（预习篇）第四讲 整数乘法运算律推广到小数【思维导图+知识卡片+新知学习+知识梳理+五大考点讲练+难度分层练 共40题】-2026-2027学年人教版新教材数学四升五年级暑假衔接金牌讲义

null2026-2027学年数学四升五年级暑期学习金牌培优讲义【新课衔接篇】 暑假衔接 第四讲 整数乘法运算律推广到小数 思维导图+新知学习+五大考点讲练+难度分层练 (共40题) 【原卷版】 思维导图 浏览知识 知晓考点 新知学习 知识梳理 方法提炼 考点讲练 重点难点优选题型 分层训练 真题汇编闯关达标 小学数学 五年级/上册（新教材） 版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 2026-2027学年人教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 课前指导讲义简介 同学，你好！该份讲义主要以预习人教版数学新教材五年级上册内容为主，选取第1-3单元内 容预习，讲义包含思维导图，知识总结，高频考点真题讲练，优选题难度分层练20题等四大 模块！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体 难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师 备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 友情提醒：本套讲义新知学习内容建议结合思维导图、知识卡片内容学习（导图，卡片结合人 教版五上新教材内容制作，与课本内容配套)，学习效率更高哦」 思维导图考点指引 1.知识要点9 2例题解析目 小数四则混合运算的顺序跟整数四则混合运算的顺序相同。 (1)交换律：a×b=b×a 整数乘法的运算律在小数运算中仍然适用。 0.25×4.78×4=0.25×4×4.78 =(0.25×4)×4.78 食小提示 运算律在小数乘法中的推广： =1×4.78=4.78 在计算时，根据 。交换律：a×b=b×a (2)结合律：(axb)×c=a×(b×c) 数据特点灵活 ·结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 0.65×202=0.65×(200+2) 运用运算律 =0.65×200+0.65×2 ·分配律：(a+b)×c=a×c+b×c 可以使计算 =130+1.3=131.3 更简便！ (3)分配律：(a+b)×c=a×c+b×c ☆应用乘法的运算律，可以使一些计算简便。 (2.4+3.6)×0.5=2.4×0.5+3.6×0.5 =1.2+1.8=3 3.生活中的应用鱼 第二单元小数乘法 4.分段计费问题目 ①妈妈带100元去超市购物，买了 计算 第3节 方法总结 2袋大米，每袋30.98元：还买了 30.98×2+26.48×0.8=80(元) 整数乘法运算律 分段计费可以分段计算，先算不超过部分的费用 0.8kg油，每千克24.48元。剩下的钱100-80=20（元） 再算超过部分的费用，最后相加。 够买一盒10元的鸡蛋吗？够买 推广带小数 答：剩下的钱刷好够买一盒10元的 一盒20元的鸡蛋吗？ 刷题 用水量/t不翅过12t超过12t部分 园2405 某公司收费处的用水，采取按月分段计费的方法 用户每月用水12t以内每吨2.5元：超过12t的部分， 单价元吨)2.5 3.8 每吨38元。 ②右图是某地出租车的计价标准。 6.3km在3km以内，车费8元 (1)小云家上个月用水量为11七，应付水费多少钱？ 解 李叔叔乘出租车行驶了6.3km 超过的路程：6.3-3=3.3(km (2)小可家上个月用水量为17儿，应付水费多少钱？ (1)11×2.5=27.5(元) 他应付出租车费多少钱？ 超过部分的费用：3.3×1.5=4.95（元】 (2)12×2.5+(17-12)×3.8 (3)你在生活中还见到过哪些分段计费的现象？ 应付车费：8+495=12.95（元) ■30+19■49（元） 计价标准 答：李叔叔应付车费12.95元， 说-说。 3)答：如电费、燃气费等 3km及以内8元 超过3km的部分，每千米1.5元 (不足1km,按1km计费)， 昆5.巩固练习（附答案） ☆学习小结 1.下面各题，怎样简便就怎样算 2.在0里填上“>"“<”或“。"， 3.脱式计算。 4.解决问题。 (1)0.25×8.4×4 (1)0.7×1.2○1.2×0.7 (1)2.5×(4.8+3.2) 李老师买了2.6kg苹果和1.4kg香蕉 ·运算律在小数乘法中仍然透用 (2)0.75×101 (2)(0.8+0.5)×0.4○0.8×(0.5×0.4) (2)(7.5-3.5)×0.6 共花了43.8元，已知每千克苹果9.8元 ·灵活运用运算律，计算更简便： (3)(32+18)×0.5 (3)(2.4+3.6)×0.5○2.4×0.5+3.6×0.5 (3)0.36×25×4 每干克香蕉多少钱？ ·分段计费要分段计算，最后相加： （4)4.6×0.24+4.6×0.76 生活中处处有数学，要于发现」 答案：(1)8.4(2)75.75(3)2.5(4)4.6 答率：(1】m(2)>(3)■ 答案：(1)20(2)24(3)36 答案：(438-26×9.8)÷+14=8（元） 第2页共15页 2026-2027学年人教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 新知总结技巧点拨 、 学习目标 知识技能：理解整数乘法的交换律、结合律和分配律对于小数乘法同样适用：能运用乘法运算律进行小数 的简便计算。 过程方法：通过观察、猜测、验证等数学活动，经历将整数乘法运算律推广到小数的过程，培养类比推理 能力。 问题解决：掌握解决“分段计费”和“购物估算”等实际问题的方法，提高灵活运用小数乘法解决实际问 题的能力。 情感态度：体会数学与生活的紧密联系，感受数学运算的简洁美。 二、知识探究：运算律的推广 1.回顾旧知 我们已经学习了整数乘法的三大运算律，请用字母表示： 乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律：(a+b×c=a×c+b×c 2.探究新知 小数四则混合运算的顺序跟整数四则混合运算的顺序相同。那么，整数乘法的运算律在小数运算中还适用 吗？请计算下面每组的两个算式，看看它们有什么关系。 0.7×1.2○1.2×0.7 (0.8×0.5)×0.4○0.8×(0.5×0.4) 从左面的算式中，你 (2.4+3.6)×0.5○2.4×0.5+3.6×0.5 发现了什么规律？ (1)验证乘法交换律：0.7×1.2o1.2×0.7 计算左边：0.7×1.2=0.84 计算右边：1.2×0.7=0.84 结论：0.7×1.2=1.2×0.7，说明乘法交换律对小数适用。 (2)验证乘法结合律：(0.8×0.5)×0.4o0.8×(0.5×0.4) 计算左边：先算括号内0.8×0.5=0.4，再算0.4×0.4=0.16 计算右边：先算括号内0.5×0.4=0.2，再算0.8×0.2=0.16 第3页共15页 2026-2027学年人教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 结论：(0.8×0.5)×0.4=0.8×(0.5×0.4)，说明乘法结合律对小数适用。 (3)验证乘法分配律：(2.4+3.6)×0.5o2.4×0.5+3.6×0.5 计算左边：先算括号内2.4+3.6=6，再算6×0.5=3 计算右边：分别相乘2.4×0.5=1.2,3.6×0.5=1.8，最后相加1.2+1.8=3 结论：(2.4+3.6)×0.5=2.4×0.5+3.6×0.5，说明乘法分配律对小数适用。 总结：整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于小数乘法也适用。应用乘法的运算律，可以使一些计算 简便。 三、典型例题详解 【例6】运用运算律进行简便计算 0.25×4.78×4 0.65×202 =0.25×4×4.78 =0.65×(200+2) =0.65×200+0.65×2 题目1：0.25×4.78×4 思路分析：观察算式中的数字，发现0.25和4相乘可以得到整数1。根据乘法交换律，可以交换4.78和 4的位置，先算0.25×4。 解题过程： 0.25×4.78×4 =0.25×4×4.78 =1×4.78 =4.78 填空答案：第一行填1和4.78；第二行填4.78。 题目2：0.65×202 思路分析：202接近整百数200，可以将202拆分为(200+2)。然后利用乘法分配律，分别与0.65相 乘，最后相加。 解题过程： 0.65×202=0.65×(200+2) =0.65×200+0.65×2 =130+1.3 =131.3 填空答案：第一行填130和1.3；第二行填131.3。 第4页共15页 2026-2027学年人教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 【例7】购物预算问题（估算的应用） 题目：妈妈带100元去超市购物。她买了2袋大米，每袋30.98元：还买了0.8kg肉，每千克26.48元。 剩下的钱还够买一盒10元的鸡蛋吗？够买一盒20元的鸡蛋吗？ 60元 1.阅读理解与整理信息 我们可以通过列表来整理已知信息： 商品单价 数量 可以列表整 大米30.98元/袋 2袋 理信息。 肉 26.48元/kg 0.8kg 鸡蛋10元/盒或20元/盒1盒 2.分析解答（估算法） 分析解答 你能用估算解决这样的问题吗？ 都往大估了一点，总价 都往小估了一点，总价 都不超过89元… 也不会低于80元… 30.98×2+2648×0.8<89(元) 30.98×2+26.48×0.8>80(元) 估大 估大估大 估小 估小 31×2+27×1=89 30×2+25×0.8=80 大米和肉的总价比89元少，比80元多。所以… 答：剩下的钱可以买一盒10元的鸡蛋，不够买一盒20元的。 3.回顾反思 表格可以帮助我们清晰地整理信息。 当只需要知道结果的大致范围时，估算是一种非常高效的解决问题的方法。 【例8】出租车分段计费问题 题目：某地出租车计价标准：3km及以内8元；超过3km的部分，每千米1.5元（不足1km,按1km计算）。 李叔叔乘坐出租车行驶了6.3km,他应付出租车费多少钱？ 第5页共15页 2026-2027学年人教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 计价标准 3km及以内8元； 超过3km的部分，每千米1.5元 （不足1km,按1km计算)。 1.阅读理解 阅读理解 超过3km部分，不足1km,按1km计算。 即使是3.1km,也要按4km计货。 知道了出租车的计价标准和行驶路程… 要计算车费… 关键规则：“不足1km,按1km计算”。这意味着6.3km在计费时要按照7km来计算。 计费结构：费用分为两部分，前3km是固定价格，超过部分是按里程计费。 2.分析解答 行驶的里程超过3km了，要分段计费。 6.3km要按 [3km 共8元 7km计费。 6.3 km 3.3km(按4km计算)1.5元/km 8元 1.5元 人 我画线段图 0 km 3km 7 km 分析… ?元 车费=3km以内的费用+超过3km的费用 8+1.5×4 =8+6 =14(元) 答：李叔叔应付车费14元。 3.拓展思考（教材P20回顾反思） 生活中为什么要采用分段计费方式？ 参考答案：分段计费通常是为了体现公平性或鼓励节约。例如出租车起步价保证了短途司机的基本收益： 阶梯水价/电价则是为了鼓励大家节约用水用电，用得越多单价越贵。 第6页共15页 2026-2027学年人教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 优选题型考点讲练 考点一整数乘法运算定律推广到小数乘法 【典例精讲】(25-26五年级下·云南昭通·期末)脱式计算，能简算的要简算。 1.25×7.2×0.4 19.42-(9.42+0.38) 3.6+2.4×8 6.32+14.7+3.68+5.3 【变式训川练1】(25-26五年级上山西太原·期末)实践探索。 (1)照样子计算。 40×20 =(4×10)×(2×10) =(4×2)×(10×10) =8×100 =800 0.3×0.4 =(3×)×(4×) =(×）×（_× =( )×( =( ) (2)仔细观察，小数乘法和整数乘法有什么相同之处？ 【变式训练2】(25-26五年级上·河北唐山·期末)用简便方法计算。 0.25×3.2×12.5 10.1×4.6 7.3×6.8+2.7×6.8 第7页共15页 2026-2027学年人教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义（新课衔接） 【变式训练3】(25-26五年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末)计算下面各题，怎样简便就怎样计算。 2.5×3.2×1.25 0.79×101 4.3×16.4+0.36×43 考点二运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题 【典例精讲】(25-26五年级上·云南红河·期末)下列各题，怎样算简便就怎样算。 12.5×3.2×0.25 4.5×10.1 2.5×4.8 3.7×10.1-37×0.01 【变式训练1】(24-25五年级上·浙江台州·期末)下面各题怎样简便就怎样算。 2.2×0.8×2.5 1.25×[8.8-(10.7-4.3)] 0.48×3.5+4.84 5.6×1.26-56×0.026 【变式训川练2】(25-26五年级上山东德州·期中)下面()运用了转化思想。 ①计算1.250.5时，将其看成12.5÷5 ②计算3.4×2时，先算34×2=68，再算68÷10=6.8 ③计算7.8×5.3+2.2×5.3=5.3×（7.8+2.2) ④计算一个长是12分米、宽是4分米的长方形的面积，列式：12×4 A.① B.①② C.①②③ D.①②③④ 第8页共15页 2026-2027学年人教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 【变式训练23】(25-26五年级上·河南三门峡·期中)能简算的要简算。（第4道题先在横线上填入你喜 欢的数，使计算简便，再计算) 2.36×5×0.02 9.9×15 8.57×1.7-0.857×7 6.3×5.2+ 考点三用归纳法解决计算器探索规律问题 【典例精讲】(24-25五年级上·福建厦门期末)乐乐用计算器分别算出了下面三道算式的得数，请你找 出规律，再按规律填空。 123456.79×9=1111111.11 123456.79×18=2222222.22 123456.79×27=3333333.33 123456.79×54=( ) 123456.79×( )=9999999.99 【变式训练1】(23-24五年级上全国·课后作业)不计算，运用发现的规律，直接写出后两题的得数， 再用计算器验算。 6×0.7=4.2 6.6×6.7=44.22 6.66×66.7= 6.666×666.7= 【变式训练2】（24-25五年级上·福建龙岩·期中)11×0.9=9.9,222×0.9=199.8,3333×0.9=2999.7， 555555×0.9=（)。 A.49999.5 B.499999.5 C.4999999.6 D.3999999.5 【变式训练3】(23-24五年级上·江西赣州·期末)根据计算结果的规律填空。 1.23×9+0.04=11.11 12.34×9+0.05=111.11 123.45×9+0.06=1111.11 ( )×9+0.07=( 考点四小数的估算及应用 【典例精讲】(26-27五年级·全国·暑假作业)李阿姨去菜市场买菜，买了2千克牛肉，每千克48.5元： 又买了3千克鱼，每千克12.8元。她带了150元，请帮她估算一下，带的钱够吗？（写出估算过程） 第9页共15页 2026-2027学年人教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 【变式训练1】(26-27五年级·全国暑假作业)如果要判断剩下的钱够不够买一个28元的篮球，妙想把 21.3看成21，把9.4看成9.她算出剩下的钱是28元。为什么她说“不一定够或者“不够？（) A.因为她算错了 B.因为把价格往小估了，实际花的钱更多，剩下的钱会比28元少 C.因为把价格往大估了，实际花的钱更少，剩下的钱会比28元多 D.因为28元正好等于篮球的价格，不能有多余的钱 【变式训练2】(25-26五年级上·福建莆田·期末)近日天气转寒，优优不小心冻感冒了，有些发烧。爸 爸去医院买了2盒感冒冲剂和10片退烧贴，每盒感冒冲剂10.8元，每片退烧贴2.5元。爸爸手机钱包里的 余额是45元，爸爸想用余额支付药费，够吗？关于这个问题，下列解决方法正确的是()。 A.10.8≈10,2.52,10×2+2×10=40（元），40元<45元，所以够。 B.2.5≈3,10.8×2+3×10=51.6（元)，51.6元>45元，所以不够。 C.10.8≈10,2.53,10×2十3×10=50（元），50元>45元，所以不够。 D.10.8≈10,10×2+2.5×10=45（元)，45元=45元，所以不够。 【变式训练3】(24-25五年级上·浙江嘉兴期末)根据a、b、c的大小估一估，下列选项中，()与c 最接近。 0 A.a+b B.b-a C.axb D.b-a 考点五分段计费问题（小数乘法） 【典例精讲】(25-26五年级上·河北承德期末)我国多地面临水资源紧张问题，某城市推出阶梯水费政 策引导节水：每户每月用水量不超过15吨时，按“基本价”每吨2.4元收费；超过15吨的部分，按“调节价” 收费。聪聪家七、八月份的用水量和水费如下表。 月份 用水量（吨） 水费（元） 七 18 46.8 八 22 ? (1)该地水费的“调节价”是每吨多少元？ (2)聪聪家八月份的水费是多少元？ 第10页共15页 2026-2027学年人教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 【变式训练1】(25-26五年级上广东汕头·期末)为鼓励节约用水，许多城市都推行按月阶梯水价的方 法收取水费。某市水费的收费标准是：用水量在12吨以内（含12吨）每吨2.5元，超过12吨的部分，每 吨4元。李明家上个月的用水量为18吨，应缴水费多少元？ 【变式训练2】(25-26五年级上·贵州六盘水期末)南方某地区将集中供暖工作纳入“十件民生实事”进行 统筹，进入冬季开始集中供暖，费用按照用户建筑面积一次性收取，下表是该地区供暖阶梯收费标准。奇 奇家房屋建筑面积是130.25平方米，他家需要缴纳的供暖费是多少元？ 120平方米及以下部分 超过120平方米的部分 25元/平方米 28元/平方米 【变式训练3】(25-26五年级上·浙江台州·期中)某城市滴滴打车和出租车的收费标准如下表所示： 3千米及以内 超出部分（不足1千米按1千米计算） 滴滴打车 2.8元/千米 1.8元/千米 出租车 8元 2.1元/千米 (1)王阿姨滴滴打车去火车站，滴滴车行驶了7.6千米，要付多少元车费？ (2)李叔叔从家出发乘出租车去公司，共付车费12.2元，家到公司的路程最远是多少千米？ 第11页共15页 2026-2027学年人教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 真题汇编能力强化 【基础通关能力提升】 1.(26-27五年级·全国·暑假作业)妈妈带了200元去超市，买了4袋大米，每袋48.5元。她想估算一下 剩下的钱够不够买一桶60元的油。下面哪种估算最合理且能直接得出结论？() A.48.548,48×4=192,剩8元，不够。 B.48.550,50×4=200,剩0元，不够。 C.48.549,49×4=196,剩4元，不够。 D.48.540,40×4=160,剩40元，不够。 2.(24-25五年级上·江苏南京·期末)小明带了20元钱去文具店购买文具，选的商品有：一支铅笔0.9元， 一个文具盒12.2元()情况下，估算比计算更有价值。 A.营业员将价格输入收款机时。 B.小明考虑钱带的够不够时。 C.小明被告知要付多少钱时。 D.营业员找给小明钱时。 3.(25-26五年级上·河北邢台·期末)计算12×0.4×2.5时，小明这样算：12×(0.4×2.5)，他运用了（)。 A.乘法交换律 B.乘法结合律 C.乘法分配律 4.(26-27五年级全国·暑假作业)淘气带了100元，买东西大约花了76元（往大估的结果）。那么他实 际花的钱一定比76元（填“多或“少”），剩下的钱一定比24元（填“多”或“少”)。 5.(26-27五年级全国·暑假作业)某停车场收费标准是每小时4.8元，爸爸停了2.9小时。爸爸带了15元， 够付停车费吗？我们可以把4.8看作，把2.9看作，算出大约需要元，因为15之 所以够付。 6.(25-26五年级上·河北秦皇岛期末)如果a+b=100,那么a×0.18+b×0.18=18。( )(判 断对错) 7.(25-26五年级上·甘肃武威期末)直接写出得数。 0.37×3=5.060.01=30.6-0.6=5.6÷1.4 3.1×0.8=2×1.3×0.5=2.5×7.7×0.4=3.16÷0.10.1= 8.(25-26五年级上河北邢台·期末)认真计算。能简算的要简算。 0.75×407.2-[1.8×（3.4-2.9)]0.98×5 第12页共15页 2026-2027学年人教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 9.(25-26五年级上·广东珠海·期中)珠海出租车的白天收费标准为2.5千米以内10元，超过2.5千米时再 按每1千米2.6元收费，王老师白天坐出租车去距离6千米的珠海站，需要付多少钱车费？ 10.(26-27五年级·全国暑假作业)第19届亚运会于2023年9月23日在杭州开幕，李叔叔乘飞机到杭州 参加开幕式。乘坐飞机的每位旅客，携带行李需按规定购买行李票，李叔叔携带了38千克行李，机票是720 元/张，他购买机票和行李票一共要付多少元？ 行李质量 收费标准 20千克及以内的部分 免费 超过20千克的部分 10.8元/千克 【思维拓展拔尖训练】 1.(25-26五年级下山东烟台期末)王老师要买192本练习本，每本3.75元，他带了800元钱，够吗？ 解决这个问题最合理的计算方法是()。 A.估算，往大了估 B.估算，往小了估C.精确算D.口算 2.(25-26五年级下·贵州黔东南·期末)某市出租车收费标准：2km以内5元；超过2km的部分，每千米 1.5元（不足1km按1km计算)。王老师坐出租车去离学校12.8km远的教育局开会，应付车费()元。 A.19.2 B.21.2 C.21.5 D.23.7 3.(26-27五年级全国·暑假作业)“带100元买3副21.3元的跳棋和1副9.4元的飞行棋，剩下的钱够不 够买一根12.9元的长绳”，解决这个问题时，淘气把21.3看成22，把9.4看成10。淘气通过估算得出剩下 的钱比24元多。因为实际花费比估算的少，所以实际剩下的钱肯定比24元多。既然24元大于12.9元，那 么结论是()。 A.一定够买长绳B.可能够买长绳 C.一定不够买长绳D.无法判断 4.(25-26五年级上·河北秦皇岛·期末)一年级三班25个同学合影，照六寸照片洗前6张是25.5元，另外 加洗1张每张另收费5.5元，现在每人得到一张照片，平均每人需付( )元。 第13页共15页 2026-2027学年人教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 5.(24-25五年级上·江西赣州·期末)某地的出租车在3km及以内收费11元，超过3km后每千米收费2.2 元，（不足1km按1km计费），楠楠乘出租车行驶了7.4km,她应付车费( )元。 6.(25-26五年级上·江西新余·期末)脱式计算，能简算的要简算。（请在第3小题补充一个数，使其有简 便运算) 7800÷12.5÷8 0.25×6.4×1.25 3.8×73+3.8×() 7.(26-27五年级上·北京·课后作业)小红带200元购物，买5本单价18.7元的笔记本，两盒单价29.6元 的水彩笔。商店有两款书包：小号45.9元，大号62.8元。请分别用合适的估算方法判断剩余的钱能不能买 小号、大号书包，最后精确计算验证。 8.(25-26五年级上·江西宜春·期末)学校“国学社团开展经典文化周末调研活动，同学们要和家长坐出租 车去调研地点 出租车收费标准 不超过3千米 3元 超过3千米 2.5元/千米 (不足1千米按1千米计算) (1)小红和爸爸乘车到离家28.3千米的古城，他们应付多少钱？ (2)小文有23元，最多可以乘车多少千米？ 第14页共15页 2026-2027学年人教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 9.(25-26五年级上·陕西安康·期中)下表是某市出租车收费标准。 白天(5：3022：00) 夜间(22：00-次日5：30) 起步价(2千米及以内) 8元 10元 超过2千米的部分 2元/千米 2.4元/千米 (不足1千米按1千米计算) 如乘客要求司机等候，免费等候5分钟，超过的时间按 司机等候费 照0.4元/分的标准收取等候费 (1)张阿姨14：00乘出租车去机场，她下楼时忘记带钱包让司机等候了6分钟，路上行驶了10.6千米。 张阿姨应付多少元钱？ (2)张叔叔晚上10：30从公司乘出租车回家（司机未等候），花了46元，公司到张叔叔家的距离最远是 多少千米？ 10.(25-26五年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末)小红和妈妈从家乘出租车去图书馆，行驶路程为7.5千米。 请你根据计费标准帮小红算一算，一共需要付多少元车费？ (某市出租车计价方式：) 1.3千米及以内8元。 2.超过3千米的部分1.8元/千米（不足1千米，按1千米计算）。 3.如果总路程超过3千米，每次加收1元燃油附加费。 第15页共15页2026-2027学年人教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义（新课衔接） 2026-2027学年数学四升五年级暑期学习金牌培优讲义【新课衔接篇】 五年级/上册（新教材） 小学数学 第四讲 整数乘法运算律推广到小数 分层训练 思维导图+新知学习+五大考点讲练+难度分层练 （共40题） 【原卷版】 人教版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 思维导图 新知学习 真题汇编 闯关达标 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以预习人教版数学新教材五年级上册内容为主，选取第1-3单元内容预习，讲义包含思维导图，知识总结，高频考点真题讲练，优选题难度分层练20题等四大模块！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 友情提醒：本套讲义新知学习内容建议结合思维导图、知识卡片内容学习（导图，卡片结合人教版五上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 一、学习目标 知识技能：理解整数乘法的交换律、结合律和分配律对于小数乘法同样适用；能运用乘法运算律进行小数的简便计算。 过程方法：通过观察、猜测、验证等数学活动，经历将整数乘法运算律推广到小数的过程，培养类比推理能力。 问题解决：掌握解决“分段计费”和“购物估算”等实际问题的方法，提高灵活运用小数乘法解决实际问题的能力。 情感态度：体会数学与生活的紧密联系，感受数学运算的简洁美。 二、知识探究：运算律的推广 1. 回顾旧知 我们已经学习了整数乘法的三大运算律，请用字母表示： 乘法交换律： 乘法结合律： 乘法分配律： 2. 探究新知 小数四则混合运算的顺序跟整数四则混合运算的顺序相同。那么，整数乘法的运算律在小数运算中还适用吗？请计算下面每组的两个算式，看看它们有什么关系。 （1）验证乘法交换律： 计算左边： 计算右边： 结论：，说明乘法交换律对小数适用。 （2）验证乘法结合律 计算左边：先算括号内 ，再算 计算右边：先算括号内 ，再算 结论：，说明乘法结合律对小数适用。 （3）验证乘法分配律： 计算左边：先算括号内 ，再算 计算右边：分别相乘 ，，最后相加 结论：，说明乘法分配律对小数适用。 总结：整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于小数乘法也适用。应用乘法的运算律，可以使一些计算简便。 三、典型例题详解 【例6】 运用运算律进行简便计算 题目1： 思路分析：观察算式中的数字，发现 和 相乘可以得到整数 。根据乘法交换律，可以交换 和 的位置，先算 。 解题过程： 填空答案：第一行填 1 和 4.78；第二行填 4.78。 题目2： 思路分析： 接近整百数 ，可以将 拆分为 。然后利用乘法分配律，分别与 相乘，最后相加。 解题过程： 填空答案：第一行填 130 和 1.3；第二行填 131.3。 【例7】 购物预算问题（估算的应用） 题目：妈妈带100元去超市购物。她买了2袋大米，每袋30.98元；还买了0.8kg肉，每千克26.48元。剩下的钱还够买一盒10元的鸡蛋吗？够买一盒20元的鸡蛋吗？ 1. 阅读理解与整理信息 我们可以通过列表来整理已知信息： 商品 单价 数量 大米 30.98元/袋 2袋 肉 26.48元/kg 0.8kg 鸡蛋 10元/盒 或 20元/盒 1盒 2. 分析解答（估算法） 3. 回顾反思 表格可以帮助我们清晰地整理信息。 当只需要知道结果的大致范围时，估算是一种非常高效的解决问题的方法。 【例8】 出租车分段计费问题 题目：某地出租车计价标准：3km及以内8元；超过3km的部分，每千米1.5元（不足1km，按1km计算）。李叔叔乘坐出租车行驶了6.3km，他应付出租车费多少钱？ 1. 阅读理解 关键规则：“不足1km，按1km计算”。这意味着 在计费时要按照 来计算。 计费结构：费用分为两部分，前3km是固定价格，超过部分是按里程计费。 2. 分析解答 3. 拓展思考（教材P20回顾反思） 生活中为什么要采用分段计费方式？ 参考答案：分段计费通常是为了体现公平性或鼓励节约。例如出租车起步价保证了短途司机的基本收益；阶梯水价/电价则是为了鼓励大家节约用水用电，用得越多单价越贵。 考点一 整数乘法运算定律推广到小数乘法 【典例精讲】（25-26五年级下·云南昭通·期末）脱式计算，能简算的要简算。 1.25×7.2×0.4          19.42－（9.42＋0.38） 3.6＋2.4×8             6.32＋14.7＋3.68＋5.3 【变式训练1】（25-26五年级上·山西太原·期末）实践探索。 (1)照样子计算。 ＝（3×____）×（4×____） ＝（____×____）×（____×____） ＝( )×( ) ＝( ) (2) 仔细观察，小数乘法和整数乘法有什么相同之处？ 【变式训练2】（25-26五年级上·河北唐山·期末）用简便方法计算。 0.25×3.2×12.5             10.1×4.6             7.3×6.8＋2.7×6.8 【变式训练3】（25-26五年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）计算下面各题，怎样简便就怎样计算。 2.5×3.2×1.25         0.79×101          4.3×16.4＋0.36×43 考点二 运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题 【典例精讲】（25-26五年级上·云南红河·期末）下列各题，怎样算简便就怎样算。 12.5×3.2×0.25                    4.5×10.1 2.5×4.8                          3.7×10.1－37×0.01 【变式训练1】（24-25五年级上·浙江台州·期末）下面各题怎样简便就怎样算。 2.2×0.8×2.5           1.25×[8.8－（10.7－4.3）] 0.48×3.5＋4.84         5.6×1.26－56×0.026 【变式训练2】（25-26五年级上·山东德州·期中）下面（    ）运用了转化思想。 ①计算1.25÷0.5时，将其看成12.5÷5 ②计算3.4×2时，先算34×2＝68，再算68÷10＝6.8 ③计算7.8×5.3＋2.2×5.3＝5.3×（7.8＋2.2） ④计算一个长是12分米、宽是4分米的长方形的面积，列式：12×4 A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【变式训练23】（25-26五年级上·河南三门峡·期中）能简算的要简算。（第4道题先在横线上填入你喜欢的数，使计算简便，再计算） 2.36×5×0.02        9.9×15 8.57×1.7－0.857×7        6.3×5.2＋______×______ 考点三 用归纳法解决计算器探索规律问题 【典例精讲】（24-25五年级上·福建厦门·期末）乐乐用计算器分别算出了下面三道算式的得数，请你找出规律，再按规律填空。 123456.79×9＝1111111.11 123456.79×18＝2222222.22 123456.79×27＝3333333.33 123456.79×54＝( ) 123456.79×( )＝9999999.99 【变式训练1】（23-24五年级上·全国·课后作业）不计算，运用发现的规律，直接写出后两题的得数，再用计算器验算。 6×0.7＝4.2 6.6×6.7＝44.22 6.66×66.7＝________ 6.666×666.7＝________ 【变式训练2】（24-25五年级上·福建龙岩·期中）11×0.9＝9.9，222×0.9＝199.8，3333×0.9＝2999.7，555555×0.9＝（    ）。 A．49999.5 B．499999.5 C．4999999.6 D．3999999.5 【变式训练3】（23-24五年级上·江西赣州·期末）根据计算结果的规律填空。 1.23×9＋0.04＝11.11 12.34×9＋0.05＝111.11 123.45×9＋0.06＝1111.11 ( )×9＋0.07＝( )。 考点四 小数的估算及应用 【典例精讲】（26-27五年级·全国·暑假作业）李阿姨去菜市场买菜，买了2千克牛肉，每千克48.5元；又买了3千克鱼，每千克12.8元。她带了150元，请帮她估算一下，带的钱够吗？（写出估算过程） 【变式训练1】（26-27五年级·全国·暑假作业）如果要判断剩下的钱够不够买一个28元的篮球，妙想把21.3看成21，把9.4看成9.她算出剩下的钱是28元。为什么她说“不一定够”或者“不够”？（    ） A．因为她算错了 B．因为把价格往小估了，实际花的钱更多，剩下的钱会比28元少 C．因为把价格往大估了，实际花的钱更少，剩下的钱会比28元多 D．因为28元正好等于篮球的价格，不能有多余的钱 【变式训练2】（25-26五年级上·福建莆田·期末）近日天气转寒，优优不小心冻感冒了，有些发烧。爸爸去医院买了2盒感冒冲剂和10片退烧贴，每盒感冒冲剂10.8元，每片退烧贴2.5元。爸爸手机钱包里的余额是45元，爸爸想用余额支付药费，够吗？关于这个问题，下列解决方法正确的是（    ）。 A．10.8≈10，2.5≈2，10×2＋2×10＝40（元），40元＜45元，所以够。 B．2.5≈3，10.8×2＋3×10＝51.6（元），51.6元＞45元，所以不够。 C．10.8≈10，2.5≈3，10×2＋3×10＝50（元），50元＞45元，所以不够。 D．10.8≈10，10×2＋2.5×10＝45（元），45元＝45元，所以不够。 【变式训练3】（24-25五年级上·浙江嘉兴·期末）根据a、b、c的大小估一估，下列选项中，（    ）与c最接近。 A．a＋b B．b－a C．a×b D．b÷a 考点五 分段计费问题（小数乘法) 【典例精讲】（25-26五年级上·河北承德·期末）我国多地面临水资源紧张问题，某城市推出阶梯水费政策引导节水：每户每月用水量不超过15吨时，按“基本价”每吨2.4元收费；超过15吨的部分，按“调节价”收费。聪聪家七、八月份的用水量和水费如下表。 月份 用水量（吨） 水费（元） 七 18 46.8 八 22 ？ (1)该地水费的“调节价”是每吨多少元？ (2)聪聪家八月份的水费是多少元？ 【变式训练1】（25-26五年级上·广东汕头·期末）为鼓励节约用水，许多城市都推行按月阶梯水价的方法收取水费。某市水费的收费标准是：用水量在12吨以内（含12吨）每吨2.5元，超过12吨的部分，每吨4元。李明家上个月的用水量为18吨，应缴水费多少元？ 【变式训练2】（25-26五年级上·贵州六盘水·期末）南方某地区将集中供暖工作纳入“十件民生实事”进行统筹，进入冬季开始集中供暖，费用按照用户建筑面积一次性收取，下表是该地区供暖阶梯收费标准。奇奇家房屋建筑面积是130.25平方米，他家需要缴纳的供暖费是多少元？ 120平方米及以下部分 超过120平方米的部分 25元/平方米 28元/平方米 【变式训练3】（25-26五年级上·浙江台州·期中）某城市滴滴打车和出租车的收费标准如下表所示： 3千米及以内 超出部分（不足1千米按1千米计算） 滴滴打车 2.8元/千米 1.8元/千米 出租车 8元 2.1元/千米 （1）王阿姨滴滴打车去火车站，滴滴车行驶了7.6千米，要付多少元车费？ （2）李叔叔从家出发乘出租车去公司，共付车费12.2元，家到公司的路程最远是多少千米？ 【基础通关能力提升】 1．（26-27五年级·全国·暑假作业）妈妈带了200元去超市，买了4袋大米，每袋48.5元。她想估算一下剩下的钱够不够买一桶60元的油。下面哪种估算最合理且能直接得出结论？（    ） A．48.5≈48 ，48×4＝192，剩8元，不够。 B．48.5≈50 ，50×4＝200，剩0元，不够。 C．48.5≈49 ，49×4＝196，剩4元，不够。 D．48.5≈40 ，40×4＝160，剩40元，不够。 2．（24-25五年级上·江苏南京·期末）小明带了20元钱去文具店购买文具，选的商品有：一支铅笔0.9元，一个文具盒12.2元（    ）情况下，估算比计算更有价值。 A．营业员将价格输入收款机时。 B．小明考虑钱带的够不够时。 C．小明被告知要付多少钱时。 D．营业员找给小明钱时。 3．（25-26五年级上·河北邢台·期末）计算12×0.4×2.5时，小明这样算：12×（0.4×2.5），他运用了（    ）。 A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 4．（26-27五年级·全国·暑假作业）淘气带了100元，买东西大约花了76元（往大估的结果）。那么他实际花的钱一定比76元______（填“多”或“少”），剩下的钱一定比24元______（填“多”或“少”）。 5．（26-27五年级·全国·暑假作业）某停车场收费标准是每小时4.8元，爸爸停了2.9小时。爸爸带了15元，够付停车费吗？我们可以把4.8看作______，把2.9看作______，算出大约需要______元，因为15≥______，所以够付。 6．（25-26五年级上·河北秦皇岛·期末）如果，那么。( )（判断对错） 7．（25-26五年级上·甘肃武威·期末）直接写出得数。 0.37×3＝    5.06÷0.01＝    30.6÷0.6＝    5.6÷1.4＝ 3.1×0.8＝    2×1.3×0.5＝    2.5×7.7×0.4＝    3.16÷0.1÷0.1＝ 8．（25-26五年级上·河北邢台·期末）认真计算。能简算的要简算。 0.75×40        7.2－[1.8×（3.4－2.9）]        0.98×5 9．（25-26五年级上·广东珠海·期中）珠海出租车的白天收费标准为2.5千米以内10元，超过2.5千米时再按每1千米2.6元收费，王老师白天坐出租车去距离6千米的珠海站，需要付多少钱车费？ 10．（26-27五年级·全国·暑假作业）第19届亚运会于2023年9月23日在杭州开幕，李叔叔乘飞机到杭州参加开幕式。乘坐飞机的每位旅客，携带行李需按规定购买行李票，李叔叔携带了38千克行李，机票是720元/张，他购买机票和行李票一共要付多少元？ 行李质量 收费标准 20千克及以内的部分 免费 超过20千克的部分 10.8元/千克 【思维拓展拔尖训练】 1．（25-26五年级下·山东烟台·期末）王老师要买192本练习本，每本3.75元，他带了800元钱，够吗？解决这个问题最合理的计算方法是（    ）。 A．估算，往大了估 B．估算，往小了估 C．精确算 D．口算 2．（25-26五年级下·贵州黔东南·期末）某市出租车收费标准：2km以内5元；超过2km的部分，每千米1.5元（不足1km按1km计算）。王老师坐出租车去离学校12.8km远的教育局开会，应付车费（    ）元。 A．19.2 B．21.2 C．21.5 D．23.7 3．（26-27五年级·全国·暑假作业）“带100元买3副21.3元的跳棋和1副9.4元的飞行棋，剩下的钱够不够买一根12.9元的长绳”，解决这个问题时，淘气把21.3看成22，把9.4看成10。淘气通过估算得出剩下的钱比24元多。因为实际花费比估算的少，所以实际剩下的钱肯定比24元多。既然24元大于12.9元，那么结论是（    ）。 A．一定够买长绳 B．可能够买长绳 C．一定不够买长绳 D．无法判断 4．（25-26五年级上·河北秦皇岛·期末）一年级三班25个同学合影，照六寸照片洗前6张是25.5元，另外加洗1张每张另收费5.5元，现在每人得到一张照片，平均每人需付( )元。 5．（24-25五年级上·江西赣州·期末）某地的出租车在3km及以内收费11元，超过3km后每千米收费2.2元，（不足1km按1km计费），楠楠乘出租车行驶了7.4km，她应付车费( )元。 6．（25-26五年级上·江西新余·期末）脱式计算，能简算的要简算。（请在第3小题补充一个数，使其有简便运算） 7800÷12.5÷8          0.25×6.4×1.25          3.8×73＋3.8×（    ） 7．（26-27五年级上·北京·课后作业）小红带200元购物，买5本单价18.7元的笔记本，两盒单价29.6元的水彩笔。商店有两款书包：小号45.9元，大号62.8元。请分别用合适的估算方法判断剩余的钱能不能买小号、大号书包，最后精确计算验证。 8．（25-26五年级上·江西宜春·期末）学校“国学社团”开展经典文化周末调研活动，同学们要和家长坐出租车去调研地点。 出租车收费标准 不超过3千米 3元 超过3千米 （不足1千米按1千米计算） 2.5元/千米 (1)小红和爸爸乘车到离家28.3千米的古城，他们应付多少钱？ (2)小文有23元，最多可以乘车多少千米？ 9．（25-26五年级上·陕西安康·期中）下表是某市出租车收费标准。 白天（5：30~22：00） 夜间（22：00~次日5：30） 起步价（2千米及以内） 8元 10元 超过2千米的部分 （不足1千米按1千米计算） 2元/千米 2.4元/千米 司机等候费 如乘客要求司机等候，免费等候5分钟，超过的时间按照0.4元/分的标准收取等候费 （1）张阿姨14：00乘出租车去机场，她下楼时忘记带钱包让司机等候了6分钟，路上行驶了10.6千米。张阿姨应付多少元钱？ （2）张叔叔晚上10：30从公司乘出租车回家（司机未等候），花了46元，公司到张叔叔家的距离最远是多少千米？ 10．（25-26五年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）小红和妈妈从家乘出租车去图书馆，行驶路程为7.5千米。请你根据计费标准帮小红算一算，一共需要付多少元车费？ （某市出租车计价方式：） 1.3千米及以内8元。 2.超过3千米的部分1.8元/千米（不足1千米，按1千米计算）。 3.如果总路程超过3千米，每次加收1元燃油附加费。 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null2026-2027学年人教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义（新课衔接） 2026-2027学年数学四升五年级暑期学习金牌培优讲义【新课衔接篇】 五年级/上册（新教材） 小学数学 第四讲 整数乘法运算律推广到小数 分层训练 思维导图+新知学习+五大考点讲练+难度分层练 （共40题） 【解析版】 人教版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 思维导图 新知学习 真题汇编 闯关达标 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以预习人教版数学新教材五年级上册内容为主，选取第1-3单元内容预习，讲义包含思维导图，知识总结，高频考点真题讲练，优选题难度分层练20题等四大模块！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 友情提醒：本套讲义新知学习内容建议结合思维导图、知识卡片内容学习（导图，卡片结合人教版五上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 一、学习目标 知识技能：理解整数乘法的交换律、结合律和分配律对于小数乘法同样适用；能运用乘法运算律进行小数的简便计算。 过程方法：通过观察、猜测、验证等数学活动，经历将整数乘法运算律推广到小数的过程，培养类比推理能力。 问题解决：掌握解决“分段计费”和“购物估算”等实际问题的方法，提高灵活运用小数乘法解决实际问题的能力。 情感态度：体会数学与生活的紧密联系，感受数学运算的简洁美。 二、知识探究：运算律的推广 1. 回顾旧知 我们已经学习了整数乘法的三大运算律，请用字母表示： 乘法交换律： 乘法结合律： 乘法分配律： 2. 探究新知 小数四则混合运算的顺序跟整数四则混合运算的顺序相同。那么，整数乘法的运算律在小数运算中还适用吗？请计算下面每组的两个算式，看看它们有什么关系。 （1）验证乘法交换律： 计算左边： 计算右边： 结论：，说明乘法交换律对小数适用。 （2）验证乘法结合律 计算左边：先算括号内 ，再算 计算右边：先算括号内 ，再算 结论：，说明乘法结合律对小数适用。 （3）验证乘法分配律： 计算左边：先算括号内 ，再算 计算右边：分别相乘 ，，最后相加 结论：，说明乘法分配律对小数适用。 总结：整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于小数乘法也适用。应用乘法的运算律，可以使一些计算简便。 三、典型例题详解 【例6】 运用运算律进行简便计算 题目1： 思路分析：观察算式中的数字，发现 和 相乘可以得到整数 。根据乘法交换律，可以交换 和 的位置，先算 。 解题过程： 填空答案：第一行填 1 和 4.78；第二行填 4.78。 题目2： 思路分析： 接近整百数 ，可以将 拆分为 。然后利用乘法分配律，分别与 相乘，最后相加。 解题过程： 填空答案：第一行填 130 和 1.3；第二行填 131.3。 【例7】 购物预算问题（估算的应用） 题目：妈妈带100元去超市购物。她买了2袋大米，每袋30.98元；还买了0.8kg肉，每千克26.48元。剩下的钱还够买一盒10元的鸡蛋吗？够买一盒20元的鸡蛋吗？ 1. 阅读理解与整理信息 我们可以通过列表来整理已知信息： 商品 单价 数量 大米 30.98元/袋 2袋 肉 26.48元/kg 0.8kg 鸡蛋 10元/盒 或 20元/盒 1盒 2. 分析解答（估算法） 3. 回顾反思 表格可以帮助我们清晰地整理信息。 当只需要知道结果的大致范围时，估算是一种非常高效的解决问题的方法。 【例8】 出租车分段计费问题 题目：某地出租车计价标准：3km及以内8元；超过3km的部分，每千米1.5元（不足1km，按1km计算）。李叔叔乘坐出租车行驶了6.3km，他应付出租车费多少钱？ 1. 阅读理解 关键规则：“不足1km，按1km计算”。这意味着 在计费时要按照 来计算。 计费结构：费用分为两部分，前3km是固定价格，超过部分是按里程计费。 2. 分析解答 3. 拓展思考（教材P20回顾反思） 生活中为什么要采用分段计费方式？ 参考答案：分段计费通常是为了体现公平性或鼓励节约。例如出租车起步价保证了短途司机的基本收益；阶梯水价/电价则是为了鼓励大家节约用水用电，用得越多单价越贵。 考点一 整数乘法运算定律推广到小数乘法 【典例精讲】（25-26五年级下·云南昭通·期末）脱式计算，能简算的要简算。 1.25×7.2×0.4          19.42－（9.42＋0.38） 3.6＋2.4×8             6.32＋14.7＋3.68＋5.3 【答案】 3.6；9.62；22.8；30 【思路引导】观察数据特点，运用乘法交换律，先计算比较简便。 运用减法的性质，去括号后进行简算。 根据四则运算顺序，先算乘法，再算加法。 运用加法交换律和结合律，将能凑成整数的数结合在一起计算。 【规范解答】 【变式训练1】（25-26五年级上·山西太原·期末）实践探索。 (1)照样子计算。 ＝（3×____）×（4×____） ＝（____×____）×（____×____） ＝( )×( ) ＝( ) (2)仔细观察，小数乘法和整数乘法有什么相同之处？ 【答案】(1) 0.1 0.1 3 4 0.1 0.1 12 0.01 0.12 (2)见详解 【思路引导】（1）观察40×20的计算过程，将40拆成（4×10），20拆成（2×10），根据乘法交换律和乘法结合律，转化成（4×2）×（10×10），先算“计数单位个数”3和2的乘积，再算“计数单位”10和10的乘积，最后将两部分结果相乘； 将0.3转化成，0.4转化成，然后先求3与4的积和0.1与0.1的积，最后将两次乘得的积相乘； （2）整数乘法、小数乘法都运用了乘法结合律和乘法交换律，本质都是先把各个数的“计数单位的个数”相乘，再把“计数单位”相乘，最后将两个结果相乘。 【规范解答】（1） （2）答：整数乘法、小数乘法都是先把各个数的“计数单位的个数”相乘，再把“计数单位”相乘，最后将两个结果相乘。 【变式训练2】（25-26五年级上·河北唐山·期末）用简便方法计算。 0.25×3.2×12.5             10.1×4.6             7.3×6.8＋2.7×6.8 【答案】10；46.46；68 【思路引导】将3.2拆成0.4×8，再根据乘法结合律进行简便计算； 将10.1拆成（10＋0.1），根据乘法分配律进行简便计算； 根据乘法分配律逆运算将算式转化成（7.3＋2.7）×6.8，据此进行简便计算。 【规范解答】0.25×3.2×12.5 ＝0.25×（0.4×8）×12.5 ＝（0.25×0.4）×（8×12.5） ＝0.1×100 ＝10 10.1×4.6 ＝（10＋0.1）×4.6 ＝10×4.6＋0.1×4.6 ＝46＋0.46 ＝46.46 7.3×6.8＋2.7×6.8 ＝（7.3＋2.7）×6.8 ＝10×6.8 ＝68 【变式训练3】（25-26五年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）计算下面各题，怎样简便就怎样计算。 2.5×3.2×1.25         0.79×101          4.3×16.4＋0.36×43 【答案】10；79.79；86 【思路引导】（1）先把3.2拆分成4×0.8，然后根据乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c）把2.5×（4×0.8）×1.25变成（2.5×4）×（0.8×1.25）进行简算； （2）先把101拆分成100＋1，然后根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c把0.79×（100＋1）变成0.79×100＋0.79×1进行简算； （3）先根据积不变的规律把0.36×43变成3.6×4.3，然后根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把4.3×16.4＋3.6×4.3变成4.3×（16.4＋3.6）进行简算。 【规范解答】（1）2.5×3.2×1.25 ＝2.5×（4×0.8）×1.25 ＝（2.5×4）×（0.8×1.25） ＝10×1 ＝10 （2）0.79×101 ＝0.79×（100＋1） ＝0.79×100＋0.79×1 ＝79＋0.79 ＝79.79 （3）4.3×16.4＋0.36×43 ＝4.3×16.4＋3.6×4.3 ＝4.3×（16.4＋3.6） ＝4.3×20 ＝86 考点二 运用转化法解决复杂的小数乘法简算问题 【典例精讲】（25-26五年级上·云南红河·期末）下列各题，怎样算简便就怎样算。 12.5×3.2×0.25                    4.5×10.1 2.5×4.8                          3.7×10.1－37×0.01 【答案】10；45.45； 12；37 【思路引导】将3.2拆成0.8×4，然后根据乘法结合律，将12.5与0.8、4与0.25相结合得（12.5×0.8）×（4×0.25），分别相乘，再求积； 将10.1拆成10＋0.1，然后根据乘法分配律a×（b＋c）＝a×b＋a×c得4.5×10＋4.5×0.1，分别相乘，再相加； 将4.8拆成4×1.2，然后根据乘法结合律，将2.5与4相结合得（2.5×4）×1.2，先算2.5×4，再将结果与1.2相乘； 根据积不变的规律将式子转化为37×1.01－37×0.01，然后根据乘法分配律a×b－a×c＝a×（b－c）得37×（1.01－0.01），先算括号里的减法，再算乘法。 【规范解答】12.5×3.2×0.25 ＝12.5×（0.8×4）×0.25 ＝（12.5×0.8）×（4×0.25） ＝10×1 ＝10 4.5×10.1 ＝4.5×（10＋0.1） ＝4.5×10＋4.5×0.1 ＝45＋0.45 ＝45.45 2.5×4.8 ＝2.5×（4×1.2） ＝（2.5×4）×1.2 ＝10×1.2 ＝12 3.7×10.1－37×0.01 ＝37×1.01－37×0.01 ＝37×（1.01－0.01） ＝37×1 ＝37 【变式训练1】（24-25五年级上·浙江台州·期末）下面各题怎样简便就怎样算。 2.2×0.8×2.5          1.25×[8.8－（10.7－4.3）] 0.48×3.5＋4.84        5.6×1.26－56×0.026 【答案】4.4；3 6.52；5.6 【思路引导】（1）根据乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c）把2.2×0.8×2.5变成2.2×（0.8×2.5）进行简算； （2）先算小括号里的减法，再算中括号里的减法，算式变成1.25×2.4，然后把2.4拆分成0.8×3，再根据乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c）把算式变成1.25×0.8×3进行简算； （3）先算乘法，再算加法； （4）先根据积不变的规律把56×0.026改写成5.6×0.26，然后根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把5.6×1.26－5.6×0.26变成5.6×（1.26－0.26）进行简算。 【规范解答】（1）2.2×0.8×2.5 ＝2.2×（0.8×2.5） ＝2.2×2 ＝4.4 （2）1.25×[8.8－（10.7－4.3）] ＝1.25×[8.8－6.4] ＝1.25×2.4 ＝1.25×（0.8×3） ＝1.25×0.8×3 ＝1×3 ＝3 （3）0.48×3.5＋4.84 ＝1.68＋4.84 ＝6.52 （4）5.6×1.26－56×0.026 ＝5.6×1.26－5.6×0.26 ＝5.6×（1.26－0.26） ＝5.6×1 ＝5.6 【变式训练2】（25-26五年级上·山东德州·期中）下面（    ）运用了转化思想。 ①计算1.25÷0.5时，将其看成12.5÷5 ②计算3.4×2时，先算34×2＝68，再算68÷10＝6.8 ③计算7.8×5.3＋2.2×5.3＝5.3×（7.8＋2.2） ④计算一个长是12分米、宽是4分米的长方形的面积，列式：12×4 A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【思路引导】①除数是小数的小数除法法则：先看除数中有几位小数，就把被除数的小数点向右移动几位，数位不够的用零补足； 然后按照除数是整数的小数除法来除；②计算小数乘法，先按照整数乘法的法则算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；③计算7.8×5.3＋2.2×5.3利用乘法分配律简算a×c＋b×c＝（a＋b）×c；④在学习长方形的面积时是利用数方格的方法，得出长方形的面积公式。 【规范解答】A．1.25÷0.5，先把除数0.5看作5，然后将被除数的小数点向右移动1位，即将被除数1.25看作12.5，然后再除，与原题符合； B．计算3.4×2时，先把3.4×10，算式变成34×2，算出积，再把积除以10，得6.8，与原题符合； C．计算7.8×5.3＋2.2×5.3时运用乘法分配律转化为5.3×（7.8＋2.2），与原题符合； D．在学习长方形的面积时是利用数方格的方法，得出长方形的面积公式：S＝ab，直接应用面积公式无转化过程，与原题不符合； 故答案为：C 【变式训练23】（25-26五年级上·河南三门峡·期中）能简算的要简算。（第4道题先在横线上填入你喜欢的数，使计算简便，再计算） 2.36×5×0.02        9.9×15 8.57×1.7－0.857×7        6.3×5.2＋______×______ 【答案】0.236；148.5 8.57；52（答案不唯一） 【思路引导】根据乘法结合律进行简便计算； 将9.9拆成（10－0.1），再根据乘法分配律进行简便计算； 先根据积的变化规律将0.857×7转化成8.57×0.7，再根据乘法分配律逆运算进行简便计算； 可以填写适合的数字，如3.7×5.2，使算式可以根据乘法分配律逆运算进行简便计算（答案不唯一）。 【规范解答】2.36×5×0.02 ＝2.36×（5×0.02） ＝2.36×0.1 ＝0.236 9.9×15 ＝（10－0.1）×15 ＝10×15－0.1×15 ＝150－1.5 ＝148.5 8.57×1.7－0.857×7 ＝8.57×1.7－8.57×0.7 ＝8.57×（1.7－0.7） ＝8.57×1 ＝8.57 6.3×5.2＋3.7×5.2 ＝（6.3＋3.7）×5.2 ＝10×5.2 ＝52（答案不唯一） 考点三 用归纳法解决计算器探索规律问题 【典例精讲】（24-25五年级上·福建厦门·期末）乐乐用计算器分别算出了下面三道算式的得数，请你找出规律，再按规律填空。 123456.79×9＝1111111.11 123456.79×18＝2222222.22 123456.79×27＝3333333.33 123456.79×54＝( ) 123456.79×( )＝9999999.99 【答案】 6666666.66 81 【思路引导】观察已知的三道算式发现：每个乘法算式的第一个因数都是123456.79，第二个因数是9的几倍，结果就是1111111.11的几倍，据此规律解答。 【规范解答】9×6＝54，则1111111.11×6＝6666666.66； 9999999.99÷1111111.11＝9，则9×9＝81； 填空如下： 123456.79×54＝（6666666.66） 123456.79×（81）＝9999999.99 【变式训练1】（23-24五年级上·全国·课后作业）不计算，运用发现的规律，直接写出后两题的得数，再用计算器验算。 6×0.7＝4.2 6.6×6.7＝44.22 6.66×66.7＝________ 6.666×666.7＝________ 【答案】 444.222 4444.2222 【思路引导】通过观察看出两个因数的前面一个因数有几位数，那么最后的积整数部分就有几个4，小数部分就有几个2，两个因数的数位相同，第一个因数的整数部分是6不变，后面的小数部分的6的数量在变化，第二个因数的6的数量是第一个因数的6的数量减1，然后加上小数点，小数点后面的7的数量不变，由此解答。 【规范解答】根据分析， 6.66×66.7＝444.222 6.666×666.7＝4444.2222 【考点剖析】此题考查了算式的规律探索以及计算器的使用，关键能够灵活总结规律。 【变式训练2】（24-25五年级上·福建龙岩·期中）11×0.9＝9.9，222×0.9＝199.8，3333×0.9＝2999.7，555555×0.9＝（    ）。 A．49999.5 B．499999.5 C．4999999.6 D．3999999.5 【答案】B 【思路引导】观察各算式： 第一个因数分别由重复的数字组成的多位数，第二个因数都是0.9； 222×0.9＝199.8，积的首位和末位分别是1和8，是由2×9＝18，18分拆成的积的首位和末位。积的中间有3－1＝2个9 3333×0.9＝2999.7，积的首位和末位分别是2和7，是由3×9＝27，27分拆成的积的首位和末位。积的中间有4－1＝3个9。 重复数字的多位数与0.9积的中间都是9，9的个数＝第一个因数的位数－1，积的首位和末位由重复数字乘9的积决定。据此解答。 【规范解答】根据分析可得： 11×0.9＝9.9，222×0.9＝199.8，3333×0.9＝2999.7，555555×0.9＝499999.5。 故答案为：B 【变式训练3】（23-24五年级上·江西赣州·期末）根据计算结果的规律填空。 1.23×9＋0.04＝11.11 12.34×9＋0.05＝111.11 123.45×9＋0.06＝1111.11 ( )×9＋0.07＝( )。 【答案】 1234.56 11111.11 【思路引导】观察已知的前三个算式发现：乘法中的第一个因数是两位小数，小数点每向后移动一位，就在小数末尾按顺序增加一个数字；第二因数是9；后面相加的数从0.04开始每次增加0.01；积是两位小数，由数字1组成，加数百分位上的数字是几，积就有几个1；据此解答。 【规范解答】1.23×9＋0.04＝11.11 12.34×9＋0.05＝111.11 123.45×9＋0.06＝1111.11 1234.56×9＋0.07＝11111.11 考点四 小数的估算及应用 【典例精讲】（26-27五年级·全国·暑假作业）李阿姨去菜市场买菜，买了2千克牛肉，每千克48.5元；又买了3千克鱼，每千克12.8元。她带了150元，请帮她估算一下，带的钱够吗？（写出估算过程） 【答案】够； 把48.5看作50，把12.8看作13。 牛肉：50×2＝100（元） 鱼：13×3＝39（元） 总共约：100＋39＝139 （元） 139＜150 即使把价格都往大估，总价也没超过150元，所以一定够。 【思路引导】分别对购买牛肉和鱼的花费进行估算，估算时，可将牛肉和鱼的单价看成与之接近的整数，再根据“总价＝单价×数量”计算出估算后各自的花费，再将估算后的花费相加，最后与李阿姨带的钱数比较，判断钱是否够。 【规范解答】略 【变式训练1】（26-27五年级·全国·暑假作业）如果要判断剩下的钱够不够买一个28元的篮球，妙想把21.3看成21，把9.4看成9.她算出剩下的钱是28元。为什么她说“不一定够”或者“不够”？（    ） A．因为她算错了 B．因为把价格往小估了，实际花的钱更多，剩下的钱会比28元少 C．因为把价格往大估了，实际花的钱更少，剩下的钱会比28元多 D．因为28元正好等于篮球的价格，不能有多余的钱 【答案】B 【思路引导】判断剩余的钱够不够买商品时，如果把已花费商品的价格往小估算，得到的剩余钱数会比实际剩余的钱数多；如果把已花费商品的价格往大估算，得到的剩余钱数会比实际剩余的钱数少。 【规范解答】把21.3看成21，把9.4看成9，是把价格往小估了，由分析可知，往小估意味着算出的花费比实际少，也就是实际花的钱更多。那么算出的剩余金额（28元）就比实际剩余的要多。实际剩余的钱小于28元，所以可能不够买28元的篮球。 【变式训练2】（25-26五年级上·福建莆田·期末）近日天气转寒，优优不小心冻感冒了，有些发烧。爸爸去医院买了2盒感冒冲剂和10片退烧贴，每盒感冒冲剂10.8元，每片退烧贴2.5元。爸爸手机钱包里的余额是45元，爸爸想用余额支付药费，够吗？关于这个问题，下列解决方法正确的是（    ）。 A．10.8≈10，2.5≈2，10×2＋2×10＝40（元），40元＜45元，所以够。 B．2.5≈3，10.8×2＋3×10＝51.6（元），51.6元＞45元，所以不够。 C．10.8≈10，2.5≈3，10×2＋3×10＝50（元），50元＞45元，所以不够。 D．10.8≈10，10×2＋2.5×10＝45（元），45元＝45元，所以不够。 【答案】C 【思路引导】要判断余额是否够支付，可以通过估算总价与45元比较。估算时，应确保方法合理：向上近似价格可高估总价，若高估总价大于余额，则实际一定不够；向下近似可能导致低估，结论不可靠。选项C将10.8向下近似为10，2.5向上近似为3，估算总价50元＞45元，结论正确。其他选项存在错误：A低估总价导致错误结论；B中10.8未近似，非纯估算；D估算值等于余额却说不够，逻辑矛盾。 【规范解答】实际总价计算：感冒冲剂费用为2×10.8＝21.6元，退烧贴费用为10×2.5＝25元，总费用为21.6＋25＝46.6元。46.6＞45，余额不足。 A．10.8≈10（向下近似），2.5≈2（向下近似），计算10×2＋2×10＝40元，40＜45，判断够。但实际总价46.6＞45，不够，结论错误。此选项错误。 B．2.5≈3（向上近似），但10.8未近似，计算10.8×2＋3×10＝21.6＋30＝51.6元，51.6＞45，判断不够，结论正确。但方法中10.8未使用估算，不完全符合估算要求。此选项错误。 C． 10.8≈10（向下近似），2.5≈3（向上近似），计算10×2＋3×10＝20＋30＝50元，50＞45，判断不够。估算总价高于实际总价（50＞46.6），且实际46.6＞45，结论正确，方法合理。此选项正确。 D．10.8≈10（向下近似），但2.5未近似，计算10×2＋2.5×10＝20＋25＝45元，45＝45，判断不够。估算值等于余额时应认为够，但实际46.6＞45，不够，方法逻辑不严谨（未一致近似且结论矛盾）。此选项错误。 故答案为：C 【变式训练3】（24-25五年级上·浙江嘉兴·期末）根据a、b、c的大小估一估，下列选项中，（    ）与c最接近。 A．a＋b B．b－a C．a×b D．b÷a 【答案】D 【思路引导】需先明确a、b、c在数轴上的位置关系（0＜a＜1，1＜b＜c＜2），再分别分析四个选项运算结果的范围或特征，对比哪个与c最接近。 【规范解答】A．已知0＜a＜1，1＜b＜2，则a＋b的范围是1＜a＋b＜3。但c＜2，且a＋b更可能接近2，故A不符合。 B．由0＜a＜1，1＜b＜2，可得b－a的范围是0＜b－a＜2。因a＜1、b＞1，所以b－a＜b，故B不符合。 C．因为0＜a＜1，1＜b＜2，根据“一个数（0除外）乘小于1（0除外）的正数，积比原数小”，可知a×b＜b，故C不符合。 D．由于0＜a＜1，1＜b＜2，根据“一个数（0除外）除以小于1（0除外）的正数，商比原数大”，可知b÷a＞b。结合数轴上c的位置（b＜c＜2），与c的范围重合度高，因此b÷a与c最接近，故D符合。 故答案为：D 考点五 分段计费问题（小数乘法) 【典例精讲】（25-26五年级上·河北承德·期末）我国多地面临水资源紧张问题，某城市推出阶梯水费政策引导节水：每户每月用水量不超过15吨时，按“基本价”每吨2.4元收费；超过15吨的部分，按“调节价”收费。聪聪家七、八月份的用水量和水费如下表。 月份 用水量（吨） 水费（元） 七 18 46.8 八 22 ？ (1)该地水费的“调节价”是每吨多少元？ (2)聪聪家八月份的水费是多少元？ 【答案】(1)3.6元 (2)61.2元 【思路引导】（1）先用15吨乘基本价算出15吨的水费，再用总的水费减去15吨的水费，算出按调节价收的水费，再除以调节价的水的吨数，算出调节价每吨多少元。 （2）先用15吨乘基本价算出15吨的水费，再算出按调节价的水有多少吨，再乘调节价，算出按调节价的水费有多少，两个再相加，算出八月份的水费是多少元。 【规范解答】（1）（元） （元） （吨） (元） 答：该地水费的“调节价”是每吨3.6元。 【小问2】 （吨） （元） （元） 答：聪聪家八月份的水费是61.2元。 【变式训练1】（25-26五年级上·广东汕头·期末）为鼓励节约用水，许多城市都推行按月阶梯水价的方法收取水费。某市水费的收费标准是：用水量在12吨以内（含12吨）每吨2.5元，超过12吨的部分，每吨4元。李明家上个月的用水量为18吨，应缴水费多少元？ 【答案】54元 【思路引导】先算出超过12吨的部分，再算出超过12吨部分的水费。再加上12吨及以内的水费即可。 【规范解答】18－12＝6（吨）    2.5×12＋4×6 ＝30＋24 ＝54（元） 答：应缴水费54元。 【变式训练2】（25-26五年级上·贵州六盘水·期末）南方某地区将集中供暖工作纳入“十件民生实事”进行统筹，进入冬季开始集中供暖，费用按照用户建筑面积一次性收取，下表是该地区供暖阶梯收费标准。奇奇家房屋建筑面积是130.25平方米，他家需要缴纳的供暖费是多少元？ 120平方米及以下部分 超过120平方米的部分 25元/平方米 28元/平方米 【答案】3287元 【思路引导】供暖费分为两部分，第一部分为120平方米乘每平方米25元，第二部分为（130.25－120）平方米乘超过120平方米的部分的每平方米28元，将两部分的价格相加即可求出他家需要缴纳的供暖费。 【规范解答】120×25＋（130.25－120）×28 ＝120×25＋10.25×28 ＝3000＋287 ＝3287（元） 答：他家需要缴纳的供暖费是3287元。 【变式训练3】（25-26五年级上·浙江台州·期中）某城市滴滴打车和出租车的收费标准如下表所示： 3千米及以内 超出部分（不足1千米按1千米计算） 滴滴打车 2.8元/千米 1.8元/千米 出租车 8元 2.1元/千米 （1）王阿姨滴滴打车去火车站，滴滴车行驶了7.6千米，要付多少元车费？ （2）李叔叔从家出发乘出租车去公司，共付车费12.2元，家到公司的路程最远是多少千米？ 【答案】（1）17.4元 （2）5千米 【思路引导】（1）7.6千米按照8千米计算。前3千米的单价为2.8元/千米，用单价乘3千米，可求得前3千米的总价。单价为1.8元/千米共跑了（8－3）千米，用这部分的单价乘（8－3）千米，可求得后半部分的总价，将两部分的总价相加，即可求得要付多少元车费。 （2）出租车前3千米，收费8元，用12.2元减去8元，求得超过3千米的总价，用其除以单价2.1元/千米，可求得后半部分跑了多少千米，再加上3千米，即可求得家到公司的路程最远是多少千米。 【规范解答】（1）7.6千米按照8千米计算 ＝ ＝8.4＋9 （元） 答：要付17.4元车费。 （2） ＝4.2÷2.1＋3 ＝2＋3 （千米） 答：家到公司的路程最远是5千米。 【基础通关能力提升】 1．（26-27五年级·全国·暑假作业）妈妈带了200元去超市，买了4袋大米，每袋48.5元。她想估算一下剩下的钱够不够买一桶60元的油。下面哪种估算最合理且能直接得出结论？（    ） A．48.5≈48 ，48×4＝192，剩8元，不够。 B．48.5≈50 ，50×4＝200，剩0元，不够。 C．48.5≈49 ，49×4＝196，剩4元，不够。 D．48.5≈40 ，40×4＝160，剩40元，不够。 【答案】A 【思路引导】 如果要确认钱不够，需要把买大米的花费往小估（这样算出的剩余钱会比实际剩余多），如果估小后的剩余钱都不够买油，那实际剩余的钱比估算的更少，一定不够，结论必然成立；如果把大米花费往大估，算出的剩余比实际少，仅根据估算剩余不够不能确定实际一定不够（实际剩余可能比估算多，存在够的可能性）。对选项逐一分析。 【规范解答】A.把48.5估成48（接近实际，估算合理），是往小估大米花费，算出剩余8元，8元＜60元，实际剩余比8元还少，一定不够，结论可靠。 B.把48.5估成50，是往大估大米花费，算出剩余0元，实际剩余比0元多，无法通过这个估算确定实际剩余一定不到60元，不能得出确定结论。 C.把48.5估成49，也是往大估大米花费，和B同理，无法确定结论。 D.把48.5估成40，和实际偏差太大，估算不合理。 A选项最合理且能直接得出结论。 2．（24-25五年级上·江苏南京·期末）小明带了20元钱去文具店购买文具，选的商品有：一支铅笔0.9元，一个文具盒12.2元（    ）情况下，估算比计算更有价值。 A．营业员将价格输入收款机时。 B．小明考虑钱带的够不够时。 C．小明被告知要付多少钱时。 D．营业员找给小明钱时。 【答案】B 【思路引导】在什么情况下，估算比精确计算更有价值，应该是小明买这些商品时，带去的钱数够不够，先估算这些商品的总价，再和小明带去的钱数进行比较，进行解答。 【规范解答】A．价格输入收款机时，需要准确值，不可以运用估算； B．把0.9元看成1元，12.2元看成13元，（元），，把价格都估大了，总价还小于20元，说明带得够。所以，考虑钱带的够不够的时候，可以运用估算； C．小明被告知要付多少钱时，应该需要准确值，不可以运用估算； D．营业员要找钱给小明，应该需要准确值，精准的找回多少钱，不可以运用估算。 故答案为：B 3．（25-26五年级上·河北邢台·期末）计算12×0.4×2.5时，小明这样算：12×（0.4×2.5），他运用了（    ）。 A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 【答案】B 【思路引导】在计算乘法时，小明将原式12×0.4×2.5改写为12×（0.4×2.5），这改变了运算的顺序（先计算后两个因数的积），但未改变因数的位置。根据乘法运算律的定义，这种处理方式符合乘法结合律的特征，即三个数相乘，可以先把后两个数相乘，再与第一个数相乘，积不变。 【规范解答】小明在计算12×0.4×2.5时，采用了12×（0.4×2.5）的方法。这种计算方式先计算0.4×2.5的积，再与12相乘。根据乘法结合律的公式（a×b）×c ＝ a×（b×c），此处a＝12，b＝0.4，c＝2.5，因此运用了乘法结合律。 故答案为：B 4．（26-27五年级·全国·暑假作业）淘气带了100元，买东西大约花了76元（往大估的结果）。那么他实际花的钱一定比76元______（填“多”或“少”），剩下的钱一定比24元______（填“多”或“少”）。 【答案】 少 多 【思路引导】把数往大的估，实际数值小于估算值。比如实际花了75元，往大估可能估成76元；实际花了74.8元，往大估也可能估成76元……实际花的钱都小于76元。因此估算的花费（76元）比实际多，说明实际花的少；总钱数不变，花得少剩下的就多。 【规范解答】淘气带了100元，买东西大约花了76元（往大估的结果）。那么他实际花的钱一定比76元少（填“多”或“少”），剩下的钱一定比24元多（填“多”或“少”）。 5．（26-27五年级·全国·暑假作业）某停车场收费标准是每小时4.8元，爸爸停了2.9小时。爸爸带了15元，够付停车费吗？我们可以把4.8看作______，把2.9看作______，算出大约需要______元，因为15≥______，所以够付。 【答案】 5 3 15 15 【思路引导】在解决带钱够不够的实际问题时，把单价和数量都要往大估，如果往大估后，所带的钱依然不小于消费金额，那就一定够付。 【规范解答】4.8≈5，2.9≈3，5×3＝15，15≥15； 因为两个数都是往大估的，所带的钱依然不小于消费金额，所以一定够付。 6．（25-26五年级上·河北秦皇岛·期末）如果，那么。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】解答这道题需熟知乘法分配律：。本题中，，且，利用乘法分配律将合并为后，把的值代入计算即可。 【规范解答】根据分析： 所以，成立。 故答案为：√ 7．（25-26五年级上·甘肃武威·期末）直接写出得数。 0.37×3＝    5.06÷0.01＝    30.6÷0.6＝    5.6÷1.4＝ 3.1×0.8＝    2×1.3×0.5＝    2.5×7.7×0.4＝    3.16÷0.1÷0.1＝ 【答案】1.11；506；51；4； 2.48；1.3；7.7；316 8．（25-26五年级上·河北邢台·期末）认真计算。能简算的要简算。 0.75×40        7.2－[1.8×（3.4－2.9）]        0.98×5 【答案】30；6.3；4.9 【思路引导】（1）将0.75拆分成0.7＋0.05，然后利用乘法分配律计算； （2）先算小括号里的减法，再算中括号里的乘法，最后算括号外的减法； （3）将0.98写成1－0.02，再用乘法分配律计算。 【规范解答】（1）0.75×40 ＝（0.7＋0.05）×40 ＝0.7×40＋0.05×40 ＝28＋2 ＝30 （2）7.2－[1.8×（3.4－2.9）] ＝7.2－（1.8×0.5） ＝7.2－0.9 ＝6.3 （3）0.98×5 ＝（1－0.02）×5 ＝5－0.1 ＝4.9 9．（25-26五年级上·广东珠海·期中）珠海出租车的白天收费标准为2.5千米以内10元，超过2.5千米时再按每1千米2.6元收费，王老师白天坐出租车去距离6千米的珠海站，需要付多少钱车费？ 【答案】19.1元 【思路引导】先用总路程6千米减去起步路程2.5千米，求出超过2.5千米的距离是多少；然后根据单价×数量＝总价，用超过2.5千米的每千米的单价2.6元乘超过2.5千米的千米数，求出超过2.5千米的费用，再加上起步价10元，求出应该付的费用即可。 【规范解答】（6－2.5）×2.6＋10 ＝3.5×2.6＋10 ＝9.1＋10 ＝19.1（元）     答：需要付19.1元车费。 10．（26-27五年级·全国·暑假作业）第19届亚运会于2023年9月23日在杭州开幕，李叔叔乘飞机到杭州参加开幕式。乘坐飞机的每位旅客，携带行李需按规定购买行李票，李叔叔携带了38千克行李，机票是720元/张，他购买机票和行李票一共要付多少元？ 行李质量 收费标准 20千克及以内的部分 免费 超过20千克的部分 10.8元/千克 【答案】914.4元 【思路引导】李叔叔携带38千克行李，20千克以内免费，超重部分为38－20＝18千克；超重部分按10.8元/千克收费，则行李票费用为18×10.8＝194.4元；最后用机票费（720元）加上行李票费用即可求出总费用。 【规范解答】（38－20）×10.8＋720 ＝18×10.8＋720 ＝194.4＋720 ＝914.4（元） 答：他购买机票和行李票一共要付914.4元。 【思维拓展拔尖训练】 1．（25-26五年级下·山东烟台·期末）王老师要买192本练习本，每本3.75元，他带了800元钱，够吗？解决这个问题最合理的计算方法是（    ）。 A．估算，往大了估 B．估算，往小了估 C．精确算 D．口算 【答案】A 【思路引导】若要证明钱“够”，需要将商品的数量和单价往大了估，如果估算的总价仍然不超过带的钱数，则实际钱数一定够；若要证明钱“不够”，则需要往小了估。本题中需要判断800元是否够买192本练习本，应采用往大了估的方法。 【规范解答】A．采用估算，往大了估。将192看作200，将3.75看作4。（元），因为，，所以实际总价小于800元，带800元够。这种方法既能得出结论又计算简便，符合“最合理”的要求，此选项正确。 B．采用估算，往小了估。若将192看作190，3.75看作3。（元），，但实际总价可能大于800元，无法确定钱是否够，此选项错误。 C．采用精确算。虽然能计算出准确结果（元），，可以得出结论，但计算过程相对复杂，对于判断“够不够”的问题，估算方法更为合理便捷，此选项错误。 D．采用口算。数据较大且含有小数，口算容易出错，不适合此题，此选项错误。 2．（25-26五年级下·贵州黔东南·期末）某市出租车收费标准：2km以内5元；超过2km的部分，每千米1.5元（不足1km按1km计算）。王老师坐出租车去离学校12.8km远的教育局开会，应付车费（    ）元。 A．19.2 B．21.2 C．21.5 D．23.7 【答案】C 【思路引导】收费规则规定不足1km按1km计算，所以需要对12.8km进行进一取整，得到计费的总里程数。总里程大于2km，那么将总里程分为2km以内和超过2km的两部分，2km以内部分费用固定为5元。超出2km的里程数乘以每km的单价，再加上2km以内的固定费用，得到总车费。 【规范解答】 （km） （元） 王老师坐出租车去离学校12.8km远的教育局开会，应付车费21.5元。 3．（26-27五年级·全国·暑假作业）“带100元买3副21.3元的跳棋和1副9.4元的飞行棋，剩下的钱够不够买一根12.9元的长绳”，解决这个问题时，淘气把21.3看成22，把9.4看成10。淘气通过估算得出剩下的钱比24元多。因为实际花费比估算的少，所以实际剩下的钱肯定比24元多。既然24元大于12.9元，那么结论是（    ）。 A．一定够买长绳 B．可能够买长绳 C．一定不够买长绳 D．无法判断 【答案】A 【思路引导】采用高估法进行估算推理，将物品价格全部估大后算出剩余24元，估算的花费大于真实花费，因此真实剩下的钱一定多于24元，24元已超过长绳售价，由此可判定钱足够购买长绳。 【规范解答】估算总花费：3×22＋10 ＝66＋10 ＝76（元） 估算剩余钱：100－76＝24（元） 全部价格高估，实际花费更少，实际剩余钱＞24元 24元＞12.9元 所以剩余钱一定够买长绳。 4．（25-26五年级上·河北秦皇岛·期末）一年级三班25个同学合影，照六寸照片洗前6张是25.5元，另外加洗1张每张另收费5.5元，现在每人得到一张照片，平均每人需付( )元。 【答案】5.2 【思路引导】因为前6张已包含在固定费用里，要满足每人1张，加洗数量＝总照片数－6；根据“加洗费用＝加洗单价×加洗数量”，计算加洗照片的总费用；再根据“总费用＝前6张固定费用＋加洗费用”，求出总费用；最后根据“平均每人付款数＝总费用÷总人数”，计算平均每人需付的钱数。 【规范解答】25－6＝19（张） 5.5×19＋25.5 ＝104.5＋25.5 ＝130（元） 130÷25＝5.2（元） 平均每人需付5.2元。 5．（24-25五年级上·江西赣州·期末）某地的出租车在3km及以内收费11元，超过3km后每千米收费2.2元，（不足1km按1km计费），楠楠乘出租车行驶了7.4km，她应付车费( )元。 【答案】22 【思路引导】不足1km按1km计费，7.4km按8千米计费，先求出超过3km的距离，乘对应收费标准，再加上3km以内的收费即可。 【规范解答】7.4km≈8km （8－3）×2.2＋11 ＝5×2.2＋11 ＝11＋11 ＝22（元） 她应付车费22元。 6．（25-26五年级上·江西新余·期末）脱式计算，能简算的要简算。（请在第3小题补充一个数，使其有简便运算） 7800÷12.5÷8          0.25×6.4×1.25          3.8×73＋3.8×（    ） 【答案】78；2；27（答案不唯一）；380（答案不唯一） 【思路引导】7800÷12.5÷8，根据除法的性质a÷b÷c＝a÷（b×c），变成7800÷（12.5×8）使得计算简便。 0.25×6.4×1.25先写成0.25×（0.8×8）×1.25，再根据乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c），变成（0.25×8）×（8×1.25）使得计算简便。 3.8×73＋3.8×（    ）要能简便计算，这里符合乘法分配律的形式。有相同的数字3.8，所以括号里补充的数是27，和73凑成整百数。算式是3.8×73＋3.8×27根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c，变成3.8×（73＋27）使得计算简便。（答案不唯一） 【规范解答】7800÷12.5÷8 ＝7800÷（12.5×8） ＝7800÷100 ＝78 0.25×6.4×1.25 ＝0.25×（0.8×8）×1.25 ＝（0.25×0.8）×（8×1.25） ＝0.2×10 ＝2 3.8×73＋27×3.8（括号里的数不唯一） ＝3.8×（73＋27） ＝3.8×100 ＝380 （答案不唯一） 7．（26-27五年级上·北京·课后作业）小红带200元购物，买5本单价18.7元的笔记本，两盒单价29.6元的水彩笔。商店有两款书包：小号45.9元，大号62.8元。请分别用合适的估算方法判断剩余的钱能不能买小号、大号书包，最后精确计算验证。 【答案】能买小号，不能买大号 【思路引导】剩余钱数总钱数已花钱数；总价单价数量。本题先利用“四舍五入”法将小数看作整数进行估算，初步判断剩余钱数与书包价格的关系；再通过精确计算求出准确剩余钱数，最后与两款书包的单价进行比较得出结论。注意估算时，若要判断“够不够”，通常把花费往大估；若要判断“能不能买”，需结合实际情况选择估算方向，本题采用常规整数估算后需精确验证。 【规范解答】把笔记本单价元看作元，水彩笔单价元看作元。 已花钱数估算： （元） 剩余钱数估算：（元） 比较：， 估算结果显示剩余钱数可能不够买小号书包，肯定不够买大号书包。由于小号书包价格与估算剩余钱数接近，需要精确计算验证。 计算买笔记本和水彩笔的实际总费用： （元） 计算实际剩余钱数：（元） 因为，所以剩余的钱能买小号书包。 因为，所以剩余的钱不能买大号书包。 答：能买小号书包，不能买大号书包。 8．（25-26五年级上·江西宜春·期末）学校“国学社团”开展经典文化周末调研活动，同学们要和家长坐出租车去调研地点。 出租车收费标准 不超过3千米 3元 超过3千米 （不足1千米按1千米计算） 2.5元/千米 (1)小红和爸爸乘车到离家28.3千米的古城，他们应付多少钱？ (2)小文有23元，最多可以乘车多少千米？ 【答案】(1) 68元 (2) 11千米 【思路引导】（1）28.3千米＞3千米，所以小红和爸爸乘车到古城的费用＝不超过3千米的车费＋超过3千米的车费。超过3千米的车费＝超过3千米的距离×2.5元/千米。28.3－3＝25.3（千米），由题意“不足1千米按1千米计算”可得超过3千米的距离按26千米计算。 （2）23元＞3元，说明乘车距离超过3千米。所以23元最多可以乘车的距离＝3千米＋超过3千米的距离，超过3千米的距离＝（总钱数－3元）÷2.5元/千米。 【规范解答】（1）28.3－3＝25.3（千米）  根据题意“不足1千米按1千米计算”，按26千米计算。 3＋26×2.5 ＝3＋65 ＝68（元） 答：小红和爸爸乘车到离家28.3千米的古城，他们应付68元。 （2）（23－3）÷2.5 ＝20÷2.5 ＝8（千米） 3＋8＝11（千米） 答：小文有23元，最多可以乘车11千米。 9．（25-26五年级上·陕西安康·期中）下表是某市出租车收费标准。 白天（5：30~22：00） 夜间（22：00~次日5：30） 起步价（2千米及以内） 8元 10元 超过2千米的部分 （不足1千米按1千米计算） 2元/千米 2.4元/千米 司机等候费 如乘客要求司机等候，免费等候5分钟，超过的时间按照0.4元/分的标准收取等候费 （1）张阿姨14：00乘出租车去机场，她下楼时忘记带钱包让司机等候了6分钟，路上行驶了10.6千米。张阿姨应付多少元钱？ （2）张叔叔晚上10：30从公司乘出租车回家（司机未等候），花了46元，公司到张叔叔家的距离最远是多少千米？ 【答案】 （1）26.4元 （2）17千米 【思路引导】（1）张阿姨乘车时间为14：00，属于白天收费标准。行驶距离10.6千米，根据“不足1千米按1千米计算”，按11千米计费。费用包括：起步价（2千米及以内）8元；超过2千米部分为11-2＝9千米，按白天2元/千米计算；等候时间6分钟，免费等候5分钟，超时1分钟按0.4元/分收费。总费用为三部分之和。 （2）张叔叔乘车时间为22：30，属于夜间收费标准，且司机未等候，故无等候费。花费46元超过夜间起步价10元（2千米及以内），因此距离超过2千米。超出部分费用为46－10＝36元，按夜间2.4元/千米计算。超出距离为36÷2.4＝15千米，总距离为起步2千米加超出15千米。因收费按整千米计算且计算结果整除，故最远距离为17千米。 【规范解答】（1）乘车时间14：00为白天，起步价8元（2千米及以内）。 行驶距离10.6千米，不足1千米按1千米计算，故按11千米计费。 超出2千米部分：11－2＝9（千米）。 超出部分费用：9×2＝18（元）。 等候时间6分钟，免费5分钟，超时1分钟，费用：1×0.4＝0.4（元）。 总费用：8＋18＋0.4＝26.4（元）。 综合算式： 8＋（11－2）×2＋（6－5）×0.4 ＝8＋9×2＋1×0.4 ＝8＋18＋0.4 ＝26.4（元） 答：张阿姨应付26.4元。 （2）乘车时间22：30为夜间，起步价10元（2千米及以内），无等候费。 总花费46元＞10元，故距离超过2千米。 超出部分费用：46－10＝36（元）。 夜间超出部分单价2.4元/千米，超出距离：36÷2.4＝15（千米）。 总距离：2＋15＝17（千米）。 综合算式： （46－10）÷2.4＋2 ＝36÷2.4＋2 ＝15＋2 ＝17（千米） 答：公司到张叔叔家的距离最远是17千米。 【考点剖析】解决出租车收费问题，需先明确时段（区分白天/夜间），再拆分费用构成（起价费、里程费、等候费等），同时注意“不足1千米按1千米算”的取整规则，分步拆解各部分费用后汇总即可。 10．（25-26五年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）小红和妈妈从家乘出租车去图书馆，行驶路程为7.5千米。请你根据计费标准帮小红算一算，一共需要付多少元车费？ （某市出租车计价方式：） 1.3千米及以内8元。 2.超过3千米的部分1.8元/千米（不足1千米，按1千米计算）。 3.如果总路程超过3千米，每次加收1元燃油附加费。 【答案】18元 【思路引导】根据题意，先确定行驶路程7.5千米中，3千米及以内的费用为8元，超过3千米的部分按不足1千米按1千米计算，7.5－3＝4.5千米，需按5千米计算，这部分费用为5×1.8元，再加上1元燃油附加费，据此解答。 【规范解答】​超过3千米的路程：7.5−3＝4.5（千米） 按5千米计算总费用： 8＋5×1.8＋1 ＝8＋9＋1 ＝18（元） 答：一共需要付18元车费。 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $