第10讲反比例函数的图象和性质（知识点+题型精讲）2026-2027学年人教版九年级数学上册暑假预习讲义

第10讲反比例函数的图象和性质 目录 知识点1 反比例函数图象基本特征 2 知识点2 k值与图象象限、增减性的关系 2 知识点3 反比例函数图象三大对称性 2 知识点4 比例系数k的几何意义（核心重难点） 3 知识点5 反比例函数解析式求解方法 3 题型1 判断（画）反比例函数图象 3 题型2 已知反比例函数的图象，判断其解析式 5 题型3 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 6 题型4 已知双曲线分布的象限，求参数范围 7 题型5 判断反比例函数的增减性 8 题型6 判断反比例函数图象所在的象限 8 题型7 已知反比例函数的增减性求参数 9 题型8 比较反比例函数值或自变量的大小 10 题型9 已知比例系数求特殊图形的面积 10 题型10 根据图形面积求比例系数（解析式） 12 题型11 求反比例函数解析式 13 1. 知识目标：掌握反比例函数图象的形状、画法与基本特征；熟记比例系数k的几何意义、图象象限分布、增减性、对称性等核心性质；掌握反比例函数解析式的求解方法，理解k值与图象、面积、增减性的关联规律。 2. 能力目标：能独立绘制、判断反比例函数图象；能根据图象、象限、增减性求解参数范围；熟练利用函数对称性求点坐标、比较函数值大小；掌握反比例函数与几何图形面积结合的正反双向计算，熟练求解函数解析式。 3. 素养目标：建立数形结合核心思想，培养图象识图、性质推理、几何转化、参数分类讨论的能力，攻克反比例函数图象与几何面积综合基础题型。 知识点1 反比例函数图象基本特征 反比例函数 的图象叫做双曲线，由两支互不相交的曲线组成；图象无限靠近坐标轴，永远不与x轴、y轴相交。 图象分布：图象不过原点，无顶点、无端点，两支图象关于原点、直线、直线对称。 知识点2 k值与图象象限、增减性的关系 1. 当 时：双曲线分布在第一、三象限；在每个象限内， 随 的增大而减小。 2. 当 时：双曲线分布在第二、四象限；在每个象限内， 随 的增大而增大。 必考易错：增减性必须强调“在每个象限内”，不能说整个定义域内单调增减。 知识点3 反比例函数图象三大对称性 1. 中心对称：关于原点中心对称，若点在图象上，则点也在图象上； 2. 轴对称1：关于直线 对称，若点在图象上，则点也在图象上； 3. 轴对称2：关于直线 对称，若点在图象上，则点也在图象上。 知识点4 比例系数k的几何意义（核心重难点） 过双曲线上任意一点，作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积 ； 过双曲线上任意一点，作任一坐标轴的垂线，连接原点，所得直角三角形的面积 ； 核心规律：同一反比例函数，任意点对应的矩形、三角形面积恒定，与点的位置无关。 知识点5 反比例函数解析式求解方法 待定系数法：设 ，代入图象上任意一个点的坐标，求出，即可确定解析式，只需一个点即可求解。 题型1 判断（画）反比例函数图象 解题技巧：1. 形状判断：反比例函数图象为双曲线，两支曲线、不与坐标轴相交，排除直线、抛物线图形；2. 位置判断：根据k正负快速锁定象限；3. 作图步骤：列表、描点、平滑曲线连线，左右各画一支；4. 规范要点：曲线平滑、无限靠近坐标轴、不触碰坐标轴、对称分布。 易错提醒：禁止画成折线、直线、封闭图形，两支图象独立不相连。 【典例1】．反比例函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．函数的大致图像为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．反比例函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式3】．表示关系式；；的图象依次是（   ） A．①②③ B．③①② C．②③① D．②①③ 题型2 已知反比例函数的图象，判断其解析式 解题技巧：1. 定符号：根据图象所在象限，判断k的正负；一三象限k>0，二四象限k<0；2. 找点取值：选取图象上坐标为整数的点；3. 计算k值：利用计算比例系数；4. 匹配选项：结合k的正负、数值大小锁定解析式。 【典例2】．反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A．6 B．10 C． D． 【变式1】．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可以为（   ） A． B． C． D．2 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B．1 C．2 D．6 【变式3】．如图，点P在反比例函数的图像上，过点P作轴，垂足为H，连接，如果的面积为3，那么这个反比例函数的表达式为_____________． 题型3 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 解题技巧（三对称秒杀法）：1. 原点对称：已知，对称点为；2. 直线y=x对称：已知，对称点为；3. 直线y=-x对称：已知，对称点为；4. 所有对称点均在双曲线上，无需代入验证，可直接口算。 【典例3】．如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．在同一坐标系内，反比例函数的图象与反比例函数的图象（k为常数）具有以下对称性：既关于x轴，又关于y轴成轴对称，那么k的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式3】．如图，在平面直角坐标系中，经过坐标原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，点在反比例函数的图像上． （1）的值为________． （2）若，，则的值为________． 题型4 已知双曲线分布的象限，求参数范围 解题技巧：1. 一三象限分布：直接列不等式，解出参数取值范围；2. 二四象限分布：直接列不等式，解出参数取值范围；3. 含参数解析式：先整理出k的代数式，再根据象限列不等式求解；4. 必查隐含条件：反比例函数始终满足 。 【典例4】．如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．若反比例函数 的图像在第二、四象限，则一次函数的图像经过 （    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【变式2】．反比例函数的图象位于第一、第三象限，写出一个符合条件的的值是______． 【变式3】．如果反比例函数的图像位于第一、三象限，那么________．（只需写一个数值） 题型5 判断反比例函数的增减性 解题技巧：1. 先看k值正负：，象限内y随x增大而减小；，象限内y随x增大而增大；2. 严格限定范围：增减性仅在同一象限内成立，跨象限不适用；3. 文字判断题：出现“全体实数范围内单调增减”直接判错。 核心口诀：k正象限递减，k负象限递增，跨象限不比较。 【典例5】．已知，，三点都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【变式1】．酒精会麻痹人的神经系统，酒后驾车极易造成重大交通事故，我国法律严厉禁止酒驾、醉驾行为．在交通执法中，呼气式酒精检测仪是排查酒驾的常用设备，它内部利用了特殊的气敏电阻——酒精气体传感器．这类电阻的阻值会跟随空气中酒精气体的浓度变化而变化，其阻值与呼气酒精浓度之间的关系如图所示．下列说法中不正确的是（     ） A．当时， B．随的增大而减小 C．是的函数 D．图中曲线是反比例函数的图象 【变式2】．已知点、在反比例函数的图像上，且，那么_______（填“”或“”或“”） 【变式3】．已知点，都在反比例函数的图象上，比较与的大小：__________． 题型6 判断反比例函数图象所在的象限 解题技巧：1. 最简判定：只看k的正负，无需计算复杂数值；2. ：第一、三象限；3. ：第二、四象限；4. 含参数题型：先化简求出k的正负，再判定象限，无需精准求参数值。 【典例6】．关于反比例函数，下列说法错误的是（     ）． A．点，均在其图象上 B．函数图象在第二、四象限 C．若，则x的取值范围是 D．该函数图象上有两点，，若，则 【变式1】．关于反比例函数，说法错误的是（    ） A．图象分布在二、四象限 B．图象关于原点中心对称 C．当时，y随x增大而增大 D．当时， 【变式2】．如果反比例函数（是常数）的图像在第二、四象限，那么的值是__________． 【变式3】．已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是________（用“”连接）． 题型7 已知反比例函数的增减性求参数 解题技巧：1. 增减性反向推k值：象限内递减→；象限内递增→；2. 列出含参数不等式，求解参数取值范围；3. 兜底检验：保证原式为反比例函数，满足 、自变量次数为-1；4. 多条件题型：结合象限、增减性双重条件锁定范围。 【典例7】．在反比例函数图象的任意一支上，都随的增大而减小，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．在反比例函数的图象上有两点和，若，则的取值范围是（     ） A．且 B． C．或 D．或 【变式2】．已知y是关于x的反比例函数，当时，函数y随自变量x的增大而增大，请写出一个符合条件的m的值_________． 【变式3】．已知、两点在反比例函数的图像上，且，则的取值范围为__________． 题型8 比较反比例函数值或自变量的大小 解题技巧（分类比较法）：1. 同象限点：利用增减性直接比较大小；2. 跨象限点：一三象限k>0，正数值大于负数值；二四象限k<0，正数永远大于负数；3. 无图题型：先判断各点所在象限，再分层比较；4. 万能方法：代入数值直接计算函数值，精准对比不出错。 【典例8】．已知点，都在反比例函数的图象上，，则、、0的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．已知反比例函数的图像上有两点、，如果，那么_____________（填“>”、“=”或“<”）． 【变式3】．已知，是反比例函数 图象上的两个点，则___________0（用“>”“<”或“=”填空）． 题型9 已知比例系数求特殊图形的面积 解题技巧（k几何意义秒杀）：1. 坐标轴垂线矩形面积：；2. 坐标轴垂线直角三角形面积：；3. 组合图形：拆分多个基础矩形、三角形，利用|k|叠加求解；4. 无需找点、无需计算坐标，直接套用公式口算。 【典例9】．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，点C、D在x轴上．若四边形为矩形，则它的面积为（     ） A．6 B．8 C．12 D．16 【变式1】．现有甲、乙两款电压不同的蓄电池，蓄电池的电压都为定值，使用蓄电池时，电流，（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它们的图象如图所示．平行于轴的直线分别交两图象于点，．过点，分别作轴的垂线，垂足为，，则图中阴影部分的面积表示的实际意义是（    ） A．经过用电器的电流的差值 B．两款蓄电池的电压的差值 C．当经过用电器的电流相同时的电阻的差值 D．当用电器的电阻相同时的电流的差值 【变式2】．如图，点A，B分别为反比例函数与图象上的点，轴，点P在x轴上，连接、，则的面积为______． 【变式3】．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，与反比例函数的图象交于点D．若，则k的值为__________． 题型10 根据图形面积求比例系数（解析式） 解题技巧（面积反推k值）：1. 已知矩形面积：；2. 已知三角形面积：；3. 定符号：根据图象所在象限判断k正负，去掉绝对值；4. 写出解析式：将k值代入 即可。 高频易错：忘记根据象限判断k的正负，导致解析式符号错误。 【典例10】．如图，已知点在反比例函数的图象上，轴于点，点在轴上，的面积为2，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、在轴的负半轴上，且，顶点在函数（）的图象上，在边上取点使，的延长线与轴的负半轴交于点，连结．若的面积为18，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【变式2】．如图，的边交反比例函数的图象于点，且，点，，在坐标轴上，已知的面积为16，则的值为________． 【变式3】．如图，在平面直角坐标系中，两点在反比例函数的图象上，延长交轴于点，且是第二象限一点，且，若的面积是6，则的值为_______． 题型11 求反比例函数解析式 解题技巧（待定系数法四步通解）：1. 设：设反比例函数解析式 ；2. 代：将图象上已知点坐标代入解析式；3. 求：根据 算出k的值；4. 写：将k回代，写出完整函数解析式；5. 拓展：利用面积、对称性、图象特征间接找点，再求解解析式。 【典例11】．已知反比例函数的图象过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，点A为反比例函数图象上一点，线段于点C，交反比例函数图象于点D，连接，线段经过点A，且A为线段的中点，若的面积是15，则________ ． 【变式2】．已知反比例函数的图象经过点，． (1)求该反比例函数的表达式    (2)若，为（1）中反比例函数图象上的两个不同点，且，求证：． 【变式3】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，连接，． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)求的面积． 1．在同一直角坐标系中，函数与 的图象大致是（     ） A．   B．    C．    D．    2．如图所示的图象，对应的函数解析式可能是（    ）    A． B． C． D． 3．反比例函数的图象如图所示，以下结论正确的是（　　） ①常数 ；②随的增大而减小；③若为轴上一点， 为反比例函数图象上一点，则；④若点 在图象上，则点也在图象上． A．①②③ B．①③④ C．①②③④ D．①④ 4．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，B两点．若点A的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值可以是（   ） A．1 B． C．3 D．4 6．已知反比例函数的图象如图所示，m的值可以是（    ） A． B． C． D．1 7．对于反比例函数，下列结论正确的是（     ） A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当时， D．y随x的增大而减小 8．函数与在同一坐标系内的图象大致为图中的（     ） A． B． C． D． 9．已知反比例函数中，随的增大而减小，则点关于轴的对称点在（    ）象限 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．根据图1所示的程序框图，得到了与的函数图象如图2所示，若是轴正半轴上任意一点，过点作轴交函数图象于点，，连接，，则下列结论正确的是（） A．的面积为 B．时， C．时，随的增大而增大 D．可能等于 11．图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节电阻来控制电流实现灯光亮度的变化．电流（单位：）与电阻（单位：）之间成反比例函数关系，其图象如图2所示．当时，该台灯的电阻是___________． 12．已知直线y=kx与双曲线y=的一个交点的横坐标是2，则另一个交点坐标是_____． 13．已知反比例函数，当时，的取值范围是____________． 14．若点，都在反比例函数（m为常数）的图象上，则与的大小关系为________．（填“”“”或“”） 15．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，且，的取值范围是____________． 16．已知点，在反比例函数（为常数）的图象上，则与的大小关系是______． 17． 如图为一次函数的图象，它与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数的表达式． (2)在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象，并直接写出当时，的取值范围． (3)连接， ，求出的面积． 18．小明在自主探究活动中遇到这样一个问题：探究函数的图象与性质． 下面是小明根据学习函数的经验，对问题进行探究的过程，请你帮助小明补充完整． (1)函数自变量的取值范围是__________； (2)小明取了几组的值，并求出了相对应的值，填写在下表中， … 1 2 3 4 5 … … 6 3 2 … 那么，__________； (3)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (4)写出此函数一条性质： ________________________________________________________________________________________； (5)正比例函数与相交于点，（点在点的左侧），已知点，直接写出点的坐标__________． 19．如图所示是常见的手动打气筒，打气筒的充气次数与气筒内直径（对应“粗筒”“细筒”）存在关联：当充气总量（固定气量，如给一辆自行车轮胎充至标准胎压、给1个气球充至饱满）不变时，气筒内直径越大（单次充气量越大），所需充气次数越少；气筒内直径越小（单次充气量越小），所需充气次数越多某实验小组对同一固定气量的气球进行充气测试，记录了气筒内直径L（单位：）与充气次数F（单位：次）的对应数据如表所示： 气筒内直径 2 3 5 6 充气次数F/次 15 10 6 5 根据以上信息，解答下列问题： (1)若使用内直径L为的打气筒给该固定气量的气球充气，所需充气次数F为_______次； (2)在已学过的函数中选择合适的模型，求F关于L的表达式，并在已给的平面直角坐标系中画出F与L的函数图象； (3)根据函数图象，描述当时，F随L的变化规律． 20．如图，反比例函数与一次函数的图象相交于，两点．点C是反比例函数第一象限图象上的一个动点，过点C作x轴的平行线交反比例函数的图象上一点D，过点C作轴于点E． (1)根据图象的对称性，可知A点坐标为　 　，B点坐标为　 　； (2)求反比例函数解析式； (3)求的面积． 21．综合与实践：函数增减性的探究与应用 【阅读材料】 我们学习过，一次函数的图象是一条直线． 当时，图象从左向右上升，随的增大而增大； 当时，图象从左向右下降，随的增大而减小． 我们可以用“作差法”来证明这个性质： 设，对应的函数值分别为，． 计算差值： 因为，所以 （1）当时，，即，说明随的增大而增大； （2）当时，，即，说明随的增大而减小．这就是一次函数的增减性． 【问题探究】 (1)方法迁移 试用类似的方法证明：当时，反比例函数的增减性． (2)性质应用 我们规定：对于任意一个关于的函数，在自变量取值范围内，当时，都有，称该函数“单调递增”；当时，都有，称该函数“单调递减”．请判断：当时，函数是“单调递增”还是“单调递减”，并利用作差法证明你的结论． 22．人的视觉机能受运动速度的影响很大，汽车司机的视野随着车速的增加而变窄．