝eq \f(2π,2)＝π.所以A是假命题；若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根同号，则x1x2＝eq \f(c,a)＞0，所以B是真命题；当M⊆N时，M∪N＝N，故C是假命题；当eq \o(AB,\s\up6(→))·eq \o(BC,\s\up6(→))＞0时，向量eq \o(AB,\s\up6(→))与eq \o(BC,\s\up6(→))的夹角为锐角，而B可为钝角，故D是假命题．故选B.] ②ⅰ若a>b>0，则eq \f(1,a)<eq \f(1,b)成立； ⅱ若a>0>b，则eq \f(1,a)>0，eq \f(1,b)<0，所以eq \f(1,a)<eq \f(1,b)不成立； ⅲ若0>a>b，则eq \f(1,a)<eq \f(1,b)<0成立． 综上，只需选取符合“a>0>b”的一组a，b，就能说明原命题是假命题． 例如，a＝1，b＝－1；a＝2，b＝－1等． [答案]　1，－1(答案不唯一) (2)四种命题的关系 命题“已知a>1，若x>0，则ax>1”的否命题为(　　) A．已知0<a<1，若x>0，则ax>1 B．已知a>1，若x≤0，则ax>1 C．已知a>1，若x≤0，则ax≤1 D．已知0<a<1，若x≤0，则ax≤1 解析：C　[根据原命题与否命题的关系，得原命题的否命题为“已知a>1，若x≤0，则ax≤1”．] 1．写一个命题的其他三种命题时的注意事项 (1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写为“若p，则q”形式． (2)若命题有大前提，需保留大前提． (3)注意一些常见词语及其否定表示： 词语 是 都是 都不是 等于 大于 否定 不是 不都是 至少一个是 不等于 不大于 2.判断命题真假的两种方法 (1)直接判断：判断一个命题是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可． (2)间接判断(等价转化)：由于原命题与其逆否命题为等价命题，如果原命题的真假不易直接判断，那么可以利用这种等价性间接地判断命题的真假． 1．转化与化归的数学思想很重要，比如要证明命题p：“若a≥eq \f(1,e)，则a·ex≥x”，我们可以证明命题(　　) A．若a·ex＜x，则a＜eq \f(1,e) B．若a·ex≤x，则a＜eq \f(1,e) C．若a·ex＜x，则a≤eq \f(1,e) D．若a＜eq \f(1,e)，则a·ex＜x 解析：A　[由题意可知，应证明命题p的逆否命题，即“若a·ex＜x，则a＜eq \f(1,e)”．] 2．下列命题的逆命题是真命题的是(　　) A．两直线平行，内错角相等 B．如果a＝b，那么a2＝b2 C．钝角三角形中有两个锐角 D．内错角相等 解析：A　[A.逆命题：内错角相等，两直线平行， 该逆命题是真命题，故A符合题意； B．逆命题：如果a2＝b2，那么a＝b， ∵如果a2＝b2，那么a＝±b， ∴该逆命题是假命题，故B不符合题意； C．逆命题：有两个锐角的三角形是 钝角三角形，该逆命题是假命题，故C不符合题意； D．逆命题：相等的角是内错角，是假命题，∴该逆命题是假命题，故D不符合题意，数选A.] 充分条件、必要条件的判断 [例2]　(1)已知a，b都是实数，那么“b>a>0”是“eq \f(1,a)>eq \f(1,b)”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)已知p：x＝2，q：x－2＝eq \r(2－x)，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]　(1)若eq \f(1,a)>eq \f(1,b)，则eq \f(1,a)－eq \f(1,b)＝eq \f(b－a,ab)>0.当0<a<b时，eq \f(1,a)>eq \f(1,b)成立；当a>0，b<0时，满足eq \f(1,a)>eq \f(1,b)，但0<a<b不成立．故“b>a>0”是“eq \f(1,a)>eq \f(1,b)”的充分不必要条件，故选A. (2)当x－2＝eq \r(2－x)时，两边平方可得(x－2)2＝2－x，即(x－2)(x－1)＝0，解得x1＝2，x2＝1.当x＝1时，－1＝eq \r(1)，不成立，故舍去，则x＝2，所以p是q的充要条件，故选C. [答案]　(1)A　(2)C 充分条件、必要条件的两种判断方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断． (2)集合法：根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断． [提醒]　判断充要条件需注意三点： (1)要分清条件与结论分别是什么． (2)要从充分性、必要性两个方面进行判断． (3)直接判断比较困难时，可举出反例说明． 3．已知a∈R，若集合M＝{0，a}，N＝{0,1,2}，则“a＝1”是“M⊆N”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[当a＝1时，集合M＝{1,0}，N＝{0,1,2}，可得M⊆N，满足充分性，若M⊆N，则a＝1或a＝2，不满足必要性，所以“a＝1”是“M⊆N”的充分不必要条件，故选A.] 4．已知a∈R，若集合M＝{1，a}，N＝{－1,0,1}，则“a＝0”是“M⊆N”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[当a＝0时，M＝{1,0}，可解M⊆N，当M⊆N时，a＝0或－1，即“a＝0”是“M⊆N”的充分不必要条件，故选A.] 全称命题与特称命题 [例3]　已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，则“a>1”是“f(x)在(－∞，1)内单调递减”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]　由题意，f(x)＝x2－2ax＋1＝(x－a)2＋1－a2, 此二次函数的对称轴为x＝a， 当a>1时，f(x)在(－∞，1)上单调递减成立，若f(x)在(－∞，1)上单调递减，可得a≥1， ∴“a>1”是“f(x)在(－∞，1)上单调递减”的充分不必要条件．故选A. [答案]　A 判断充要条件需注意的3点 (1)要分清条件与结论分别是什么． (2)要从充分性、必要性两个方面进行判断． (3)直接判断比较困难时，可举出反例说明． 5．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的充要条件是　________　. 解析：①确定抛物线的开口方向 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是抛物线，其开口方向由二次项系数a决定．当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下．要使图象在x轴上方，抛物线需开口向上，因此a必须大于0，所以a>0. ②判断抛物线与x轴的交点情况 抛物线与x轴的交点个数由判别式Δ＝b2—4ac决定．当Δ>0时，抛物线与x轴有两个不同交点；当Δ＝0时，抛物线与x轴有一个交点(顶点在x轴上)；当Δ<0时，抛物线与x轴没有交点．要使图象在x轴上方，抛物线需与x轴无交点，因此判别式需小于0，Δ＝b2－4ac<0. 综上，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的充要条件是a>0且Δ＝b2－4ac<0. 答案：a＞0且Δ＝b2－4ac＜0 [基础题组练] 1．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是(　　 ) A．若x＋y不是偶数，则x，y都不是偶数 B．若x＋y是偶数，则x，y不都是偶数 C．若x＋y是偶数，则x，y都不是偶数 D．若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数 答案：D 2．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不是充分条件也不是必要条件 D．无法判断 解析：A　[由a＝1可得|a|＝1成立，由|a|＝1得，a＝1或a＝－1，即|a|＝1得不到a＝1，所以“a＝1”是“|a|＝1”的充分不必要条件．故选A.] 3．向量a＝(m,1)，b＝(1，m)，则“m＝1”是“a∥b”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 4．设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的(　　 ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[由x2－5x<0可得0<x<5.由|x－1|<1可得0<x<2.由于区间(0,2)是(0,5)的真子集，故“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的必要而不充分条件．] 5．已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[由线面平行的判定定理可知，m∥n⇒m∥α，但m∥α⇒/ m∥n.] 6．“－2＜x＜1”是“x＞1或x＜－1”的　______　条件． 解析：因为－2＜x＜1 ⇒/ x＞1或x＜－1，并且x＞1或x＜－1 ⇒/ －2＜x＜1，所以“－2＜x＜1”是“x＞1或x＜－1”的既不充分条件，也不必要条件． 答案：既不充分也不必要 7．已知集合A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，则A∩B＝∅的充要条件是　____________________　. 解析：A∩B＝∅⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＋2≤4，,a－2≥－2，))⇔0≤a≤2. 答案：0≤a≤2 8．若“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，则a的最小值为　________　. 解析：由x2－x－6>0，解得x<－2或x>3. 因为“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件， 所以{x|x>a}是{x|x<－2，或x>3}的真子集，即a≥3，故a的最小值为3. 答案：3 9．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的什么条件？(充分不必要条件，必要不充分条件，既是充分条件也是必要条件，既不充分也不必要条件) (1)若x＝1，则x2－4x＋3＝0； (2)若x为无理数，则x2为无理数； (3)若x＝y，则x2＝y2； (4)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等． 解：(1)因为命题“若x＝1，则x2－4x＋3＝0”是真命题，而命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝1”是假命题，所以p是q的充分条件，但不是必要条件，即p是q的充分不必要条件． (2)因为p ⇒/ q ，而q⇒p，所以p是q的必要不充分条件． (3)因为p⇒q，而q ⇒/ p，所以p是q的充分不必要条件． (4)因为p⇒q，而q ⇒/ p，所以p是q的充分不必要条件． [综合题组练] 1．“不到长城非好汉，屈指行程二万”，出自毛主席1935年10月所写的一首词《清平乐·六盘山》，反映了中华民族的一种精神气魄，一种积极向上的奋斗精神．从数学逻辑角度分析，其中“好汉”是“到长城”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[设綈p为不到长城，推出綈q非好汉，即綈p⇒綈q，则q⇒p，即好汉⇒到长城，故“好汉”是“到长城”的充分条件，故选A.] 2．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC” 是“A∩B＝∅”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[由A⊆C，B⊆∁UC，易知A∩B＝∅，但A∩B＝∅时未必有A⊆C，B⊆∁UC，如图所示． 所以“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的充分不必要条件．] 3．已知x，y为两个正整数，p：x＝2且y＝3，q：x＋y＝5，则p是q的　________　条件． 解析：若x＝2且y＝3，则x＋y＝5成立．可知p⇒q，反之当x＝1，y＝4时，满足x＋y＝5， 但x＝2且y＝3不成立．p⇒q，q⇒/ p，故p是q的充分不必要条件． 答案：充分不必要 4．设p：P＝{x|x2－8x－20≤0}，q：非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}，且p是q的充分不必要条件．求实数m的取值范围． 解：由题知P＝{x|－2≤x≤10}． ∵p是q的充分不必要条件． ∴p⇒q且qp，即PS. ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－m≤－2,1＋m>10))，或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－m<－2,1＋m≥10))， ∴m≥9，又因为S为非空集合， 所以1－m≤1＋m，解得m≥0， 综上，实数m的取值范围是[9，＋∞)． $