专题7 带电小球的力电综合问题 讲义-2026年高二物理暑期能力提升

高中物理 高二暑期能力提升 专题7 带电小球的力电综合问题 【方法解读】 1.动力学的观点 (1)由于匀强电场中带电粒子所受静电力和重力都是恒力，可用正交分解法。 (2)综合运用牛顿运动定律和匀变速直线运动公式，注意受力分析要全面，特别注意重力是否需要考虑的问题。 2.能量的观点 (1)运用动能定理，注意过程分析要全面，准确求出过程中的所有力做的功，判断是对分过程还是对全过程使用动能定理。 (2)运用能量守恒定律，注意题目中有哪些形式的能量出现。 3.动量的观点 (1)运用动量定理，要注意动量定理的表达式是矢量式，在一维情况下，各个矢量必须选同一个正方向。 (2)运用动量守恒定律，除了要注意动量守恒定律的表达式是矢量式，还要注意题目表述是否为某方向上动量守恒。 【例1】　(2025·黑吉辽蒙卷·7)如图，光滑绝缘水平面AB与竖直面内光滑绝缘半圆形轨道BC在B点相切，轨道半径为r，圆心为O，O、A间距离为3r。原长为2r的轻质绝缘弹簧一端固定于O点，另一端连接一带正电的物块。空间存在水平向右的匀强电场，物块所受的电场力与重力大小相等。物块在A点左侧释放后，依次经过A、B、C三点时的动能分别为EkA、EkB、EkC，则(　　) A.EkA<EkB<EkC B.EkB<EkA<EkC C.EkA<EkC<EkB D.EkC<EkA<EkB 【例2】　(多选)(2025·重庆市三模)如图，空间存在范围足够大的匀强电场，电场强度大小E=，方向水平向右。竖直面内一绝缘轨道由半径为R的光滑圆弧BC与足够长的倾斜粗糙轨道AB、CD组成，AB、CD与水平面夹角均为45°且在B、C两点与圆弧轨道相切。带正电的小滑块质量为m、电荷量为q，从AB轨道上与圆心O等高的P点以v0=2的速度沿轨道下滑。已知滑块与AB、CD轨道间的动摩擦因数μ=，重力加速度大小为g。则(　　) A.滑块在AB轨道下滑时的加速度大小为g B.滑块在BC轨道运动时对轨道的最大压力为(2+)mg C.滑块最终会停在AB轨道上 D.滑块在粗糙轨道上运动的总路程为3R 【例3】　如图所示，有一个可视为质点的质量为m的带正电小物块，电荷量为q，从光滑绝缘平台上的A点水平抛出，到达C点时，恰好以速度v无碰撞地进入固定在水平地面上的光滑绝缘圆弧轨道，整个圆弧轨道处在竖直向下的匀强电场中，电场强度E=。随后小物块滑上紧靠圆弧轨道末端D点的质量为2m的绝缘长木板。已知木板上表面与圆弧轨道末端切线相平，木板下表面与水平地面之间光滑，小物块与长木板间的动摩擦因数为μ，圆弧轨道的半径为r，C点和圆弧轨道的圆心连线与竖直方向的夹角θ=60°，m、q、v、μ、r以及重力加速度g均为已知量，不计空气阻力。求： (1)小物块从A点抛出时的速度大小以及A、C两点的高度差； (2)小物块刚到达圆弧轨道末端D点时对轨道的压力大小； (3)要使小物块不滑出长木板，木板的长度L的最小值。 【针对性训练】 1. （湖南怀化名校联考联合体2025届高考考前仿真联考三）如图所示，ABCD为匀强电场中相邻的四个等势面，等势面与水平方向的夹角，一带正电小球经过等势面A上的点时，速度方向水平，小球沿直线运动，经过等势面D上的点时速度恰好为零，已知小球质量为，带电量，ad间的距离为，重力加速度，，，则下列说法正确的是（　　） A. 匀强电场强度大小为7.5N/C B. 小球在a点的速度大小为1.5m/s C. A和B两等势面的电势差 D. 若小球从d点沿da方向水平射入，则小球运动轨迹为曲线 2. （2025届信阳潢川县一高和高级中学二模联考） 如图所示在场强为E的匀强电场中有一带电绝缘物体P处于水平面上。已知P的质量为m、带电量为，其所受阻力与时间的关系为。时物体P由静止开始运动直至速度再次为零的过程中，以下说法正确的是（　　） A. 物体达到最大速度的时间 B. 物体达到最大速度为 C. 全过程中，物体所受电场力的冲量为 D. 全过程中，物体的阻力f的冲量为 3. (浙江诸暨市2025年5月高三适应性考试试题)如图所示为两个固定的均匀带电的绝缘球面，半径分别为7R和R，所带电荷量分别为Q和Q（Q>0），两球面内切于E点，球心O和O1的连线沿水平方向。一根内壁光滑的竖直绝缘细管穿过大球面球心O，与球面相交于B、C两点。现有一质量为m、带电量为q（q>0）的小球从A点沿细管由静止开始下落，运动通过D点。已知AB两点距离和CD两点距离均为R，静电力常量为k，重力加速度为g，设无穷远处为零势能面，点电荷Q产生电势为，则（　　） A. A点电势为 B. 小球通过D点时的速度为 C. 小球通过O点时的动能为 D. 小球从B运动到O的过程中加速度一直在增大 4. （山东省临沂2025年普通高中学业水平等级测评试题三模）空间存在一匀强电场，将一质量为m、带电荷量为+q的小球从一水平线上的A点分两次抛出。如图所示，第一次抛出时速度大小为，方向与竖直方向的夹角为30°，经历时间回到A点；第二次以同样的速率竖直向上抛出，经历时间经过水平线上的C点，B的竖直方向投影为AC的中点。已知小球的两次运动轨迹均在同一竖直面内，不计空气阻力，重力加速度为g。关于小球从抛出到回到水平线的过程，下列说法正确的是（　　） A. B. 电场强度的最小值为 C. 电场沿水平方向时，电势差 D. 电场强度为最小值时，小球第二次抛出到回到水平线的过程中电势能减少了 5.(2025·广东深圳市期末改编)如图，一带电的平行板电容器固定在绝缘底座上，底座置于光滑水平面上，一光滑水平绝缘轻杆左端固定在电容器的左极板上，并穿过右极板上的小孔，电容器极板连同底座总质量为2m，底座锁定在水平面上时，套在杆上质量为m的带电环以某一初速度由小孔进入电容器后，最远能到达距离右极板为d的位置。底座解除锁定后，将两极板间距离变为原来的2倍，其他条件不变，则带电环进入电容器后，最远能到达的位置距离右极板(　　) A.d B.d C.d D.d 6.(多选)(2025·海南卷·12改编)一绝缘的固定倾斜斜面，斜面倾角为30°，空间中存在沿斜面向下的匀强电场，电场强度为E=(g为重力加速度)。质量为m的物块M、N用一根不可伸长的轻绳绕过滑轮连接，M带正电，电荷量为q，N不带电，N一端与弹簧连接，弹簧另一端固定在地面上，劲度系数为k。初始时有外力作用使M静止在斜面上，轻绳恰好伸直，使M从静止释放，第一次到达最低点的时间为t，不计一切摩擦。则(　　) A.释放时M的加速度为2g B.M下滑的最大速度为 C.M下滑的距离最大时加速度为g D.M下滑的最大距离为 7.(13分)(2025·四川攀枝花市一模)如图所示，高h=45 cm的光滑倾斜轨道AB与长x=20 cm的粗糙水平轨道BC在B点处平滑连接，半径R=20 cm的光滑圆弧轨道CD与水平轨道相切于C点，整个轨道处在同一竖直平面内，B点所在竖直面BB'右侧存在水平向右的匀强电场。绝缘带电滑块P、Q分别位于倾斜轨道的顶端和水平轨道的最左端，滑块Q恰能保持静止。由静止释放滑块P，经一段时间后与Q发生碰撞。已知P、Q的质量分别为mP=200 g、mQ=100 g，与水平面之间的动摩擦因数μ均为0.2，Q的电荷量q=+1×10-6 C，重力加速度g取10 m/s2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，碰撞过程时间极短且无机械能损失和电荷转移，P、Q可视为质点且不发生二次碰撞，求： (1)(3分)匀强电场的电场强度大小E； (2)(10分)滑块Q碰后上升的最大高度H。 8.(多选)(2024·江西卷·10)如图所示，垂直于水平桌面固定一根轻质绝缘细直杆，质量均为m、带同种电荷的绝缘小球甲和乙穿过直杆，两小球均可视为点电荷，带电荷量分别为q和Q。在图示的坐标系中，小球乙静止在坐标原点，初始时刻小球甲从x=x0处由静止释放，开始向下运动。甲和乙两点电荷的电势能Ep=k(r为两点电荷之间的距离，k为静电力常量)。最大静摩擦力等于滑动摩擦力f，重力加速度为g。关于小球甲，下列说法正确的是(　　) A.最低点的位置x= B.速率达到最大值时的位置x= C.最后停留位置x的区间是≤x≤ D.若在最低点能返回，则初始电势能Ep0<(mg-f) 10．（2026河北沧州市四校联考）如图所示，在竖直向下的匀强电场中有轨道，其中部分为水平轨道，与曲面平滑连接。和是竖直放置的半圆轨道，在最高点对接，与在点相切。为一与相切的水平平台，处固定一轻弹簧。点在同一水平线上。水平轨道粗糙，其余轨道均光滑，可视为质点的质量为的带正电的滑块从曲面上某处由静止释放。已知匀强电场的场强段长度，的半径，的半径。滑块带电量，滑块与间的动摩擦因数，重力加速度。求： (1)若滑块恰好能通过点，求滑块释放点到水平轨道的高度； (2)若滑块在整个运动过程中，始终不脱离轨道，且弹簧的形变始终在弹性限度内，求滑块释放点到水平轨道的高度需要满足的条件。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中物理 高二暑期能力提升 专题7 带电小球的力电综合问题 【方法解读】 1.动力学的观点 (1)由于匀强电场中带电粒子所受静电力和重力都是恒力，可用正交分解法。 (2)综合运用牛顿运动定律和匀变速直线运动公式，注意受力分析要全面，特别注意重力是否需要考虑的问题。 2.能量的观点 (1)运用动能定理，注意过程分析要全面，准确求出过程中的所有力做的功，判断是对分过程还是对全过程使用动能定理。 (2)运用能量守恒定律，注意题目中有哪些形式的能量出现。 3.动量的观点 (1)运用动量定理，要注意动量定理的表达式是矢量式，在一维情况下，各个矢量必须选同一个正方向。 (2)运用动量守恒定律，除了要注意动量守恒定律的表达式是矢量式，还要注意题目表述是否为某方向上动量守恒。 【例1】　(2025·黑吉辽蒙卷·7)如图，光滑绝缘水平面AB与竖直面内光滑绝缘半圆形轨道BC在B点相切，轨道半径为r，圆心为O，O、A间距离为3r。原长为2r的轻质绝缘弹簧一端固定于O点，另一端连接一带正电的物块。空间存在水平向右的匀强电场，物块所受的电场力与重力大小相等。物块在A点左侧释放后，依次经过A、B、C三点时的动能分别为EkA、EkB、EkC，则(　　) A.EkA<EkB<EkC B.EkB<EkA<EkC C.EkA<EkC<EkB D.EkC<EkA<EkB 答案　C 解析　由题意可得在A点，弹簧伸长量为r，在B点和C点，弹簧压缩量为r，即三个位置弹簧弹性势能相等，则由A到B过程中弹簧弹力做功为零，电场力做正功，动能增加，EkB>EkA；由B到C过程中弹簧弹力和电场力做功都为零，重力做负功，则动能减小，EkB>EkC；由A到C全过程则有qElAB-mglBC=EkC-EkA，因lAB==2r，lBC=2r，qE=mg，故EkC>EkA。 因此EkB>EkC>EkA，故选C。 【例2】　(多选)(2025·重庆市三模)如图，空间存在范围足够大的匀强电场，电场强度大小E=，方向水平向右。竖直面内一绝缘轨道由半径为R的光滑圆弧BC与足够长的倾斜粗糙轨道AB、CD组成，AB、CD与水平面夹角均为45°且在B、C两点与圆弧轨道相切。带正电的小滑块质量为m、电荷量为q，从AB轨道上与圆心O等高的P点以v0=2的速度沿轨道下滑。已知滑块与AB、CD轨道间的动摩擦因数μ=，重力加速度大小为g。则(　　) A.滑块在AB轨道下滑时的加速度大小为g B.滑块在BC轨道运动时对轨道的最大压力为(2+)mg C.滑块最终会停在AB轨道上 D.滑块在粗糙轨道上运动的总路程为3R 答案　BC 解析　根据题意可知，qE=mg，则重力与静电力的合力为mg，方向垂直于AB面向下，当滑块在AB轨道下滑时，有-μmg=ma，解得a=-g，即加速度大小为g，故A错误；由几何关系可知，xPB=R，滑块在轨道的B点时对轨道有最大压力，设此时滑块的速度为v，轨道对滑块的支持力为FN，有-μmgxPB=mv2-m，解得v=，根据牛顿第二定律，有FN-mg=m，解得FN=(2+)mg，根据牛顿第三定律，滑块在轨道中对轨道的最大压力为FN'=FN=(2+)mg，故B正确；从B点到C点，静电力做负功，滑块需克服静电力做功为W克=qE·R=mgR>mv2，所以滑块在到达C点前已经减速到零，后反向滑回到B点，滑块从B点出发到滑回到B点的过程中，合力做功为零，所以速度大小不变，仍为v，然后沿BA轨道向上滑行，由于在BA轨道只有摩擦力做负功，所以最后会停在AB轨道上，故C正确；设在AB轨道上滑行x1后减速为零，有-μmgx1=0-mv2，解得x1=R，所以滑块在粗糙轨道上运动的总路程为s=xPB+x1=2R，故D错误。 【例3】　如图所示，有一个可视为质点的质量为m的带正电小物块，电荷量为q，从光滑绝缘平台上的A点水平抛出，到达C点时，恰好以速度v无碰撞地进入固定在水平地面上的光滑绝缘圆弧轨道，整个圆弧轨道处在竖直向下的匀强电场中，电场强度E=。随后小物块滑上紧靠圆弧轨道末端D点的质量为2m的绝缘长木板。已知木板上表面与圆弧轨道末端切线相平，木板下表面与水平地面之间光滑，小物块与长木板间的动摩擦因数为μ，圆弧轨道的半径为r，C点和圆弧轨道的圆心连线与竖直方向的夹角θ=60°，m、q、v、μ、r以及重力加速度g均为已知量，不计空气阻力。求： (1)小物块从A点抛出时的速度大小以及A、C两点的高度差； (2)小物块刚到达圆弧轨道末端D点时对轨道的压力大小； (3)要使小物块不滑出长木板，木板的长度L的最小值。 答案　(1)　　(2)6mg+m　(3) 解析　(1)依题意有v0=vcos θ=，vy=vsin θ=v， 所以h==。 (2)小物块从C运动到D，由动能定理有(mg+qE)·r(1-cos θ)=m-mv2， D点向心力方程为FD-(mg+qE)=m， 解得vD=，FD=6mg+m 根据牛顿第三定律可得，压力大小为FD'=FD=6mg+m。 (3)临界条件：小物块到达木板左端时恰好共速，此时对应木板长度L最小， 由动量守恒定律可得mvD=3mv共， 由能量守恒定律可得m=×3m+μmgLmin 解得Lmin=。 【针对性训练】 1. （湖南怀化名校联考联合体2025届高考考前仿真联考三）如图所示，ABCD为匀强电场中相邻的四个等势面，等势面与水平方向的夹角，一带正电小球经过等势面A上的点时，速度方向水平，小球沿直线运动，经过等势面D上的点时速度恰好为零，已知小球质量为，带电量，ad间的距离为，重力加速度，，，则下列说法正确的是（　　） A. 匀强电场强度大小为7.5N/C B. 小球在a点的速度大小为1.5m/s C. A和B两等势面的电势差 D. 若小球从d点沿da方向水平射入，则小球运动轨迹为曲线 【答案】B 【解析】．根据小球的受力图，有 解得 选项A错误； 小球在运动过程的加速度满足 解得 根据 解得，选项B正确； 粒子在运动过程中，重力不做功，故 解得，选项C错误； 若小球从点水平射入，小球受到的电场力方向水平向左，小球做加速直线运动，选项D错误。 2. （2025届信阳潢川县一高和高级中学二模联考） 如图所示在场强为E的匀强电场中有一带电绝缘物体P处于水平面上。已知P的质量为m、带电量为，其所受阻力与时间的关系为。时物体P由静止开始运动直至速度再次为零的过程中，以下说法正确的是（　　） A. 物体达到最大速度的时间 B. 物体达到最大速度为 C. 全过程中，物体所受电场力的冲量为 D. 全过程中，物体的阻力f的冲量为 【答案】B 【解析】．当物体所受合力为零时，物体的速度最大，则有 解得 从静止到物体达到的最大速度，由动量定理有 解得 故A错误，B正确； 根据题意，对全过程，由动量定理有 解得 则全过程中，物体所受电场力的冲量为 物体的阻力f的冲量为 ，故CD错误。 3. (浙江诸暨市2025年5月高三适应性考试试题)如图所示为两个固定的均匀带电的绝缘球面，半径分别为7R和R，所带电荷量分别为Q和Q（Q>0），两球面内切于E点，球心O和O1的连线沿水平方向。一根内壁光滑的竖直绝缘细管穿过大球面球心O，与球面相交于B、C两点。现有一质量为m、带电量为q（q>0）的小球从A点沿细管由静止开始下落，运动通过D点。已知AB两点距离和CD两点距离均为R，静电力常量为k，重力加速度为g，设无穷远处为零势能面，点电荷Q产生电势为，则（　　） A. A点电势为 B. 小球通过D点时的速度为 C. 小球通过O点时的动能为 D. 小球从B运动到O的过程中加速度一直在增大 【答案】C 【解析】．几何关系可知, 则A点电势为, A错误； 根据对称性和电势叠加原理易得，AD点电势相等，即AD电势差U为0，根据动能定理有 解得小球通过D点时的速度, B错误； 根据对称性和电势叠加原理易得O点电势 小球从A到O过程，根据动能定理有 联立解得小球通过O点时的动能为, C正确； 小球从B运动到O的过程中，大球对小球的库仑力为0（大球在其内部产生的场强为0），小球只受重力和小球的库仑力。小球受到带正电小球的库仑力，设其方向与竖直方向夹角为，根据牛顿第二定律可知小球加速度 从从B运动到O的过程中，r在减小，在增大（减小），故无法判断加速度大小具体变化，故D错误。 4. （山东省临沂2025年普通高中学业水平等级测评试题三模）空间存在一匀强电场，将一质量为m、带电荷量为+q的小球从一水平线上的A点分两次抛出。如图所示，第一次抛出时速度大小为，方向与竖直方向的夹角为30°，经历时间回到A点；第二次以同样的速率竖直向上抛出，经历时间经过水平线上的C点，B的竖直方向投影为AC的中点。已知小球的两次运动轨迹均在同一竖直面内，不计空气阻力，重力加速度为g。关于小球从抛出到回到水平线的过程，下列说法正确的是（　　） A. B. 电场强度的最小值为 C. 电场沿水平方向时，电势差 D. 电场强度为最小值时，小球第二次抛出到回到水平线的过程中电势能减少了 【答案】CD 【解析】小球两次抛出的竖直加速度相同，在竖直方向上的分运动均为先向上减速后反向加速，由几何关系结合竖直上抛运动知识可得第一次抛出 第二次抛出 联立解得，故A错误； 经分析可知，当电场力方向与第一次抛出时的初速度方向垂直时场强最小，由牛顿第二定律得 解得电场强度的最小值为，故B错误； 电场沿水平方向时，小球水平方向做初速度为零的匀加速运动，B投影为AC中点，则 根据可知，电势差，故C正确； 电场强度为最小值时，竖直方向由牛顿第二定律得 由匀变速知识得 水平方向由牛顿第二定律得 由匀变速知识得 第二次抛出到回到水平线上的过程中电场力对小球做功 联立解得 小球第二次抛出到回到水平线的过程中电势能减少了，故D正确； 5.(2025·广东深圳市期末改编)如图，一带电的平行板电容器固定在绝缘底座上，底座置于光滑水平面上，一光滑水平绝缘轻杆左端固定在电容器的左极板上，并穿过右极板上的小孔，电容器极板连同底座总质量为2m，底座锁定在水平面上时，套在杆上质量为m的带电环以某一初速度由小孔进入电容器后，最远能到达距离右极板为d的位置。底座解除锁定后，将两极板间距离变为原来的2倍，其他条件不变，则带电环进入电容器后，最远能到达的位置距离右极板(　　) A.d B.d C.d D.d 答案　C 解析　设带电环所带电荷量为q，初速度为v0，底座锁定时电容器极板间电场强度为E，则由功能关系有qEd=m，底座解除锁定后，两极板间距离变为原来的2倍，极板间电场强度大小不变，电容器及底座在带电环作用下一起向左运动，当与带电环共速时，带电环到达进入电容器最远位置， 整个过程满足动量守恒，则有mv0=3mv1， 再由功能关系有qEd'=m-×3m， 联立解得 d'=d，故选C。 6.(多选)(2025·海南卷·12改编)一绝缘的固定倾斜斜面，斜面倾角为30°，空间中存在沿斜面向下的匀强电场，电场强度为E=(g为重力加速度)。质量为m的物块M、N用一根不可伸长的轻绳绕过滑轮连接，M带正电，电荷量为q，N不带电，N一端与弹簧连接，弹簧另一端固定在地面上，劲度系数为k。初始时有外力作用使M静止在斜面上，轻绳恰好伸直，使M从静止释放，第一次到达最低点的时间为t，不计一切摩擦。则(　　) A.释放时M的加速度为2g B.M下滑的最大速度为 C.M下滑的距离最大时加速度为g D.M下滑的最大距离为 答案　BC 解析　初始时，弹簧弹力等于N的重力，弹簧处于压缩状态，即kx1=mg，可得x1=，释放M时，弹簧弹力不会突变，对M和N，根据牛顿第二定律Eq+mgsin 30°-mg+kx1=2ma，可得释放时M的加速度为a=g，A错误； 当M、N的加速度为零时，M的速度最大，设此时弹簧的伸长量为x2，根据平衡条件Eq+mgsin 30°=kx2+mg，解得x2=， 由于x1=x2，可知弹簧弹性势能不变，M从开始运动到速度达到最大过程，根据动能定理Eq(x1+x2)+mgsin 30°·(x1+x2)-mg(x1+x2)=×2m-0， 联立解得M下滑的最大速度为vm=，B正确； 以速度最大位置为原点，斜面向上为正方向，分析可知M、N做简谐运动，刚释放M时，加速度a=g，根据简谐运动的对称性可知当M下滑到最大距离时，加速度大小也为g， 根据牛顿第二定律k(x3-x1)+mg-Eq-mgsin 30°=2mg，解得M下滑的最大距离为x3=，故C正确，D错误。 7.(13分)(2025·四川攀枝花市一模)如图所示，高h=45 cm的光滑倾斜轨道AB与长x=20 cm的粗糙水平轨道BC在B点处平滑连接，半径R=20 cm的光滑圆弧轨道CD与水平轨道相切于C点，整个轨道处在同一竖直平面内，B点所在竖直面BB'右侧存在水平向右的匀强电场。绝缘带电滑块P、Q分别位于倾斜轨道的顶端和水平轨道的最左端，滑块Q恰能保持静止。由静止释放滑块P，经一段时间后与Q发生碰撞。已知P、Q的质量分别为mP=200 g、mQ=100 g，与水平面之间的动摩擦因数μ均为0.2，Q的电荷量q=+1×10-6 C，重力加速度g取10 m/s2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，碰撞过程时间极短且无机械能损失和电荷转移，P、Q可视为质点且不发生二次碰撞，求： (1)(3分)匀强电场的电场强度大小E； (2)(10分)滑块Q碰后上升的最大高度H。 答案　(1)2×105 V/m　(2)0.84 m 解析　(1)对Q，由平衡条件有qE=μmQg 代入数据得E=2×105 V/m (2)设滑块P刚到斜面底端时的速度大小为vB，对滑块P从A到B，由动能定理有mPgh=mP 滑块P、Q在B点发生弹性碰撞，有 mPvB=mPvP+mQvQ mP=mP+mQ 对滑块Q从B点到D点，由动能定理有 qE(x+R)-μmQgx-mQgR=mQ-mQ，滑块Q从D点飞出后在竖直方向上做竖直上抛运动，一直到最高点有=2g(H-R) 解得H=0.84 m。 8.(多选)(2024·江西卷·10)如图所示，垂直于水平桌面固定一根轻质绝缘细直杆，质量均为m、带同种电荷的绝缘小球甲和乙穿过直杆，两小球均可视为点电荷，带电荷量分别为q和Q。在图示的坐标系中，小球乙静止在坐标原点，初始时刻小球甲从x=x0处由静止释放，开始向下运动。甲和乙两点电荷的电势能Ep=k(r为两点电荷之间的距离，k为静电力常量)。最大静摩擦力等于滑动摩擦力f，重力加速度为g。关于小球甲，下列说法正确的是(　　) A.最低点的位置x= B.速率达到最大值时的位置x= C.最后停留位置x的区间是≤x≤ D.若在最低点能返回，则初始电势能Ep0<(mg-f) 答案　BD 解析　小球甲从开始运动至第一次运动到最低点的过程，根据动能定理(mg-f)(x0-x)-(k-k)=0，解得x=，故A错误； 当小球甲的加速度为零时，速率最大，则有mg=f+k，解得x1=，故B正确； 小球甲最后停留时，满足mg-f≤k≤mg+f，解得位置x2的区间≤x2≤，故C错误； 若在最低点能返回，即在最低点满足k>mg+f，结合动能定理(mg-f)(x0-x)-(k-k)=0，联立可得Ep0=<(mg-f)，故D正确。 10．（2026河北沧州市四校联考）如图所示，在竖直向下的匀强电场中有轨道，其中部分为水平轨道，与曲面平滑连接。和是竖直放置的半圆轨道，在最高点对接，与在点相切。为一与相切的水平平台，处固定一轻弹簧。点在同一水平线上。水平轨道粗糙，其余轨道均光滑，可视为质点的质量为的带正电的滑块从曲面上某处由静止释放。已知匀强电场的场强段长度，的半径，的半径。滑块带电量，滑块与间的动摩擦因数，重力加速度。求： (1)若滑块恰好能通过点，求滑块释放点到水平轨道的高度； (2)若滑块在整个运动过程中，始终不脱离轨道，且弹簧的形变始终在弹性限度内，求滑块释放点到水平轨道的高度需要满足的条件。 答案．(1)1m (2) 【解析】（1）滑块在点根据牛顿第二定律有 设滑块由处释放恰好通过点，对滑块从释放点至点这一过程由动能定理得 联立解得 （2）分类讨论 ①滑块第一次运动到点速度为零，对该过程由动能定理得 解得，则当时，滑块不能过点，不脱离轨道。 ②滑块第一次进入圆轨道可以经过点，压缩弹簧被反弹，沿轨道运动，再次返回后不过。滑块恰好可以经过点，由动能定理可得 根据牛顿第二定律 解得，则当时，滑块可以通过点。滑块再次返回刚好到点，有 解得，则当时，滑块被弹簧反弹往复运动后不过点；综上，当，满足滑块始终不脱离轨道。 ③滑块第一次进入圆轨道可以经过点，压缩弹簧被反弹，第二次往复运动时满足滑块恰好可以经过点，由动能定理可得 解得，则当时，滑块可以两次通过点；滑块再次返回刚好到点，有 解得，则当时，滑块被弹簧第二次反弹往复运动后不过点；综上，满足滑块始终不脱离轨道。 以此类推，可得当满足，滑块不脱离轨道。 1 学科网（北京）股份有限公司 $