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】下表是测试所得的数据： 行车速度 40 45 50 70 80 100 视野角度（度） 100 89 80 57 50 40 (1)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点． (2)【数学表达】请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度（度）与行车速度之间关系的函数表达式． (3)【问题解决】在相同测试条件下，若某高速最高限速为，那么驾驶员的视野角度在什么范围？ 23．如图，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点．若轴，垂足为，面积为6． (1)求值； (2)求的面积． 24．如图，矩形交反比例函数于点、，已知点，点， (1)求的值； (2)在直线上方的反比例函数的图象上取一点，连接、、，且，求点的坐标； (3)若四边形的一组邻边垂直，另外两条边相等，则称这个四边形为“垂等四边形”．已知点在轴上运动，点在反比例函数的图象上运动，且在第三象限．若四边形为垂等四边形，求点、的坐标． 25．如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)直线与轴交于点，在轴上找一点，使得最小，求点坐标，并求出最小值； (3)如图2，为第二象限内反比例函数图象上的点，且点在点右侧，连接、，当的面积为30时，求点的坐标． 26．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）的图象与轴，轴分别交于，两点，与反比例函数（）的图象交于点，． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点在反比例函数（）的图象上，则__________（填“>”“<”“=”）； (3)直接写出不等式（）的解集； (4)点在轴的正半轴上，连接，若是以为腰的等腰三角形，直接写出的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲反比例函数的图象和性质 目录 知识点1 反比例函数图象基本特征 2 知识点2 k值与图象象限、增减性的关系 2 知识点3 反比例函数图象三大对称性 2 知识点4 比例系数k的几何意义（核心重难点） 3 知识点5 反比例函数解析式求解方法 3 题型1 判断（画）反比例函数图象 3 题型2 已知反比例函数的图象，判断其解析式 6 题型3 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 9 题型4 已知双曲线分布的象限，求参数范围 13 题型5 判断反比例函数的增减性 15 题型6 判断反比例函数图象所在的象限 17 题型7 已知反比例函数的增减性求参数 19 题型8 比较反比例函数值或自变量的大小 21 题型9 已知比例系数求特殊图形的面积 23 题型10 根据图形面积求比例系数（解析式） 27 题型11 求反比例函数解析式 31 1. 知识目标：掌握反比例函数图象的形状、画法与基本特征；熟记比例系数k的几何意义、图象象限分布、增减性、对称性等核心性质；掌握反比例函数解析式的求解方法，理解k值与图象、面积、增减性的关联规律。 2. 能力目标：能独立绘制、判断反比例函数图象；能根据图象、象限、增减性求解参数范围；熟练利用函数对称性求点坐标、比较函数值大小；掌握反比例函数与几何图形面积结合的正反双向计算，熟练求解函数解析式。 3. 素养目标：建立数形结合核心思想，培养图象识图、性质推理、几何转化、参数分类讨论的能力，攻克反比例函数图象与几何面积综合基础题型。 知识点1 反比例函数图象基本特征 反比例函数 的图象叫做双曲线，由两支互不相交的曲线组成；图象无限靠近坐标轴，永远不与x轴、y轴相交。 图象分布：图象不过原点，无顶点、无端点，两支图象关于原点、直线、直线对称。 知识点2 k值与图象象限、增减性的关系 1. 当 时：双曲线分布在第一、三象限；在每个象限内， 随 的增大而减小。 2. 当 时：双曲线分布在第二、四象限；在每个象限内， 随 的增大而增大。 必考易错：增减性必须强调“在每个象限内”，不能说整个定义域内单调增减。 知识点3 反比例函数图象三大对称性 1. 中心对称：关于原点中心对称，若点在图象上，则点也在图象上； 2. 轴对称1：关于直线 对称，若点在图象上，则点也在图象上； 3. 轴对称2：关于直线 对称，若点在图象上，则点也在图象上。 知识点4 比例系数k的几何意义（核心重难点） 过双曲线上任意一点，作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积 ； 过双曲线上任意一点，作任一坐标轴的垂线，连接原点，所得直角三角形的面积 ； 核心规律：同一反比例函数，任意点对应的矩形、三角形面积恒定，与点的位置无关。 知识点5 反比例函数解析式求解方法 待定系数法：设 ，代入图象上任意一个点的坐标，求出，即可确定解析式，只需一个点即可求解。 题型1 判断（画）反比例函数图象 解题技巧：1. 形状判断：反比例函数图象为双曲线，两支曲线、不与坐标轴相交，排除直线、抛物线图形；2. 位置判断：根据k正负快速锁定象限；3. 作图步骤：列表、描点、平滑曲线连线，左右各画一支；4. 规范要点：曲线平滑、无限靠近坐标轴、不触碰坐标轴、对称分布。 易错提醒：禁止画成折线、直线、封闭图形，两支图象独立不相连。 【典例1】．反比例函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数的比例系数包括前面的符号是解题的关键．根据反比例函数图象的性质并结合其比例系数解答即可． 【详解】解：， 此函数图象在二、四象限， 故选：A． 【变式1】．函数的大致图像为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分母不为0得出，再结合函数的图像与y轴交点位置解答即可； 【详解】解：根据分式有意义得分母不为0，即，解得， 因此函数的图像无限接近直线，但不与直线相交，排除选项B、D； 判断y轴交点符号： 代入，得，说明函数与y轴交于正半轴，选项C中时，排除C； 当时，，因此，图像在x轴上方； 当时，，因此，图像在x轴下方，完全符合选项A的图像特征． 【变式2】．反比例函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据题意可直接进行求解． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴图象分布在第二、四象限，即：    故选：C． 【变式3】．表示关系式；；的图象依次是（   ） A．①②③ B．③①② C．②③① D．②①③ 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象，根据反比例函数的图象与性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握反比例函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：中，，图象在二、四象限，②符合； 中，，图象在一、三象限，①符合； 中，，图象在一、二象限，③符合； 综上所述，表示关系式；；的图象依次是②①③， 故选：D． 题型2 已知反比例函数的图象，判断其解析式 解题技巧：1. 定符号：根据图象所在象限，判断k的正负；一三象限k>0，二四象限k<0；2. 找点取值：选取图象上坐标为整数的点；3. 计算k值：利用计算比例系数；4. 匹配选项：结合k的正负、数值大小锁定解析式。 【典例2】．反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A．6 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】根据，，且，即可作答． 【详解】解：根据反比例函数的图象性质可知，， 结合图象得， 只有A选项在此范围内． 【变式1】．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可以为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据函数图象确定k的取值范围． 【详解】解：如图所示， 反比例函数的图象位于第二、四象限，则． 又，即． 观察选项，只有选项合题意． 故选：． 【点睛】考查了反比例函数的图象，根据函数图象确定k的符号以及k的取值范围是解题的难点． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B．1 C．2 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质.由题意可得：k的取值应该满足，进而可得答案. 【详解】解：由题意可得：k的取值应该满足：，即， 所以k的值可能是6； 故选：D. 【变式3】．如图，点P在反比例函数的图像上，过点P作轴，垂足为H，连接，如果的面积为3，那么这个反比例函数的表达式为_____________． 【答案】 【分析】根据反比例函数系数的几何意义，可知的面积等于，结合图像所在象限确定的符号，即可求出函数表达式． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∵轴，垂足为， ∴，， 在中，， 解得， 由图像可知，反比例函数图像位于第一、三象限， ∴， ∴， 故这个反比例函数的表达式为． 题型3 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 解题技巧（三对称秒杀法）：1. 原点对称：已知，对称点为；2. 直线y=x对称：已知，对称点为；3. 直线y=-x对称：已知，对称点为；4. 所有对称点均在双曲线上，无需代入验证，可直接口算。 【典例3】．如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数图像的对称性求解即可． 【详解】解：∵过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，， ∴A，B两点关于原点对称， ∵点A的坐标是， 点B的坐标为． 【变式1】．如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据反比例函数及一次函数图象的对称性即可解决问题． 【详解】解：由题意知， ∵反比例函数与一次函数的图象都关于坐标原点成中心对称， ∴两个函数图象的交点关于坐标原点成中心对称， ∵直线与双曲线的一个交点坐标为， ∴另一个交点的坐标为， 故选：D． 【变式2】．在同一坐标系内，反比例函数的图象与反比例函数的图象（k为常数）具有以下对称性：既关于x轴，又关于y轴成轴对称，那么k的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，正确理解反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据反比例函数的图象与性质可知，两个反比例函数的比例系数互为相反数，即可列方程求解． 【详解】解：反比例函数的图象与反比例函数的图象既关于x轴，又关于y轴成轴对称， ， ． 故选：C． 【变式3】．如图，在平面直角坐标系中，经过坐标原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，点在反比例函数的图像上． （1）的值为________． （2）若，，则的值为________． 【答案】 【分析】（1）由反比例函数图象的中心对称性可得，，由反比例函数图象上点的坐标特征可得，，即，将，代入即可求出它的值； （2）连接，过点作轴于点，过点作轴于点，易证得，于是可得，由于，因而可设，，进而可得，，于是可得，设点的坐标为，则可得，，由可得，，于是可得，进而可以推出，然后由反比例函数图象上点的坐标特征即可得解． 【详解】解：（1），关于原点对称， ，， ，两点在反比例函数的图象上， ，， ， ， 故答案为：； （2）如图，连接， 由反比例函数图象的中心对称性可知：， 又， ， ， 过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ， 可设，， ， ， ， 设点的坐标为， 则， ， ， ， ， ， ，， ， 由（1）可得：， ， ， 点在反比例函数的图像上， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，由反比例函数图象的对称性求点的坐标，等式的性质，代数式求值，线段垂直平分线的判定，垂线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，已知两点坐标求两点距离等知识点，熟练掌握上述知识点并能加以综合运用是解题的关键． 题型4 已知双曲线分布的象限，求参数范围 解题技巧：1. 一三象限分布：直接列不等式，解出参数取值范围；2. 二四象限分布：直接列不等式，解出参数取值范围；3. 含参数解析式：先整理出k的代数式，再根据象限列不等式求解；4. 必查隐含条件：反比例函数始终满足 。 【典例4】．如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数图象所在象限判断比例系数的符号，解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴比例系数， 解得． 【变式1】．若反比例函数 的图像在第二、四象限，则一次函数的图像经过 （    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】D 【分析】根据一次函数系数的符号判断图像经过的象限． 【详解】解：∵一次函数 ，， ∴一次函数的图像经过第二、三、四象限． 【变式2】．反比例函数的图象位于第一、第三象限，写出一个符合条件的的值是______． 【答案】1（答案不唯一，即可） 【分析】对于反比例函数，当比例系数时，图象位于第一、第三象限，据此列出关于的不等式，求解得到的取值范围，任取范围内一个值即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、第三象限， ， 解得， ∴只要取大于的任意实数都符合条件，例如（答案不唯一）． 【变式3】．如果反比例函数的图像位于第一、三象限，那么________．（只需写一个数值） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据反比例函数的图像位置与符号的关系，确定的取值范围，写出一个符合条件的数值即可. 【详解】解：反比例函数的图像位于第一、三象限， ， 取符合条件的数值，得． 题型5 判断反比例函数的增减性 解题技巧：1. 先看k值正负：，象限内y随x增大而减小；，象限内y随x增大而增大；2. 严格限定范围：增减性仅在同一象限内成立，跨象限不适用；3. 文字判断题：出现“全体实数范围内单调增减”直接判错。 核心口诀：k正象限递减，k负象限递增，跨象限不比较。 【典例5】．已知，，三点都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】先根据反比例函数系数判断图象位置和增减性，再结合m的范围确定三个点横坐标的范围，结合增减性比较y的大小即可得到结果． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， A、当时，可得，三点都在第二象限，根据增减性得，即，故该选项不符合题意； B、当时，可得，A、B在第二象限，C在第四象限，可得，且，，，即，故该选项符合题意； C、当时，可得，点A在第二象限，点B、C在第四象限，根据增减性得，故该选项不符合题意； D、当时，可得，三点都在第四象限，根据增减性得，故该选项不符合题意； 【变式1】．酒精会麻痹人的神经系统，酒后驾车极易造成重大交通事故，我国法律严厉禁止酒驾、醉驾行为．在交通执法中，呼气式酒精检测仪是排查酒驾的常用设备，它内部利用了特殊的气敏电阻——酒精气体传感器．这类电阻的阻值会跟随空气中酒精气体的浓度变化而变化，其阻值与呼气酒精浓度之间的关系如图所示．下列说法中不正确的是（     ） A．当时， B．随的增大而减小 C．是的函数 D．图中曲线是反比例函数的图象 【答案】D 【详解】解：A、由图象得，当时，，故A正确； B、图象整体呈下降趋势，随的增大而减小，故B正确； C、图象中每一个值都有唯一确定的值与之对应；是的函数，故C正确； D、当、时，；当、时，，不为定值，该曲线不是反比例函数的图象，故D不正确． 【变式2】．已知点、在反比例函数的图像上，且，那么_______（填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】根据反比例函数解析式判断比例系数符号，得到函数在各象限内的增减性，结合已知判断点所在象限，即可比较与的大小． 【详解】解：∵反比例函数中，比例系数， ∴反比例函数的图象位于第一、第三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ∵， ∴点，都在第三象限， ∴． 【变式3】．已知点，都在反比例函数的图象上，比较与的大小：__________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的比例系数判断函数图象经过的象限，以及在每个象限内的函数增减性，结合两点的横坐标比较纵坐标的大小即可． 【详解】解：∵在反比例函数 中，， ∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∵点，的横坐标都为正， ∴这两点都在第一象限， 又∵ ， ∴． 题型6 判断反比例函数图象所在的象限 解题技巧：1. 最简判定：只看k的正负，无需计算复杂数值；2. ：第一、三象限；3. ：第二、四象限；4. 含参数题型：先化简求出k的正负，再判定象限，无需精准求参数值。 【典例6】．关于反比例函数，下列说法错误的是（     ）． A．点，均在其图象上 B．函数图象在第二、四象限 C．若，则x的取值范围是 D．该函数图象上有两点，，若，则 【答案】D 【分析】根据反比例函数的图象与性质，逐个判断各选项的说法，即可得到答案． 【详解】解：A选项：将代入，得，所以点在图象上；将代入，得，所以点也在图象上，A说法正确，不符合题意； B选项：因为，所以反比例函数图象位于第二、四象限，B说法正确，不符合题意； C选项：令，代入得，解得，因为，在第四象限内随增大而增大，所以当时，的取值范围是，C说法正确，不符合题意； D选项：反比例函数仅在每个象限内满足随增大而增大，若两点不在同一象限，结论不成立，例如取，，满足，此时，，有，不满足，D说法错误，符合题意． 【变式1】．关于反比例函数，说法错误的是（    ） A．图象分布在二、四象限 B．图象关于原点中心对称 C．当时，y随x增大而增大 D．当时， 【答案】D 【详解】解：∵，∴反比例函数图象分布在第二、四象限，A说法正确； ∵反比例函数的图象关于原点中心对称，∴B说法正确； ∵，当时，图象位于第四象限，随增大而增大，∴C说法正确； 取，，满足，计算得，，此时，不满足，∴D说法错误． 【变式2】．如果反比例函数（是常数）的图像在第二、四象限，那么的值是__________． 【答案】 【分析】先根据反比例函数的定义得到的次数与系数满足的条件，求出的所有可能值，再结合图象在第二、四象限的性质确定系数的符号，即可得到的值． 【详解】解：∵反比例函数的一般形式为，其中， ∴可得，解得且， ∵反比例函数的图像在第二、四象限， ∴，解得 ， ∴． 【变式3】．已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是________（用“”连接）． 【答案】 【分析】先根据反比例函数比例系数的符号判断函数图象所在象限，再根据各点纵坐标的符号确定点所在象限，最后结合反比例函数的增减性比较，，的大小． 【详解】解：在反比例函数中，比例系数. ∵， ∴， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限， ∵， ∴点与点在第四象限，点在第二象限， ∴，，， 又∵反比例函数在每个象限内，随的增大而增大， ∴， 综上，． 题型7 已知反比例函数的增减性求参数 解题技巧：1. 增减性反向推k值：象限内递减→；象限内递增→；2. 列出含参数不等式，求解参数取值范围；3. 兜底检验：保证原式为反比例函数，满足 、自变量次数为-1；4. 多条件题型：结合象限、增减性双重条件锁定范围。 【典例7】．在反比例函数图象的任意一支上，都随的增大而减小，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的性质，利用反比例函数的增减性得到系数的取值范围，对于反比例函数，当时，图象任意一支上都随的增大而减小，进行解答；即可． 【详解】∵ 反比例函数图象的任意一支上，都随的增大而减小， ∴ ， 解得 ， 上述四个选项中只有，符合条件． 【变式1】．在反比例函数的图象上有两点和，若，则的取值范围是（     ） A．且 B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先根据反比例函数系数的符号判断函数图象位置与增减性，再求出的值，分点在第三象限和第一象限两种情况讨论，即可得到的取值范围． 【详解】∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，. 将代入，得. 由得，分两种情况讨论： ① 当时，点在第三象限，，结合第三象限内随增大而减小，可得； ② 当时，点在第一象限，，由可知恒成立，即所有都满足条件； 综上，的取值范围是或． 【变式2】．已知y是关于x的反比例函数，当时，函数y随自变量x的增大而增大，请写出一个符合条件的m的值_________． 【答案】（答案不唯一，只要小于0即可） 【分析】根据反比例函数的性质，先确定的取值范围，再写出取值范围内一个符合条件的值即可． 【详解】解：由题意得，当时，随的增大而增大， ∴， 取的一个符合条件的值为（答案不唯一）． 【变式3】．已知、两点在反比例函数的图像上，且，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】先根据反比例函数的性质判断的增减性，再由且，判断出，两点分别位于不同象限，根据象限内点的坐标特征列不等式组求解． 【详解】解：反比例函数中，， 该反比例函数图像在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ， ， 又， 点，不在同一象限，即在第三象限，在第一象限， ∴ ， ∴的取值范围为． 题型8 比较反比例函数值或自变量的大小 解题技巧（分类比较法）：1. 同象限点：利用增减性直接比较大小；2. 跨象限点：一三象限k>0，正数值大于负数值；二四象限k<0，正数永远大于负数；3. 无图题型：先判断各点所在象限，再分层比较；4. 万能方法：代入数值直接计算函数值，精准对比不出错。 【典例8】．已知点，都在反比例函数的图象上，，则、、0的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据反比例函数的比例系数判断图象所在象限，再根据y的符号推导出对应x的符号，即可得到三者的大小关系． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第一、三象限， 第一象限满足，第三象限满足． 又∵， ∴，可得点在第一象限，因此； ，可得点在第三象限，因此． ∴大小关系为． 【变式1】．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三个点的纵坐标代入反比例函数解析式，分别求出，，的值，再比较大小即可得到结果. 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴分别将三点纵坐标代入解析式： 代入点得 ，解得 ， 代入点得 ，解得 ， 代入点得 ，解得 ， ∵， ∴. 【变式2】．已知反比例函数的图像上有两点、，如果，那么_____________（填“>”、“=”或“<”）． 【答案】 【分析】本题先根据反比例函数解析式确定比例系数的符号，再利用反比例函数的性质判断时随的变化规律，结合已知条件比较和的大小． 【详解】解：反比例函数中，比例系数， 根据反比例函数的性质，当时，函数图像的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小 ， 点、点都位于第三象限的函数分支上， ． 【变式3】．已知，是反比例函数 图象上的两个点，则___________0（用“>”“<”或“=”填空）． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征表示出和，再计算二者的差，结合判断差与的大小关系． 【详解】解：点，在反比例函数的图象上， ，， ∴， ， ， 即． 题型9 已知比例系数求特殊图形的面积 解题技巧（k几何意义秒杀）：1. 坐标轴垂线矩形面积：；2. 坐标轴垂线直角三角形面积：；3. 组合图形：拆分多个基础矩形、三角形，利用|k|叠加求解；4. 无需找点、无需计算坐标，直接套用公式口算。 【典例9】．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，点C、D在x轴上．若四边形为矩形，则它的面积为（     ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】根据过双曲线上的点向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S的关系即可判断． 【详解】解：延长交y轴于E，则轴， ∵点A在双曲线上， ∴四边形的面积为4， ∵点B在双曲线上，且轴， ∴四边形的面积为12， ∴矩形的面积为． 【变式1】．现有甲、乙两款电压不同的蓄电池，蓄电池的电压都为定值，使用蓄电池时，电流，（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它们的图象如图所示．平行于轴的直线分别交两图象于点，．过点，分别作轴的垂线，垂足为，，则图中阴影部分的面积表示的实际意义是（    ） A．经过用电器的电流的差值 B．两款蓄电池的电压的差值 C．当经过用电器的电流相同时的电阻的差值 D．当用电器的电阻相同时的电流的差值 【答案】B 【分析】根据反比例函数的几何意义，结合，得出，可得B正确，根据轴可得电流差为，可判断A错误；根据电流相同时，电阻的差值为，电阻相同时，电流的差值为，都不能用面积表示，可判断C、D错误；综上，即可得答案． 【详解】解：如图，设直线与轴交于点， ∵平行于轴的直线分别交两图象于点，， ∴、两点的电流相等， ∴经过用电器的电流的差值为，故A选项错误，不符合题意， 设， ∴，， ∵，， ∴， ∴阴影部分的面积表示两款蓄电池的电压的差值，故B选项正确，符合题意， 当用电器的电流相同时，电阻的差值为，不能用面积表示，故C选项错误，不符合题意， 当用电器的电阻相同时，电流的差值为，不能用面积表示，故D选项错误，不符合题意． 【变式2】．如图，点A，B分别为反比例函数与图象上的点，轴，点P在x轴上，连接、，则的面积为______． 【答案】 【分析】连接，，设与轴交于点，将面积转化为的面积，然后结合反比例函数系数的几何意义求解． 【详解】解：如图，连接，，设与轴交于点， 轴， ，轴， 点A，B分别为反比例函数与图象上的点， ，， ． 【变式3】．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，与反比例函数的图象交于点D．若，则k的值为__________． 【答案】 【分析】根据反比例函数k的几何意义得，结合，可得，进而可求出k的值． 【详解】解：∵点A在反比例函数的图象上，点D在反比例函数的图象上，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型10 根据图形面积求比例系数（解析式） 解题技巧（面积反推k值）：1. 已知矩形面积：；2. 已知三角形面积：；3. 定符号：根据图象所在象限判断k正负，去掉绝对值；4. 写出解析式：将k值代入 即可。 高频易错：忘记根据象限判断k的正负，导致解析式符号错误。 【典例10】．如图，已知点在反比例函数的图象上，轴于点，点在轴上，的面积为2，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，利用反比例函数的性质进行求解． 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴， ∴， ∴或， 又∵函数图象位于第二象限， ∴． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、在轴的负半轴上，且，顶点在函数（）的图象上，在边上取点使，的延长线与轴的负半轴交于点，连结．若的面积为18，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，证明是等腰直角三角形，证明，设，则，点D在反比例函数图象上，则，根据，，即可求出的值． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴，轴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∵点在同一直线上， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设，则， ∵点D在反比例函数图象上， ∴， ∵、在轴的负半轴上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 解得 【变式2】．如图，的边交反比例函数的图象于点，且，点，，在坐标轴上，已知的面积为16，则的值为________． 【答案】4 【分析】连接，由平行四边形的性质得到，可证明，由平行线的性质得到，再由反比例函数比例系数的几何意义可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴轴， ∵点P在反比例函数的图象上， ∴， 又∵反比例函数的图象经过第一象限，即， ∴． 【变式3】．如图，在平面直角坐标系中，两点在反比例函数的图象上，延长交轴于点，且是第二象限一点，且，若的面积是6，则的值为_______． 【答案】4 【分析】过作轴于，过作轴于，连接，证明，可得，设，而，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：过作轴于，过作轴于，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 又， ∴， 设，而， ∴的纵坐标为， ∴， ∴， ∴， 解得． 题型11 求反比例函数解析式 解题技巧（待定系数法四步通解）：1. 设：设反比例函数解析式 ；2. 代：将图象上已知点坐标代入解析式；3. 求：根据 算出k的值；4. 写：将k回代，写出完整函数解析式；5. 拓展：利用面积、对称性、图象特征间接找点，再求解解析式。 【典例11】．已知反比例函数的图象过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵反比例函数的图象过点， ∴将代入， 得， 解得． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，点A为反比例函数图象上一点，线段于点C，交反比例函数图象于点D，连接，线段经过点A，且A为线段的中点，若的面积是15，则________ ． 【答案】 【分析】设，由为线段的中点，可得，，由，可得，，最后由，即可求解． 【详解】解：设， ∵为线段的中点， ∴，， ∵， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， 解得． 【变式2】．已知反比例函数的图象经过点，． (1)求该反比例函数的表达式    (2)若，为（1）中反比例函数图象上的两个不同点，且，求证：． 【答案】(1)该反比例函数的表达式为 (2)，在反比例函数的图象上， ，， ∴ ， ， ∴原式，即． 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）由题意可得，，代入式子左边，结合，计算即可得证． 【详解】（1）解：把，代入中，得到， 解得， ， 把代入中，得到，即， ∴该反比例函数的表达式为． （2）略． 【变式3】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，连接，． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)4 【分析】（1）将交点坐标代入反比例函数求，得到点坐标，再把两个交点代入一次函数，解二元一次方程组求参数，写出解析式； （2）先求一次函数和轴交点坐标，沿轴把大三角形拆成两个小三角形，套用三角形面积公式求和． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴反比例函数的表达式为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵点，点在一次函数的图象上， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：设点为直线与轴的交点，如图： 令，解得， ∴点的坐标为， 由（1）知：，， ∴． 1．在同一直角坐标系中，函数与 的图象大致是（     ） A．   B．    C．    D．    【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，根据一次函数的图象性质得到经过第一、二、三象限；根据反比例函数的图象性质得到分布在第一、三象限，然后对各选项进行判断． 【详解】解：函数经过第一、二、三象限，函数分布在第一、三象限． 故选：C． 2．如图所示的图象，对应的函数解析式可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一次函数的图象是直线，反比例函数（）的图象分布：当时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，当时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，据此进行逐一判断即可求解． 【详解】解：A. 的图象是直线，故此项不符合题意； B. 的图象是直线，故此项不符合题意； C. 是反比函数， ， 双曲线的两支分别位于第一、三象限，故此项符合题意； D. 是反比函数， ， 双曲线的两支分别位于第二、四象限，故此项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象特征和反比例函数的图象分布，掌握反比例函数图象分布的规律是解题的关键． 3．反比例函数的图象如图所示，以下结论正确的是（　　） ①常数 ；②随的增大而减小；③若为轴上一点， 为反比例函数图象上一点，则；④若点 在图象上，则点也在图象上． A．①②③ B．①③④ C．①②③④ D．①④ 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的增减性，图象的中心对称性是解题的关键．根据反比例函数函数的图象和性质，逐一判断选项，即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限内， ∴， 解得，故①正确； 由反比例函数的图象可知，在每一象限内y随x的增大而减小，故②错误； 设点A的坐标为，点B的坐标为， 则，故③错误； ∵反比例函数的图象关于原点对称， ∴若在图象上，则也在图象上，故④正确． 综上，结论正确的是①④． 故选：D． 4．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，B两点．若点A的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数与一次函数交点问题，利用反比例函数对称性求点坐标等．根据题意可知点A，B关于原点中心对称，继而求出本题答案． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的坐标为， ∴A，B两点关于原点中心对称， ∴点B的坐标为， 故选：B． 5．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值可以是（   ） A．1 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，反比例函数图象的象限由系数符号决定，第二、四象限时系数小于零，解不等式即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， 解得， 选项中只有1满足条件， 故选A． 6．已知反比例函数的图象如图所示，m的值可以是（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质．反比例函数，当时，图象在第一、三象限．在每个象限，y随着x的增大而减小，当时，图象在第二、四象限．在每个象限，y随着x的增大而增大．根据反比例函数的性质得，然后解不等式即可． 【详解】解：由函数图象知，反比例函数的图象在第一、三象限， 则， 解得：． 观察四个选项，只有D选项符合题意． 故选：D． 7．对于反比例函数，下列结论正确的是（     ） A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当时， D．y随x的增大而减小 【答案】B 【详解】解：A、当时，，点不在该函数图象上，A错误； B、反比例函数中，，则该函数的图象分别位于第二、第四象限，B正确； C、当时，，可得，即，不符合，C错误； D、时，反比例函数仅在每个象限内满足随的增大而增大，对全体x不满足y随x增大而减小，D错误． 8．函数与在同一坐标系内的图象大致为图中的（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的图象经过的象限判断的取值范围，再根据的取值范围判断反比例函数经过的象限是否符合要求． 【详解】解：A选项：一次函数的图象经过第一、二、三象限， ，即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的负半轴， 故A选项错误； B选项：一次函数的图象经过第一、二、四象限， ，即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的正半轴， 反比例函数应在第一、三象限， 故B选项正确； C选项：一次函数的图象经过第一、二、四象限， 即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的正半轴， 反比例函数应在第一、三象限， 故C选项错误； D选项：一次函数的图象经过第一、三、四象限， 即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的负半轴， 反比例函数应在第二、四象限， 故D选项错误． 9．已知反比例函数中，随的增大而减小，则点关于轴的对称点在（    ）象限 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先根据反比例函数的性质求出m的取值范围，再判断点P的横纵坐标符号，最后根据关于y轴对称的点的坐标特征判断所在象限． 【详解】解：∵反比例函数中，随的增大而减小， ∴比例系数， 解得， ∴，， ∴点的横坐标为负，纵坐标为正，点P在第二象限， ∵点关于y轴对称时，横坐标互为相反数，纵坐标不变， ∴点关于y轴的对称点的横坐标为正，纵坐标为正， ∴在第一象限． 10．根据图1所示的程序框图，得到了与的函数图象如图2所示，若是轴正半轴上任意一点，过点作轴交函数图象于点，，连接，，则下列结论正确的是（） A．的面积为 B．时， C．时，随的增大而增大 D．可能等于 【答案】D 【分析】根据程序框图确定和时的函数解析式，利用反比例函数的性质判断选项B、C；利用反比例函数的几何意义计算的面积判断选项A；设点、的坐标，利用勾股定理构建方程判断选项D． 【详解】解：由程序框图可知：当时，；当时，．选项B错误； 当时，，， 随的增大而减小，选项C错误； 设，，其中， 点在上，点在上， ，， ，选项A错误 设，()， 若， 则， 即， 整理得：， ， ， ， ，方程有解， 可能等于， 选项D正确．故选：D． 11．图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节电阻来控制电流实现灯光亮度的变化．电流（单位：）与电阻（单位：）之间成反比例函数关系，其图象如图2所示．当时，该台灯的电阻是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的应用、用待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的图象与性质．要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想是解答本题的关键．设电流（A）与电阻之间的函数关系，根据待定系数法求得，将代入函数关系式中，求出即可． 【详解】解：由图象可知，电流（A）与电阻之间满足反比例函数关系， 设电流（A）与电阻之间的函数关系为， 点在函数的图象上， ， 解得：， 电流（A）与电阻之间的函数关系为， 当时，， ． 故答案为：． 12．已知直线y=kx与双曲线y=的一个交点的横坐标是2，则另一个交点坐标是_____． 【答案】（-2，-4） 【分析】根据交点的横坐标是2，得到，求得k值，确定一个交点坐标为（2，4），根据图像的中心对称性质，确定另一个交点坐标即可． 【详解】∵交点的横坐标是2， ∴， 解得k=2， 故函数的解析式为y=2x，y=， 当x=2时，y=4， ∴交点坐标为（2，4）， 根据图像的中心对称性质， ∴另一个交点坐标为（-2，-4）， 故答案为：（-2，-4）． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，函数图像的中心对称问题，熟练掌握交点的意义，灵活运用图像的中心对称性质是解题的关键． 13．已知反比例函数，当时，的取值范围是____________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的比例系数判断图象位置与增减性，结合已知的取值范围计算端点对应的值，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数中， 函数图象位于第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大， ， 图象在第二象限， 当时，，当时，， 当时，的取值范围是． 14．若点，都在反比例函数（m为常数）的图象上，则与的大小关系为________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】可证明，则反比例函数的图象位于第二、四象限，根据点A和点B的横坐标可确定点A和点B所在的象限，进而得到的符号，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限； 点的横坐标为， 点在第四象限，可得， 点的横坐标为， 点在第二象限，可得， ，即． 15．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，且，的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题利用反比例函数图象上点的坐标特征，得到关于的表达式，再根据已知条件列出关于的一元一次不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：点，在反比例函数的图象上， 将点坐标代入解析式得，， ， ，即，解得：． 16．已知点，在反比例函数（为常数）的图象上，则与的大小关系是______． 【答案】 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，得到反比例函数的增减性，再根据两点横坐标的大小关系比较纵坐标的大小即可． 【详解】解：对于反比例函数，其比例系数， 任意实数的平方非负，即， ， 反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小. 点，满足， 两点都在第三象限的函数图象上， ． 17． 如图为一次函数的图象，它与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数的表达式． (2)在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象，并直接写出当时，的取值范围． (3)连接， ，求出的面积． 【答案】(1) (2)如图即为所求： 由图可知，当时，或 (3) 【分析】（1）将点代入一次函数解析式求出点坐标，再代入反比例函数解析式计算值，即可得到反比例函数表达式； （2）对反比例函数取对应值列表，在坐标系中描点、平滑连线得到图象；结合两函数交点横坐标，以交点和原点为分界，根据一次函数图象位于反比例函数图象下方即可确定当时的取值范围； （3）先求出一次函数与轴的交点坐标，将拆分为以该交点到原点的线段为公共底的两个三角形，分别以、纵坐标的绝对值为高计算面积，求和即可得到的面积． 【详解】（1）解：把点代入，得， ∴， 把点代入，得，解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：函数， 在平面直角坐标系中，依次描出表格中对应的点： 、、、、、、、， 用平滑的曲线分别连接第二象限内的个点、第四象限内的个点，即可得到反比例函数的图象； 一次函数与反比例函数的交点为、，当时，即一次函数图象位于反比例函数图象下方时，的取值范围是：或； （3）解：如图，设一次函数与轴交于点， 令，则，解得， ∴， 又、， ∴． 18．小明在自主探究活动中遇到这样一个问题：探究函数的图象与性质． 下面是小明根据学习函数的经验，对问题进行探究的过程，请你帮助小明补充完整． (1)函数自变量的取值范围是__________； (2)小明取了几组的值，并求出了相对应的值，填写在下表中， … 1 2 3 4 5 … … 6 3 2 … 那么，__________； (3)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (4)写出此函数一条性质： ________________________________________________________________________________________； (5)正比例函数与相交于点，（点在点的左侧），已知点，直接写出点的坐标__________． 【答案】(1) (2)-2 (3) (4)答案不唯一：如函数图象与坐标轴无交点等 (5) 【分析】（1）分式有意义的条件是分母不为0，分母为，因此只需保证． （2）表格中对应时的函数值，将代入解析式计算即可． （3）该函数是反比例函数，图象为双曲线，分两步作图：①根据表格坐标描点；②用平滑曲线分别连接一、三象限内的点，注意图象无限靠近坐标轴但不与坐标轴相交． （4）反比例函数的常见性质：象限分布、增减性、对称性，任选一条即可． （5）正比例函数与反比例函数的交点关于原点中心对称，若一个交点为，另一个交点为．先验证点在反比例函数上，再利用对称直接写出． 【详解】（1）解：函数是分式，分母不能为0， 自变量的取值范围是． （2）解：把代入， ， ． （3）解：根据表格给出的、、、、、、、、、在坐标系标出对应点； 用平滑曲线连接第三象限内所有负坐标点，得到第三象限分支；再用平滑曲线连接第一象限内所有正坐标点，得到第一象限分支； 双曲线两支分别在一、三象限，不与轴、轴相交． （4）解：示例1：图象分布在第一、第三象限； 示例2：在每个象限内，随的增大而减小； 示例3：图象关于原点中心对称； 示例4：函数图象与坐标轴无交点； 示例5：图象关于直线、轴对称． （写出任意一条即可） （5）解：将代入： ， 即， 正比例与反比例函数交点关于原点对称，点在点左侧， 坐标为． 19．如图所示是常见的手动打气筒，打气筒的充气次数与气筒内直径（对应“粗筒”“细筒”）存在关联：当充气总量（固定气量，如给一辆自行车轮胎充至标准胎压、给1个气球充至饱满）不变时，气筒内直径越大（单次充气量越大），所需充气次数越少；气筒内直径越小（单次充气量越小），所需充气次数越多某实验小组对同一固定气量的气球进行充气测试，记录了气筒内直径L（单位：）与充气次数F（单位：次）的对应数据如表所示： 气筒内直径 2 3 5 6 充气次数F/次 15 10 6 5 根据以上信息，解答下列问题： (1)若使用内直径L为的打气筒给该固定气量的气球充气，所需充气次数F为_______次； (2)在已学过的函数中选择合适的模型，求F关于L的表达式，并在已给的平面直角坐标系中画出F与L的函数图象； (3)根据函数图象，描述当时，F随L的变化规律． 【答案】(1)20 (2)，见解析 (3)当时，F随L的增大而减小 【分析】（1）求出F关于L的表达式，将代入计算即可； （2）由（1）知表达式为，根据表格数据画图即可； （3）根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：由题中数据知，且L与F的乘积恒为30， ∴F关于L的函数是反比例函数，表达式为， 当时，次； （2）解：由（1）知表达式为， 在已给的平面直角坐标系中画出F与L的函数图象如答图所示． （3）解：根据函数图象可知，当时，F随L的增大而减小． 20．如图，反比例函数与一次函数的图象相交于，两点．点C是反比例函数第一象限图象上的一个动点，过点C作x轴的平行线交反比例函数的图象上一点D，过点C作轴于点E． (1)根据图象的对称性，可知A点坐标为　 　，B点坐标为　 　； (2)求反比例函数解析式； (3)求的面积． 【答案】(1), (2) (3)5 【分析】（1）根据题意得到关于原点对称即可得到答案； （2）把代入即可得到函数解析式； （3）连接、，得到，求出即可得到答案． 【详解】（1）解：反比例函数与一次函数的图象相交于，两点． 关于原点对称， ， 点坐标为，B点坐标为， 故答案为,； （2）解：把代入得，， 反比例函数解析式为； （3）解：连接、， 轴， ， ， 的面积为5． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数与一次函数的性质，待定系数法求反比例解析式是解题的关键． 21．综合与实践：函数增减性的探究与应用 【阅读材料】 我们学习过，一次函数的图象是一条直线． 当时，图象从左向右上升，随的增大而增大； 当时，图象从左向右下降，随的增大而减小． 我们可以用“作差法”来证明这个性质： 设，对应的函数值分别为，． 计算差值： 因为，所以 （1）当时，，即，说明随的增大而增大； （2）当时，，即，说明随的增大而减小．这就是一次函数的增减性． 【问题探究】 (1)方法迁移 试用类似的方法证明：当时，反比例函数的增减性． (2)性质应用 我们规定：对于任意一个关于的函数，在自变量取值范围内，当时，都有，称该函数“单调递增”；当时，都有，称该函数“单调递减”．请判断：当时，函数是“单调递增”还是“单调递减”，并利用作差法证明你的结论． 【答案】(1)设，对应的函数值分别为，，     ，         因为，，所以 ①当时，， 即，说明随的增大而减小；         ②当时，， 即，说明随的增大而增大． (2)当   时，函数  是“单调递增” 设，对应函数值分别为，          因为，即．         因为， 所以，即，     所以当时，函数是“单调递增”． 【分析】（1）仿照【阅读材料】的方法解答即可； （2）利用作差法解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 22．人的视觉机能受运动速度的影响很大，汽车司机的视野随着车速的增加而变窄．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】下表是测试所得的数据： 行车速度 40 45 50 70 80 100 视野角度（度） 100 89 80 57 50 40 (1)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点． (2)【数学表达】请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度（度）与行车速度之间关系的函数表达式． (3)【问题解决】在相同测试条件下，若某高速最高限速为，那么驾驶员的视野角度在什么范围？ 【答案】(1)如图： (2) (3) 【分析】（1）描点，然后用平滑的曲线连接即可； （2）观察可得视野角度（度）与行车速度成反比例函数关系，使用待定系数法求函数解析式； （3）计算出时，的值，结合反比例函数的增减性求出的取值范围． 【详解】（1）略 （2）解：由图象可知，视野角度（度）与行车速度成反比例函数关系， 设， 将，代入，得， ∴视野角度（度）与行车速度之间关系的函数表达式为； （3）解：将代入，得， ∵， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴， ∴驾驶员的视野角度不小于度． 23．如图，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点．若轴，垂足为，面积为6． (1)求值； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据反比例函数的几何意义，即可求解； （2）根据（1）得出反比例函数解析式为，进而求得，，直线的解析式为，进而得出，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：∵轴，垂足为，面积为6 ∴ ∵反比例函数图象在第一象限 ∴ ∴； （2）解：由（1）可得反比例函数解析式为 ∵，在图像上， ∴，， 解得： ∴， 设直线的解析式为，代入，得 ，解得： ∴直线的解析式为 当时， 解得： ∴ ∴ ∴ 24．如图，矩形交反比例函数于点、，已知点，点， (1)求的值； (2)在直线上方的反比例函数的图象上取一点，连接、、，且，求点的坐标； (3)若四边形的一组邻边垂直，另外两条边相等，则称这个四边形为“垂等四边形”．已知点在轴上运动，点在反比例函数的图象上运动，且在第三象限．若四边形为垂等四边形，求点、的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）先求出点坐标，代入解析式即可求出值； （2）先求出点坐标，再求出解析式，利用面积列方程求解即可； （3）分类讨论，利用一线三垂直构造相似求解即可． 【详解】（1）解：由题可知， ， 解得， ， ； （2）解：由（1）知， 反比例函数表达式为， ， ∵矩形中， ， ， 设直线解析式为， 则， 解得， 直线解析式为， 过作轴交于点， 设，则， ， ， ， 整理得， 解得或， 点在上方， ， ； （3）解：设，， 当时，如图， 此时需要满足，即点在垂直平分线上，很明显无满足题意的点； 当时，此时， 如图，过作轴，再分别过、作的垂线段，垂足分别为点、， 则， ， ∽， ， ， 解得或， 在第三象限， ， 即， ， ， 解得， ； 当时，此时， 此时满足条件的明显不存在； 当时，此时， 此时满足条件的明显不存在； 综上，， 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、反比例函数解析式、坐标与图形面积、相似三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 25．如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)直线与轴交于点，在轴上找一点，使得最小，求点坐标，并求出最小值； (3)如图2，为第二象限内反比例函数图象上的点，且点在点右侧，连接、，当的面积为30时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）利用待定系数法计算可得一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为，再联立求解即可； （2）先求出，作点E关于x轴的对称点，则，根据轴对称性质，，则．当、P、B三点在一条直线上时，的值最小，最小值为线段的长度．结合勾股定理计算即可得出的最小值为．求出直线的方程为，令，得，解得，即可得出结果； （3）过C作轴交于点T，设，则，表示出，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：将代入直线得，， 解得， ∴一次函数的解析式为， 再将代入得，， ∴反比例函数的解析式为， 联立，得， 解得：（舍去），， ∴； （2）解：在中，当时，，则， 作点E关于x轴的对称点，则， 根据轴对称性质，， ∴． 当、P、B三点在一条直线上时，的值最小，最小值为线段的长度． ， ∴的最小值为． 设直线的方程为． 将和代入得， 解得． ∴直线的方程为 令，得，解得． ∴点P的坐标为． （3）解：如图，过C作轴交于点T， 设，则， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴点C的坐标为． 26．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）的图象与轴，轴分别交于，两点，与反比例函数（）的图象交于点，． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点在反比例函数（）的图象上，则__________（填“>”“<”“=”）； (3)直接写出不等式（）的解集； (4)点在轴的正半轴上，连接，若是以为腰的等腰三角形，直接写出的面积． 【答案】(1)一次函数的解析式：；反比例函数的解析式： (2) (3) (4)或2 【分析】（1）先求一次函数解析式：先求B点坐标，由求出长度得到A点坐标，代入求出k，再将C点横坐标代入一次函数求出a，得到C点坐标后代入反比例函数求出m． （2）比较a和b：如果反比例函数时的增减性已知，那么通过比较C、D两点横坐标大小即可判断纵坐标大小． （3）求不等式（）的解集：因为不等式的几何意义是时一次函数图象在反比例函数图象上方的部分对应的x的范围，所以结合两函数交点C的横坐标即可得到解集． （4）求等腰的面积：先设P点坐标，分两种情况：如果，那么用两点距离公式列方程求P点坐标；如果，那么用两点距离公式列方程求P点坐标，再分别用三角形面积公式计算对应面积． 【详解】（1）解：对于一次函数， 令，得， 因此，． 由，得， 又∵在轴正半轴， ∴． 把代入，得， 解得， 因此一次函数解析式为． 把代入，得， 即． 把代入，得， 因此反比例函数解析式为． （2）解：把代入，得． 已知，， 因此． （3）解：不等式表示时，一次函数图象在反比例函数图象上方（含交点）． 两个函数交点为， 结合图象可得解集为． （4）解：设， 已知，， 计算得， 以为腰，分两种情况： ：​， 即， ∵， 得（负根舍去）， ∴． 的高为到轴的距离， 面积． ：， 即， 解得（与重合，舍去）， ∴． 面积． 因此的面积为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $