暑假收心卷02（范围：新教材人教版九年级数学上册全部一元二次方程、二次函数、旋转、圆、直线与圆的位置关系）

**基本信息** 聚焦九年级上册一元二次方程、二次函数等核心知识，通过足球联赛、喷水装置等现实情境，分层设计基础巩固与综合应用试题，适配暑假收心检测与中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|旋转的对称性、圆的位置关系等|第1题结合图形考查空间观念，第6题以楚超联赛为背景体现应用意识| |填空|6/18|二次函数最值、圆锥母线计算等|第11题考查根与系数关系及抽象能力，第14题结合正方形与抛物线提升推理能力| |解答|8/72|方程求解、圆的切线证明、动态二次函数等|第18题以喷水装置建立函数模型，第24题动点问题综合考查模型意识与创新思维|

暑假收心卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 训练范围：新教材，人教版九年级上册全部一元二次方程、二次函数、旋转、圆、直线与圆的位置关系。 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D． 3．对于抛物线，以下说法正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 4．已知的半径为，的半径为，且，则与位置关系是（     ） A．内含 B．相交 C．相切 D．相离 5．已知点，在反比例函数的图象上，则，满足（    ） A． B． C． D． 6．2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（     ） A． B． C． D． 7．如图，是的外接圆，连接、．若为等边三角形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 8．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 9．如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边，，与的切点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 10．如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 12．如图，圆锥的侧面展开图的弧长为，若该圆锥的高为12，则该圆锥母线的长为_________． 13．如图，在平面直角坐标系中，两个反比例函数和在第二象限内的图象依次为，．已知点P在上，点A，B在上，且轴，轴，则四边形的面积为____． 14．如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 15．如图，正五边形的边长为10，连接，以为直径作，与交于点，与的延长线交于点，则阴影部分扇形的面积为__________． 16．如图，将反比例函数（，）的图象绕点 顺时针旋转，旋转后的图象与 轴交于点，则_________． 三、解答题（本题共8小题，共72分） 17．解方程： (1)； (2)． 18．某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 19．如图，用一个半径为，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥不计损耗）．    (1)求扇形的圆心角的度数； (2)求圆锥的底面半径． 20．如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为． (1)求证：是的切线． (2)若，，求图中阴影部分的面积． 21．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是，点A的坐标是，连接．将绕点A逆时针旋转得到，反比例函数的图象经过点D，与 交于点E，连接，，． (1)求反比例函数的表达式． (2)求的面积． 22．如图，中，，是边上一点，以为半径作，分别与，交于，两点，与相切于点，连接，． (1)求证：； (2)试用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论． 23．如图，有一个亭子，它的地基是半径为的正六边形． (1)求该地基的周长； (2)求该地基的面积（结果保留根号形式）； (3)若正六边形的半径用表示，写出正六边形的面积与之间的函数关系式． 24．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，对称轴是直线．动点M以每秒1个单位长度的速度，沿x轴从点O向点B运动，设运动时间为t（）秒，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，当t为何值时，四边形为平行四边形； (3)动点M开始运动时，另一动点Q同时以每秒0.5个单位长度的速度，沿x轴从点O向点A运动．当t为何值时，四边形的面积最大，并求最大面积． 11 / 11 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∴将点坐标代入解析式得：，， 由变形得， 又∵， ∴， 移项得． 6．2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵共有支球队参赛，单循环赛制要求每两支球队之间比赛场， ∴每支球队需要和除自身外的支球队各比赛场， 又∵每一场比赛会被两支球队重复计算次，需要去掉重复计数， ∴总比赛场数为， 已知总比赛场数为场， ∴可列方程． 7．如图，是的外接圆，连接、．若为等边三角形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴． 8．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 根的判别式满足，其中二次项系数，常数项， 代入得，， 整理得，， 解得，． 9．如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边，，与的切点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【点睛】 解：如图，连接，． ∵点M，N，F分别是边，，与的切点， ∴，， ∴， ∵正五边形中， ∴， ∴． 10．如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 【答案】B 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则. 顶点的坐标为， 对称轴为直线，即， ，即，故A错误； 设抛物线的解析式为 . 令，得，即抛物线与轴的交点坐标为. 由图象可知，抛物线与轴的交点在轴上方且在的下方， ， 解得，故B正确； 根据图象得：当时，取得最大值为：， 对任意实数，， ∴，故C错误； ∵对称轴为， ∴，， 当时，两点到对称轴的距离相等，，故D错误． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 【答案】 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根， ， 解得， 由根与系数的关系得：，， ， ， 随的增大而减小， 当取最大值时，取得最小值， 代入得，最小值为． 12．如图，圆锥的侧面展开图的弧长为，若该圆锥的高为12，则该圆锥母线的长为_________． 【答案】 【详解】解：设， ∵圆锥的侧面展开图的弧长为， ∴该圆锥的底面圆的周长为， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得． 13．如图，在平面直角坐标系中，两个反比例函数和在第二象限内的图象依次为，．已知点P在上，点A，B在上，且轴，轴，则四边形的面积为____． 【答案】4 【详解】解：如图， 由反比例函数比例系数的几何意义可得， ∴四边形的面积为． 14．如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 【答案】5 【详解】解：， ∴顶点为， ∵四边形为正方形，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴， 将点代入，则， 整理得，， 解得，（舍）， ∴． 15．如图，正五边形的边长为10，连接，以为直径作，与交于点，与的延长线交于点，则阴影部分扇形的面积为__________． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵在正五边形中， ∴，， ∴， ∵为的直径， ∴，， ∴， ∴． ∴． 16．如图，将反比例函数（，）的图象绕点 顺时针旋转，旋转后的图象与 轴交于点，则_________． 【答案】 【详解】解：如图，作出点旋转前的对应点 ，， ∵， ∴， 过点 作轴于点 ， ∴， ∴， 把代入，得． 三、解答题（本题共8小题，共72分） 17．解方程： (1)； (2)． 【详解】（1）解：， ， ，， ∴； （2）解：， ， ， ， ，， ∴． 18．某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 【详解】（1）解：由题可得，点的坐标为，该抛物线的顶点为， 设该抛物线的顶点式为， 把点代入得，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：令得， 两边同时乘以得， 因式分解得， 解得，， 点的坐标为， 水柱落地点与雕塑的水平距离为． 19．如图，用一个半径为，面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥不计损耗）．    (1)求扇形的圆心角的度数； (2)求圆锥的底面半径． 【详解】（1）解：设扇形的圆心角的度数为， 则， 解得， 答：扇形圆心角的度数为； （2）解：侧面积为，母线长为， ， ， 答：圆锥的底面半径为． 20．如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为． (1)求证：是的切线． (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) 证明：如图，连接，则， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线． （2）解：如图，连接， 是的直径， ， ， ，， ， ， ， 在中，， ，解得舍负， ，， 是等边三角形，， ， ∴图中阴影部分的面积． 21．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是，点A的坐标是，连接．将绕点A逆时针旋转得到，反比例函数的图象经过点D，与 交于点E，连接，，． (1)求反比例函数的表达式． (2)求的面积． 【详解】（1）解：由题意，得，． 由旋转的性质，可知，，． 延长 交x轴正半轴于点F，如图，则四边形为正方形． ∴点D的坐标为，即． ∵反比例函数的图象经过点D， ∴． ∴反比例函数的表达式为． （2）解：将代入，得， ∴点E的坐标为． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∵， ， ∴； 22．如图，中，，是边上一点，以为半径作，分别与，交于，两点，与相切于点，连接，． (1)求证：； (2)试用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴ ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴； (2)， 证明：如图，连接，过点作于点， ∴ 由（1）可得 又∵ ∴ ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴，即 23．如图，有一个亭子，它的地基是半径为的正六边形． (1)求该地基的周长； (2)求该地基的面积（结果保留根号形式）； (3)若正六边形的半径用表示，写出正六边形的面积与之间的函数关系式． 【详解】（1）解：连接、； 六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， 正六边形的周长； （2）解：过作于， 是等边三角形，， ， 于， ， 在中，由勾股定理， ， ； （3）解：是等边三角形，， ， 于， ， 在中，由勾股定理， ， ． 24．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，对称轴是直线．动点M以每秒1个单位长度的速度，沿x轴从点O向点B运动，设运动时间为t（）秒，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，当t为何值时，四边形为平行四边形； (3)动点M开始运动时，另一动点Q同时以每秒0.5个单位长度的速度，沿x轴从点O向点A运动．当t为何值时，四边形的面积最大，并求最大面积． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，，对称轴是直线， ∴， 解得， ∴； （2）解：设直线的解析式为，把代入得， ， 解得． ∴． ∵， ∴， 当时，， ∴． ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． ∵过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P， ∴设，， ∴， 解得， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴； （3）解：由题意，得，则， 由（2）得，． ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，四边形的面积最大，最大面积为． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $