第21章 二次函数与反比例函数（7知识点+11易错+易错训练）（知识清单）数学新教材沪科版九年级上册

该初中数学单元知识清单系统梳理了“二次函数与反比例函数”核心内容，涵盖定义、图象性质、与方程关系、实际应用等知识范畴，搭建了从基础概念解析到易错点警示再到综合应用训练的递进式学习支架。 清单以“知识点+易错点”双模块构建知识体系，如二次函数平移总结“左加右减、上加下减”记忆口诀，反比例函数k的几何意义结合图形面积分析，培养学生抽象能力与几何直观。设置“对点训练”即时巩固，实际应用问题强调建模步骤，不同层次学生可高效掌握，教师可直接用于课堂重难点突破与学情诊断。

第21章 二次函数与反比例函数 知识点01 二次函数的定义 1. 二次函数的概念: 一般地,如果 ① ,那么 叫做 的二次函数. 其中 是自变量, 分别为函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项. 2. 二次函数的三种表达式 (1)一般地: ② ( 是常数， 且 )； (2)顶点式: ③ ，它直接显示二次函数的顶点坐标是 ; (3)交点式: ④ ，其中 是图象与 轴交点的横坐标. 知识点02 二次函数的图象与性质 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 当 时, 随 增大而 减小；当 时, 随 增大而 增大。 当 时, 随 增大而增大; 当 时，y 随 增大而 减小。 最值(自变量取值范围为全体实数时) 当 时, 有最 小值 . 当 时, 有最大值 . 知识点03二次函数图象的平移 平移前的解析式 移动方向 平移后的解析式 简记 向左平移 个单位 左加右减 上加下减 向右平移 个单位 向上平移 个单位 向下平移 个单位 知识点04 二次函数与一元二次方程的关系 (1)当 时，抛物线与 轴有两个交点，即对应的一元二次方程有两个不相等 的实数根, 反之成立; (2)当 时，抛物线与 轴只有一个交点， 即对应的一元二次方程有两个函 相等 的实数根,反之成立; (3)当 时，抛物线与 轴没有交点，即对应的一元二次方程没有 实数根，反之成立. 知识点05 利用二次函数解决实际问题 知识点06 反比例函数的图象和性质 1.反比例函数的概念 一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．k是比例系数. 2.k的几何意义 （1）过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. （2）过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为 知识点07 反比例函数的实际应用 1.反比例函数与一次函数综合 （1）确定交点坐标： 方法一：已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）. 方法二：联立两个函数解析式，利用方程思想求解. （2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解 （3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除. （4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 2.反比例函数实际应用 （1）题意找出自变量与因变量之间的乘积关系； （2）设出函数表达式； （3）依题意求解函数表达式； （4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题. 易错点1 二次函数定义 易错提醒 忽略二次项系数 a≠0。在含参函数 y=(m−1)x2+mx中，若题目未明确是二次函数，需分类讨论 m−1=0（一次函数）和 m−1≠0）两种情况；若明确为二次函数，务必先由 a≠0求参。 避坑：注意 x2 的系数不能为0，且最高次数必须为2。 【对点训练】1．如果函数是关于x的二次函数，则_______． 【答案】 【详解】解：由题意，可得 ， 解方程，得， 解得或； 由，得， 故. 易错点2 二次函数图像与性质 易错提醒 混淆开口方向与增减性。开口向上（a>0）时，在对称轴左侧递减、右侧递增；开口向下反之。切记“增减性”是分对称轴两侧而言的，不能笼统说“y随x增大而增大”。 【对点训练】2．二次函数图像上有和两点，下列关于m与n的大小关系，判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题将两点坐标代入二次函数解析式得到和的表达式，结合的条件即可比较大小． 【详解】解：∵ 点在二次函数图象上， ∴ 将代入解析式得 ， ∵ 点在二次函数图象上， ∴ 将代入解析式得 ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ． 易错点3 二次函数学平移 易错提醒 平移方向搞反（“左加右减”针对x，“上加下减”针对整体）。例如 y=2x2向左平移1个单位，再向上平移3个单位，应为 y=2(x+1)2+3，而非 y=2(x−1)2+3。建议：将函数化为顶点式再平移最稳妥。 【对点训练】3．将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则平移后的抛物线的解析式是________． 【答案】 【分析】根据“自变量加减左右移，函数值加减上下移”的平移规律求解即可． 【详解】据题意可得： 易错点4二次函数最值 易错提醒 未考虑自变量取值范围（区间最值）。求最值不能只代顶点，若顶点不在取值范围内，则需比较区间端点处的函数值。 【对点训练】4．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（     ） A．图象的开口向下 B．当时，的值随值的增大而增大 C．函数的最小值小于 D．当时， 【答案】D 【分析】先根据二次函数与x轴交点在y轴两侧得出a的取值范围，再结合开口方向、增减性、最值、特定点函数值逐一判断选项即可 【详解】解：由题意，方程的两根异号， ∴， 解得， ∵二次项系数， ∴图象开口向上，A错误； 将二次函数配方得，得对称轴为直线，开口向上， ∴当时，随增大而增大，当时随增大而减小，B错误； ∵开口向上，顶点坐标为， ∴函数的最小值为，C错误； 当时，， ∵， ∴，即，D正确 易错点5 二次函数的交点 易错提醒 忽视 Δ 与交点的关系。与x轴有交点需满足 Δ≥0；与坐标轴交点坐标书写时注意横纵坐标的对应（x轴交点为 (x,0)，y轴交点为 (0,y)）。 【对点训练】5．已知关于x的二次函数，当时，y随x的增大而减小，则关于x的一元二次方程的根，下列说法正确的是（    ） A．有两个同正的实数根 B．有两个同负的实数根 C．有两个一正一负的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】先根据二次函数的增减性确定参数a的取值范围，再对一元二次方程因式分解得到两根，根据a的范围判断两根的符号即可得出结论. 【详解】解：∵，是二次函数， ∴，二次函数对称轴为 ； ∵当时，y随x的增大而减小， ∴二次函数开口向上，且对称轴不小于； 即，且 ，化简得，结合该式恒成立； 又已知，可得， 对一元二次方程因式分解得： 解得，； ∵， ∴，， ∴； ∴方程的两个根为一正一负. 易错点6 二次函数不等式关系 易错提醒 不等号方向与取等条件。利用图像解不等式时，若不等号为“>”，取图像在x轴上方的部分；若为“≥”，别忘了取交点（根）本身。 【对点训练】6．若二次函数的图象如图所示，则方程的解是__________；不等式的解集是______________；不等式的解集是________________． 【答案】 ， 或 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，利用图象法解不等式，利用函数图象在平面直角坐标系中的位置即可求得自变量的取值范围．根据二次函数图象与x轴的交点和分别在轴上方和下方部分的的取值分别填空即可． 【详解】解：由图象可知： 方程的解是，； 不等式的解集是或； 不等式的解集是． 故答案为：，；或；． 易错点7 二次函数与实际应用 易错提醒 单位不统一与实际意义忽略。例如抛物线拱桥问题中，单位如果是米，坐标计算时需统一；利润问题中，注意“总利润 = (售价 - 进价) × 销量 - 其他费用”，且 x（售价）不能低于进价、销量不能为负。 【对点训练】7．因为“圣诞节”的到来，各个花店的鲜花礼品都进入销售旺季，某花店以每束20元的价格购进一种鲜花礼品，经过市场调查发现，该鲜花礼品每天的销售数量（束）与销售单价（元/束）之间满足一次函数关系，部分数据如下表： 销售单价（元/束） … 30 35 40 … 每天销售数量（束） … 140 130 120 … (1)求关于的函数表达式； (2)设销售这种鲜花礼品每天获利（元），当鲜花礼品每天的销售数量不低于100束时，销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)销售单价为50元时，每天获利最大，最大利润是3000元 【分析】本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据利润=单件利润×销售量列出函数解析式． （1）设y与x之间的函数关系式为，然后用待定系数法求函数解析式，即可解答； （2）根据总利润=单个利润×总数量列出函数解析式，然后由函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 则， 解得， ∴； （2）解：∵鲜花礼品每天的销售数量不低于100束， ∴， ∴， 根据题意，得 ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，w随x的增大而增大， 又， ∴当时，w有最大值为， 即销售单价为50元时，每天获利最大，最大利润是3000元． 易错点8 反比例函数定义 易错提醒 忽略 k≠0。定义 ​ 中，k是常数且 k≠0。若题目给出 y=(m−1)x−1，需 m−1≠0。 【对点训练】8．下列函数中是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数定义，形如（为常数，，）的函数为反比例函数，逐项判断即可． 【详解】解：选项A：是正比例函数，不符合反比例函数定义，A错误.； ∵选项B：的分母是关于的一次二项式，不符合定义形式，B错误； 选项C：是二次函数，不符合反比例函数定义，C错误.； 选项D：可变形为，其中，符合反比例函数的定义，D正确． 易错点9 反比例函数的性质 易错提醒 增减性“各自象限内”。反比例函数的增减性必须在“每个象限内”或“同一分支上”讨论，不能说“在整个定义域内y随x增大而减小”（因为函数图像不连续）。 【对点训练】9．反比例函数的图象经过点，且，则下列说法错误的是（     ） A． B．图象位于二、四象限 C．当时，y随x增大而增大 D．点也在该图象上 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的性质与点和反比例函数图象的关系，先根据已知条件求出的值，再结合反比例函数的性质逐一判断选项． 【详解】解：∵ 反比例函数经过点， ∴ 将点代入得 ， 解得， ∵ ，∴ ，A选项说法正确，不符合要求； ∵ ，∴ 反比例函数图象位于第二、四象限，B选项说法正确，不符合要求； ∵ 时，反比例函数在每个象限内随增大而增大，当时，图象在第四象限，满足随增大而增大，∴ C选项说法正确，不符合要求； ∵ 对点，计算横纵坐标乘积得，不满足反比例函数的关系，点不在图象上，∴ D选项说法错误，符合要求． 易错点10 反比例系数k的几何意义 易错提醒 1.面积与k的绝对值关系记错。双曲线上任一点向坐标轴作垂线，与两轴围成的矩形面积 = ∣k∣，围成的三角形面积 = ∣k∣。注意：若图形包含原点与某点，面积需根据坐标差的绝对值计算。 2.联立方程消元时漏解或错解。将一次函数代入反比例消去y，化为关于x的一元二次方程。当 Δ>0 时有两个交点；Δ=0 时相切；Δ<0 时无交点。特别小心：若一次函数过原点（y=kx），需注意正比例与反比例的特殊对称关系。 【对点训练】10．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，与反比例函数的图象交于点D．若，则k的值为__________． 【答案】 【分析】根据反比例函数k的几何意义得，结合，可得，进而可求出k的值． 【详解】解：∵点A在反比例函数的图象上，点D在反比例函数的图象上，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 易错点11函数的综合应用 易错提醒 1.坐标与线段长度混淆。求面积或线段长时，若点在第二、四象限，坐标值可能为负，计算长度时务必加绝对值。利用相似三角形求坐标时，比例关系不要写反。 2.动点问题分类讨论不全。二次函数与几何综合（如三角形面积最值、相似存在性、线段相等）往往涉及“动点”，需按位置分情况（如点在对称轴左侧/右侧，点在坐标轴上方/下方），并且等腰三角形、直角三角形存在性常需列出方程（利用两点间距离公式或勾股定理），解出后要检验是否满足函数解析式（即点是否在抛物线上）。 【对点训练】11．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，对称轴是直线．动点M以每秒1个单位长度的速度，沿x轴从点O向点B运动，设运动时间为t（）秒，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，当t为何值时，四边形为平行四边形； (3)动点M开始运动时，另一动点Q同时以每秒0.5个单位长度的速度，沿x轴从点O向点A运动．当t为何值时，四边形的面积最大，并求最大面积． 【答案】(1) (2)3秒 (3)当时，四边形的面积最大，最大面积为 【分析】（1）根据抛物线过点，，对称轴是求解即可； （2）用待定系数法求出直线的解析式为，求出，根据四边形为平行四边形得．设，，得出求解即可； （3）根据列出函数解析式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，，对称轴是直线， ∴， 解得， ∴； （2）解：设直线的解析式为，把代入得， ， 解得． ∴． ∵， ∴， 当时，， ∴． ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． ∵过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P， ∴设，， ∴， 解得， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴； （3）解：由题意，得，则， 由（2）得，． ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，四边形的面积最大，最大面积为． 一、单选题 1．（25-26九年级上·北京·阶段检测）下列抛物线一定与轴有两个不同交点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题． 当时，抛物线与x轴有两个不同交点，逐一根据计算后判断即可． 【详解】解：A．，无交点，不符合题意； B．， ，无交点，不符合题意； C．，必有两个不同交点，符合题意； D．，仅有一个交点，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26九年级上·天津北辰·阶段检测）已知拋物线，下列结论正确的是（   ）． A．顶点是最低点 B．与轴交于点 C．顶点在轴下方 D．对称轴在轴右侧 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的顶点式，确定顶点坐标、对称轴和开口方向，逐一判断各选项． 【详解】解：∵ 抛物线为， ∴ 顶点为，对称轴为 直线，且，开口向下． 对于A：∵ 开口向下，∴ 顶点是最高点，不是最低点，故A错误． 对于B：当， ∴ 与y轴交点为，不是 ，故B错误． 对于C：∵ 顶点纵坐标，∴ 顶点在x轴下方，故C正确． 对于D：∵ 对称轴，∴ 对称轴在y轴左侧，不在右侧，故D错误． 综上，正确的是C． 故选：C． 3．（25-26九年级上·甘肃临夏·期中）物理学中对一定值电阻R通电后，在限定时间t内产生的热量计算公式为，即热量Q（单位：焦耳）随电流I（单位：A）的变化而变化，则Q与I的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查二次函数的应用，根据题意得出R和t为常数，且均大于0，即可求解． 【详解】解：∵定值电阻R，限定时间t， ∴R和t为常数，且均大于0， ∴为二次函数，开口向上，， 故选：B． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）某商店销售一种商品，每件成本为元，售价为元，每天可销售件，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了利润问题中的函数关系建立，解题的关键是明确利润的计算公式． 根据利润的计算公式，利润每件利润销售数量，每件利润为元，销售数量为件，代入公式即可得到与之间的函数关系式． 【详解】解：每件利润为元，销售数量为件， 每天的利润， 即函数关系式为， 故选：． 5．（25-26九年级上·广西百色·期中）点A是反比例函数在第三象限图象上一点，过作轴，垂足为，过作轴，若的面积为，则的值是（　　） A．3 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．点在反比例函数第三象限图象上，过作坐标轴垂线，形成直角三角形，利用三角形面积公式和反比例系数的几何意义求解． 【详解】解：如图 设点坐标为， ∵点在第三象限， ∴， ∵轴，垂足为， ∴点坐标为， ∵轴，垂足为， ∴点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，点为反比例函数（为常数，且）的图象上一点，过点向轴、轴作垂线，垂足分别为点，连接并延长交反比例函数的图象于点，则下列结论中错误的是（   ） A． B．在每个象限内，值随值的增大而增大 C．若点的坐标为，则点的坐标为 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质的综合应用．根据反比例函数的图象和性质逐一判断即可． 【详解】解：∵反比例函数图象的两个分支在第二、四象限， ∴，A正确； 由函数图象可知，在每个象限内，值随值的增大而增大，B正确； 根据反比例函数的对称性可知，若点的坐标为，则点的坐标为，C正确； 根据反比例函数k的几何意义可知，，D错误； 故选：D． 7．（2026·浙江温州·二模）如图1，汽车制动性能测试包含匀速行驶阶段和刹车阶段，图2是某次测试中汽车离点A的距离S（米）关于行驶时间t（秒）的函数图象． ①匀速行驶阶段：汽车从点A出发，以的速度沿方向匀速行驶，2 秒后到达点C． ②刹车阶段：汽车自点C处开始刹车，6秒后在点D处停止，这个过程中S与t满足关系：（a为常数且）． 下列选项中正确的是（     ） A． 米/秒 B．汽车行驶总时间为 10 秒 C． D． 米 【答案】D 【分析】根据图像分析段匀速运动，可知匀速速度，将坐标代入即可求得函数表达式，进而可知的取值． 【详解】解：由题可知，段是匀速直线运动， 则（米/秒）， 则A选项错误； ∵将和代入 得： ， 解得：， 则C选项错误； 则S与t的关系式为：， 当时，汽车停止运动，（米） 则 则B选项错误，D选项正确． 8．（2026九年级下·贵州毕节·学业考试）如图所示，抛物线的部分图象与x轴交于点，与y轴交于点，对称轴与抛物线交于点C，则下列结论错误的是（     ） A．点C的坐标为 B．当时，则 C．连接、、，则 D．直线的关系式为： 【答案】C 【分析】利用待定系数法求得抛物线的解析式，可判断选项A；求得抛物线与x轴的另一个交点坐标，结合图象可判断选项B；利用待定系数法求得直线的关系式可判断选项D；求得直线与y轴的交点坐标，利用三角形面积公式计算可判断选项C． 【详解】解：∵抛物线的部分图象与x轴交于点，与y轴交于点，对称轴， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， ∴点C的坐标为，则选项A正确，不符合题意； ∵点，对称轴， ∴抛物线与x轴的另一个交点为，由图象得当时，则， ∴当时，则，则选项B正确，不符合题意； ∵，， ∴设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的关系式为：，则选项D正确，不符合题意； 设直线与y轴交于点，令，则， ∴，如图， ∴， ∴，则选项C错误，符合题意． 二、填空题 9．（2026·福建宁德·二模）已知二次函数，该二次函数的顶点坐标是___________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．根据二次函数的顶点式，可以直接写出该函数图象的顶点坐标． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数图象的顶点坐标为， 故答案为：． 10．（25-26八年级下·河南南阳·期中）如图，轴于B，若的面积等于2，则图象过点A的反比例函数关系式是________． 【答案】 【分析】本题考查了根据图形面积求比例系数（解析式），结合轴于B，的面积等于2，故，再结合的几何意义，得出，即可作答． 【详解】解：∵轴于B，的面积等于2， ∴， 则， 设图象过点A的反比例函数关系式为， 则， 即图象过点A的反比例函数关系式为． 11．（2026·山东德州·中考真题）某水果店单件水果售价（元）与销售月份满足一次函数关系 ，单件水果进价（元）与销售月份满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为并且经过，则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为___________元． 【答案】7 【分析】先求解，设单件水果利润为：元，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意设， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线为， 设单件水果利润为：元， ∴， ∵， ∴当时，单件利润的最大值为元． 12．（2026·四川乐山·一模）定义：把一条抛物线绕它的顶点旋转得到的抛物线我们称为原抛物线的“二级抛物线”． （1）抛物线的“二级抛物线”是_____； （2）若直线与（1）中的抛物线交于不同的两点、，且满足，则实数的取值范围是_____ 【答案】 【分析】（1）先将原抛物线配方为顶点式，根据旋转的性质，旋转后顶点坐标不变，二次项系数变为原二次项系数的相反数，即可得到二级抛物线的解析式； （2）联立直线与抛物线解析式，换元后得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系结合已知条件得到与的关系，再根据判别式大于0和平方的非负性求解的范围． 【详解】解：（1）对抛物线 配方得， 顶点坐标为，二次项系数为， 抛物线绕顶点旋转后，顶点坐标不变，开口方向相反，二次项系数变为， 因此的解析式为； （2）将 代入 ，整理得 设，则方程化为， 由题意得方程有两个不相等的实数根， ∴， 设方程两根为 ， 由根与系数的关系得， ∵ ， ∴， 整理得， ∵平方数非负， ∴ ， 解得， 将 代入得， 解得， 因此实数的取值范围是． 三、解答题 13．（25-26八年级下·四川乐山·期末）已知是的反比例函数，且当时，．当取何值时，？ 【答案】当时，. 【分析】设反比例函数的解析式为，代入即可求出反比例函数的解析式，将代入即可． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 时，， ， 反比例函数的解析式为， 把代入，得， 解得， 当时，． 14．（25-26九年级下·全国·课后作业）试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线和？ 【答案】 抛物线由抛物线向左平移3个单位长度得到，抛物线由抛物线向右平移3个单位长度得到． 【分析】抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 【详解】略 15．（2026·四川乐山·中考真题）如图，一次函数 的图象与反比例函数的图象交于、两点，连接、 ． (1)求 、 的值和反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) ，； (2) 【分析】（1）将、代入一次函数解析式即可求出 、 的值，再将点P的坐标代入反比例函数解析式求出m的值即可； （2）设一次函数 与 轴相交于点，先求出A点坐标，再根据计算求解． 【详解】（1）解：∵一次函数 的图象经过点、， ，， 解得 ，， 、， ∵反比例函数的图象经过点， ， ∵反比例函数的表达式为； （2）解：如图，设一次函数 与 轴相交于点， 令，则，即：， ， 又，， ． 16．（2026·陕西咸阳·一模）将科技元素与农业资源相结合，是推动农业现代化、提升农业生产效率和效益的重要途径．某农田引进了一台移动喷灌机，如图，灌溉机喷出的两条水流具有相同的抛物线形状，而且左、右两条抛物线关于y轴对称．按照图中的平面直角坐标系，左面的一条抛物线可以用表示． (1)求水流的最高点到地面的距离； (2)求左、右两条水流最高点之间的距离． 【答案】(1)水流的最高点到地面的距离为10米 (2)左、右两条水流最高点之间的距离为6米 【分析】（1）将二次函数转化为顶点式进行求解即可； （2）根据点关于轴对称的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流最高点到地面的距离为10米； （2）解：∵左、右两条抛物线关于轴对称， ∴左边抛物线的顶点为，其关于轴的对称点即为右边抛物线的顶点， ∴左、右两条水流最高点之间的距离为：米． 17．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数的图像经过点，，点P在一次函数的图像上，过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图像于M，N两点，连接． (1)求a，b的值； (2)若是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值． 【答案】(1)， (2)点的坐标为， 【分析】（1）将点代入一次函数，即可求解； （2）解：设点的坐标为，根据是腰长为3的等腰直角三角形得到点的坐标为，点的坐标为，把它们代入反比例函数，即可求出t的值，进而得到点P的坐标与k的值． 【详解】（1）解：一次函数的图像经过点， ，解得． （2）解：由（1）有，， ∴一次函数为， ∵点P在一次函数的图像上， ∴设点的坐标为． 是腰长为3的等腰直角三角形， ， ∴点的坐标为，点的坐标为． ∵点在反比例函数的图像上， ． 解得． ∴点的坐标为，点的坐标为． ． 18．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，已知二次函数图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； (2)当时，求函数的取值范围； (3)当时，利用图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出对应的函数的表达式，再把表达式化为顶点式求出顶点坐标即可； （2）根据（1）所求可得函数的增减性和对称轴，求出时的函数值，结合顶点坐标即可得到答案； （3）由对称性可得点在该函数的图象上，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵二次函数图象经过点和， ∴， ∴， ∴该二次函数的表达式为， ∴顶点坐标为； （2）解：由（1）得该二次函数的表达式为， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， 当时，，且， ∴当时，函数的最大值小于7， ∵顶点坐标为，即当时，函数的最小值为， ∴当时，； （3）解：由（2）可知，对称轴为直线， ∵， ∴由对称性可知，点在该函数的图象上， 由函数图象可知，当时，或． 2 / 29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21章 二次函数与反比例函数 知识点01 二次函数的定义 1. 二次函数的概念: 一般地,如果 ① ,那么 叫做 的二次函数. 其中 是自变量, 分别为函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项. 2. 二次函数的三种表达式 (1)一般地: ② ( 是常数， 且 )； (2)顶点式: ③ ，它直接显示二次函数的顶点坐标是 ; (3)交点式: ④ ，其中 是图象与 轴交点的横坐标. 知识点02 二次函数的图象与性质 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 当 时, 随 增大而 减小；当 时, 随 增大而 增大。 当 时, 随 增大而增大; 当 时，y 随 增大而 减小。 最值(自变量取值范围为全体实数时) 当 时, 有最 小值 . 当 时, 有最大值 . 知识点03二次函数图象的平移 平移前的解析式 移动方向 平移后的解析式 简记 向左平移 个单位 左加右减 上加下减 向右平移 个单位 向上平移 个单位 向下平移 个单位 知识点04 二次函数与一元二次方程的关系 (1)当 时，抛物线与 轴有两个交点，即对应的一元二次方程有两个不相等 的实数根, 反之成立; (2)当 时，抛物线与 轴只有一个交点， 即对应的一元二次方程有两个函 相等 的实数根,反之成立; (3)当 时，抛物线与 轴没有交点，即对应的一元二次方程没有 实数根，反之成立. 知识点05 利用二次函数解决实际问题 知识点06 反比例函数的图象和性质 1.反比例函数的概念 一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．k是比例系数. 2.k的几何意义 （1）过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. （2）过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为 知识点07 反比例函数的实际应用 1.反比例函数与一次函数综合 （1）确定交点坐标： 方法一：已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）. 方法二：联立两个函数解析式，利用方程思想求解. （2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解 （3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除. （4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 2.反比例函数实际应用 （1）题意找出自变量与因变量之间的乘积关系； （2）设出函数表达式； （3）依题意求解函数表达式； （4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题. 易错点1 二次函数定义 易错提醒 忽略二次项系数 a≠0。在含参函数 y=(m−1)x2+mx中，若题目未明确是二次函数，需分类讨论 m−1=0（一次函数）和 m−1≠0）两种情况；若明确为二次函数，务必先由 a≠0求参。 避坑：注意 x2 的系数不能为0，且最高次数必须为2。 【对点训练】1．如果函数是关于x的二次函数，则_______． 易错点2 二次函数图像与性质 易错提醒 混淆开口方向与增减性。开口向上（a>0）时，在对称轴左侧递减、右侧递增；开口向下反之。切记“增减性”是分对称轴两侧而言的，不能笼统说“y随x增大而增大”。 【对点训练】2．二次函数图像上有和两点，下列关于m与n的大小关系，判断正确的是（     ） A． B． C． D． 易错点3 二次函数学平移 易错提醒 平移方向搞反（“左加右减”针对x，“上加下减”针对整体）。例如 y=2x2向左平移1个单位，再向上平移3个单位，应为 y=2(x+1)2+3，而非 y=2(x−1)2+3。建议：将函数化为顶点式再平移最稳妥。 【对点训练】3．将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则平移后的抛物线的解析式是________． 易错点4二次函数最值 易错提醒 未考虑自变量取值范围（区间最值）。求最值不能只代顶点，若顶点不在取值范围内，则需比较区间端点处的函数值。 【对点训练】4．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（     ） A．图象的开口向下 B．当时，的值随值的增大而增大 C．函数的最小值小于 D．当时， 易错点5 二次函数的交点 易错提醒 忽视 Δ 与交点的关系。与x轴有交点需满足 Δ≥0；与坐标轴交点坐标书写时注意横纵坐标的对应（x轴交点为 (x,0)，y轴交点为 (0,y)）。 【对点训练】5．已知关于x的二次函数，当时，y随x的增大而减小，则关于x的一元二次方程的根，下列说法正确的是（    ） A．有两个同正的实数根 B．有两个同负的实数根 C．有两个一正一负的实数根 D．没有实数根 易错点6 二次函数不等式关系 易错提醒 不等号方向与取等条件。利用图像解不等式时，若不等号为“>”，取图像在x轴上方的部分；若为“≥”，别忘了取交点（根）本身。 【对点训练】6．若二次函数的图象如图所示，则方程的解是__________；不等式的解集是______________；不等式的解集是________________． 易错点7 二次函数与实际应用 易错提醒 单位不统一与实际意义忽略。例如抛物线拱桥问题中，单位如果是米，坐标计算时需统一；利润问题中，注意“总利润 = (售价 - 进价) × 销量 - 其他费用”，且 x（售价）不能低于进价、销量不能为负。 【对点训练】7．因为“圣诞节”的到来，各个花店的鲜花礼品都进入销售旺季，某花店以每束20元的价格购进一种鲜花礼品，经过市场调查发现，该鲜花礼品每天的销售数量（束）与销售单价（元/束）之间满足一次函数关系，部分数据如下表： 销售单价（元/束） … 30 35 40 … 每天销售数量（束） … 140 130 120 … (1)求关于的函数表达式； (2)设销售这种鲜花礼品每天获利（元），当鲜花礼品每天的销售数量不低于100束时，销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 易错点8 反比例函数定义 易错提醒 忽略 k≠0。定义 ​ 中，k是常数且 k≠0。若题目给出 y=(m−1)x−1，需 m−1≠0。 【对点训练】8．下列函数中是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 易错点9 反比例函数的性质 易错提醒 增减性“各自象限内”。反比例函数的增减性必须在“每个象限内”或“同一分支上”讨论，不能说“在整个定义域内y随x增大而减小”（因为函数图像不连续）。 【对点训练】9．反比例函数的图象经过点，且，则下列说法错误的是（     ） A． B．图象位于二、四象限 C．当时，y随x增大而增大 D．点也在该图象上 易错点10 反比例系数k的几何意义 易错提醒 1.面积与k的绝对值关系记错。双曲线上任一点向坐标轴作垂线，与两轴围成的矩形面积 = ∣k∣，围成的三角形面积 = ∣k∣。注意：若图形包含原点与某点，面积需根据坐标差的绝对值计算。 2.联立方程消元时漏解或错解。将一次函数代入反比例消去y，化为关于x的一元二次方程。当 Δ>0 时有两个交点；Δ=0 时相切；Δ<0 时无交点。特别小心：若一次函数过原点（y=kx），需注意正比例与反比例的特殊对称关系。 【对点训练】10．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，与反比例函数的图象交于点D．若，则k的值为__________． 易错点11函数的综合应用 易错提醒 1.坐标与线段长度混淆。求面积或线段长时，若点在第二、四象限，坐标值可能为负，计算长度时务必加绝对值。利用相似三角形求坐标时，比例关系不要写反。 2.动点问题分类讨论不全。二次函数与几何综合（如三角形面积最值、相似存在性、线段相等）往往涉及“动点”，需按位置分情况（如点在对称轴左侧/右侧，点在坐标轴上方/下方），并且等腰三角形、直角三角形存在性常需列出方程（利用两点间距离公式或勾股定理），解出后要检验是否满足函数解析式（即点是否在抛物线上）。 【对点训练】11．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，对称轴是直线．动点M以每秒1个单位长度的速度，沿x轴从点O向点B运动，设运动时间为t（）秒，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，当t为何值时，四边形为平行四边形； (3)动点M开始运动时，另一动点Q同时以每秒0.5个单位长度的速度，沿x轴从点O向点A运动．当t为何值时，四边形的面积最大，并求最大面积． 一、单选题 1．（25-26九年级上·北京·阶段检测）下列抛物线一定与轴有两个不同交点的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·天津北辰·阶段检测）已知拋物线，下列结论正确的是（   ）． A．顶点是最低点 B．与轴交于点 C．顶点在轴下方 D．对称轴在轴右侧 3．（25-26九年级上·甘肃临夏·期中）物理学中对一定值电阻R通电后，在限定时间t内产生的热量计算公式为，即热量Q（单位：焦耳）随电流I（单位：A）的变化而变化，则Q与I的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）某商店销售一种商品，每件成本为元，售价为元，每天可销售件，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·广西百色·期中）点A是反比例函数在第三象限图象上一点，过作轴，垂足为，过作轴，若的面积为，则的值是（　　） A．3 B． C．6 D． 6．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，点为反比例函数（为常数，且）的图象上一点，过点向轴、轴作垂线，垂足分别为点，连接并延长交反比例函数的图象于点，则下列结论中错误的是（   ） A． B．在每个象限内，值随值的增大而增大 C．若点的坐标为，则点的坐标为 D． 7．（2026·浙江温州·二模）如图1，汽车制动性能测试包含匀速行驶阶段和刹车阶段，图2是某次测试中汽车离点A的距离S（米）关于行驶时间t（秒）的函数图象． ①匀速行驶阶段：汽车从点A出发，以的速度沿方向匀速行驶，2 秒后到达点C． ②刹车阶段：汽车自点C处开始刹车，6秒后在点D处停止，这个过程中S与t满足关系：（a为常数且）． 下列选项中正确的是（     ） A． 米/秒 B．汽车行驶总时间为 10 秒 C． D． 米 8．（2026九年级下·贵州毕节·学业考试）如图所示，抛物线的部分图象与x轴交于点，与y轴交于点，对称轴与抛物线交于点C，则下列结论错误的是（     ） A．点C的坐标为 B．当时，则 C．连接、、，则 D．直线的关系式为： 二、填空题 9．（2026·福建宁德·二模）已知二次函数，该二次函数的顶点坐标是___________． 10．（25-26八年级下·河南南阳·期中）如图，轴于B，若的面积等于2，则图象过点A的反比例函数关系式是________． 11．（2026·山东德州·中考真题）某水果店单件水果售价（元）与销售月份满足一次函数关系 ，单件水果进价（元）与销售月份满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为并且经过，则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为___________元． 12．（2026·四川乐山·一模）定义：把一条抛物线绕它的顶点旋转得到的抛物线我们称为原抛物线的“二级抛物线”． （1）抛物线的“二级抛物线”是_____； （2）若直线与（1）中的抛物线交于不同的两点、，且满足，则实数的取值范围是_____ 三、解答题 13．（25-26八年级下·四川乐山·期末）已知是的反比例函数，且当时，．当取何值时，？ 14．（25-26九年级下·全国·课后作业）试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线和？ 15．（2026·四川乐山·中考真题）如图，一次函数 的图象与反比例函数的图象交于、两点，连接、 ． (1)求 、 的值和反比例函数的表达式； (2)求的面积． 16．（2026·陕西咸阳·一模）将科技元素与农业资源相结合，是推动农业现代化、提升农业生产效率和效益的重要途径．某农田引进了一台移动喷灌机，如图，灌溉机喷出的两条水流具有相同的抛物线形状，而且左、右两条抛物线关于y轴对称．按照图中的平面直角坐标系，左面的一条抛物线可以用表示． (1)求水流的最高点到地面的距离； (2)求左、右两条水流最高点之间的距离． 17．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数的图像经过点，，点P在一次函数的图像上，过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数的图像于M，N两点，连接． (1)求a，b的值； (2)若是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值． 18．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，已知二次函数图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； (2)当时，求函数的取值范围； (3)当时，利用图象，直接写出的取值范围． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $