29.1.2 过三点的圆 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“过三点的圆”，核心知识点包括不在同一直线上的三点确定一个圆，三角形外接圆、外心的概念及性质，反证法的应用。课堂导入从“两点确定一条直线”类比提问“几个点确定一个圆”，通过探究过一点、两点、三点作圆的过程，搭建知识支架，逐步引出定理与概念。 其亮点在于以问题驱动探究，结合破损圆盘复原、玻璃碎片选样等现实情境，培养学生几何直观与创新意识（数学眼光）。通过反证法推理及尺规作图，发展推理能力（数学思维），例题联系实际体现应用意识（数学语言）。小结系统，助学生构建知识体系，教师使用可提升教学效率。

第二十九章 圆 29.1 圆的有关概念 29.1.2 过三点的圆 学习目标： 1.掌握不在一条直线上的三点确定一个圆,能画出三角形的外接圆,求出特殊三角形的外接圆的半径。 2.运用三角形的外心的性质解决问题。 我们知道“两点确定一条直线”，那么几个点可以确定一个圆呢？ 作圆的关键是什么？ 　　作圆的关键是确定圆心的位置和半径的大小． 导入新知 思考题：经过四个点是不是一定能作圆？ 经过在同一条直线上的四个点一定不能作圆。 l1 l2 A B D C (1)四个点在同一条直线上： 经过有三个点在同一条直线上的四个点一定不能作圆。 (2)四个点中有三个点在同一条直线上： l1 l2 A B D C 问题1 经过一个点A能不能作圆？这样的圆能作出多少个？ · · · · · 以点A以外任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径画圆即可； 可作无数个圆. A 探究新知 过不共线三点作圆 知识点 1 问题2 经过两个点A，B能不能作圆？这样的圆能作出多少个？所作圆的圆心的位置有什么特点？ · · · · A B 作线段AB的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这一点和点A或点B的距离为半径画圆即可; 可作无数个圆. 圆心在线段AB的垂直平分线上. 探究新知 7 过已知点作圆 条件：过一点A作圆 作法：以点A 以外的任意一点圆心，以该点与点A 的距离为半径作圆 可作无数个圆 知识点1 确定圆的条件 ① 8 条件：过两点A，B 作圆 作法：连接AB，作线段AB 的垂直平分线l，以其垂直平分线上任意一点为圆心，以该点与点A(或点B)的距离为半径作圆 可作无数个圆 9 条件：过不在同一条直线上的三点A，B，C作圆 作法：连接AB，BC，分别作线段AB，BC 的垂直平分线DE 和FG，DE和FG 相交于点O，以点O 为圆心，OA(或OB，OC)为半径作圆，⊙ O 就是所求作的圆 这样作出的圆只有一个 10 . . . Ａ Ｂ Ｃ . Ｏ 经过三角形三个顶点可以画 圆,并且只能画 个. 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆. 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心; 这个三角形叫做这个圆的内接三角形. △ABC ⊙O 探究新知 . . . Ａ Ｂ Ｃ . Ｏ 2.三角形的外心的性质 外心到三角形三个顶点的距离相等。 1.三角形的外心的本质 外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点. 探究一 ∵点o是△ABC的外心，∴OA=OB=OC 几何语言： 问题3： 经过不在同一条直线上的三个点A，B，C能不能作圆？如果能，如何确定所作圆的圆心？ A B C D E G F ●o 经过B，C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上. 经过A，B，C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置. 经过A，B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上. 探究新知 位置关系 有且只有 A B C D E G F ●o 探究新知 定理： 不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 由图可以看出，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫作这个三角形的外心，这个三角形叫作圆的内接三角形. 15 例1 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块如图所示，为配到与 原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块是( ) A. ① B. ② C. ③ D. ④ B 16 完成填空： 如图：⊙O是△ ABC的 圆， △ ABC 是⊙O的 　 三角形，O是△ ABC的 心，它是 的交点，到三角形 的 的距离相等。 o● 外接 内接 外 三边垂直平分线 思考：一个三角形的外接圆有几个？ 一个圆的内接三角形有几个？ 一个 无数个 A B C 三个顶点 例 已知：不在同一直线上的三点A，B，C. 求作： ⊙O，使它经过点A，B，C. 作法：1. 连接AB，作线段AB的垂直平分线MN； 2. 连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O； 3. 以O为圆心，OB为半径作圆. 所以⊙O就是所求作的圆. O N M F E A B C 利用尺规法作圆 素养考点 探究新知 问题4:现在你知道怎样将一个如图所示的破损的圆盘复原了吗？ 方法: 1. 在圆弧上任取三点A，B，C; 2. 作线段AB，BC的垂直平分线，其交点O即为圆心; 3. 以点O为圆心，OC长为半径作圆. ⊙O即为所求. A B C O 探究新知 1.三角形外接圆的作法 （1）作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点； （2）以该交点为圆心，以交点到三个顶点中任意一点的距离为半径作圆即可. 2.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径. 归纳 20 如图，假设过同一条直线l上三点A，B，C 三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P 既在线段AB 的垂直平分线l1上，又在线段BC 的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点，而l1⊥l，l2⊥l ，这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾.所以,经过同一条直线上的三点不能作圆． l1 l2 A B C P 知识点2 反证法 ② 经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？ 思考 21 已知△ABC，用直尺与圆规作出过A，B，C三点的圆. A B C O 探究新知 三角形的外接圆及外心 知识点 2 外接圆 经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆. ⊙O叫作△ABC的________， △ABC叫作⊙O的____________. 到三角形三个顶点的距离相等. 三角形的外心： 定义： 外接圆　 内接三角形　 外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点， 叫作三角形的外心. 作图： 三角形三边中垂线的交点. 性质： ●O A B C 要 点 归 纳 探究新知 先提出与结论相反的假设，再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果，然后由矛盾断定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫作反证法． 24 用反证法证明：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 已知：如图，AB//CD，直线EF交AB于点O， 求证：∠1=∠2. 　证明：假设1≠2，过点O作直线A′B′，使EOB′2. 根据“同位角相等，两直线平行”，可得A′B′//CD，这样， 过点O就有两条直线AB，A′B′都平行于CD，这与平行公理 “过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行”矛盾. 这说明1≠2不正确，所以12. B′ F E A A′ O B C D 1 2 反设 归谬 存真 例2 用反证法证明的步骤： （1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立. （2）从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾. （3）由矛盾断定假设不正确，从而肯定原命题的结论成立. 归纳 26 小结与归纳 ◆不在同一直线上的三点确定一个圆。 ◆求解特殊三角形直角三角形、等边三角形、 等腰三角形的外接圆半径。 ◆在求解等腰三角形外接圆半径时，运用了 方程的思想，希望同学们能够掌握这种 方法，领会其思想。 作圆 过一点可以作无数个圆 过两点可以作无数个圆 定理： 过不在同一直线上的三个点确定一个圆 注意：同一直线上的三个点不能作圆. 课堂小结 $