第19卷 分段函数与复合函数（教师讲解卷）-河南省对口招生《数学考点双析卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 以“讲练结合”为特色，聚焦分段函数与复合函数，通过基础到综合的题型设计构建完整认知链条，培养运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念应用|9题（选择1-7、填空11-12）|定义域、值域、解析式求解|从概念理解到基本运算，夯实分段函数与复合函数的定义认知| |性质综合|7题（选择8-10、填空13-14、解答15-16、18）|奇偶性、分段求值、复合运算|结合函数性质深化推理，构建“概念-性质-运算”逻辑链| |实际应用|1题（解答17）|分段函数建模（租车收益问题）|从数学思维到实际问题解决，体现模型意识与应用能力|

编写说明：2027年河南省对口招生《数学考点双析卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在参考历年职教高考数学真题的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 河南省对口招生《数学考点双析卷》 第19卷 分段函数与复合函数 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，则 （    ） A． B． C．2 D． 4．已知函数，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 5．已知条件，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 6．设函数，则（   ） A． B． C． D． 7．函数，的值域是（   ） A． B． C． D． 8．已知是一次函数，，则（    ） A． B． C． D．或 9．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 10．若函数，则等于（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．已知函数 ，则函数的值域为______. 12．若函数，且，则实数 ________________ 13．已知定义在上的函数满足，则的值为____. 14．函数的值域为__________. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．已知函数满足，，. (1)求的解析式； (2)求在区间上的最值. 16．如果，则当且时，求. 17．某景区提供自行车出租服务，共50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日75元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加5辆，为便于结算，每辆自行车日租金（元）只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租的总收入减去管理费用后所得）. (1)求函数的解析式及其定义域； (2)试问：当每辆自行车的日租金定价为多少时，才能使一日的净收入最多？并求出这个最大净收入. 18．已知定义在R上的函数是奇函数，是偶函数，且，求和的解析式. 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河南省对口招生《数学考点双析卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在参考历年职教高考数学真题的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 河南省对口招生《数学考点双析卷》 第19卷 分段函数与复合函数 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合二次函数的图像和性质，求得函数在时的最值，即可求解. 【详解】因为函数， 所以函数图像开口向上，对称轴为， 当时，， 所以函数的值域是. 故选：D. 2．已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将集合进行化简，结合交集的定义即可得解. 【详解】因为，可得集合， 因为，解得，所以集合， 则， 故选：. 3．已知函数，则 （    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】首先将代入合适的解析式中求出的值，再将的值代入合适的解析式中求值即可. 【详解】已知函数， 则， 所以， 故选：C. 4．已知函数，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】首先令，再分别讨论和两种情况，求出的值，再分别讨论和两种情况求值即可. 【详解】令，则， 当时，，解得，不满足，故舍去， 当时，，解得，满足，符合题意， 所以， 当时，，解得，满足，符合题意， 当时，，解得，不满足，故舍去， 所以， 故选：B. 5．已知条件，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目给出的条件进行求解即可. 【详解】，将原式中的与互换，得. 于是得关于的方程组解得. 故选：A. 6．设函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入函数的解析式中，进而求出的解析式. 【详解】因为函数， 所以， 故选：A. 7．函数，的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据换元法，求出的取值范围，再由反比例函数的单调性即可求解值域. 【详解】由题意，令，由于，故， 故，由反比例函数的性质，在单调递增， 故当时，；当时，， 故函数在的值域为． 故选：A. 8．已知是一次函数，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】设出一次函数解析式，由待定系数法解方程组即可解得. 【详解】由题意设，则， ∴， 解得或， ∴或， 故选：D. 9．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得到，即即可. 【详解】，， ， 故选：A. 10．若函数，则等于（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】当​时，得，代入函数解析式即可． 【详解】当​，即时，得. 故选：A. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．已知函数 ，则函数的值域为______. 【答案】 【分析】分离常数法求函数的值域. 【详解】的定义域为， 因为，所以，即， 所以的值域为. 故答案为：. 12．若函数，且，则实数 ________________ 【答案】10 【分析】根据题意，结合分段函数的函数值相等，代入即可求解. 【详解】因为函数，且， 所以，， 所以，解得. 故答案为：10. 13．已知定义在上的函数满足，则的值为____. 【答案】 【分析】利用方程思想得到，从而用加减消元得到，求出. 【详解】由①，得②， ②×4＋①得，解得， 故. 故答案为： 14．函数的值域为__________. 【答案】 【分析】根据一次函数的单调性确定值域即可. 【详解】已知函数是R上的减函数， 且，当时，， 当时，，则，所以， 所以值域为， 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．已知函数满足，，. (1)求的解析式； (2)求在区间上的最值. 【答案】(1) (2)最小值为，最小值为0 【分析】（1）根据题目中所给函数值列出方程组计算即可求解. （2）根据（1）所得函数计算区间端点处最值即可求解. 【详解】（1）因为函数满足，，， 所以，解得， 所以. （2）因为， 所以在时取得最大值，在时取得最小值， 所以在区间上的最大值为， 在区间上的最小值为. 16．如果，则当且时，求. 【答案】且 【分析】根据题意，结合函数解析式，利用换元法，即可求解. 【详解】因为，且， 令，则 且，代入 ， 所以 且，即且. 17．某景区提供自行车出租服务，共50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日75元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加5辆，为便于结算，每辆自行车日租金（元）只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租的总收入减去管理费用后所得）. (1)求函数的解析式及其定义域； (2)试问：当每辆自行车的日租金定价为多少时，才能使一日的净收入最多？并求出这个最大净收入. 【答案】(1) (2)日租金定价为元时，最大净收入元. 【分析】（1）由题意分情况讨论租金不超过6元以及超过6元的函数表达式和定义域即可. （2）分别求出两种情况下净收入的最大值，再比较得出最大净收入即可. 【详解】（1）由题意得， 当每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可全部租出， 此时净收入为. 由于要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用， 所以. 由于每辆自行车日租金（元）只取整数，所以. 即. 当每辆自行车的日租金超过6元，每超过1元，租不出的自行车就增加5辆， 此时租出的自行车数量为，总收入为， 净收入为. 根据净收入大于0， 所以 ， 又因为.所以. 综上，函数的解析式为 . （2）根据第一问的结果，当，， 所以单调递增，故 当时，， 此时，. 因为，所以时，， 故当每辆自行车的日租金定价为元时，才能使一日的净收入最多，最大净收入元. 18．已知定义在R上的函数是奇函数，是偶函数，且，求和的解析式. 【答案】， 【分析】将代入已知等式，利用函数、的奇偶性，得到关于与的又一个方程，将二者看做未知数解方程组，即可求解． 【详解】因为① 所以. 又因为是奇函数，是偶函数， 所以， 从而上式可化为② 联立①②可得 ，. 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $