12 三次函数及其性质讲义-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦三次函数核心考点，系统梳理单调性、极值、根的性质及对称性等高考高频内容，按“性质解析-结论推导-应用拓展”逻辑架构知识体系。通过考点梳理明确考查要求，方法指导提炼解题策略，真题训练强化实战能力，助力学生构建完整知识网络突破难点。 讲义以“三次函数性质-导数应用-根的分布”为主线，创新采用“结论推导+图像辅助”教学法，如通过导函数对称轴与极值点关系推导对称中心，培养学生数学思维与几何直观。设置分层练习（选择、填空、解答）适配不同学情，配合结论总结（如“外3内1线上2”切线规律）提升复习效率，帮助学生快速掌握高考解题模型，为教师把控复习节奏提供精准教学资源。

12三次函数及其性质 1. 单调性 三次函数 (1) 若 ，则 在 上为增函数； (2) 若 ，则 在 和 上为增函数， 在 上为减函数，其中 (1) 当 即 时， 在 上恒成立，即 在 为增函数. (2) 当 即 时，解方程 ，得 或 在 和 上为增函数. 在 上为减函数. 由上易知以下结论：三次函数 (1) 若 ，则 在 上无极值； (2) 若 ，则 在 上有两个极值；且 在 处取得极大值，在 处取得极小值. 2. 根的性质 三次函数 (1) 若 ，则 恰有一个实根； (2) 若 ，且 ，则 恰有一个实根； (3) 若 ，且 ，则 有两个不相等的实根； (4) 若 ，且 ，则 有三个不相等的实根. 证明(1)(2) 含有一个实根的充要条件是曲线 与 轴只相交一次，即 在 上为单调函数或两极值同号，所以 或 ，且 . (3) 有两个相异实根的充要条件是曲线 与 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以 ，且 . (4) 有三个不相等的实根的充要条件是曲线 与 轴有三个公共点，即 有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以 且 . 三次函数 在 上恒正的充要条件是 ( )，或 且 . 3. 对称性 三次函数 的图象关于点 对称，并且 在 处取得最小值，其图象关于直线 对称. 证1 易知 是奇函数，图象关于原点对称，则 关于点 对称. 当 时， 取得最小值，显然 图象关于 对称. 证2 设 的图象关于点 对称，任取 图象上点 ，则 关于 的对称点 也在 图象上： 综上所述：由上又可得以下结论： 是可导函数，若 的图象关于点 对称，则 图象关于直线 对称. 证明 的图象关于 对称，则 图象关于直线 对称. 证3. 若 图象关于直线 对称，则 图象关于点 对称. 证明 图象关于直线 对称，则 ， 故 图象关于点 对称. 4. 总结 三次函数理论： (1) 三次函数 图象：反 型和大 型 (2) 函数 单调性、极值点个数情况： 中较大根为极小值点，较小根为极大值点.由以下图可看出，， 无极值点，但有 1 个零点！ 终极总结版 (1) 结论一：三次函数是中心对称曲线，且对称中心是 ； (2) 结论二：其导函数的对称轴为 ，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见 图象的对称中心在导函数 的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点； (3) 结论三： 是可导函数，若 的图象关于点 对称，则 图象关于直线 对称. (4) 结论四：若 图象关于直线 对称，则 图象关于点 对称. (5) 结论五：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数. (6) 结论六：若可导函数 的三阶导数 ，函数有极大值或极小值时，极小值右偏，极大值左偏；若可导函数 的三阶导数 ，函数有极大值或极小值时，极小值左偏，极大值右偏； (7) 四段论： 且导函数 ； 且导函数 . 极大值到对称中心距离为 ，极小值点到对称中心距离为 ，极小值等值点到极大值点距离为 ，极大值等值点到极小值点距离为 ；设 的极大值为 ，当 的两根为 ， 时，区间 被中心 和极小值点三等分，类似的，对极小值 也有此结论. (8) 三次函数 ① 不可能为偶函数；② 当 时是奇函数. (9) 三次函数切线问题：研究过点 可以作出三次函数 图象的几条切线，本质上是研究方程根的个数，可以设切点为 ，则切线方程为 ，将点 的坐标代入切线方程可得 ，这一关于 的方程有几个实数解，过点 就可以作出函数 图象的几条切线，这一问题的结论如下图所示： ① 过曲线外部的点作 的切线，有且仅有 3 条； ② 过曲线内部的点以及曲线的对称中心作的切线，有且仅有 1 条；记忆方法：记忆：外 3，内 1，线上 2. ③ 过 图象（除去对称中心）上的点及过对称中心的切线上的点（除去对称中心）作 切线，有且仅有 2 条； 设原方程为 有三个根；则韦达定理： 补充： 若可导函数 的三阶导数 ，函数有极大值或极小值时，极小值右偏，极大值左偏； 若可导函数 的三阶导数 ，函数有极大值或极小值时，极小值左偏，极大值右偏； 巩固训练 一、单选题 1．已知函数，若在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过求导，将条件转化为导数在区间上有解，从而分离参数，构造函数，利用函数的单调性即可得到的取值范围． 【详解】由，则， 又在区间上存在单调递增区间， 则存在，使得，即，即成立， 令，，则， 所以在上单调递减，且， 所以要使在上有解，只需， 故的取值范围是． 2．已知函数，则有（    ）个极大值． A．0 B．1 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据导函数的变号零点个数判断原函数的极值点个数，根据零点处导函数左正右负取极大判断极大值点的个数． 【详解】因为的定义域为，且， 令，可得或， 因为恒成立，故不是的极值点， 当时，，在区间上单调递减； 当时，，在区间上单调递增； 故在处取极小值，无极大值，故的极大值个数为0． 3．已知函数，则“”是“在区间上单调递减”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用导函数与函数的单调性间的关系以及充要条件的判断即可求解. 【详解】函数的定义域为， . 若，则恒成立，所以在上单调递增； 若，则， 当时，； 当时，. 所以函数的单调递减区间为. 若，则，所以， 所以在区间上单调递减； 若在区间上单调递减，则在上恒成立， 即在上恒成立. 又在上单调递增，所以其最大值为， 所以. 综上所述，“”是“在区间上单调递减”的充要条件. 4．已知是函数的极值点，则的极大值为（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用给定极值点求出，再利用导数求出极大值. 【详解】函数，求导得， 由是函数的极值点，得，解得， 函数，， 由，得或；由，得， 因此函数在处取得极大值. 5．已知函数满足，则在处的导数为（    ） A．-5 B．-3 C．2 D．3 【答案】B 【详解】由两边求导，得， 当时，，解得， 所以在处的导数为. 6．已知是定义域为的函数的导函数，的图象如图所示，且有3个零点，则下列结论正确的是（    ） A．在单调递增 B．有3个极大值点 C．不可能小于0 D．，可以同时小于0 【答案】C 【分析】AB选项，由图象直接得到函数单调性和极值点情况；C选项，假设推出矛盾；D选项，若，同时小于0，不满足函数的零点个数，D错误 【详解】A选项，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，A错误； B选项，根据导函数图象可知，为极小值点，2为极大值点，B错误； C选项，当时，，时，， 结合A可知，在，上单调递减，在，上单调递增， 假设，则，故上函数无零点， 则至多有2个零点，分别在区间和上， 不满足有3个零点，故假设不成立，不可能小于0，C正确； D选项，若，同时小于0，若， 由函数的单调性和零点存在性定理可知，此时只有2个零点， 区间上各有1个， 若，则只有1个零点，即2， 若，则无零点， 综上，若，同时小于0，无法满足有3个零点，D错误. 7．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由单调性可得恒成立，参变分离，结合基本不等式求出最值，得到答案 【详解】因为，所以. 由题意，当时，恒成立. 所以. 由当时，，当且仅当时取等号. 所以. 即的取值范围为. 8．若函数存在两个极值点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数存在两个极值点， 得有两个变号零点， 因此，解得或， 所以m的取值范围是． 二、多选题 9．已知函数，则函数（    ） A．单调减区间为 B．在区间上的最小值为 C．图象关于点中心对称 D．极小值点是 【答案】BCD 【分析】根据导数与单调性、极值点与最值的关系判断ABD，根据对称中心的性质判断C. 【详解】. 令，即，解得或. 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 对于A，的单调减区间为，A错误. 对于B，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 则极大值为， 极小值为， 又， ， 故在区间上的最小值为，B正确. 对于C，设图象关于中心对称，则. . 所以，解得， 故图象关于点中心对称，C正确. 对于D，极小值点是，D正确. 10．已知函数的导函数为，且满足，，，若函数有个零点、、，则下列说法正确的是（     ） A．实数的取值范围是 B．的取值范围是 C．的最大值是 D．若在上的值域为，则的最大值为 【答案】AC 【分析】利用导数研究函数的单调性与极值，并作出函数的图像，从而得到的范围，可判断A选项；由可得出，结合A选项可判断B选项；通过利用、、的关系消元得到，利用的范围求最大值可判断C；的单调性及极值点结合函数的图像求得的最大值可判断D. 【详解】因为，则， 由题意可得，解得，所以， 对于A选项，，由可得或，列表如下： 递增 极大值 递减 极小值 递增 由题意可知，直线与函数的图象有三个交点，如下图所示： 由图可知，实数的取值范围是，故A正确； 对于B选项，由题意可知， 即， 所以，故B错误； 对于C选项，， 因为，所以， 由图可知，所以当时，，故C正确； 对于D，因为在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，， 所以时，；时，， 所以由在上的值域为，得，所以， 当，时，取到最大值，故D错误. 11．已知，函数有两个极值点，则（    ） A．实数的取值范围是 B．曲线的对称中心的横坐标为 C．存在实数，使得是的极大值点 D．当时，经过点的切线有且只有1条 【答案】AC 【分析】根据极值点定义即可判断A；根据中心对称定义、二阶导数零点均可判断B；先代入求出,再根据极值的单调性可判断C；过已知一点可求出切线方程，即可判断D. 【详解】对于A：因为有两个极值点，所以 有两个不等的实数解，即，又已知 解得，A正确； 对于B：法一：(定义法）， 不是一个与无关的定值， 法二：（二阶导数零点法）， 令得，B错误； 对于C：若是极大值点，则，即，解得， 此时解得或， 当时，，单调递增 当时，，单调递减 当时，，单调递增， 所以是的极大值点，C正确； 对于D.：时，，, 设切点横坐标为，切线斜率， 切点坐标为， 切线方程为，代入点 化简得，因式分解得， 解得或，即切线有两条，D错误. 12．设函数，则（     ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【详解】， 所以当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，A选项正确； 当，，且函数单调递增，所以，B选项错误； 当时，，所以，即，C选项正确； 当时，， ， 因为，所以，所以，即，D选项正确. 13．已知函数（），则（     ） A．函数的图象过点 B．，使得函数是奇函数 C．若函数在上单调递增，则 D．若函数有三个不同零点，则 【答案】ABD 【分析】根据函数的单调性、奇偶性及零点问题，借助导数，逐一分析各选项判断正误. 【详解】对于选项A，，与的取值无关，因此函数的图象恒过点，故选项A正确； 对于选项B，若为奇函数，则满足对任意成立， 即，化简得，，所以，此时是奇函数，因此存在满足条件，故选项B正确； 对于选项C，，若在上单调递增， 则在上恒成立，即在上恒成立，所以，故选项C错误； 对于选项D，若有三个不同零点，则有两个不同实根，即， 此时极点为，极大值，时恒大于0； 极小值，解得，因此，故选项D正确. 14．已知，函数，则（    ） A．若的两个实数根为，（），则在区间上单调递减 B．的图象一定关于点对称 C．过函数图象上一点，可能作曲线的两条切线 D．若有三个实数根，，，则 【答案】BC 【分析】根据三次函数的对称性、导数性质，逐一判断各选项的正确性． 【详解】对于A，因为的两个实根为，（）， 当时，时，，在区间上单调递减； 当时，时，，在区间上单调递增，A错误； 对于B，设， 得， 整理得， 根据多项式恒等对应系数相等，可得且， 从而三次函数是中心对称曲线，且由知其对称中心仍然在曲线上． 故对称中心为，B正确； 对于C，取图象上一点，设过点的切线切点为， 则切线的斜率为， 又切线的斜率也可表示成 整理得：， 则， 当时，方程有两个不同的实数根，例如取，取， 可求过点有两条切线和，C正确； 对于D，若有三个实数根，，，则 ，所以，即，D错误． 三、填空题 15．已知函数，给出下列四个结论： ①是非奇非偶函数； ②当时，至多有两个不同零点； ③若是曲线上任意一点，，则； ④设为曲线上一点，为曲线上一点，若，则． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①③④ 【分析】对①：计算定义域即可得；对②：分类讨论，结合二次函数求根公式计算即可得；对③：借助两点间的距离公式与导数求取最值计算即可得；对④：结合函数性质与③中所得结论即可得. 【详解】对①：令，即有，即，函数定义域不关于原点对称，故函数不是奇函数，故①正确； 对②：令，则，因为， 当时，有，故0是该方程的一个根； 当，有，，方程有两根，有或， 因为，故必有一个大于2的正根，即必有一个大于2的正根； 因为，令，即，则， 即，故在内亦必有一负根， 综上所述，，且，关于x的方程恰有三个不相等的实数根，故②错误； 对③：令，则有，， 令，，，令，解得，则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又，，，故恒成立，即，故，故③正确； 对④：当时，由，，故， 此时，，则， 当时，由与关于轴对称，不妨设，则有或， 当时，由，有，故成立； 当时，，则设， 由③知，点与点在圆上或圆外， 设点与点在圆上且位于x轴两侧，则圆上点纵坐标：， ，所以， 实际上，，两点竖直距离，水平距离相等， 故； 综上所述，恒成立，故④正确. 【点睛】结论④中的关键点在于借助结论③，结合函数的对称性，从而得到当、都小于零时，的情况. 四、解答题 16．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有3个零点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，时，，单调递增； 时，，单调递减； 当时，时，，单调递减； 时，，单调递增； 当时，时，，单调递增； 时，，单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，时，，单调递增； 时，，单调递减． (3) 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求出切线斜率，进而求出切线方程； （2）求导，求出零点，按分情况讨论，求出单调区间； （3）时，，得出为1个零点，则，等价于有两个不等于1的实根，进而结合零点个数求出的范围． 【详解】（1）当时，，，故切点为， 求导得，切线斜率， 故切线方程为． （2）求导得， 令，得零点和， 当时，，零点为， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 当时，二次函数开口向下，且， 时，，单调递减； 时，，单调递增； 当时，二次函数开口向上，且， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 当时，恒成立，在上单调递增； 当时，二次函数开口向上，且， 时，，单调递增； 时，，单调递减． （3）时，，故恒为零点， 故，有3个零点， 等价于有两个不等于1的实根，则， 且，解得， 将代入二次方程，则，解得， 综上，a的取值范围为． 17．已知函数，函数图象在点处的切线方程为，且当时，函数取得极值． (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中信息可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，再结合极值点的定义验证，即可得出函数的解析式； （2）求出函数的增区间，根据题意可知区间是增区间的子集，可得出区间的包含关系，由此可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）因为，则， ，解得， 即，所以， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值，符合题意. 综上所述，. （2）由，， 由可得或，故函数的增区间为和. 因为函数在区间上单调递增，所以，解得， 且有或， 所以或，解得或， 故实数的取值范围是. 18．已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值，并求的单调区间与极值； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) ；单调递增区间为和，单调递减区间为；极大值为，极小值为 (2) 【分析】（1） 先求函数导数，结合导数的几何意义和两直线垂直的斜率关系求出，再通过导数符号判断单调性，进而求解极值. （2） 将存在性不等式成立问题转化为不大于在上的最大值，计算区间内的最大值即可得到的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为，. 曲线在处的切线斜率为，直线的斜率为. 由两直线垂直斜率乘积为，得，解得. 将代入得，令，解得，. 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减. 则极大值为， 极小值为. （2）存在使得成立，等价于. 由（1）可知，，因此在上单调递增，在上单调递减. 因此在上的最大值为，故，即的取值范围为. 19．已知函数，且． (1)求值； (2)若曲线在点处的切线与曲线有且只有两个公共点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）首先求出，求导得到，代入中计算即可求解； （2）求出曲线在点处的切线为，将问题转化为直线与的图像有两个交点，利用导数研究的单调性和极值即可求解. 【详解】（1）令，可得：， 由于， 所以， 则， 所以， 解得： （2）由（1）可得， 由，可得， 所以曲线在点处的切线为，即， 由曲线在点处的切线与曲线有且只有两个公共点， 则，即有两个解，令 则将问题转为直线与的图象有两个交点， ， 令，解得或，令，解得， 所以的单调增区间为，减区间为：， 极大值为，极小值为， 当时，，当时， 所以要使直线与的图象有两个交点， 则或 20．已知函数（，）． (1)若在时取得极值且，求的值和极小值； (2)若当时，在区间的最大值为，最小值为．求此时，的值． 【答案】(1)，极小值为 (2)或 【分析】（1）先利用求得的值，再利用导数分析函数单调性，证明所求的值满足题意，结合函数的单调性可求函数的极小值. （2）分和，利用导数分析函数在上的单调性，结合函数的最值求，的值. 【详解】（1）， 由题意可得，，即， 解得：． 此时，， 由可得或；由可得. 所以在单调递减，在单调递增，在单调递减， 所以函数在时取得极大值.所以满足题意. 所以当时，有极小值为. （2）需分和两种情况． ①，此时导函数，因且， ，即在上单调递增， 所以的最大值：，最小值：． 依据题意，解得，符合题意． ②，此时，即在上单调递减． 所以的最大值：，最小值：． 依据题意，解得，符合题意． 综上可得，的值为或. 21．设函数，已知曲线在点处的切线斜率为12． (1)求实数m的值； (2)求函数的单调区间； (3)若函数在区间上的最大值为20，求n的值． 【答案】(1) (2)函数的单调递增区间为，单调递减区间为和 (3) 【分析】（1）由题意可得，求导可得，求解即可； （2）令和，解不等式可求得函数的单调区间； （3）根据（2）中函数的单调性求出最值，结合已知最值列式可求出结果. 【详解】（1）因为曲线在点处的切线斜率为12，所以， 又，所以， 所以， 所以， 解得； （2）由（1）知，所以， 由，得，由，得或， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为和． （3）由（1）知， 因为函数在上是单调递减函数，在上是单调递增函数， 又， 所以函数在区间上的最大值为， 解得． 学科网（北京）股份有限公司 $ 12三次函数及其性质 1. 单调性 三次函数 (1) 若 ，则 在 上为增函数； (2) 若 ，则 在 和 上为增函数， 在 上为减函数，其中 (1) 当 即 时， 在 上恒成立，即 在 为增函数. (2) 当 即 时，解方程 ，得 或 在 和 上为增函数. 在 上为减函数. 由上易知以下结论：三次函数 (1) 若 ，则 在 上无极值； (2) 若 ，则 在 上有两个极值；且 在 处取得极大值，在 处取得极小值. 2. 根的性质 三次函数 (1) 若 ，则 恰有一个实根； (2) 若 ，且 ，则 恰有一个实根； (3) 若 ，且 ，则 有两个不相等的实根； (4) 若 ，且 ，则 有三个不相等的实根. 证明(1)(2) 含有一个实根的充要条件是曲线 与 轴只相交一次，即 在 上为单调函数或两极值同号，所以 或 ，且 . (3) 有两个相异实根的充要条件是曲线 与 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以 ，且 . (4) 有三个不相等的实根的充要条件是曲线 与 轴有三个公共点，即 有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以 且 . 三次函数 在 上恒正的充要条件是 ( )，或 且 . 3. 对称性 三次函数 的图象关于点 对称，并且 在 处取得最小值，其图象关于直线 对称. 证1 易知 是奇函数，图象关于原点对称，则 关于点 对称. 当 时， 取得最小值，显然 图象关于 对称. 证2 设 的图象关于点 对称，任取 图象上点 ，则 关于 的对称点 也在 图象上： 综上所述：由上又可得以下结论： 是可导函数，若 的图象关于点 对称，则 图象关于直线 对称. 证明 的图象关于 对称，则 图象关于直线 对称. 证3. 若 图象关于直线 对称，则 图象关于点 对称. 证明 图象关于直线 对称，则 ， 故 图象关于点 对称. 4. 总结 三次函数理论： (1) 三次函数 图象：反 型和大 型 (2) 函数 单调性、极值点个数情况： 中较大根为极小值点，较小根为极大值点.由以下图可看出，， 无极值点，但有 1 个零点！ 终极总结版 (1) 结论一：三次函数是中心对称曲线，且对称中心是 ； (2) 结论二：其导函数的对称轴为 ，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见 图象的对称中心在导函数 的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点； (3) 结论三： 是可导函数，若 的图象关于点 对称，则 图象关于直线 对称. (4) 结论四：若 图象关于直线 对称，则 图象关于点 对称. (5) 结论五：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数. (6) 结论六：若可导函数 的三阶导数 ，函数有极大值或极小值时，极小值右偏，极大值左偏；若可导函数 的三阶导数 ，函数有极大值或极小值时，极小值左偏，极大值右偏； (7) 四段论： 且导函数 ； 且导函数 . 极大值到对称中心距离为 ，极小值点到对称中心距离为 ，极小值等值点到极大值点距离为 ，极大值等值点到极小值点距离为 ；设 的极大值为 ，当 的两根为 ， 时，区间 被中心 和极小值点三等分，类似的，对极小值 也有此结论. (8) 三次函数 ① 不可能为偶函数；② 当 时是奇函数. (9) 三次函数切线问题：研究过点 可以作出三次函数 图象的几条切线，本质上是研究方程根的个数，可以设切点为 ，则切线方程为 ，将点 的坐标代入切线方程可得 ，这一关于 的方程有几个实数解，过点 就可以作出函数 图象的几条切线，这一问题的结论如下图所示： ① 过曲线外部的点作 的切线，有且仅有 3 条； ② 过曲线内部的点以及曲线的对称中心作的切线，有且仅有 1 条；记忆方法：记忆：外 3，内 1，线上 2. ③ 过 图象（除去对称中心）上的点及过对称中心的切线上的点（除去对称中心）作 切线，有且仅有 2 条； 设原方程为 有三个根；则韦达定理： 补充： 若可导函数 的三阶导数 ，函数有极大值或极小值时，极小值右偏，极大值左偏； 若可导函数 的三阶导数 ，函数有极大值或极小值时，极小值左偏，极大值右偏； 巩固练习 一、单选题 1．已知函数，若在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．已知函数，则有（    ）个极大值． A．0 B．1 C．3 D．4 3．已知函数，则“”是“在区间上单调递减”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知是函数的极值点，则的极大值为（    ） A．0 B． C． D．2 5．已知函数满足，则在处的导数为（    ） A．-5 B．-3 C．2 D．3 6．已知是定义域为的函数的导函数，的图象如图所示，且有3个零点，则下列结论正确的是（    ） A．在单调递增 B．有3个极大值点 C．不可能小于0 D．，可以同时小于0 7．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．若函数存在两个极值点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，则函数（    ） A．单调减区间为 B．在区间上的最小值为 C．图象关于点中心对称 D．极小值点是 10．已知函数的导函数为，且满足，，，若函数有个零点、、，则下列说法正确的是（     ） A．实数的取值范围是 B．的取值范围是 C．的最大值是 D．若在上的值域为，则的最大值为 11．已知，函数有两个极值点，则（    ） A．实数的取值范围是 B．曲线的对称中心的横坐标为 C．存在实数，使得是的极大值点 D．当时，经过点的切线有且只有1条 12．设函数，则（     ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 13．已知函数（），则（     ） A．函数的图象过点 B．，使得函数是奇函数 C．若函数在上单调递增，则 D．若函数有三个不同零点，则 14．已知，函数，则（    ） A．若的两个实数根为，（），则在区间上单调递减 B．的图象一定关于点对称 C．过函数图象上一点，可能作曲线的两条切线 D．若有三个实数根，，，则 三、填空题 15．已知函数，给出下列四个结论： ①是非奇非偶函数； ②当时，至多有两个不同零点； ③若是曲线上任意一点，，则； ④设为曲线上一点，为曲线上一点，若，则． 其中所有正确结论的序号是________． 四、解答题 16．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有3个零点，求a的取值范围． 17．已知函数，函数图象在点处的切线方程为，且当时，函数取得极值． (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围． 18．已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值，并求的单调区间与极值； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 19．已知函数，且． (1)求值； (2)若曲线在点处的切线与曲线有且只有两个公共点，求实数的取值范围． 20．已知函数（，）． (1)若在时取得极值且，求的值和极小值； (2)若当时，在区间的最大值为，最小值为．求此时，的值． 21．设函数，已知曲线在点处的切线斜率为12． (1)求实数m的值； (2)求函数的单调区间； (3)若函数在区间上的最大值为20，求n的值． 学科网（北京）股份有限公司 $