第09讲反比例函数的概念（知识点+题型精讲）2026-2027学年人教版九年级数学上册暑假预习讲义

第09讲 反比例函数的概念 目录 知识点1 反比例函数标准定义 2 知识点2 反比例函数三种等价形式（必考） 2 知识点3 反比例函数核心特征 2 知识点4 正反比例函数区别 2 题型1 用反比例函数描述数量关系 3 题型2 根据定义判断是否是反比例函数 5 题型3 根据反比例函数的定义求参数 7 题型4 求反比例函数值 9 题型5 由反比例函数值求自变量 11 1. 知识目标：理解反比例函数的定义、三种等价解析式、自变量取值范围；掌握反比例函数的本质特征，分清反比例函数与一次函数、正比例函数的区别，夯实反比例函数入门基础。 2. 能力目标：能利用反比例函数描述生活与数学数量关系；熟练判断函数是否为反比例函数；能根据定义求参数、求解函数值、由函数值反求自变量，全面掌握基础必考题型。 3. 素养目标：建立变量对应、数形结合、模型思想，掌握“积为定值”的反比例核心规律，培养函数辨析、参数计算、方程转化的解题能力。 知识点1 反比例函数标准定义 一般地，形如 （ 为常数，且 ）的函数，叫做反比例函数。其中 是自变量， 是 的函数。 取值范围：自变量 ，函数值 （分母不能为0，乘积定值不为0）。 知识点2 反比例函数三种等价形式（必考） 1. 分式标准型：（最常用）； 2. 乘积定值型：（核心本质：横纵坐标乘积恒为定值）； 3. 负指数型：（多用于判断参数、指数题型）。 核心判定：三种形式可互相转化，只要满足其一，即为反比例函数。 知识点3 反比例函数核心特征 1. 变量关系： 越大 越小， 越小 越大，此消彼长、乘积不变； 2. 结构特征：自变量 为一次、在分母位置，无常数项、无二次项； 3. 参数要求：比例系数 是不为0的常数，含参数题型必须保证 。 知识点4 正反比例函数区别 1. 正比例函数：，比值 定值； 2. 反比例函数：，乘积 定值； 做题关键：看“比值定值”还是“乘积定值”，快速区分两类函数。 题型1 用反比例函数描述数量关系 解题技巧（定值判定法）：1. 审题找变量：找出题目中两个变化的相关联变量；2. 判变化规律：两个变量乘积始终为固定常数，即为反比例关系；比值为固定常数为正比例关系；3. 列式建模：设自变量、函数，列出 或 关系式；4. 常见场景：路程一定时速度与时间、面积一定时长与宽、总工程量一定时效率与时间。 秒杀口诀：积定反比，比定正比，此消彼长为反比。 【典例1】．一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用了到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：）与时间t（单位：）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，掌握路程、速度、时间的数量关系是解题的关键． 根据去程的速度和时间求出路程，返回时根据路程不变，速度与时间成反比例关系列函数关系式即可． 【详解】解：∵ 去程速度 ，时间 ， ∴ 路程 ， 返回时，路程不变，且匀速返回， ∴ ， ∴ ， 即函数关系式为 ． 故选：A． 【变式1】．一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用了到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：）与时间t（单位：h）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，掌握路程、速度、时间的数量关系是解题的关键． 本题是根据去程的速度和时间求出路程，返回时路程不变，速度与时间成反比关系． 【详解】解：∵ 去程速度 ，时间 ， ∴ 路程 ， 返回时，路程不变，且匀速返回， ∴ ， ∴ ， 故：函数关系式为 ． 故选：A． 【变式2】．农村的手压水井是“前自来水时代”较为普遍的汲水工具．已知手压水井的阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）与动力臂（单位：）之间的函数表达式是______． 【答案】 【分析】本题考查了列函数表达式．根据“阻力阻力臂动力动力臂”即可得到函数表达式． 【详解】解：∵阻力阻力臂动力动力臂，阻力和阻力臂分别是和， ∴， 即． 故答案为：． 【变式3】．如图，在矩形中，，，为边上一动点，于点，，则关于的函数解析式为_________（写出自变量的取值范围）． 【答案】 【分析】连接，利用的两种表示方法来推导函数解析式，再确定自变量的取值范围． 【详解】解：连接， ∵， ∴， 即， ∴． 当点与点重合时，，此时最短； 当点与点重合时，，此时最长； ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题关键是作辅助线，找到等量关系． 题型2 根据定义判断是否是反比例函数 解题技巧（三步判定法）：1. 看形式：能否化为、、 三种标准形式；2. 看指数： 的次数必须为 ，不能是1、2、0等；3. 看参数：化简后常数 ，无额外常数项；4. 快速排除：含 、、 一律不是反比例函数。 易错警示： 不是反比例函数，分母必须仅含单个自变量x。 【典例2】．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的定义，判断各选项的函数类型即可得到答案，反比例函数的定义为：形如（为常数且）的函数是关于的反比例函数． 【详解】解：∵选项A中是正比例函数，不符合反比例函数定义； 选项C中是一次函数，不符合反比例函数定义； 选项D中是二次函数，不符合反比例函数定义； 选项B中符合反比例函数的定义． 【变式1】．下列函数中是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数定义，形如（为常数，，）的函数为反比例函数，逐项判断即可． 【详解】解：选项A：是正比例函数，不符合反比例函数定义，A错误.； ∵选项B：的分母是关于的一次二项式，不符合定义形式，B错误； 选项C：是二次函数，不符合反比例函数定义，C错误.； 选项D：可变形为，其中，符合反比例函数的定义，D正确． 【变式2】．下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中表示 是 的反比例函数的是______（填入序号）． 【答案】（2）、（3） 【分析】根据反比例函数的定义，形如（ 为常数， ）的函数是反比例函数，逐一判断各关系式即可得到结果． 【详解】解：是二次函数，故（1）不符合反比例函数形式； ，可化为的形式，其中 ，故（2）是反比例函数； ，可化为的形式，其中 ，故（3）是反比例函数； 整理得 ，不符合的形式，故（4）不符合反比例函数形式； ，分母为 ，不是 ，故（5）不符合反比例函数形式． 综上，只有（2）和（3）是反比例函数． 【变式3】．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是的反比例函数的有 ________ ．（填序号） 【答案】②④⑥ 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，即形如（为常数，），或可转化为（）、（）形式的函数为反比例函数，逐一分析各函数即可． 【详解】解：①是一次函数，不是反比例函数， ②可变形为，符合反比例函数的定义，是反比例函数， ③中自变量的次数为，不符合反比例函数定义，不是反比例函数， ④可变形为，符合反比例函数的定义，是反比例函数， ⑤是二次函数，不是反比例函数， ⑥可变形为，符合反比例函数的定义，是反比例函数， ⑦是正比例函数，不是反比例函数， 综上所述，反比例函数有②④⑥． 故答案为：②④⑥． 题型3 根据反比例函数的定义求参数 解题技巧（双条件锁定法）：1. 指数条件：自变量 的指数必须等于 ，列方程求参数；2. 系数条件：化简后比例系数 ，舍去使 的参数解；3. 分步求解：先利用指数求值，再代入验证系数不为0；4. 规范取舍：多解题型必须检验，避免遗漏 隐含条件。 得分关键：求参数必查两个条件：指数为-1、系数不为0。 【典例3】．反比例函数图象经过，两点，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用反比例函数中比例系数的性质，建立与的等量关系，再结合已知的范围，根据不等式性质推导的取值范围． 【详解】解：设反比例函数解析式为，由反比例函数性质可得， ∵ 点，在反比例函数图象上， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴， 解得． 【变式1】．反比例函数的值是（     ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的定义，只需将函数整理为反比例函数的标准形式，即可得到的值． 【详解】解：反比例函数的值是． 【变式2】．若函数是反比例函数，则k的值为__________． 【答案】0 【分析】根据反比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是反比例函数，据此列式求解即可． 【详解】解：函数是反比例函数， ∴且， 解得． 【变式3】．已知点在反比例函数的图象上，则的值为_________． 【答案】4 【分析】若点在反比例函数图象上，则点的坐标满足反比例函数解析式，将点坐标代入解析式即可求出的值． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， 将，代入得：， 则． 题型4 求反比例函数值 解题技巧（直接代入法）：1. 明确解析式：确定反比例函数 中的 值；2. 代入自变量：将已知 的值代入解析式；3. 直接计算：化简求出对应 的值；4. 取值规避：杜绝代入 （无意义）。 基础套路：知x求y，直接代入计算，题型简单、计算细心不丢分。 【典例4】．下列各点，不在函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知，横纵坐标的乘积为的点才在该反比例函数的图象上，且横坐标不为0，据此逐个验证选项即可． 【详解】解：由题意得，反比例函数图象上的任意点满足，且． A选项：，满足条件，点在图象上． B选项：，满足条件，点在图象上． C选项：，满足条件，点在图象上． D选项：，此时函数无意义，且，不满足条件，点不在图象上． 【变式1】．下列四个函数中，符合当自变量为时，函数值为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将依次代入各选项计算函数值， 选项A，，，，不符合题意； 选项B，，，满足函数值为的条件，符合题意； 选项C，，，，不符合题意： 选项D，，，，不符合题意． 【变式2】．如图，已知点，，反比例函数图象的一支与线段有交点，写出一个符合条件的的整数值：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据反比例函数图象的一支与线段有交点，可得：，写出一个符合条件的整数即可． 【详解】解：当时，可得：， 反比例函数图象的一支与线段有交点， ， 解得：， 是整数， 或或或或或或， 写出一个符合条件的的整数值可以是（答案不唯一）． 【变式3】．已知反比例函数，当时，那么的值为________． 【答案】 【分析】将已知代入反比例函数解析式，计算即可得到的值 【详解】解：将代入，得 题型5 由反比例函数值求自变量 解题技巧（方程转化法）：1. 代入函数值：将已知 值代入反比例解析式；2. 列分式方程：得到关于 的一元分式方程；3. 解方程求值：交叉相乘化简求解 ；4. 检验根：保证 ，符合自变量取值范围。 核心思维：知y求x，函数问题转化为方程求解，是函数核心解题思想。 【典例5】．如图1为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图2所示，则下列说法正确的是（   ） A．I随R的增大而增大 B．当时， C．I与R的函数表达式是 D．当时，I的取值范围是 【答案】D 【分析】由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：由图可知，随的增大而减小， ∴A选项不正确，不符合题意； 设， ∵图象经过点， ∴， ∴， ∴与的函数表达式是， ∴C选项不正确，不符合题意； 把代入，可得 解得， ∴B选项不符合题意； ∵， ∴当时，，当时，， 又∵随的增大而减小， ∴当时，I的取值范围是, ∴D选项正确，符合题意． 【变式1】．如图1为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流与电阻之间的函数关系如图2所示，根据图象获得下列信息：（   ） ①与的函数解析式是；②当时，；③在第一象限，随的增大而减小；④当时，的取值范围是．其中正确的结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】将点代入解答①；将代入关系式判断②； 再观察图像可知在第一象限内函数的增减性解答③；然后将，代入关系式解答④ 即可． 【详解】解：设反比例函数的关系式为， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴函数关系式为，则①正确； 当时，，则②不正确； 观察图像可知在第一象限，I随着R的增大而减小，则③正确； 当时，； 当时，， ∴，则④正确． 所以正确的有①③④，一共3个． 【变式2】．已知点在反比例函数的图像上，则_______． 【答案】 【分析】若点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将点的坐标代入反比例函数解析式即可求出的值． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ∴， 解得． 【变式3】．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过的顶点A，点B、C分别在x轴负半轴、y轴负半轴上，，则点A的坐标是____________． 【答案】 【分析】先推导出得到点A的纵坐标为2，进而代入反比例函数的解析式求出，即可解答． 【详解】解：在中， ∴点A的纵坐标为2， 将代入，得 ， 解得， ∴点A的坐标是． 1．已知反比例函数图像经过点，下列各点一定在该函数图像上的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知点求出反比例函数的比例系数，再利用反比例函数图象上的点满足横纵坐标乘积等于，判断各选项是否符合． 【详解】解：设反比例函数解析式为，变形可得， ∵反比例函数图象经过点， ∴，即该反比例函数图象上任意点满足， 依次计算各选项横纵坐标乘积： 选项A：，该点不在图象上； 选项B：，该点不在图象上； 选项C：，该点不在图象上； 选项D：，该点在函数图象上． 2．下表是反比例函数的y与x的几组对应值，其中a的值为（    ） x a 1 y 1 2 4 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先利用待定系数法求出，然后将，代入求解． 【详解】解：将，代入得， 解得 ∴反比例函数 将，代入得， 解得． 3．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，气体的密度（单位：）与容器的体积V（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，当容器的体积满足时，气体的密度可以是（   ）． A．2 B．6 C．10 D．14 【答案】B 【分析】先利用待定系数法得，根据函数的性质并结合端点求出的范围，再逐项判断即可． 【详解】解：设，由图象可知过， ，则， 在第一象限内，随v的增大而减小， 当时，，当时，， ， ． 4．已知反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．当时，随的增大而增大 B．当时，随的增大而增大 C．该函数的图象位于第二、四象限 D．点在该函数的图象上 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质和图象上点的坐标特征，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：已知反比例函数，其中， ∵ ， ∴ 反比例函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，因此选项C错误； 当时，随的增大而减小，故选项A错误； 当时，随的增大而减小，故选项B错误； 对选项D，将代入，得，与点的纵坐标相等， ∴ 点在该函数图象上，选项D正确． 5．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例关系，它的图象如图所示．下列说法错误的是（    ） A．函数解析式为 B．当时， C．当时， D．当电压一定时，电流随电阻的增大而减小 【答案】B 【分析】将，代入求出的值，再根据反比例函数的图象与性质对各选项进行判断即可． 【详解】解：观察图象，可知图中函数为反比例函数， 即， 当时，， 得， 解得， ∴函数解析式为，故选项A正确； 当时，，故选项B错误； 当时，， 得，故选项C正确； ∴当电压一定时，电流随电阻的增大而减小，故选项D正确． 6．已知点在反比例函数的图象上，则m的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入，即可求得m的值． 【详解】点在反比例函数的图象上， ∴． 7．对于反比例函数，有下列说法：①图象经过点；②图象位于第一、三象限；③随的增大而增大；④当时，．其中不正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，只需逐个验证四个说法，根据反比例函数性质判断对错，统计不正确说法的个数即可得到答案. 【详解】解：已知反比例函数为，其中； ①验证点是否在图象上：∵ 将代入函数，得，∴ 图象经过点，①正确； ②判断象限：∵，∴ 反比例函数图象位于第二、四象限，故②错误； ③判断增减性：∵，反比例函数在每个象限内随的增大而增大，但不能在整个定义域内讨论增减性，因此说法③未限定象限，∴ ③错误； ④求的范围：当时，即， ∵， ∴，不等式两边同乘正数，不等号方向不变，得，整理得， ∴，故④正确； 综上，不正确的说法共个， 故选：B. 8．平面直角坐标系中有，，三点．若直线经过原点，则点一定在（     ） A．函数的图象上 B．函数的图象上 C．函数的图象上 D．函数的图象上 【答案】B 【分析】先根据直线过原点设出直线解析式，代入A、B坐标得到与的乘积，再根据C点坐标判断其满足哪个函数解析式． 【详解】解：∵直线经过原点， ∴设直线的解析式为， 把代入解析式得，即， ∴直线的解析式为， 把代入得，即， ∵点的坐标为， ∴点横纵坐标的乘积为， 对函数变形可得，满足点的坐标特征， ∴点一定在函数的图象上． 9．问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．以下结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且有两个不动点； ③为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点； ④若为“不动点函数”，则． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数的定义，求一次函数值，求反比例函数值，二次函数与一元二次方程， 根据“不动点函数”的定义，对每个结论通过解方程判断是否存在不动点，验证结论正确性后统计正确个数． 【详解】解：①∵令，则，化简得，矛盾，无实数解， ∴该函数不是“不动点函数”，①错误； ②∵令，则，两边乘得 又∵实数范围内 ∴方程无实数解，该函数没有不动点，②错误； ③∵令，则，整理得 解得或， ∴点是该函数的不动点，③正确； ④∵若是“不动点函数”，则， 整理得， 方程有实数解需判别式， 即，解得， 而结论中的范围不完整，④错误． 综上，正确的结论只有1个． 故选：A． 10．在同一平面直角坐标系中，已知两点坐标满足横纵坐标互反，如：和（）．若一个函数的图象恰好经过这样的两点，我们称这个函数是在上的“NY函数”．下列函数是在上的“NY函数”的有（    ） ①；②；③；④． A．② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题考查了函数的性质和函数图象的理解． 根据已知“NY函数”的定义解答即可． 【详解】解：对于函数，当时，；当时，，所以这个函数不满足“NY”函数条件； 对于函数，当时，；当时，，所以这个函数满足“NY”函数条件； 对于函数，当时，；当时，，所以这个函数不满足“NY”函数条件； 对于函数，当时，；当时，，所以这个函数满足“NY”函数条件； 故选：D． 11．如图所示的是一面墙（可利用的最大长度为），现打算沿墙围一个面积为的矩形花圃．设花圃的长为，宽为，则关于的函数表达式是_________，自变量的取值范围是_________． 【答案】， 【分析】此题考查根据实际问题列函数关系式，理解题意掌握长方形的面积公式是解题的关键．根据长方形的面积长宽，可得，进而得出y关于x的函数表达式，再根据围墙可利用的最大长度为求得x的取值范围． 【详解】解：解：由题意得，即． ∵围墙可利用的最大长度为， ∴， 故答案为：，． 12．定义：若实数，满足，，且（为常数），则称点为“友好点”，若有一个函数满足，其上存在“友好点”，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，二次函数求最值，与反比例函数的综合，熟练掌握知识点，正确转化是解题的关键． 根据题意得到，整理得到，由，且，转化为二次函数求最值即可． 【详解】解：有一个函数满足，其上存在“友好点”， 反比例函数的图象上存在“友好点”， ， ①②得， ， ， ， ， ， 整理得， 当时，， ∵， ∴， ，且， ， 故答案为：． 13．点在反比例函数的图象上，点关于轴对称的点在反比例函数的图象上，且，则的值为________． 【答案】 【分析】设点关于轴对称的点为点，由对称性可得点的坐标为，将点坐标代入对应的解析式可得，，结合，求出的值． 【详解】解：设点关于轴对称的点为点， ∴点的坐标为， 将点代入，得， 将点代入，得， ∵， ∴， 解得． 14．用绘图软件绘制双曲线：与动直线：，且交于一点，图1为时的视窗情形．视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点始终在视窗中心．例如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图1中坐标系的单位长度变为原来的，其可视范围就由及变成了及（如图2）．当和时，与的交点分别是点和，为能看到在和之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的，则整数________． 【答案】4 【分析】当和时，根据一次函数、反比例函数和直角坐标系的性质，分别计算的值，再根据题意分析，即可得到答案． 【详解】解：当时，得 ∴ ∵ ∴是的解 ∴与的交点坐标为： ∵（1）视窗可视范围就由及，且 ∴ 根据题意，得为正整数 ∴ ∴ 同理，当时，得 ∴ ∴ ∴ ∵要能看到在A和之间的一整段图象 ∴ 15．已知抛物线开口向上且经过点，双曲线经过点，给出下列结论：①；②；③是关于的一元二次方程的两个实数根；④．其中正确结论是______（填写序号） 【答案】①③/③① 【分析】本题主要考查二次函数，反比例函数，一元二次方程的综合，掌握二次函数图象的性质，一元二次方程根的判别式是解题的关键． 根据抛物线的开口及过点，双曲线经过点，得到，可判定①；根据可以转化为：，可判定③；根据一元二次方程根据的判别式可判定④；根据且，得到可判定②；由此即可求解． 【详解】解：∵抛物线开口向上且经过点，双曲线经过点， ∴， ∴，故①正确； ∴ ∴可以转化为：， ∴或，故③正确； ∵是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴， 化简，得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即，故④错误； ∵且， ∴，故②错误； 故答案为：①③． 16．已知反比例函数，当时，随着的增大而减小． (1)求的值； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质与定义，得出m的值是解题的关键． （1）根据反比例函数定义，以及反比例函数增减性列出等式与不等式求解，即可解题； （2）由（1）得到反比例函数解析式，结合解析式分析求解，即可解题． 【详解】（1）解：反比例函数，且当时，随着的增大而减小， 且， 解得且， ； （2）解：由（1）知，即， 当时，，且当时，随着的增大而减小， 当时，或． 17．为迎接农历马年的到来，提前点燃节日消费热度，各平台推出年终促销让利活动．某商家出售一款零食，在销售过程中，该商家发现这款零食的日销售量（单位：kg）与日销售单价（单位：元）之间成反比例函数关系，其函数图象如图所示，点在该反比例函数图象上． (1)求与之间的函数表达式（不必写的取值范围）； (2)当日销售单价为元时，对应的日销售量为_______； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及求反比例函数的函数值. ()设反比例函数的解析式为，将点代入解析式求解，即可解题； ()将代入()中求出的解析式求解，即可解题， ()把代入()中求出的解析，再根据反比例函数的性质在第一象限，随的增大而减小，即可解答． 【详解】（1）解：∵与成反比例函数关系， ∴设与之间的函数表达式为， ∵点在反比例函数图象上， ∴，解得， ∴与之间的函数表达式为； （2）解：将代入()中求出的解析式: ， ∴当日销售单价为元时，对应的日销售量为 故答案为：； （3）解：当时，，解得， 当时，，解得， ∵，∴在第一象限，随的增大而减小， ∴的取值范围为 18．已知反比例函数中，当时，随的增大而增大． (1)求的值； (2)试判断点，是否在此函数的图像上； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)点不在此函数图像上；点在此函数图像上； (3) 【分析】本题考查的是反比例函数的定义与性质，掌握反比例函数的定义与性质是解题的关键． （1）根据反比例函数的定义即可求解； （2）根据待定系数法，把点代入函数的解析式即可求出k的值，再利用代入法判断在不在函数的图像上； （3）分别求出和时的y值，根据函数的增减性判断y的取值范围即可. 【详解】（1）解：∵反比例函数 ∴且 解得：且 又∵随的增大而增大 ∴即 ∴ （2）由（1）可知： ∴由得：，故点不在此函数图像上； 由得：，故点在此函数图像上； （3）∵反比例函数， ∴在每个象限内y随x的增大而增大， 当时，代入反比例函数得； 当时，代入反比例函数得； ∴的取值范围为：. 19．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”，例如都是“黎点”．如果一个点的横坐标是纵坐标的两倍，则称该点为“横倍点”，例如都是“横倍点”． (1)求双曲线上的“黎点”； (2)函数，过（1）中函数的“黎点”和“横倍点”，且与坐标轴构成的三角形的面积为18，求“横倍点”P的坐标． (3)若抛物线（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当时，求c的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的综合题，熟练掌握一次函数和反比例函数的性质是关键． （1）根据新定义求出，即可得到答案； （2）分两种情况：①函数，“黎点”为，②函数，“黎点”为，分别进行解答即可； （3）根据题意得到方程有且只有一个解，求出，根据，即可求出答案． 【详解】（1）设双曲线上的“黎点”为， 则有， ∴， 经检验，的分式方程的解， ∴双曲线上的“黎点”为或； （2）①函数，“黎点”为，则，即， 其与x轴，y轴的交点坐标分别为，其与坐标轴构成的三角形的面积为18． ∴， 将代入， 解得． 又∵函数过“横倍点”， ∴， ∴， ∴ ②函数，“黎点”为，则，即 其与x轴，y轴的交点坐标分别为，其与坐标轴构成的三角形的面积为18． ∴，将代入，解得． 又∵函数过“横倍点”， ∴， ∴， ∴． 综上，“横倍点”P的坐标为或 （3）∵抛物线（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”， ∴方程有且只有一个解， 即有且只有一个解， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 20．在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数在第一象限内的图象与边交于点，与边交于点，的面积为2． (1)求与的数量关系； (2)当时，求反比例函数的解析式和直线的解析式； (3)设点是线段边上的点，在（2）的条件下，是否存在点，以为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，或 【分析】本题考查了反比例函数的性质（反比例函数上点的横纵坐标之积为定值）、锐角三角函数的定义、一次函数解析式的求法及相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用反比例函数点的坐标关系推导与的数量关系，结合三角函数和三角形面积求函数解析式，再通过分类讨论相似三角形的对应关系求点坐标． （1）根据反比例函数上点的横纵坐标之积为，得，化简得； （2）过作于，由得，结合面积为列方程求，进而得、，确定反比例函数解析式；再根据B、两点坐标求直线解析式； （3）分和两种情况，作，利用相似三角形的对应边成比例求的长度，结合直线解析式求点坐标． 【详解】（1）解：∵点、在反比例函数上， ∴，即，． ∴，化简得． （2）如图，过点作于点． 在中，， 由点、知，， 故，， ， ． ∵点在反比例函数上， ∴， ∴反比例函数的解析式． 由知，，则， ∴，又即， 设直线的解析式为，将点B与点D的坐标代入， ，解得， ∴直线的解析式为． （3）如图，作于， ①当时，， ， ， ， 即 ②当时， ， 即 ． 综合①②可知，或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 反比例函数的概念 目录 知识点1 反比例函数标准定义 2 知识点2 反比例函数三种等价形式（必考） 2 知识点3 反比例函数核心特征 2 知识点4 正反比例函数区别 2 题型1 用反比例函数描述数量关系 3 题型2 根据定义判断是否是反比例函数 4 题型3 根据反比例函数的定义求参数 4 题型4 求反比例函数值 5 题型5 由反比例函数值求自变量 5 1. 知识目标：理解反比例函数的定义、三种等价解析式、自变量取值范围；掌握反比例函数的本质特征，分清反比例函数与一次函数、正比例函数的区别，夯实反比例函数入门基础。 2. 能力目标：能利用反比例函数描述生活与数学数量关系；熟练判断函数是否为反比例函数；能根据定义求参数、求解函数值、由函数值反求自变量，全面掌握基础必考题型。 3. 素养目标：建立变量对应、数形结合、模型思想，掌握“积为定值”的反比例核心规律，培养函数辨析、参数计算、方程转化的解题能力。 知识点1 反比例函数标准定义 一般地，形如 （ 为常数，且 ）的函数，叫做反比例函数。其中 是自变量， 是 的函数。 取值范围：自变量 ，函数值 （分母不能为0，乘积定值不为0）。 知识点2 反比例函数三种等价形式（必考） 1. 分式标准型：（最常用）； 2. 乘积定值型：（核心本质：横纵坐标乘积恒为定值）； 3. 负指数型：（多用于判断参数、指数题型）。 核心判定：三种形式可互相转化，只要满足其一，即为反比例函数。 知识点3 反比例函数核心特征 1. 变量关系： 越大 越小， 越小 越大，此消彼长、乘积不变； 2. 结构特征：自变量 为一次、在分母位置，无常数项、无二次项； 3. 参数要求：比例系数 是不为0的常数，含参数题型必须保证 。 知识点4 正反比例函数区别 1. 正比例函数：，比值 定值； 2. 反比例函数：，乘积 定值； 做题关键：看“比值定值”还是“乘积定值”，快速区分两类函数。 题型1 用反比例函数描述数量关系 解题技巧（定值判定法）：1. 审题找变量：找出题目中两个变化的相关联变量；2. 判变化规律：两个变量乘积始终为固定常数，即为反比例关系；比值为固定常数为正比例关系；3. 列式建模：设自变量、函数，列出 或 关系式；4. 常见场景：路程一定时速度与时间、面积一定时长与宽、总工程量一定时效率与时间。 秒杀口诀：积定反比，比定正比，此消彼长为反比。 【典例1】．一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用了到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：）与时间t（单位：）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用了到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：）与时间t（单位：h）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．农村的手压水井是“前自来水时代”较为普遍的汲水工具．已知手压水井的阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）与动力臂（单位：）之间的函数表达式是______． 【变式3】．如图，在矩形中，，，为边上一动点，于点，，则关于的函数解析式为_________（写出自变量的取值范围）． 题型2 根据定义判断是否是反比例函数 解题技巧（三步判定法）：1. 看形式：能否化为、、 三种标准形式；2. 看指数： 的次数必须为 ，不能是1、2、0等；3. 看参数：化简后常数 ，无额外常数项；4. 快速排除：含 、、 一律不是反比例函数。 易错警示： 不是反比例函数，分母必须仅含单个自变量x。 【典例2】．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【变式1】．下列函数中是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中表示 是 的反比例函数的是______（填入序号）． 【变式3】．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是的反比例函数的有 ________ ．（填序号） 题型3 根据反比例函数的定义求参数 解题技巧（双条件锁定法）：1. 指数条件：自变量 的指数必须等于 ，列方程求参数；2. 系数条件：化简后比例系数 ，舍去使 的参数解；3. 分步求解：先利用指数求值，再代入验证系数不为0；4. 规范取舍：多解题型必须检验，避免遗漏 隐含条件。 得分关键：求参数必查两个条件：指数为-1、系数不为0。 【典例3】．反比例函数图象经过，两点，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．反比例函数的值是（     ） A． B． C．5 D． 【变式2】．若函数是反比例函数，则k的值为__________． 【变式3】．已知点在反比例函数的图象上，则的值为_________． 题型4 求反比例函数值 解题技巧（直接代入法）：1. 明确解析式：确定反比例函数 中的 值；2. 代入自变量：将已知 的值代入解析式；3. 直接计算：化简求出对应 的值；4. 取值规避：杜绝代入 （无意义）。 基础套路：知x求y，直接代入计算，题型简单、计算细心不丢分。 【典例4】．下列各点，不在函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．下列四个函数中，符合当自变量为时，函数值为的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，已知点，，反比例函数图象的一支与线段有交点，写出一个符合条件的的整数值：______． 【变式3】．已知反比例函数，当时，那么的值为________． 题型5 由反比例函数值求自变量 解题技巧（方程转化法）：1. 代入函数值：将已知 值代入反比例解析式；2. 列分式方程：得到关于 的一元分式方程；3. 解方程求值：交叉相乘化简求解 ；4. 检验根：保证 ，符合自变量取值范围。 核心思维：知y求x，函数问题转化为方程求解，是函数核心解题思想。 【典例5】．如图1为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图2所示，则下列说法正确的是（   ） A．I随R的增大而增大 B．当时， C．I与R的函数表达式是 D．当时，I的取值范围是 【变式1】．如图1为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流与电阻之间的函数关系如图2所示，根据图象获得下列信息：（   ） ①与的函数解析式是；②当时，；③在第一象限，随的增大而减小；④当时，的取值范围是．其中正确的结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】．已知点在反比例函数的图像上，则_______． 【变式3】．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过的顶点A，点B、C分别在x轴负半轴、y轴负半轴上，，则点A的坐标是____________． 1．已知反比例函数图像经过点，下列各点一定在该函数图像上的是（  ） A． B． C． D． 2．下表是反比例函数的y与x的几组对应值，其中a的值为（    ） x a 1 y 1 2 4 A． B． C． D． 3．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，气体的密度（单位：）与容器的体积V（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，当容器的体积满足时，气体的密度可以是（   ）． A．2 B．6 C．10 D．14 4．已知反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．当时，随的增大而增大 B．当时，随的增大而增大 C．该函数的图象位于第二、四象限 D．点在该函数的图象上 5．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例关系，它的图象如图所示．下列说法错误的是（    ） A．函数解析式为 B．当时， C．当时， D．当电压一定时，电流随电阻的增大而减小 6．已知点在反比例函数的图象上，则m的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．对于反比例函数，有下列说法：①图象经过点；②图象位于第一、三象限；③随的增大而增大；④当时，．其中不正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．平面直角坐标系中有，，三点．若直线经过原点，则点一定在（     ） A．函数的图象上 B．函数的图象上 C．函数的图象上 D．函数的图象上 9．问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．以下结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且有两个不动点； ③为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点； ④若为“不动点函数”，则． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．在同一平面直角坐标系中，已知两点坐标满足横纵坐标互反，如：和（）．若一个函数的图象恰好经过这样的两点，我们称这个函数是在上的“NY函数”．下列函数是在上的“NY函数”的有（    ） ①；②；③；④． A．② B．①③ C．②③ D．②④ 11．如图所示的是一面墙（可利用的最大长度为），现打算沿墙围一个面积为的矩形花圃．设花圃的长为，宽为，则关于的函数表达式是_________，自变量的取值范围是_________． 12．定义：若实数，满足，，且（为常数），则称点为“友好点”，若有一个函数满足，其上存在“友好点”，则的取值范围是________． 13．点在反比例函数的图象上，点关于轴对称的点在反比例函数的图象上，且，则的值为________． 14．用绘图软件绘制双曲线：与动直线：，且交于一点，图1为时的视窗情形．视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点始终在视窗中心．例如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图1中坐标系的单位长度变为原来的，其可视范围就由及变成了及（如图2）．当和时，与的交点分别是点和，为能看到在和之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的，则整数________． 15．已知抛物线开口向上且经过点，双曲线经过点，给出下列结论：①；②；③是关于的一元二次方程的两个实数根；④．其中正确结论是______（填写序号） 16．已知反比例函数，当时，随着的增大而减小． (1)求的值； (2)当时，求的取值范围． 17．为迎接农历马年的到来，提前点燃节日消费热度，各平台推出年终促销让利活动．某商家出售一款零食，在销售过程中，该商家发现这款零食的日销售量（单位：kg）与日销售单价（单位：元）之间成反比例函数关系，其函数图象如图所示，点在该反比例函数图象上． (1)求与之间的函数表达式（不必写的取值范围）； (2)当日销售单价为元时，对应的日销售量为_______； (3)若，求的取值范围． 18．已知反比例函数中，当时，随的增大而增大． (1)求的值； (2)试判断点，是否在此函数的图像上； (3)当时，求的取值范围． 19．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”，例如都是“黎点”．如果一个点的横坐标是纵坐标的两倍，则称该点为“横倍点”，例如都是“横倍点”． (1)求双曲线上的“黎点”； (2)函数，过（1）中函数的“黎点”和“横倍点”，且与坐标轴构成的三角形的面积为18，求“横倍点”P的坐标． (3)若抛物线（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当时，求c的取值范围． 20．在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数在第一象限内的图象与边交于点，与边交于点，的面积为2． (1)求与的数量关系； (2)当时，求反比例函数的解析式和直线的解析式； (3)设点是线段边上的点，在（2）的条件下，是否存在点，以为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $