第15卷 函数奇偶性（教师讲解卷）-河南省对口招生《数学考点双析卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 聚焦函数奇偶性，通过选择、填空、解答题系统覆盖概念判断、性质应用及综合探究，构建“概念-性质-应用”的逻辑链条，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|选择1-8、填空14|奇偶性判定、图像对称性及充要条件判断|从定义辨析到几何直观，建立奇偶性与函数图像的逻辑联系| |性质应用|选择9-10、填空11-13|奇偶性与单调性、定义域结合及参数求解|通过性质迁移，深化奇偶函数定义域对称性与单调性关联| |综合探究|解答15-18|解析式推导与奇偶性证明|从具体问题到一般方法，培养基于定义的推理能力与应用意识|

编写说明：2027年河南省对口招生《数学考点双析卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在参考历年职教高考数学真题的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 河南省对口招生《数学考点双析卷》 第15卷 函数奇偶性 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据可判断. 【详解】解： 定义域为，，，，故A错； 定义域为，，，，故B错； 定义域为，，，，故C对； 定义域为不关于原点对称，故D错； 故选：C. 2．若函数为偶函数，且，则下列说法错误的是（      ） A． B． C． D．函数的图像一定关于轴对称 【答案】C 【分析】根据偶函数的性质求解. 【详解】∵是偶函数，故， ∴，，故A，B正确. 根据偶函数的性质，图像关于轴对称，故D正确. 题目并未给出的值，且无法根据偶函数的性质推导的值，故C错误. 故选：C. 3．已知函数是偶函数，那么是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】A 【分析】由偶函数的定义可得，此时，再根据奇函数的定义可判断结果. 【详解】因为函数是偶函数， 所以对任意实数都成立， 即， 化简可得， 所以. 此时，，其定义域为关于原点对称，且为非常数函数， ， 所以为奇函数. 故选：A 4．已知函数在上是奇函数，且，，则（    ）. A． B． C． D．无法比较和的大小 【答案】B 【分析】根据奇函数的性质及，，可得的值. 【详解】∵函数在上是奇函数， ∴， ∵，， ∴ ， 所以， 故选：B. 5．设函数，其图象关于（    ） A．原点对称 B．直线对称 C．轴对称 D．y轴对称 【答案】D 【分析】由函数的奇偶性及其图象特征即可得解. 【详解】， 故函数为偶函数，其图象关于y轴对称. 故选：D. 6．点关于y轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面直角坐标系中任意一点关于y轴对称的点为，解答即可. 【详解】点关于y轴对称的点的坐标为， 故选：A. 7．“函数的图像关于原点对称”是“函数是奇函数”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】A 【分析】根据充分必要条件的概念和函数奇偶性的定义判断即可. 【详解】设函数表达式为， 充分性：若函数图像关于原点对称，设为图像上任意一点， 则关于原点的对称点为，该点仍在图像上， 因此，符合奇函数的定义，即函数为奇函数； 必要性：若函数为奇函数，设为图像上任意一点， 则关于原点的对称点为， 因为为奇函数，所以， 即仍在图像上，因此，函数图像关于原点对称. 综上所述：“函数的图像关于原点对称”是“函数是奇函数”的充要条件. 故选：. 8．已知函数，则在R上为（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数也是偶函数 【答案】B 【分析】根据题意，结合函数奇偶性的定义，即可判断求解. 【详解】因为函数的定义域为R，关于原点对称， 又， 故该函数为偶函数. 故选：B. 9．已知函数在上是奇函数，且，当时，，则（   ） A． B．4 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据题意得到函数的周期，再利用函数的解析式和奇偶性求解即可. 【详解】因为， 所以函数是以4为周期的周期函数， 所以， 由函数在上是奇函数，可知， 因为当时，， 故， 因此，即. 故选：C. 10．已知偶函数，当时，，则（    ） A．3 B． C． D．5 【答案】B 【分析】根据偶函数的特征，求解即可. 【详解】因为当时，， 所以， 因为函数是偶函数， 所以，因此选项B正确. 故选：B. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．奇函数在上是减函数，则在上是__________． 【答案】减函数 【分析】由题意根据奇函数的定义证明即可. 【详解】设是上的两个值，且， 则， 在上是减函数且是奇函数， ，即， 故在上是减函数. 故答案为：减函数. 12．已知是奇函数，是偶函数，且，则______． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性，分析求解即可. 【详解】因为①， 所以， 又因为是奇函数，是偶函数， 所以， 所以②， 由①②得：，即， 所以， 所以，， 因此， 故答案为：. 13．是偶函数，其定义域为，则等于____________． 【答案】 【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称可求出a的值，再根据偶函数的性质可求b的值，从而可得答案． 【详解】∵是偶函数，其定义域为， 则其定义域关于原点对称，则，则， ∴定义域为，， 由可得：对于恒成立， ∴，可得， ∴． 故答案为：． 14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数，则__________. ①定义域为，值域为 ②在定义域内是偶函数 ③有3个零点 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意，结合函数的性质，可构成函数，即可求解. 【详解】根据题意，取函数， 可得函数的定义域为，值域为，故①符合； 因为，所以函数为偶函数，故②符合； 令，解得或，所以的图象与轴有三个零点，所以③符合， 综上，所以函数符合题意. 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．已知函数是偶函数，当时，. (1)当时，求函数的解析式； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性求解即可 （2）根据函数解析式求解函数值即可 【详解】（1） 当时，. 当时，， 所以. 又是偶函数，所以. 所以当时，函数. （2）由（1）得，当时，； 当时，， 所以， . 16．已知二次函数是偶函数，且经过点，，求的解析式. 【答案】 【分析】根据二次函数是偶函数，再利用待定系数法，求解即可. 【详解】设的解析式为 则根据题意得， 解得 ， 所以的解析式为. 17．已知函数，判断函数的奇偶性，并说明理由． 【答案】奇函数，理由见解析 【分析】根据函数的奇偶性的定义判断即可. 【详解】函数是奇函数． 要使函数有意义， 必须有，即，解得， 所以函数的定义域为，关于原点对称， 设对于任意的，都有， ， ∴函数是奇函数． 18．已知函数，求： (1)函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由． 【答案】(1)； (2)偶函数． 【分析】（1）根据分式函数中分母不等于0，求解即可． （2）根据函数奇偶性的定义求解即可. 【详解】（1）为了使函数，有意义，则， 因此的定义域是； （2）由（1）知，函数的定义域关于原点对称， ； 所以是偶函数． 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河南省对口招生《数学考点双析卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在参考历年职教高考数学真题的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 河南省对口招生《数学考点双析卷》 第15卷 函数奇偶性 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 2．若函数为偶函数，且，则下列说法错误的是（      ） A． B． C． D．函数的图像一定关于轴对称 3．已知函数是偶函数，那么是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 4．已知函数在上是奇函数，且，，则（    ）. A． B． C． D．无法比较和的大小 5．设函数，其图象关于（    ） A．原点对称 B．直线对称 C．轴对称 D．y轴对称 6．点关于y轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．“函数的图像关于原点对称”是“函数是奇函数”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．必要不充分条件 8．已知函数，则在R上为（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数也是偶函数 9．已知函数在上是奇函数，且，当时，，则（   ） A． B．4 C．2 D． 10．已知偶函数，当时，，则（    ） A．3 B． C． D．5 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．奇函数在上是减函数，则在上是__________． 12．已知是奇函数，是偶函数，且，则______． 13．是偶函数，其定义域为，则等于____________． 14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数，则__________. ①定义域为，值域为 ②在定义域内是偶函数 ③有3个零点 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．已知函数是偶函数，当时，. (1)当时，求函数的解析式； (2)求的值. 16．已知二次函数是偶函数，且经过点，，求的解析式. 17．已知函数，判断函数的奇偶性，并说明理由． 18．已知函数，求： (1)函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由． 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $