1.2 库仑定律（讲义）物理粤教版必修第三册

本高中物理讲义聚焦库仑定律，以点电荷模型为基础，系统梳理库仑定律内容、公式及适用条件，递进讲解库仑力的矢量叠加方法，最终结合力学规律解决平衡与动力学问题，构建完整学习支架。 资料通过“知识点+随学随练+题型专项”分层设计，融入库仑扭秤实验原理培养科学思维，结合高考真题强化物理观念应用。课中辅助教师突出重难点，课后助力学生分层练习，有效查漏补缺。

第一章 静电场的描述 第2节 库仑定律 课标要点 1.理解点电荷模型，掌握库仑定律内容、公式及适用条件。 2.明确库仑力为矢量，掌握库仑力的叠加与正交分解方法。 3.能结合力学规律，解决带电体的平衡、动力学问题。 学习重难点 重点：库仑定律公式应用、库仑力的矢量合成与基础力学综合。 难点：多电荷库仑力叠加、三电荷平衡的定性判断与定量计算。 知识点 点电荷与库仑定律规律（重点） 一、核心知识点 1.点电荷模型 理想化物理模型，条件：带电体自身尺寸远小于电荷之间的距离；非点电荷不能直接使用库仑定律计算。 2.库仑力方向判断 同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引；计算力大小时只看电量数值，电性单独用来判断方向。 3.实验依据 库仑扭秤实验，采用微量放大、控制变量法，得出静电力的定量关系。 4.适用范围 仅真空、点电荷之间适用。 二、核心公式 F=k·q1q2/r² 常量：k=9×10⁹ N·m²/C² 符号说明： F：两点电荷间静电力；q₁、q₂：两个点电荷的电荷量；r：两点电荷中心间距 随学随练 1．（25-26高二上·重庆长寿·期中）下列说法正确的是（　　） A．质子的电荷量为一个元电荷，但质子是实实在在的粒子，不是元电荷 B．相互作用的两点电荷，它们的电荷量不相等，则它们之间的库仑力大小一定不相等 C．点电荷就是体积和电荷量都很小的带电体 D．根据可知，当r→0时，F→ 2．（25-26高二上·广东汕尾·期末）如图是库仑扭秤的结构图，使球A、C带上同种电荷，秤杆会因A球受力而偏转，扭转细银丝旋钮，使A回到初始位置并保持静止，记录此时的示数，即细银丝扭转的角度，该角度与A、C间的作用力大小成正比。某次实验测得扭转角度为，保持其他条件不变，将A、C两球距离调整为原来的2倍，则扭转角度变为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·北京西城·期中）两个相同的金属小球，电荷量分别为和，相距一定距离时，相互作用力大小为。若把它们接触一下后，再放回原处，它们的相互作用力大小变为（　　） A． B． C． D． 知识点 库仑力的矢量叠加特性（重点） 1.基本性质 库仑力是矢量，同时具备大小、方向，遵循矢量运算法则；多个电荷之间的作用力相互独立，互不干扰（独立作用原理）。 2.叠加核心规律 空间某点电荷受到的总静电力，等于其他各个点电荷单独对它产生库仑力的矢量和。 3.两种计算方法 ① 平行四边形定则：仅适用于两个分力合成； ② 正交分解法（通用解题方法）：建立直角坐标系，将所有库仑力分解到x、y坐标轴，分别算出x轴、y轴合力，最后再合成总合力。 4.方向判断规则 先单独判断每个电荷的引力/斥力，确定分力方向，再进行分解运算，不可直接将力的数值代数相加。 5.易错提醒 不能直接把各个库仑力大小简单相加，方向相反或垂直时，合力大小会小于分力之和。 随学随练 1．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）如图所示，A、B、C是三个相同的金属球（可视为质点），分别位于边长为的正三角形的三个顶点上，其中A球带正电荷，B球带负电荷，C球带正电荷，A球带电荷量为Q，B球带电荷量为，C球带电荷量为。静电力常量为k，则A球受到的静电力大小为（　　） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高二上·广东中山·阶段检测）如图所示，在光滑绝缘水平面上，固定有电荷量分别为+2Q和-Q的点电荷A、B，间距为L。在A、B延长线上距离B为L的位置，自由释放另一电荷量为+q的点电荷C，释放瞬间加速度为a1；将A、B接触，静电平衡后放回原处，再从相同位置自由释放C，释放瞬间加速度为a2，则（　　） A．a1的方向水平向左，a2的方向水平向右 B．a1的方向水平向右，a2的方向水平向左 C．a1与a2大小之比等于 D．a1与a2大小之比等于 3．（多选）（24-25高二上·广东东莞·期末）夸克模型是一种粒子物理学上的分类方案，在1964年由默里·盖尔曼和乔治·茨威格分别独立提出，并已成为标准模型的一部分。根据夸克模型，中子内有一个上夸克和两个下夸克，质子内有两个上夸克和一个下夸克，上夸克带电量为，下夸克带电量为，现将中子和质子的夸克模型简化为三个夸克都在半径为的同一圆周上，如图所示。下面给出的四幅图中，能正确表示出各夸克所受静电作用力的是（　　）    A．   B．   C．   D． 知识点 库仑定律的力学综合应用（难点） 一、核心知识 1.受力分析逻辑 库仑力是场力，标准分析顺序：重力→弹力（拉力/支持力）→库仑力；根据电荷正负判断引力、斥力，确定库仑力方向。 2.平衡规律 带电物体静止/匀速运动，合外力矢量和为0，正交分解后x、y方向合力均为0。 3.动力学规律 带电物体有加速度时，合外力满足牛顿第二定律 F合=ma，库仑力作为外力参与合力计算。 4.统一运算方法 库仑力与重力、拉力叠加，统一使用正交分解法计算合力。 二、两类基础题型 1.悬挂小球三力平衡题 模型：细线悬挂带电小球，重力、绳拉力、库仑力三力平衡；常求电荷间距、带电量、细线偏角。 2.水平面动力学计算题 模型：光滑水平面两点电荷，仅受库仑力，结合牛顿第二定律求加速度、分析运动状态。 三、易错提醒 1.不可直接代数相加库仑力与重力，必须矢量分解； 2.受力图务必先判断库仑力引力/斥力，画对方向再计算； 3.平衡、加速两类模型不要混淆对应的力学公式。 随学随练 1．（25-26高二上·广东惠州·期中）如图所示，带电量分别为q1、q2的A、B小球，用绝缘细线悬挂于同一点，两球静止时，它们位于同一水平面上，相距L，线与竖直方向的夹角分别为α、β，且β>α，重力加速度为g，静电力常数为k。若同时剪断两根细线，空气阻力不计，两球带电量不变，则（　　） A． B． C．落地时，B球的水平位移更大 D．落地时，A球的水平位移更大 2．（24-25高二上·河北·阶段检测）如图所示，水平天花板下方固定一光滑小定滑轮O，在定滑轮的正下方C处固定一带正电的点电荷，不带电的小球A与带正电的小球B通过跨过定滑轮的绝缘轻绳相连。开始时系统在图示位置静止，已知。若B球所带的电荷量缓慢减少（未减为零），则在B球到达O点正下方前，下列说法正确的是（　　） A．A球的质量大于B球的质量 B．B球的轨迹是一段圆弧 C．此过程中点电荷对B球的库仑力不变 D．此过程中滑轮受到轻绳的作用力逐渐减小 3．（多选）（2025·广东揭阳·模拟预测）如图所示，静置于光滑水平面上两带电物体A、B质量为和，相距为。水平恒力作用在上，同时释放A、B，A、B会一起相对静止的向右运动。当恒力大小不变，仅方向改变作用在上，改变A、B的间距，也可使A、B一起相对静止的向左运动。则下列说法正确的是（　　） A．两物体一定带异种电荷 B．作用在上时，A、B间的库仑力大小为 C．作用在上时，A、B间的库仑力大小为 D．作用在上时，A、B间的距离为 题型 共线三点电荷平衡问题 一、核心知识点 1.库仑定律公式：F=k·q1q2/r² 2.库仑力矢量独立作用原理 3.物体平衡条件：合外力=0 二、解题核心技巧 1.规律口诀：两同夹异、两大夹小、近小远大 2.分步列式：分别对中间电荷、外侧电荷列受力平衡方程 3.运算技巧：方程联立消去常量k，直接推导电量、间距比例关系 活学活用 1．（多选）（2021·湖北·高考真题）如图所示，一匀强电场E大小未知、方向水平向右。两根长度均为L的绝缘轻绳分别将小球M和N悬挂在电场中，悬点均为O。两小球质量均为m、带等量异号电荷，电荷量大小均为q（q>0）。平衡时两轻绳与竖直方向的夹角均为θ=45°。若仅将两小球的电荷量同时变为原来的2倍，两小球仍在原位置平衡。已知静电力常量为k，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．M带正电荷 B．N带正电荷 C． D． 2．（多选）（24-25高二下·广东茂名·开学考试）如图所示，所带电荷量分别为4q和-q（q>0）的小球A、B固定在水平放置的光滑绝缘细杆上，相距为d，若在杆上再套一带电小环C而处于平衡，已知带电体A、B和C均可视为点电荷，则下列说法正确的是（   ） A．小环C一定位于A、B间距小球A处 B．小环C一定位于小球B右侧d处 C．小环C一定带正电且电荷量一定满足q≤Q≤4q D．若将小环C拉离平衡位置一微小位移后由静止释放，则小环C可能会回到平衡位置 题型 带电悬挂小球动态平衡问题 一、核心知识点 1.库仑力矢量叠加、三力平衡 2.矢量三角形分析法 3.库仑力随距离平方变化的规律 二、解题核心技巧 1.固定重力大小不变，将重力、拉力、库仑力构建闭合矢量三角形 2.间距改变→库仑力大小变化，观察矢量边长变化判断力、拉力增减 3.缓慢移动视为平衡状态，全程合力始终为0 活学活用 1．（24-25高一下·四川泸州·期末）竖直墙面与水平地面均光滑且绝缘，小球A、B带同种电荷，现用水平向左推力F作用于小球B，两球分别静止在竖直墙面和水平地面上，如图所示，如果将小球B向左推动少许，当两球重新达到平衡时，与原来的平衡状态相比较（　　） A．竖直墙面对小球A的弹力变大 B．推力F变大 C．地面对小球B的支持力变大 D．两小球之间的距离变大 2．（24-25高二上·河北保定·开学考试）如图所示，带正电的小球1用绝缘细线a悬挂在水平墙壁上，带负电的小球2用绝缘细线悬挂在竖直墙壁上。两小球处于静止状态时，细线b水平，细线a与竖直方向的夹角为37°，小球1、2（均可视为点电荷）的连线与水平方向的夹角也为37°，小球1、2间的距离d=2m。已知小球1、2所带的电荷量大小分别为，静电力常量，取重力加速度大小。求： (1)小球1、2间的库仑力大小； (2)细线b上的弹力大小和小球2的质量； (3)小球1的质量。 基础通关 1．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）如图所示，在直角三角形的顶点A、分别固定有点电荷、，现将一试探电荷固定于顶点，测得所受电场力与边垂直。已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河南·一模）如图所示，空间中有一均匀带正电的绝缘球壳，P、Q为竖直直径延长线上的两点，且，为水平直径。在P点放置一质量为、电荷量为（且q极小）的小球甲，小球甲恰能静止；移走小球甲，并截除半球壳（不影响半球壳的电荷分布），在Q点放置质量为、电荷量为的小球乙，小球乙也恰能静止。重力加速度为g，则半球壳对小球甲的作用力大小为（　　）    A． B． C． D． 3．（24-25高二上·陕西渭南·期末）如图所示，真空中a、b两点分别固定电荷量均为的点电荷，c是ab中垂线上的一点，，。若在c点放置一个电荷量为的点电荷，已知静电力常量为k，则c处点电荷受到a、b两处点电荷的库仑力的合力大小为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·安徽黄山·期末）两个分别带有电荷量-2Q和+6Q的相同金属小球（均可视为点电荷）固定在间距为r的两处，它们之间库仑力的大小为F，现将两球接触后再放回原处，则两球间库仑力的大小变为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·重庆·期末）如图所示，两根轻质绝缘细线挂着两个质量相同的小球A、B。原来两球不带电，上、下两细线的拉力分别为和；现使两球带上异种电荷，此时上、下两细线的拉力分别变为和。则（　　） A．， B．， C．， D．， 6．（多选）（24-25高二上·湖南娄底·期末）如图，用两根细绳把两个带同种电荷的小球悬挂在一点，两小球静止时，在同一水平面上，悬线与竖直方向的偏角分别为α和β，α＞β。下列说法正确的是（　　） A．A对B的库仑力大于B对A的库仑力 B．A的质量小于B的质量 C．绳子对A的拉力小于绳子对B的拉力 D．A的带电量大于B的带电量 7．（24-25高一下·江苏常州·期中）如图所示，水平地面上固定一竖直的光滑绝缘细杆，一质量为、带电荷量为的圆环套在竖直杆上，质量为、带电荷量为的滑块静置于水平地面上，滑块与地面间的动摩擦因数为，、均保持静止，且两者连线与水平地面的夹角为，静电力常量为，重力加速度为，求： (1)圆环所带电荷种类； (2)圆环所受支持力和库仑力； (3)滑块所受摩擦力。 8．（25-26高二上·北京大兴·阶段检测）把质量为m的带负电的小球A用绝缘细绳吊起来，带电量QA。若将带电量QB小球B靠近A，当A静止时细绳与竖直方向间夹角为θ，两个带电体恰在同一高度。求： (1)B球带何种电荷； (2)A球所受的静电力； (3)A、B两球之间的距离是多少。 9．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图所示，A、B是两个带等量同种电荷的小球，A固定在斜面底端竖直放置的10cm长的绝缘支杆上，B静止于光滑绝缘倾角为30°的斜面上且恰与A 等高，若B的质量为，g取10m/s2。求： (1)AB之间库仑力大小； (2)B所带电荷量q。 10．（23-24高一下·云南大理·阶段检测）如图所示，把一带电荷量为的小球A用绝缘细绳悬起，若将带电荷量为的带电小球B靠近A，当两个带电小球在同一高度相距30cm时，绳与竖直方向成45°角，取，，且A、B两小球均可视为点电荷，求： （1）A、B两球间的库仑力大小； （2）细绳拉力的大小。 素养提升 1．（2023·海南·高考真题）如图所示，一光滑绝缘轨道水平放置，直径上有A、B两点，AO = 2cm，OB = 4cm，在AB固定两个带电量分别为Q1、Q2的正电荷，现有一个带正电小球静置于轨道内侧P点（小球可视为点电荷），已知AP：BP = n：1，试求Q1：Q2是多少（   ）    A．2n2：1 B．4n2：1 C．2n3：1 D．4n3：1 2．（2021·海南·高考真题）如图，V型对接的绝缘斜面M、N固定在水平面上，两斜面与水平面夹角均为，其中斜面N光滑。两个质量相同的带电小滑块P、Q分别静止在M、N上，P、Q连线垂直于斜面M，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则P与M间的动摩擦因数至少为（　　） A． B． C． D． 3．（多选）（2025·安徽·高考真题）如图，两个倾角相等、底端相连的光滑绝缘轨道被固定在竖直平面内，空间存在平行于该竖直平面水平向右的匀强电场。带正电的甲、乙小球（均可视为质点）在轨道上同一高度保持静止，间距为L，甲、乙所带电荷量分别为q、，质量分别为m、，静电力常量为k，重力加速度大小为g。甲、乙所受静电力的合力大小分别为、，匀强电场的电场强度大小为E，不计空气阻力，则（　　） A． B． C．若将甲、乙互换位置，二者仍能保持静止 D．若撤去甲，乙下滑至底端时的速度大小 4．（2025·福建·高考真题）如图，M、N、P是竖直平面内一直角三角形的三个顶点，MN在同一水平线上，。M、N点分别固定有电荷量为、的正点电荷。若一带电小球置于P点时，处于受力平衡状态，则Q1与Q2的比值为___________ ，除P点外，线段MP上___________ （填“存在”或“不存在”）该带电小球受力平衡的其他点。 5．（2025·福建宁德·三模）如图所示，光滑绝缘的轻质三角形框架OAB，OA杆竖直且O、A相距为，OB杆与OA杆夹角为，B点与A点高度相同。A点固定一带电小球，绝缘轻质弹簧一端固定于O点，另一端与套在OB杆上质量为的带电小球P相连，初始时，小球静止于OB中点且对杆无压力。现驱动该装置以OA为轴转动，使小球缓慢移动至B点，此时弹簧恰好恢复原长，此后维持角速度不变。已知重力加速度为，不计空气阻力，求： (1)初始时小球P所受的静电力大小； (2)小球到达B点后的角速度大小； (3)整个过程驱动力所做的功。 迁移创新 1．（2023·浙江台州·二模）如图所示，两个质量分别为和的带电小球A、B（可视为质点）通过一根绝缘轻绳跨放在光滑的定滑轮上（滑轮大小不计，上方用细线悬挂在天花板上），两球静止，O为滑轮正下方AB连线上的一个点。两球到O点距离分别为和，到滑轮的距离分别为和，且，细绳与竖直方向的夹角分别为和，两球电荷量分别为和。则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河北·阶段检测）一带正电的球A用绝缘细线悬挂在О点，另一带正电的球B固定在О点正下方的水平地面上，在静电力的作用下，细线偏离竖直方向，球A处于平衡状态。两球均可视为点电荷。若球A的电荷量缓慢减小为原来的，则在此过程中（　　） A．细线的拉力逐渐变大 B．细线的拉力减小为原来的 C．A、B之间的静电力逐渐减小 D．A、B之间的距离减小为原来的 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 静电场的描述 第2节 库仑定律 课标要点 1.理解点电荷模型，掌握库仑定律内容、公式及适用条件。 2.明确库仑力为矢量，掌握库仑力的叠加与正交分解方法。 3.能结合力学规律，解决带电体的平衡、动力学问题。 学习重难点 重点：库仑定律公式应用、库仑力的矢量合成与基础力学综合。 难点：多电荷库仑力叠加、三电荷平衡的定性判断与定量计算。 知识点 点电荷与库仑定律规律（重点） 一、核心知识点 1.点电荷模型 理想化物理模型，条件：带电体自身尺寸远小于电荷之间的距离；非点电荷不能直接使用库仑定律计算。 2.库仑力方向判断 同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引；计算力大小时只看电量数值，电性单独用来判断方向。 3.实验依据 库仑扭秤实验，采用微量放大、控制变量法，得出静电力的定量关系。 4.适用范围 仅真空、点电荷之间适用。 二、核心公式 F=k·q1q2/r² 常量：k=9×10⁹ N·m²/C² 符号说明： F：两点电荷间静电力；q₁、q₂：两个点电荷的电荷量；r：两点电荷中心间距 随学随练 1．（25-26高二上·重庆长寿·期中）下列说法正确的是（　　） A．质子的电荷量为一个元电荷，但质子是实实在在的粒子，不是元电荷 B．相互作用的两点电荷，它们的电荷量不相等，则它们之间的库仑力大小一定不相等 C．点电荷就是体积和电荷量都很小的带电体 D．根据可知，当r→0时，F→ 【答案】A 【详解】A．一个质子所带的电荷量是元电荷，但质子本身不是元电荷，A正确； B．根据牛顿第三定律，两电荷间的库仑力是一对相互作用力，大小相等，B错误； C．点电荷的定义取决于研究问题中带电体的形状和大小是否可忽略，而非实际体积或电荷量的大小，C错误； D．当时，带电体不能当作点电荷对待，库仑定律不适用，D错误。 故选A。 2．（25-26高二上·广东汕尾·期末）如图是库仑扭秤的结构图，使球A、C带上同种电荷，秤杆会因A球受力而偏转，扭转细银丝旋钮，使A回到初始位置并保持静止，记录此时的示数，即细银丝扭转的角度，该角度与A、C间的作用力大小成正比。某次实验测得扭转角度为，保持其他条件不变，将A、C两球距离调整为原来的2倍，则扭转角度变为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据库仑定律 可知，当保持其他条件不变，将A、C两球距离调整为原来的2倍，则电荷间的库仑力变为原来的，由于，因此扭转角度变为。 故选B。 3．（25-26高二上·北京西城·期中）两个相同的金属小球，电荷量分别为和，相距一定距离时，相互作用力大小为。若把它们接触一下后，再放回原处，它们的相互作用力大小变为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】接触前，两小球电荷量分别为 和 ，相互作用力大小为库仑力： 。接触后，两相同金属小球电荷先中和后均分：总电荷量为 均分后每个小球带电荷 。放回原处后，相互作用力大小为： 。 故 。 故选B。 知识点 库仑力的矢量叠加特性（重点） 1.基本性质 库仑力是矢量，同时具备大小、方向，遵循矢量运算法则；多个电荷之间的作用力相互独立，互不干扰（独立作用原理）。 2.叠加核心规律 空间某点电荷受到的总静电力，等于其他各个点电荷单独对它产生库仑力的矢量和。 3.两种计算方法 ① 平行四边形定则：仅适用于两个分力合成； ② 正交分解法（通用解题方法）：建立直角坐标系，将所有库仑力分解到x、y坐标轴，分别算出x轴、y轴合力，最后再合成总合力。 4.方向判断规则 先单独判断每个电荷的引力/斥力，确定分力方向，再进行分解运算，不可直接将力的数值代数相加。 5.易错提醒 不能直接把各个库仑力大小简单相加，方向相反或垂直时，合力大小会小于分力之和。 随学随练 1．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）如图所示，A、B、C是三个相同的金属球（可视为质点），分别位于边长为的正三角形的三个顶点上，其中A球带正电荷，B球带负电荷，C球带正电荷，A球带电荷量为Q，B球带电荷量为，C球带电荷量为。静电力常量为k，则A球受到的静电力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据库仑定律AB间有引力 AC两球间有斥力，受力图如图所示 由题意知，，A球所受静电力 解得 ，D正确。 故选D。 2．（多选）（25-26高二上·广东中山·阶段检测）如图所示，在光滑绝缘水平面上，固定有电荷量分别为+2Q和-Q的点电荷A、B，间距为L。在A、B延长线上距离B为L的位置，自由释放另一电荷量为+q的点电荷C，释放瞬间加速度为a1；将A、B接触，静电平衡后放回原处，再从相同位置自由释放C，释放瞬间加速度为a2，则（　　） A．a1的方向水平向左，a2的方向水平向右 B．a1的方向水平向右，a2的方向水平向左 C．a1与a2大小之比等于 D．a1与a2大小之比等于 【答案】AC 【详解】在A、B接触前，由于B、C的吸引力大于A、C的排斥力，所以a1的方向水平向左，根据库仑定律和牛顿第二定律可得 在A、B接触后，点电荷A、B的电荷量先中和再平分，二者所带电荷量均为，由于A、B都带正电，所以C受到的都是排斥力，则a2的方向水平向右，根据库仑定律和牛顿第二定律可得 联立两式可得，a1与a2大小之比为 故选AC。 3．（多选）（24-25高二上·广东东莞·期末）夸克模型是一种粒子物理学上的分类方案，在1964年由默里·盖尔曼和乔治·茨威格分别独立提出，并已成为标准模型的一部分。根据夸克模型，中子内有一个上夸克和两个下夸克，质子内有两个上夸克和一个下夸克，上夸克带电量为，下夸克带电量为，现将中子和质子的夸克模型简化为三个夸克都在半径为的同一圆周上，如图所示。下面给出的四幅图中，能正确表示出各夸克所受静电作用力的是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】BC 【详解】AB．中子的三个夸克都在半径为r的同一圆周，形成了等边三角形，电荷量为的下夸克受到另一个电荷量为的下夸克的库仑斥力和电荷量为的上夸克库仑引力。 根据库仑定律得 根据力的合成得和的合力方向竖直向上，据对称性另一个下夸克受静电作用力的方向也是竖直向上，故A错误，B正确； CD．同上述分析，由力的合成可知质子中所受的静电力的合力向下，受的静电力合力斜向外，故D错误，C正确； 故选BC。 知识点 库仑定律的力学综合应用（难点） 一、核心知识 1.受力分析逻辑 库仑力是场力，标准分析顺序：重力→弹力（拉力/支持力）→库仑力；根据电荷正负判断引力、斥力，确定库仑力方向。 2.平衡规律 带电物体静止/匀速运动，合外力矢量和为0，正交分解后x、y方向合力均为0。 3.动力学规律 带电物体有加速度时，合外力满足牛顿第二定律 F合=ma，库仑力作为外力参与合力计算。 4.统一运算方法 库仑力与重力、拉力叠加，统一使用正交分解法计算合力。 二、两类基础题型 1.悬挂小球三力平衡题 模型：细线悬挂带电小球，重力、绳拉力、库仑力三力平衡；常求电荷间距、带电量、细线偏角。 2.水平面动力学计算题 模型：光滑水平面两点电荷，仅受库仑力，结合牛顿第二定律求加速度、分析运动状态。 三、易错提醒 1.不可直接代数相加库仑力与重力，必须矢量分解； 2.受力图务必先判断库仑力引力/斥力，画对方向再计算； 3.平衡、加速两类模型不要混淆对应的力学公式。 随学随练 1．（25-26高二上·广东惠州·期中）如图所示，带电量分别为q1、q2的A、B小球，用绝缘细线悬挂于同一点，两球静止时，它们位于同一水平面上，相距L，线与竖直方向的夹角分别为α、β，且β>α，重力加速度为g，静电力常数为k。若同时剪断两根细线，空气阻力不计，两球带电量不变，则（　　） A． B． C．落地时，B球的水平位移更大 D．落地时，A球的水平位移更大 【答案】C 【详解】AB．两球之间的库仑力是相互作用力，则总是等大反向；剪断细线前对A球分析可知 同理对B分析可知 因β>α可得，但不能确定q1、q2的关系，AB错误； CD．剪断细线后，两球在竖直方向均做自由落体运动，则落地时间相等；水平方向做变加速运动，根据，可知B的平均加速度较大，则根据可知，落地时B球的水平位移更大，C正确，D错误。 故选C。 2．（24-25高二上·河北·阶段检测）如图所示，水平天花板下方固定一光滑小定滑轮O，在定滑轮的正下方C处固定一带正电的点电荷，不带电的小球A与带正电的小球B通过跨过定滑轮的绝缘轻绳相连。开始时系统在图示位置静止，已知。若B球所带的电荷量缓慢减少（未减为零），则在B球到达O点正下方前，下列说法正确的是（　　） A．A球的质量大于B球的质量 B．B球的轨迹是一段圆弧 C．此过程中点电荷对B球的库仑力不变 D．此过程中滑轮受到轻绳的作用力逐渐减小 【答案】B 【详解】对球进行受力分析，B球受到轻绳的拉力、重力和库仑力，由相似三角形可知 （定值） 其中 整理各式得 （定值） A．由于，因此 A错误； B．由不变，可知不变，故球的轨迹是一段圆弧，B正确； C．由于减小，可知也减小，此过程中球所受库仑力减小且方向改变，C错误； D．滑轮受到的轻绳的作用力大小均为，大小不变，由于减小，可知两绳夹角减小，所以滑轮受到两绳的合力增大，D错误。 故选B。 3．（多选）（2025·广东揭阳·模拟预测）如图所示，静置于光滑水平面上两带电物体A、B质量为和，相距为。水平恒力作用在上，同时释放A、B，A、B会一起相对静止的向右运动。当恒力大小不变，仅方向改变作用在上，改变A、B的间距，也可使A、B一起相对静止的向左运动。则下列说法正确的是（　　） A．两物体一定带异种电荷 B．作用在上时，A、B间的库仑力大小为 C．作用在上时，A、B间的库仑力大小为 D．作用在上时，A、B间的距离为 【答案】ABD 【详解】A．因B随A一起向右运动，可知A、B间的库仑力为引力，A、B一定带异种电荷，故A正确 B．对A、B构成的整体进行分析，由牛顿第二定律有 对进行分析有 解得，故B正确； C．恒力作用在B上，对进行分析有 解得，故C错误； D．由库仑力公式有， 结合上述解得，故D正确。 故选ABD。 题型 共线三点电荷平衡问题 一、核心知识点 1.库仑定律公式：F=k·q1q2/r² 2.库仑力矢量独立作用原理 3.物体平衡条件：合外力=0 二、解题核心技巧 1.规律口诀：两同夹异、两大夹小、近小远大 2.分步列式：分别对中间电荷、外侧电荷列受力平衡方程 3.运算技巧：方程联立消去常量k，直接推导电量、间距比例关系 活学活用 1．（多选）（2021·湖北·高考真题）如图所示，一匀强电场E大小未知、方向水平向右。两根长度均为L的绝缘轻绳分别将小球M和N悬挂在电场中，悬点均为O。两小球质量均为m、带等量异号电荷，电荷量大小均为q（q>0）。平衡时两轻绳与竖直方向的夹角均为θ=45°。若仅将两小球的电荷量同时变为原来的2倍，两小球仍在原位置平衡。已知静电力常量为k，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．M带正电荷 B．N带正电荷 C． D． 【答案】BC 【分析】本题考查库仑定律、受力分析以及共点力的平衡。 【详解】AB．由题图可知，对小球M受力分析如图（a）所示，对小球N受力分析如图（b）所示，由受力分析图可知小球M带负电，小球N带正电，故B正确，A错误； CD．由几何关系可知，两小球之间的距离为 当两小球的电荷量为q时，由力的平衡条件得 两小球的电荷量同时变为原来的2倍后，由力的平衡条件得 整理解得 故C正确，D错误。 故选BC。 2．（多选）（24-25高二下·广东茂名·开学考试）如图所示，所带电荷量分别为4q和-q（q>0）的小球A、B固定在水平放置的光滑绝缘细杆上，相距为d，若在杆上再套一带电小环C而处于平衡，已知带电体A、B和C均可视为点电荷，则下列说法正确的是（   ） A．小环C一定位于A、B间距小球A处 B．小环C一定位于小球B右侧d处 C．小环C一定带正电且电荷量一定满足q≤Q≤4q D．若将小环C拉离平衡位置一微小位移后由静止释放，则小环C可能会回到平衡位置 【答案】BD 【详解】ABC．小环C不能在AB间处于平衡，因为在AB间所受库仑力指向同一个方向，也不能处于A的左侧，因为在A的左侧受到的库仑力大于B对它的库仑力，不能平衡，所以小环C处于B球的右侧。根据平衡有 解得 由于AB固定，C球可能带正电也可能带负电，故AC错误，B正确； D．若小环C带正电，将小环C拉离平衡位置一微小位移后由静止释放，则小球受合力方向与位移方向相同，则继续同向运动，所以不能回到平衡位置；若小环C带负电，将小环C拉离平衡位置一微小位移后由静止释放，则小球受合力方向与位移方向相反，则能回到平衡位置，故D正确。 故选BD。 题型 带电悬挂小球动态平衡问题 一、核心知识点 1.库仑力矢量叠加、三力平衡 2.矢量三角形分析法 3.库仑力随距离平方变化的规律 二、解题核心技巧 1.固定重力大小不变，将重力、拉力、库仑力构建闭合矢量三角形 2.间距改变→库仑力大小变化，观察矢量边长变化判断力、拉力增减 3.缓慢移动视为平衡状态，全程合力始终为0 活学活用 1．（24-25高一下·四川泸州·期末）竖直墙面与水平地面均光滑且绝缘，小球A、B带同种电荷，现用水平向左推力F作用于小球B，两球分别静止在竖直墙面和水平地面上，如图所示，如果将小球B向左推动少许，当两球重新达到平衡时，与原来的平衡状态相比较（　　） A．竖直墙面对小球A的弹力变大 B．推力F变大 C．地面对小球B的支持力变大 D．两小球之间的距离变大 【答案】D 【详解】AD．以A球为研究对象，分析受力，如图1所示 设B对A的库仑力与墙壁的夹角为，由平衡条件可得竖直墙面对小球A的弹力 将小球B向左推动少许时，减小，则竖直墙面对小球A的弹力减小； 库仑力 减小，增大，减小，根据库仑定律分析可知，两球之间的距离增大，故A错误，D正确； BC．再以AB整体为研究对象，分析受力如图2所示 由平衡条件可得， 由上述分析可知，减小，则F减小，而地面对小球B的支持力一定不变，故BC错误。 故选D。 2．（24-25高二上·河北保定·开学考试）如图所示，带正电的小球1用绝缘细线a悬挂在水平墙壁上，带负电的小球2用绝缘细线悬挂在竖直墙壁上。两小球处于静止状态时，细线b水平，细线a与竖直方向的夹角为37°，小球1、2（均可视为点电荷）的连线与水平方向的夹角也为37°，小球1、2间的距离d=2m。已知小球1、2所带的电荷量大小分别为，静电力常量，取重力加速度大小。求： (1)小球1、2间的库仑力大小； (2)细线b上的弹力大小和小球2的质量； (3)小球1的质量。 【答案】(1)45N (2)36N，2.7kg (3)2.1kg 【详解】（1）根据库仑定律有 解得 （2）对小球2受力分析，水平方向上有 竖直方向上有 解得， （3）将小球1、2作为整体受力分析，有 解得m1=2.1kg 基础通关 1．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）如图所示，在直角三角形的顶点A、分别固定有点电荷、，现将一试探电荷固定于顶点，测得所受电场力与边垂直。已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据电荷受到的电场力方向，可以判断出点电荷、对的电场力分别为和，如图所示 根据库仑定律，有， 根据几何关系 可知，则有 联立可得 故选B。 2．（2025·河南·一模）如图所示，空间中有一均匀带正电的绝缘球壳，P、Q为竖直直径延长线上的两点，且，为水平直径。在P点放置一质量为、电荷量为（且q极小）的小球甲，小球甲恰能静止；移走小球甲，并截除半球壳（不影响半球壳的电荷分布），在Q点放置质量为、电荷量为的小球乙，小球乙也恰能静止。重力加速度为g，则半球壳对小球甲的作用力大小为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】截除ABC前，设半球壳ABC对甲球的作用力大小为，ADC对甲球的作用力大小为，则 移走ABC后，根据位置关系可知，ADC对乙球的作用力大小与ABC对甲球的作用力大小相等，即 则 故选A。 3．（24-25高二上·陕西渭南·期末）如图所示，真空中a、b两点分别固定电荷量均为的点电荷，c是ab中垂线上的一点，，。若在c点放置一个电荷量为的点电荷，已知静电力常量为k，则c处点电荷受到a、b两处点电荷的库仑力的合力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据力的矢量合成可知 故选A。 4．（24-25高二上·安徽黄山·期末）两个分别带有电荷量-2Q和+6Q的相同金属小球（均可视为点电荷）固定在间距为r的两处，它们之间库仑力的大小为F，现将两球接触后再放回原处，则两球间库仑力的大小变为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据库仑定律有 两球接触后再放回原处，小球所带电荷量 根据库仑定律有 解得 故选D。 5．（24-25高二上·重庆·期末）如图所示，两根轻质绝缘细线挂着两个质量相同的小球A、B。原来两球不带电，上、下两细线的拉力分别为和；现使两球带上异种电荷，此时上、下两细线的拉力分别变为和。则（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】设两球质量均为m，两球不带电时，根据两球整体受力平衡有 根据B球受力平衡有 两球带上异种电荷时，设两球间的库仑力大小为F，根据两球整体受力平衡有 根据B球受力平衡有 解得 所以， 故选A。 6．（多选）（24-25高二上·湖南娄底·期末）如图，用两根细绳把两个带同种电荷的小球悬挂在一点，两小球静止时，在同一水平面上，悬线与竖直方向的偏角分别为α和β，α＞β。下列说法正确的是（　　） A．A对B的库仑力大于B对A的库仑力 B．A的质量小于B的质量 C．绳子对A的拉力小于绳子对B的拉力 D．A的带电量大于B的带电量 【答案】BC 【详解】AD．两球之间的库仑斥力属于作用力和反作用力，大小相等，方向相反，根据库仑定律，可知无法确定两小球的电量大小，故AD错误； B．两个小球均受重力、库仑斥力F和拉力T，根据平衡条件有， 根据题有α＞β，则有 即 可得 故B正确； C．对两小球，根据平衡条件有， 根据题有α＞β，则有 即 可得 故C正确。 故选BC。 7．（24-25高一下·江苏常州·期中）如图所示，水平地面上固定一竖直的光滑绝缘细杆，一质量为、带电荷量为的圆环套在竖直杆上，质量为、带电荷量为的滑块静置于水平地面上，滑块与地面间的动摩擦因数为，、均保持静止，且两者连线与水平地面的夹角为，静电力常量为，重力加速度为，求： (1)圆环所带电荷种类； (2)圆环所受支持力和库仑力； (3)滑块所受摩擦力。 【答案】(1)圆环带正电 (2)，方向水平向右；，方向由b指向a (3)，方向水平向左 【详解】（1）圆环a能保持静止，根据平衡条件可知圆环a受到滑块b的库仑斥力，所以圆环a与滑块b带同种电荷，则圆环带正电。 （2）圆环a的受力分析如图所示 根据平衡条件可得， 可得圆环a所受支持力大小为 方向水平向右；圆环a所受库仑力大小为 方向由b指向a。 （3）以滑块b为对象，根据受力平衡可得滑块b所受摩擦力大小为 方向水平向左。 8．（25-26高二上·北京大兴·阶段检测）把质量为m的带负电的小球A用绝缘细绳吊起来，带电量QA。若将带电量QB小球B靠近A，当A静止时细绳与竖直方向间夹角为θ，两个带电体恰在同一高度。求： (1)B球带何种电荷； (2)A球所受的静电力； (3)A、B两球之间的距离是多少。 【答案】(1)B球带正电 (2)，方向水平向右 (3) 【详解】（1）AB两球相互吸引，A带负电，故B球带正电； （2）对A受力分析可知，A受重力、拉力、静电力，则有 静电力的方向水平向右； （3）根据库仑定律有 解得 9．（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图所示，A、B是两个带等量同种电荷的小球，A固定在斜面底端竖直放置的10cm长的绝缘支杆上，B静止于光滑绝缘倾角为30°的斜面上且恰与A 等高，若B的质量为，g取10m/s2。求： (1)AB之间库仑力大小； (2)B所带电荷量q。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）以B为对象，沿斜面方向根据受力平衡可得 代入数据解得AB之间库仑力大小为 （2）根据几何关系可知，AB之间的距离为 根据库仑定律可得 代入数据解得B所带电荷量为 10．（23-24高一下·云南大理·阶段检测）如图所示，把一带电荷量为的小球A用绝缘细绳悬起，若将带电荷量为的带电小球B靠近A，当两个带电小球在同一高度相距30cm时，绳与竖直方向成45°角，取，，且A、B两小球均可视为点电荷，求： （1）A、B两球间的库仑力大小； （2）细绳拉力的大小。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）A、B间的库仑力大小 （2）小球A受力如图所示 由平衡条件 解得A球所受拉力 素养提升 1．（2023·海南·高考真题）如图所示，一光滑绝缘轨道水平放置，直径上有A、B两点，AO = 2cm，OB = 4cm，在AB固定两个带电量分别为Q1、Q2的正电荷，现有一个带正电小球静置于轨道内侧P点（小球可视为点电荷），已知AP：BP = n：1，试求Q1：Q2是多少（   ）    A．2n2：1 B．4n2：1 C．2n3：1 D．4n3：1 【答案】C 【详解】对小球受力分析如图所示    由正弦定理有 其中 ∠CPH = ∠OPB，∠CHP = ∠HPD = ∠APO 其中△APO中 同理有 其中 ， 联立有 Q1：Q2= 2n3：1 故选C。 2．（2021·海南·高考真题）如图，V型对接的绝缘斜面M、N固定在水平面上，两斜面与水平面夹角均为，其中斜面N光滑。两个质量相同的带电小滑块P、Q分别静止在M、N上，P、Q连线垂直于斜面M，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则P与M间的动摩擦因数至少为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】滑块Q在光滑斜面N上静止，则P与Q带电同性，两者之间为库仑斥力设为F，两滑块的受力分析和角度关系如图所示 对Q物体在沿着斜面方向有 可得 而对P物体动摩擦因数最小时有 联立解得 故选D。 3．（多选）（2025·安徽·高考真题）如图，两个倾角相等、底端相连的光滑绝缘轨道被固定在竖直平面内，空间存在平行于该竖直平面水平向右的匀强电场。带正电的甲、乙小球（均可视为质点）在轨道上同一高度保持静止，间距为L，甲、乙所带电荷量分别为q、，质量分别为m、，静电力常量为k，重力加速度大小为g。甲、乙所受静电力的合力大小分别为、，匀强电场的电场强度大小为E，不计空气阻力，则（　　） A． B． C．若将甲、乙互换位置，二者仍能保持静止 D．若撤去甲，乙下滑至底端时的速度大小 【答案】ABD 【详解】AB．如图，对两球进行受力分析，设两球间的库仑力大小为F，倾角为，对甲球根据平衡条件有，① 对乙球有， 联立解得② 故 同时有 解得 故AB正确； C．若将甲、乙互换位置，若二者仍能保持静止，同理可得对甲有， 对乙有， 联立可得，无解 假设不成立，故C错误； D．若撤去甲，对乙球根据动能定理 根据前面分析由①②可知 联立解得 故D正确。 故选ABD。 4．（2025·福建·高考真题）如图，M、N、P是竖直平面内一直角三角形的三个顶点，MN在同一水平线上，。M、N点分别固定有电荷量为、的正点电荷。若一带电小球置于P点时，处于受力平衡状态，则Q1与Q2的比值为___________ ，除P点外，线段MP上___________ （填“存在”或“不存在”）该带电小球受力平衡的其他点。 【答案】 不存在 【详解】[1]根据几何关系设，对检验电荷进行受力分析，可得 其中， 联立解得 [2]如图 根据平衡条件可知检验电荷受到的重力和两点电荷对其的库仑力组成一个封闭的三角形，若在PQ1连线上存在其它点能让同一检验电荷维持平衡状态，此时点电荷对检验电荷的库仑力变大，根据三角形法则可知此时点电荷对检验电荷的库仑力必然增大；由于此时检验电荷与点电荷间的距离在增大，库仑力在减小，故矛盾，假设不成立，故在PQ1连线上不存在其它点能让同一检验电荷维持平衡状态。 四、解答题 5．（2025·福建宁德·三模）如图所示，光滑绝缘的轻质三角形框架OAB，OA杆竖直且O、A相距为，OB杆与OA杆夹角为，B点与A点高度相同。A点固定一带电小球，绝缘轻质弹簧一端固定于O点，另一端与套在OB杆上质量为的带电小球P相连，初始时，小球静止于OB中点且对杆无压力。现驱动该装置以OA为轴转动，使小球缓慢移动至B点，此时弹簧恰好恢复原长，此后维持角速度不变。已知重力加速度为，不计空气阻力，求： (1)初始时小球P所受的静电力大小； (2)小球到达B点后的角速度大小； (3)整个过程驱动力所做的功。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）方法1：小球受到弹簧弹力F、库仑力、重力mg而平衡，如图 几何关系可知 由平衡条件有 联立解得 方法2：对小球，由平衡条件有， 联立解得 （2）方法1：设此时库仑力为，杆对球弹力为N，如图 几何关系可知AB=AP，故 由牛顿第二定律有 且 联立解得 方法2：由牛顿第二定律有 几何关系可知 联立解得 （3）小球做周运动的速度大小为 解法一：根据动能定理 联立解得 解法二：由功能关系得 解得 解法三：由功能关系得 且  ，，   联立解得 迁移创新 1．（2023·浙江台州·二模）如图所示，两个质量分别为和的带电小球A、B（可视为质点）通过一根绝缘轻绳跨放在光滑的定滑轮上（滑轮大小不计，上方用细线悬挂在天花板上），两球静止，O为滑轮正下方AB连线上的一个点。两球到O点距离分别为和，到滑轮的距离分别为和，且，细绳与竖直方向的夹角分别为和，两球电荷量分别为和。则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A．由于两球的电场力是相互作用力，故无法比较两球电荷量的大小，A错误； B．绳子上的力处处相等，对绳子跨过定滑轮的节点受力分析可知 且 所以 B错误； CD．对两球受力可知，根据相似三角形 可得 故C错误，D正确。 故选D。 2．（24-25高三上·河北·阶段检测）一带正电的球A用绝缘细线悬挂在О点，另一带正电的球B固定在О点正下方的水平地面上，在静电力的作用下，细线偏离竖直方向，球A处于平衡状态。两球均可视为点电荷。若球A的电荷量缓慢减小为原来的，则在此过程中（　　） A．细线的拉力逐渐变大 B．细线的拉力减小为原来的 C．A、B之间的静电力逐渐减小 D．A、B之间的距离减小为原来的 【答案】C 【详解】AB．设A、B的电荷量为，两球之间的距离为，球B与悬点之间的距离为，绳长为，两球之间的库仑力为，细线的拉力为，对小球A受力分析如图 结合三角形相似得 由库仑定律可得 联立两式可得 由上式可知，其中均为定值，所以当球A的电荷量缓慢减小为原来的，逐渐减小，又由相似比可得 故拉力保持不变，故AB错误； C．又由相似比可得 当逐渐减小，拉力静电力逐渐减小，故C正确； D．由两球之间的距离为表达式，球A的电荷量缓慢减小为原来的可得 故D错误。 故选C。 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $