第17卷 函数单调性（教师讲解卷）-河南省对口招生《数学考点双析卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 聚焦函数单调性，通过选择、填空、解答题构建讲练闭环，覆盖概念理解、性质应用及实际问题解决，强化数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|考查单调性判断、奇偶性与单调性综合|从单调性定义出发，结合奇偶性深化概念理解| |填空题|4题|涉及单调性参数范围、函数值比较|通过性质应用构建概念与运算的联系| |解答题|4题|含单调性证明、最值求解及实际应用建模|从理论证明到实际问题，形成“概念-推理-应用”逻辑链条|

编写说明：2027年河南省对口招生《数学考点双析卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在参考历年职教高考数学真题的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 河南省对口招生《数学考点双析卷》 第17卷 函数单调性 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．在上为减函数的是（      ） A． B． C． D． 2．若偶函数在上是减函数，则（    ） A． B． C． D．不能确定与的大小 3．下列函数中既是偶函数，在上又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数在上是减函数，若，则实数的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 5．若函数对任意实数t，都有，则有（　　） A． B． C． D． 6．已知奇函数在上是减函数，且，则不等式的解集是（    ）． A． B． C． D． 7．已知偶函数在上单调递减，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．下面说法错误的是（    ） A．函数的单调区间一定是函数的定义域 B．函数的多个单调增区间的并集不一定是其单调增区间 C．具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称 D．关于原点对称的函数图象一定是奇函数的图象 9．下列函数在定义域内为增函数的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数在定义域上是减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．若在上是增函数，则的解集为__________. 12．若是偶函数，则，，从小到大的排列是________. 13．已知偶函数在上单调递减，且函数图像经过点，则的解集为__________. 14．函数，的最大值为______． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．证明：函数在区间上是减函数． 16．已知函数. (1)试证明函数在上为增函数； (2)求函数在上的最值. 17．设函数为偶函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由． 18．某农户在果园里种植橙子树，根据经验估计，当栽种量不超过80棵时，每一棵树平均结400个橙子；当栽种橙子树的数量大于80棵，小于等于150棵时，由于果树之间的距离减小使每一棵树获得光照减少，每多种一棵果树，平均每棵果树就会少结4个橙子． (1)当橙子树的种植数量为120棵时，这个果园的橙子总产量是多少？ (2)若种植橙子树x棵时，果园的橙子总产量为y个橙子，试列出x与y之间的函数关系式． (3)当农户种多少棵橙子树时，果园的橙子总产量最高？最高总产量是多少？ 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河南省对口招生《数学考点双析卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在参考历年职教高考数学真题的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 河南省对口招生《数学考点双析卷》 第17卷 函数单调性 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．在上为减函数的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性的定义逐个判断即可. 【详解】A. 开口向上，对称轴为，在上为增函数，不符合题意； B. ，，在上为增函数，不符合题意； C. ，，在上为减函数，符合题意； D. 开口向上，对称轴为，在上先减再增，不符合题意. 故选：C. 2．若偶函数在上是减函数，则（    ） A． B． C． D．不能确定与的大小 【答案】B 【分析】利用偶函数的性质，结合函数的单调性即可得解. 【详解】因为是偶函数，其图象关于轴对称， 又在上是减函数，所以在上是增函数， 因为，所以. 故选：B. 3．下列函数中既是偶函数，在上又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐项判断函数的单调性和奇偶性即可得解. 【详解】选项，即，定义域为，，，所以不是偶函数，故错误， 选项，即，定义域为，，， 所以为偶函数，因为图像开口向上，对称轴为轴，所以增区间为，故正确， 选项，定义域为不关于原点对称，不具备奇偶性，故错误， 选项，即，定义域为，，，所以不是偶函数，故错误， 故选：. 4．已知函数在上是减函数，若，则实数的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】由函数在上是减函数， 知，即， 解得或． 故选：D. 5．若函数对任意实数t，都有，则有（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质分析求解即可. 【详解】因为函数对任意实数t，都有， 所以函数的对称轴为， 即， 又因为函数，图像开口向上， 所以，又因为 ， 所以，所以. 故选：C. 6．已知奇函数在上是减函数，且，则不等式的解集是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性和单调性，结合指数函数的值域即可求解. 【详解】因为函数奇函数，所以，则. 又因为奇函数在上是减函数，所以在上是减函数. 由题意得，，因为，则. 当时，，解得. 当时，，解得. 综上，不等式的解集是. 故选：B. 7．已知偶函数在上单调递减，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数以及单调性的性质求解即可. 【详解】∵函数为偶函数， ∴，， ∵该函数在上单调递减，且， ∴，即. 故选：C. 8．下面说法错误的是（    ） A．函数的单调区间一定是函数的定义域 B．函数的多个单调增区间的并集不一定是其单调增区间 C．具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称 D．关于原点对称的函数图象一定是奇函数的图象 【答案】A 【分析】根据题目选项给出的条件，结合函数单调性的定义、奇偶性的定义进行判断即可. 【详解】A选项，单调区间是定义域的子集，不一定是定义域，说法错误， B选项，多个单调增区间的并集，由单调性的定义可知不一定是单调区间，说法正确， C选项，由函数的奇偶性的定义可知具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称，说法正确， D选项，由奇函数的图象关于原点对称，反之关于原点对称的函数图象一定是奇函数的图象，说法正确， 故选：A. 9．下列函数在定义域内为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数、二次函数、对数函数、一次函数的图像可判断. 【详解】对A选项，其定义域为，函数在递增，在也递增，但在定义域内不是增函数.故错误； 对B选项，函数是二次函数，开口向上，对称轴为y轴，函数在递减，在递增，故错误； 对C选项，函数为对数函数，底数大于1，定义域为，它在递增，故正确； 对D选项，函数是一次函数，且一次项系数为负，所以函数在定义域上是减函数.故错误. 故选：C 10．已知函数在定义域上是减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数的单调性及定义域化简不等式，即可得解. 【详解】因为函数在定义域上是减函数，且， 则有 解得，所以实数的取值范围是. 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．若在上是增函数，则的解集为__________. 【答案】 【分析】根据函数的单调性的概念即可求解. 【详解】由题意得，因为在上是增函数，且. 所以，解得，即解集为. 故答案为：. 12．若是偶函数，则，，从小到大的排列是________. 【答案】 【分析】先利用多项式类型的函数的偶函数性质求得，进而求得，再依次求得，，的值即可得解. 【详解】由多项式类型的函数的偶函数性质（奇次项系数为0）， 可知函数的一次项系数，得， 所以， 则，，， 所以. 故答案为：. 13．已知偶函数在上单调递减，且函数图像经过点，则的解集为__________. 【答案】 【分析】根据偶函数的对称性确定函数的单调性，即可解不等式. 【详解】已知偶函数在上单调递减， 则在上单调递增， 由函数图像经过点，得， 由，得或， 当时，函数单调递减，所以， 当时，函数单调递增，所以， 所以的解集为. 故答案为：. 14．函数，的最大值为______． 【答案】2 【分析】根据函数的单调性求最大值. 【详解】当时，是减函数，则为增函数， 所以，当时，取最大值. 故答案为：2. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．证明：函数在区间上是减函数． 【答案】证明见解析 【分析】运用减函数的定义证明即可. 【详解】证明：任取且， 则有， 因为，所以， 又因为，所以， 即， 故函数在区间上是减函数. 16．已知函数. (1)试证明函数在上为增函数； (2)求函数在上的最值. 【答案】(1)证明见解析 (2)最小值为，无最大值. 【分析】（1）根据定义法证明函数单调性即可解得. （2）根据二次函数单调性即可解得. 【详解】（1）证明：由题，函数， 设任意， 则 ， 又，则， 即，故. 故函数在上为增函数. （2）由题，二次函数对称轴为，图像为开口向上的抛物线， 则在上单调递减，在上单调递增， 故在上有最小值，最小值，无最大值. 17．设函数为偶函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由． 【答案】(1) (2)增函数，理由见解析 【分析】（1）利用偶函数的性质和函数值易得答案. （2）利用增函数的定义易证答案. 【详解】（1） 函数为偶函数    即      又 即     函数的解析式为： （2）函数 在是增函数   理由：设，且 则 ，且    即 函数 在是增函数 18．某农户在果园里种植橙子树，根据经验估计，当栽种量不超过80棵时，每一棵树平均结400个橙子；当栽种橙子树的数量大于80棵，小于等于150棵时，由于果树之间的距离减小使每一棵树获得光照减少，每多种一棵果树，平均每棵果树就会少结4个橙子． (1)当橙子树的种植数量为120棵时，这个果园的橙子总产量是多少？ (2)若种植橙子树x棵时，果园的橙子总产量为y个橙子，试列出x与y之间的函数关系式． (3)当农户种多少棵橙子树时，果园的橙子总产量最高？最高总产量是多少？ 【答案】(1)个. (2). (3)当农户种棵橙子树时，果园的橙子总产量最高为个. 【分析】（）根据题意算出每棵树结的橙子数即可得解. （）分类讨论与两种情况，列出分段函数解析式即可得解. （）分别算出与两种情况下的产量最大值即可得解. 【详解】（1）因为，当栽种橙子树的数量大于80棵，小于等于150棵时， 每多种一棵果树，平均每棵果树就会少结4个橙子， 相对于棵树，多种了棵树， 所以每棵树结的橙子数为个， 所以果园的橙子总产量是个. （2）根据题意，当时，； 当时，相对于棵树，多种了棵， 每棵树结的橙子数为即个， 所以， 所以x与y之间的函数关系式为. （3）由（）可知，橙子树x棵时，果园的橙子总产量为y个，x与y之间的函数关系式为， 当时，为增函数， 所以当时，最大为个； 当时，， 图像为开口向下的抛物线，对称轴为， 所以当时，个， 因为， 所以当农户种棵橙子树时，果园的橙子总产量最高为个. 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $