奥数培优专题13 定义新运算与逻辑推理 讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“定义新运算与逻辑推理”核心专题，系统梳理定义新运算（规则理解、含括号运算、反求未知数）和逻辑推理（排除法、列表法、假设法、真假话问题、逻辑计数）知识点，通过知识体系全景梳理表搭建从基础概念到解题方法的学习支架。 资料以“知识梳理-方法提炼-例题精讲-易错警示-分层精练”为设计逻辑，通过符号化思想培养抽象能力（数学眼光），矛盾分析与假设验证发展推理意识（数学思维），规则代入与分步计算强化模型意识（数学语言），课中辅助教师高效授课，课后助力学生分层巩固、查漏补缺。

专题十三 定义新运算与逻辑推理 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、奥数思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：定义新运算的规则理解与应用 3 考点二：逻辑推理的基本方法 4 考点三：真假话问题 6 考点四：逻辑计数问题 7 第三部分 易错避坑指南 8 易错点 1：定义新运算随意套用运算律 8 易错点 2：逻辑推理遗漏隐含条件 9 易错点 3：真假话找错矛盾关系 9 易错点 4：逻辑计数分类标准不统一 9 易错点 5：新运算括号顺序搞错 9 第四部分 分层进阶专题精练 10 一、基础夯实篇（8 题） 10 二、能力进阶篇（7 题） 10 三、思维跃迁篇（5 题） 11 第五部分 精准解析 13 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题是人教版七年级上册代数与逻辑拓展的奥数培优内容，核心是 “自定义运算规则应用与逻辑推理方法”，依托定义新运算、基础逻辑方法、真假话推理、逻辑计数四大考点，掌握符号化运算、假设验证、矛盾分析、有序计数等核心能力，培养严谨的逻辑思维与代数迁移能力。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 定义新运算 自定义符号的运算规则、含括号的运算、反求未知数 规则代入法、分步计算法 混淆运算顺序；随意套用常规运算律（交换律、结合律） 逻辑推理基本方法 排除法、列表法、假设法的应用场景与操作步骤 排除筛选法、表格梳理法、假设验证法 忽略隐含约束条件；假设起点错误导致推理混乱 真假话问题 矛盾型真假话、半真半假型推理 矛盾突破法、假设验证法 找错矛盾关系；忽略 “只有一真 / 只有一假” 的前提 逻辑计数问题 搭配计数、比赛计数、路径计数的逻辑分类 分类枚举法、加法 / 乘法原理 分类标准不统一，出现重复计数或遗漏 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 规则代入法 定义新运算基础题 读懂新运算规则→替换字母代入数值→按四则运算计算 先懂规则，再代数值，按序计算 排除法 元素对应类推理 根据条件逐一排除不可能选项→锁定正确答案 读条件，排错误，剩最后，就是对 列表法 多元素多条件推理 画表格行列对应元素→根据条件打√打 ×→梳理关系 画表格，定对应，逐项填，理清楚 矛盾突破法 真假话问题 找互相矛盾的两句话→必有一真一假→结合真假数量判断其余 找矛盾，定真假，看其余，速解题 分类计数法 逻辑计数问题 按统一标准分类→每类分别计数→累加求和 分类清，不重复，不遗漏，加总数 三、奥数思维提升 1. 符号化思想：自定义规则的代数迁移 核心要点：用特殊符号定义新的运算规则，本质是将代数式用新符号简化表达，解题核心是严格按照规则转化为常规四则运算。 示例：规定，求，本质就是把 a 换成 3、b 换成 4，代入代数式计算。 2. 演绎推理思想：从条件到结论的严谨推导 核心要点：从已知条件出发，依据逻辑规则逐步推导，每一步都有依据，最终得出必然成立的结论，是逻辑推理的核心思想。 示例：已知 “甲比教师年龄大，乙和教师不同岁”，可演绎推出 “甲、乙都不是教师，因此丙是教师”。 3. 矛盾分析思想：真假话的快速破题 核心要点：互相矛盾的两个命题必然一真一假，利用这一特性可快速锁定真假话问题的突破口，缩小判断范围。 示例：甲说 “是乙做的”，乙说 “不是我做的”，两人的话互相矛盾，必定一真一假。 4. 分类讨论思想：多情形的有序排查 核心要点：当存在多种可能情况时，按照统一标准分类，逐一假设验证，排除不符合条件的情况，最终确定正确结论。 示例：真假话问题中，分别假设每个人说真话，验证是否符合 “只有一人说真话” 的约束。 5. 有序计数思想：不重不漏的逻辑计数 核心要点：逻辑计数不是盲目数，而是按分类标准有序枚举，结合加法原理、乘法原理，确保计数结果准确无遗漏。 示例：搭配问题分步骤选上衣和裤子，用乘法原理直接计算总搭配数。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：定义新运算的规则理解与应用 典型例题 1（基础型）—— 直接代入计算 题目：规定新运算 “△”：，求的值。 解题步骤： ① 明确规则：符号前的数是 a，符号后的数是 b，代入计算； ② 替换数值：，； ③ 计算：。 【答案】 【知识点睛】定义新运算核心是严格遵循给定规则，将新符号转化为常规四则运算，注意字母与数值的对应关系。 典型例题 2（提高型）—— 反求未知数 题目：规定新运算 “*”：，已知，求 x 的值。 解题步骤： ① 根据规则替换：，，因此； ② 列方程：； ③ 解方程得：。 【答案】 【知识点睛】已知新运算结果反求未知数，先按规则转化为常规一元一次方程，再解方程即可。 典型例题 3（奥数型）—— 含括号的复合运算 题目：规定新运算 “⊕”：，若，求 x 的值。 解题步骤： ① 有括号先算括号内，先计算： ； ② 再算外层：，代入规则： ； ③ 列方程：； ④ 解得：，。 【答案】 【知识点睛】含括号的新运算，和四则运算顺序一致，先算括号内，再算括号外，分步转化逐步计算。 考点二：逻辑推理的基本方法 典型例题 1（基础型）—— 排除法解职业对应 题目：甲、乙、丙三人分别是教师、医生、司机。已知：①甲不是教师；②乙不是医生；③丙既不是教师也不是司机。下列判断正确的是（ ） A. 甲是司机 B. 乙是教师 C. 丙是医生 D. 乙是司机 解题步骤： ① 根据条件③：丙既不是教师也不是司机，因此丙只能是医生； ② 根据条件①：甲不是教师，且丙是医生，因此甲只能是司机； ③ 剩下乙就是教师； ④ 验证：甲司机、乙教师、丙医生，符合所有条件。 【答案】 【知识点睛】排除法是逻辑推理的基础，根据条件逐一排除不可能的选项，最终锁定正确答案。 典型例题 2（提高型）—— 列表法解比赛排名 题目：甲、乙、丙、丁四人进行百米赛跑，名次各不相同。已知：①甲不是第一名也不是第四名；②乙不是第一名；③丙不是第二名也不是第四名；④丁比丙名次靠前。请排出四人的名次。 解题步骤： ① 画表格，行对应人，列对应名次，用 × 表示排除，√表示确定： 第1名 第2名 第3名 第4名 甲 × × 乙 × 丙 × × 丁 ② 第一名排除甲、乙、丙，因此丁是第一名； ③ 丁比丙名次靠前，且丙不是第四，因此丙只能是第三名； ④ 甲不是第四，因此甲是第二名，剩下乙是第四名； ⑤ 最终名次：丁第 1，甲第 2，丙第 3，乙第 4。 【答案】第一名丁，第二名甲，第三名丙，第四名乙 【知识点睛】多条件多元素的推理题，用列表法可清晰梳理对应关系，避免混乱，逐步推导结论。 典型例题 3（奥数型）—— 假设法解复杂推理 题目：A、B、C、D、E 五位同学比赛象棋，每两人只赛一盘。已知 A 赛了 4 盘，B 赛了 3 盘，C 赛了 2 盘，D 赛了 1 盘，问 E 赛了几盘？ 解题步骤： ① 5 人单循环，每人最多赛 4 盘；A 赛了 4 盘，说明 A 和 B、C、D、E 都赛过； ② D 只赛了 1 盘，说明 D 只和 A 赛过，没和其他人赛； ③ B 赛了 3 盘，D 没和 B 赛，因此 B 和 A、C、E 赛过； ④ C 赛了 2 盘，就是和 A、B 赛的，没和 E 赛； ⑤ 综上，E 和 A、B 赛过，共 2 盘。 【答案】盘 【知识点睛】比赛类推理，可通过画图连线辅助分析，从比赛最多和最少的两端入手，逐步推导中间状态。 考点三：真假话问题 典型例题 1（基础型）—— 矛盾型真假话 题目：甲、乙两人中有一人说真话，一人说假话。甲说：“乙说的是假话。” 乙说：“今天是星期五。” 已知今天确实是星期五，判断谁说真话。 解题步骤： ① 找矛盾：甲和乙的话存在关联，若乙说真话，则甲说假话；若乙说假话，则甲说真话；② 已知今天是星期五，因此乙说的是真话； ③ 验证：乙真话，甲说 “乙说假话” 就是假话，符合一真一假。 【答案】乙说真话 【知识点睛】真假话问题优先找矛盾关系，互相矛盾的两句话必然一真一假，再结合已知条件判断。 典型例题 2（提高型）—— 三人真假话 题目：甲、乙、丙三人中只有一人会开车。甲说：“我会开车。” 乙说：“我不会开车。” 丙说：“甲不会开车。” 三人中只有一人说真话，请问谁会开车？ 解题步骤： ① 找矛盾：甲和丙的话互相矛盾，必然一真一假； ② 三人只有一人说真话，因此真话在甲、丙中，乙说的一定是假话； ③ 乙说 “我不会开车” 是假话，因此乙会开车； ④ 验证：乙会开车，甲假话、乙假话、丙真话，符合 “只有一人说真话”。 【答案】乙会开车 【知识点睛】“只有一真” 的真假话问题，找到矛盾后即可确定其余全为假，快速推出结论。 典型例题 3（奥数型）—— 半真半假型推理 题目：甲、乙、丙三人猜比赛名次，每人说两句话，且每人都只说对了一半。甲说：“A 第一名，B 第二名。”乙说：“C 第一名，D 第三名。”丙说：“D 第二名，A 第三名。” 请判断正确的名次。 解题步骤： ① 假设甲前半句对：A 第一名；则丙后半句 “A 第三名” 错，因此丙前半句对：D 第二名；则乙后半句 “D 第三名” 错，因此乙前半句对：C 第一名；出现 A 和 C 都是第一名，矛盾，假设不成立； ② 因此甲后半句对：B 第二名；则丙前半句 “D 第二名” 错，丙后半句对：A 第三名；则乙后半句 “D 第三名” 错，乙前半句对：C 第一名；剩下 D 第四名，无矛盾，假设成立。 【答案】第一名 C，第二名 B，第三名 A，第四名 D 【知识点睛】半真半假问题用假设法，假设其中一句为真，推导无矛盾则成立，出现矛盾则假设错误，另一句为真。 考点四：逻辑计数问题 典型例题 1（基础型）—— 搭配计数 题目：有 3 件不同的上衣和 2 条不同的裤子，选一件上衣和一条裤子搭配，共有多少种不同的搭配方式？ 解题步骤： ① 选上衣有 3 种选择，选裤子有 2 种选择； ② 每件上衣都可以搭配 2 条裤子，因此总搭配数：种。 【答案】种 【知识点睛】分步完成的计数问题，用乘法原理：总方法数 = 各步方法数相乘。 典型例题 2（提高型）—— 单循环比赛计数 题目：七年级 6 个班进行篮球单循环比赛（每两个班赛一场），一共要进行多少场比赛？ 解题步骤： ① 每个班要和其余 5 个班各赛一场，6 个班共场； ② 每场比赛被两个班各计算一次，重复了 2 倍； ③ 总场次：场。 【答案】场 【知识点睛】单循环比赛计数公式：n 个队伍，总场次为，和线段计数公式一致。 典型例题 3（奥数型）—— 分类路径计数 题目：从甲地到乙地有 3 条路，从乙地到丙地有 2 条路；从甲地直接到丙地有 2 条路。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？ 解题步骤： ① 分两类走法：经乙地中转、直接到丙地； ② 经乙地中转：分步乘法，种；③ 直接到丙地：2 种； ④ 总走法：种。 【答案】种 【知识点睛】分类计数用加法原理，分步计数用乘法原理，复杂问题先分类、再分步，不重不漏。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：定义新运算随意套用运算律 错误示例：认为满足交换律，得出。 正确分析：新运算不一定满足交换律、结合律，必须严格按规则计算，不能默认套用常规运算律。 修正方法：遇到交换顺序的题目，分别按规则计算两边结果，再判断是否相等，不主观臆断。 易错点 2：逻辑推理遗漏隐含条件 错误示例：比赛排名问题忽略 “名次各不相同” 的隐含约束，推出矛盾结果。 正确分析：逻辑题很多约束是隐含的，比如 “每人一个职业”“名次不重复”，都是推理的重要依据。 修正方法：读题时先梳理所有约束条件，包括明确给出的和隐含的，推理时逐句验证。 易错点 3：真假话找错矛盾关系 错误示例：甲说 “是乙”，丙说 “是丁”，误以为两人矛盾，必然一真一假。 正确分析：矛盾关系是指 “非此即彼”，两个命题不能同真也不能同假；“是乙” 和 “是丁” 可以同假，不是矛盾。 修正方法：只有 “A” 和 “非 A” 才是必然矛盾，比如 “是乙” 和 “不是乙” 才是矛盾关系。 易错点 4：逻辑计数分类标准不统一 错误示例：计数时既按路线分又按交通方式分，分类交叉，出现重复计数。 正确分析：分类计数必须按同一标准划分，各类之间互斥、无重叠、无遗漏。 修正方法：计数前先确定分类标准，确保每一种情况只属于一类，累加前检查是否重复或遗漏。 易错点 5：新运算括号顺序搞错 错误示例：计算，先算再算括号外，搞错运算顺序。 正确分析：定义新运算和四则运算规则一致，有括号先算括号内，再算括号外。 修正方法：遇到复合新运算，先标清括号，从内到外分步计算，不跳步。 第四部分 分层进阶专题精练 一、基础夯实篇（8 题） 1. 规定，则____________。 2. 规定，若，则____________。 3. 小红、小丽、小芳分别喜欢画画、唱歌、跳舞。小红不喜欢画画，小丽不喜欢唱歌，小芳既不喜欢画画也不喜欢跳舞。喜欢唱歌的是____________。 4. 4 个好朋友见面，每两人握一次手，一共握手________次。 5. 甲乙两人只有一人说真话。甲说：“我没拿笔。” 乙说：“笔在甲那里。” 说真话的是____________。 6. 从 2 种主食和 3 种配菜中选一份主食一份配菜，共有________种搭配。 7. 规定，则____________。 8. 有 3 个球，分别是红、黄、蓝，甲说：“第一个是红的，第二个是蓝的。” 乙说：“第一个是黄的，第二个是红的。” 丙说：“第一个是蓝的，第三个是红的。” 三人都只说对了一半，第二个球是________色。 二、能力进阶篇（7 题） 9. 规定新运算：，计算的值。 10. 甲、乙、丙、丁四人比身高，已知乙不是最高，但比甲、丁高，甲不比丁高。请按从高到矮排序。 11. 5 名同学进行乒乓球单循环比赛，一共要比赛多少场？ 12. 某班有 40 人，会游泳的有 26 人，会骑自行车的有 30 人，每人至少会一样，两样都会的有多少人？ 13. 四名嫌疑人中只有一人是小偷，审讯时：甲说：“我不是小偷。”乙说：“丁是小偷。”丙说：“乙是小偷。”丁说：“我不是小偷。”四人中只有一人说真话，判断谁是小偷。 14. 规定，若，求 x 的值。 15. 从 1 到 10 的整数中，任取两个数相加，和为偶数的取法共有多少种？ 三、思维跃迁篇（5 题） 16. 规定：，，，…… 计算的值。 17. 甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，赛后猜测名次：甲说：“丙第一，我第三。”乙说：“我第一，丁第四。”丙说：“丁第二，我第三。”结果每人都只猜对了一半，求四人的真实名次。 18. 平面上 5 条直线，最多有多少个交点？最多把平面分成多少部分？ 19. 有三个盒子，分别装着两个红球、两个白球、一红一白。盒子外面的标签全贴错了，最少打开几个盒子，就能确定三个盒子分别装的是什么？ 20. 一列数按 “2，0，2，6，2，0，2，6……” 循环排列，第 2026 个数是多少？前 2026 个数的和是多少？ 第五部分 精准解析 一、基础夯实篇解析 1.【答案】 解题步骤： 。 【知识点睛】定义新运算直接代入计算。 2.【答案】 解题步骤： ，解得。 【知识点睛】已知结果反求未知数，转化为方程求解。 3.【答案】 解题步骤： ① 根据条件 “小芳既不喜欢画画也不喜欢跳舞”，可直接推出小芳喜欢唱歌； ② 剩余爱好为画画、跳舞，小红不喜欢画画，因此小红喜欢跳舞； ③ 剩下小丽对应喜欢画画，验证所有条件均成立。 【知识点睛】排除法推理，先确定信息最多的对象。 4.【答案】 解题步骤： 次。 【知识点睛】握手问题即单循环计数。 5.【答案】 解题步骤： 甲乙两人的话矛盾，一真一假；笔在甲那里，因此乙说真话。 【知识点睛】矛盾型真假话判断。 6.【答案】 解题步骤： 种。 【知识点睛】搭配问题乘法原理应用。 7.【答案】 解题步骤： 。 【知识点睛】带括号的新运算规则代入。 8.【答案】 解题步骤： 假设甲前半句对，推出矛盾；因此甲后半句对，第二个是蓝色。 【知识点睛】半真半假型假设推理。 二、能力进阶篇解析 9.【答案】 解题步骤： ① 有括号先算括号内，根据规则计算：； ② 再计算外层运算：。 【知识点睛】含括号的复合新运算，从内到外分步计算，严格遵循给定运算规则。 10.【答案】 解题步骤： ① 乙不是最高，但比甲、丁高→乙第二，最高的是丙； ② 甲不比丁高→丁比甲高；③ 排序：丙、乙、丁、甲。 【知识点睛】排序类逻辑推理，逐步确定位置。 11.【答案】场 解题步骤： 场。 【知识点睛】单循环比赛计数公式。 12.【答案】人 解题步骤： ① 会游泳 + 会骑车 = 人； ② 重复计算了两样都会的，因此两样都会 = 人。 【知识点睛】容斥原理基础应用。 13.【答案】是小偷 解题步骤： ① 乙和丁的话矛盾，一真一假； ② 只有一人说真话，因此甲、丙都说假话； ③ 甲说 “我不是小偷” 是假话，因此甲是小偷。 【知识点睛】四人真假话，找矛盾突破。 14.【答案】 解题步骤： ，，。 【知识点睛】新运算反求未知数。 15.【答案】种 解题步骤： ① 和为偶数，需两个奇数或两个偶数；1 到 10 有 5 个奇数、5 个偶数； ② 奇数取法：种；偶数取法：10 种； ③ 共种。 【知识点睛】分类计数加法原理。 三、思维跃迁篇解析 16.【答案】 解题步骤： 。 【知识点睛】阶乘新运算定义，约分简化计算。 17.【答案】第一名乙，第二名丁，第三名甲，第四名丙 解题步骤： ① 假设甲前半句对 “丙第一”，则乙前半句错，后半句对 “丁第四”； ② 丙说 “丁第二” 错，“我第三” 对，即丙第三，和 “丙第一” 矛盾，假设不成立； ③ 因此甲后半句对 “甲第三”；丙前半句对 “丁第二”； ④ 乙后半句错，前半句对 “乙第一”；剩下丙第四。 【知识点睛】多人半真半假推理，假设验证排除矛盾。 18.【答案】个交点；部分 解题步骤： ① 交点：个； ② 平面分割：部分。 【知识点睛】直线交点与平面分割规律公式。 19.【答案】个 解题步骤： ① 标签全错，贴 “一红一白” 的盒子里一定是同色，打开它即可确定； ② 若里面是两个红球，则贴 “两白” 的是一红一白，贴 “两红” 的是两白； ③ 因此最少打开 1 个。 【知识点睛】标签全错的逻辑推理，从矛盾标签入手。 20.【答案】第 2026 个数是；和是 解题步骤： ① 周期为 4：2、0、2、6，单个周期内数字和为 ； ② 余 2，对应周期第 2 个数，因此第 2026 个数是 0； ③ 前 2026 个数包含 506 个完整周期加周期内前 2 个数，总和为：。 【知识点睛】周期数列计数与求和，先确定周期长度，再通过余数定位对应位置，累加完整周期和剩余部分得到总和。 1 学科网（北京）股份有限公司 $