第2章 有理数的运算 单元测试 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

**基本信息** 浙教版七年级上册《有理数的运算》单元卷，以新情景试题为核心亮点，融合社会热点、传统文化与生活应用，全面覆盖有理数运算知识，适配单元复习巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|科学记数法、相反数、新定义运算|2025年浙江常住人口（社会热点）、结绳计数（传统文化）| |填空题|6/24|数轴应用、圆柱侧面积|外卖员收入计算（生活应用）、数形结合思想（华罗庚名言）| |解答题|8/66|分段计费、数轴动点|露营车费优化（综合应用）、除方运算探究（创新应用）|

第2章《有理数的运算》检测试卷2026-2027学年浙教版七年级上册上学期 全卷共三大题，24小题，满分为120分． 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1.（新情景试题∙社会热点型情境题）2025年浙江省常住人口约万，用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2． 已知，是3的相反数，则xy的值为（    ） A．-1 B．-5 C． D．-5或1 3．（新情景试题∙实际应用）如表为张小亮的答卷，他的得分应是（    ） 姓名张小亮得分 _____？ 填空（每小题20分，共100分） ①的绝对值是． ②2的倒数是． ③的相反数是2． ④平方是1的数是1． ⑤和7的平均数是3． A．40分 B．60分 C．80分 D．100分 4． （新情景试题∙生活应用型）如图是黄老师2025年10月25日微信账单的收支明细 （正数表示收入，负数表示支出，单位：元），黄老师当天微信收支的最终结果是（    ） A．收入21元 B．收入4元 C．支出5元 D．支出12元 5． 下列说法正确的是（    ） A．近似数与的精确度一样 B．近似数与2000的意义完全一样 C．精确到万分位 D．万与的精确度不同 6． （新情景试题∙新定义问题情境题）在实数范围内定义一种新运算“＠”，其运算规则为：， 如：，则的值为（    ） A． B． C． D． 7． （新情景试题∙数学传统文化情境题） “结绳计数”是远古时代人类智慧的结晶， 即人们通过在绳子上打结来记录数量，类似我们现在熟悉的“进位制”， 如图所示是一位古人记录的当天采摘果实的个数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，这位古人当天采摘果实的个数是（    ） A．186 B．185 C．184 D．183 8．点A、B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b，则以下结论： ①；②；③；④，正确的是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 9． 若，则的值可能是（    ） A．1和3 B．和3 C．1和 D．和 10． （新情景试题∙数学传统文化情境题） 干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法， 干支是天干和地支的总称．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号，天干的计算方法是： 年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数 （若余数为0，则对应天干序号为10，地支序号为12）． 以2026年为例，天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，2026年为农历丙午年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请你依据上述规律推断2035年为（    ） A．农历己巳年 B．农历己卯年 C．农历乙巳年 D．农历乙卯年 二、填空题：本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上． 11．比较大小： （填“＜”或“＞”）． 12.．若，则代数式的值是 . 13．如图，按程序框图中的顺序计算，当输入的初始值x为32时，则输出的最后结果为_______． 14．（新情景试题∙生活应用型）外卖员小李年月送餐单的统计数据如下表： 送餐距离 小于等于公里 大于公里 占比 送餐费 元/单 元/单 则小李年月份的送餐收入为_____元． 15 . 如图所示，有一个高为的圆柱体，现在它的底面圆周在数轴上滚动， 在滚动前圆柱体底面圆周上有一点和数轴上表示的点重合， 当圆柱体滚动一周时点恰好落在了表示的点的位置．则这个圆柱体的侧面积是 16． （新情景试题∙数学文化情境题） “数形结合思想”是数学学习中非常重要的一种数学思想， 著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．” 在计算时，可以联想到图（1），则． 请观察图（2），计算_____． 三、解答题：本大题共8个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 .计算． (1) (2) (3) (4) 18 . （新情景试题∙新定义问题情境题） 已知a，b均为有理数，现定义一种新的运算， 规定：a * b＝a2 + ab﹣1．例如：1 * 2＝12+ 1×2﹣1＝ 2．求： （1）（﹣3）* 2的值． （2）[ 2 *（）]﹣[（﹣5）* 1 ]的值． 19. （新情景试题∙生活应用型）请根据图示的对话解答下列问题． 我不小心把老师留的作业题弄丢了，只记得式子是 我告诉你：“a的相反数是，，且b的绝对值是6，b与c的和是．” (1) 求：a、b、c的值； (2) 计算的值． 20. 数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明用了一种不同的方法解决了这个问题， 他认为原式的倒数为， 所以． 请你运用小明的解法计算：． 21．（新情景试题∙生活应用型）根据背景素材，探索解决问题． 周末小明打算去露营基地野餐 素材1 路线图：家→炸鸡店→面包店→水果店→奶茶店→露营基地； 素材2 这条路线近似看成东西走向．如果规定向东为正，向西为负， 他这天行车里程（单位：）如下：，，，，； 素材3 滴滴车价目表：起步价（不超过时）车费8元；超过的部分，按2元/千米收费，消费满10元赠送一张8折优惠券和一张7折优惠券 （每人限赠一次，优惠券在下一订单生效，且每笔订单仅限使用一张优惠券）． 问题解决 任务1 求露营基地在家的哪个方向，并求出与家的距离； 任务2 计算炸鸡店到面包店所用的车费； 任务3 该路线如何正确使用优惠券，能使总车费最低？最低总车费是多少？ （假设小明每到一个地点都会下车购物，然后换乘另一辆滴滴车前往下一个地点．） 22．阅读下列材料，完成后面的任务． 点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为． 如图，从数轴上看，若点A，B表示的数分别是1，4， 则或． 【归纳】若点A，B表示的数分别是， 则或． 任务： (1) 若点表示的数，点B表示的数为，=______． (2) 若点表示的数，，则点表示的数为______． (3) 试用数轴探究，当时，求的值 23.（新情景试题∙新定义问题）【概念学习】 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方， 比如：，等，类比有理数的乘方， 我们把写作，读作“2的圈3次方”， 写作，读作“的圈4次方”， 一般地，把写作n个，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：_______，_______； （2）下列关于除方说法中，错误的是：_______． A：任何非零数的圈2次方都等于1 B：对于任何正整数n， C： D：负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算， 有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式： _______，_______． （4）想一想：请把有理数的圈次方写成幂的形式为：_______． （5）计算：． 24．已知数轴上A，B两点表示的数分别为和40，P为数轴上一点． (1) 若点P到A，B两点的距离相等，求A，B两点的距离和点P表示的数x； (2) 若点P到点B的距离等于50，求点P表示的数； (3) ①数轴上是否存在点P，使得点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍？ 若存在，求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由． ②若点P从点A出发，以每秒2个单位的速度向右运动，点Q从点B出发， 以每秒4个单位的速度向左运动，P、Q两点同时出发．几秒后点P到点Q的距离为10？ 答案解析 一、选择题 1.【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值等于小数点移动的位数． 【详解】解：万， 故选：B． 2.【答案】C 【分析】根据相反数和绝对值的定义即可得出答案. 【详解】根据题意可得：x=±2，y=-3 ∴xy的值为6或-6 故答案选择C. 3.【答案】A 【分析】根据绝对值的意义，倒数的定义：“乘积为1的两个数”，相反数的定义：“只有符号不同的两个数”，乘方运算，平均数的计算方法，逐一进行判断，即可． 【详解】解：，故①错误， 2的倒数是，故②错误， 的相反数是2，故③正确， ，故④错误， ，故⑤正确， ∴张小亮的得分为（分）， 故选：A． 4.【答案】B 【分析】本题主要考查了正数和负数，掌握正数和负数表示相反意义的量是解题的关键． 根据有理数的加法法则求和即可． 【详解】解：（元）． 故选：B． 5.【答案】C 【分析】此题考查了近似数，解答此题应掌握数的精确度的知识，最后一位所在的位置就是精确度． 根据最后一位所在的位置就是精确度，即可得出答案． 【详解】解：A、精确到百分位，精确到十分位，精确度不一样，故本选项不符合题意； B、近似数精确到百位，2000精确到个位，意义不一样，故本选项不符合题意； C、精确到万分位，故本选项符合题意； D、万与的精确度相同，都是精确到百位，故本选项不符合题意； 故选：C． 6.【答案】C 【分析】利用有理数的乘方运算性质化简即可求解． 【详解】解：根据新运算规则， 可得 ． 7.【答案】D 【分析】本题考查有理数的运算，读懂题意，理解古代记数规则，再转化为现代的十进制数是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，绳子上按照古代记数规则是，由于满四进一，将其转化为现在的十进制数为， 故选：D． 8.【答案】B 【详解】由点A、B在数轴上的位置可知，， ∴（1）；（2）；（3）；（4）. ∴原来四个结论中成立的是②③. 故选B. 9.【答案】B 【分析】本题考查的绝对值的应用，以及化简求值，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性，根据，即a、b全为正数时，或a、b为一正一负时，或a、b全负时分类讨论计算即可． 【详解】解：， 设时， ， 或时， ，或， 时， ， 综上可得：或， 故选：B． 10.【答案】D 【分析】根据给出的计算方法，分别列式计算即可. 【详解】解：天干为：， 地支为：， 故2035年为农历乙卯年. 二、填空题 11.【答案】＞ 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据两个负数比较大小，其绝对值大的反而小比较即可． 【详解】解：∵，， ， ∴； 故答案为：＞． 12.【答案】9 【分析】要求的值，必须先求出的值，而通过已知条件可知，则可求的值. 【详解】 代入中，得 13.【答案】128 【分析】本题考查程序流程图与有理数的运算，把32代入流程图，列出算式进行计算，直至最后结果，即可． 【详解】解：， ，输出； 故答案为：128． 14.【答案】 【分析】先根据总订单数和对应占比分别算出两类送餐距离的订单量，再结合各自单餐费用，列式计算求出小李月份的送餐总收入． 【详解】解：由表格数据可得，总送餐收入为 （元）． 15.【答案】 【分析】本题考查了圆柱体侧面积的计算，数轴的运用，由题意可得，底面圆的周长为， 而圆柱体的高为，根据侧面积底面周长高即可求解， 解题的关键是通过数轴求出圆柱体的底面周长． 【详解】解：由题意可得，底面圆的周长为， ∴这个圆柱体的侧面积为， 故答案为：． 16.【答案】 【分析】直接根据图（2）作答即可． 【详解】解：由图（2）可知． 三、解答题 17.【答案】(1)4 (2)10 (3)3 (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，有理数的运算律，乘除混合运算，含有乘方的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． (1)按照有理数加减的运算法则计算即可． (2) 根据乘除法的混合运算计算即可． (3) 利用分配律计算即可． (4) 按照有理数的乘方混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 18.【答案】(1)2 （2）-19 【分析】（1）直接利用运算公式计算得出答案； （2）直接利用运算公式计算得出答案． 【解答】解：（1）（﹣3）*2 ＝（﹣3）2+（﹣3）×2﹣1 ＝9﹣6﹣1 ＝2； （2）[2*（）]﹣[（﹣5）*1] ＝22+2×（）﹣1﹣[（﹣5）2+（﹣5）×1﹣1] ＝4﹣3﹣1﹣（25﹣5﹣1） ＝4﹣3﹣1﹣19 ＝﹣19． 19.【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查有理数的运算： （1）根据相反数，绝对值的意义，有理数的加法运算，求出的值即可； （2）将a、b、c的值代入，利用有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，，， ∵， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴ ． 20.【答案】 【分析】本题考查有理数计算．根据题意利用小明解法先取原式的倒数，再转化为乘法，计算后再取倒数即可． 【详解】解：原式的倒数为 ； ∴． 21.【答案】任务1：露营基地在家的西边处； 任务2：炸鸡店到面包店所需费用12元； 任务3：水果店到奶茶店用8折券，奶茶店到露营基地用7折券，能使总车费最低；最低总车费是52.8元 【分析】本题考查有理数的运算与分段计费问题；关键是掌握有理数运算和分段计费规则，易错点是里程计算错误或优惠券使用逻辑混乱． 任务1：用有理数加法确定方向和距离； 任务2：用分段计费思想计算车费； 任务3：通过优惠券策略分析找最低总车费． 【详解】解：任务1：如果规定向东为正，向西为负，则， 答：露营基地在家的西边处． 任务2：（元）． 答：炸鸡店到面包店所需费用12元． 任务3： （元）． 答：水果店到奶茶店用8折券，奶茶店到露营基地用7折券，能使总车费最低；最低总车费是52.8元． 22.【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查数轴上两点间的距离、绝对值、有理数的加减，解题的关键是利用分类讨论的思想去绝对值符号． （）利用数轴上两点间的距离公式，即可求出的值； （）设点表示的数为，根据数轴上两点间距离公式，再分两种情况，利用数轴上两点的距离求解即可； （）根据绝对值的定义，绝对值为的数有和，再分两种情况，即可解答； 【详解】（1）解：∵点表示的数，点B表示的数为， ∴根据数轴上两点间距离公式； 故答案为：； （2）∵点表示的数，，设点表示的数为， ∴根据数轴上两点间距离公式， 当时，， 当时，， 所以点表示的数为或； 故答案为：或； （3）∵， ∴根据绝对值的定义，绝对值为的数有和， 当时，， 当时，； 所以的值为或． 23.【答案】（1）；4；（2）C；（3）， ；（4）；（5） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时也要注意分数的乘方要加括号，对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序． （1）分别按除方公式进行计算即可； （2）根据定义依次判定即可； （3）把除法化为乘法，根据幂的乘方进行计算； （4）根据幂的乘方进行计算即可得到答案 （5）先根据新运算代入，再根据积的乘方与幂的乘方直接计算即可得到答案； 【详解】解：（1）由题意可得， ，， 故答案为：；4； （2）由题意可得， A选项任何非零数的圈2次方都等于1； 所以选项A正确， B选项因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，都等于1， 所以选项B正确， C选项，，则； 所以选项C错误， D选项负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确， 本题选择说法错误的，故选C； （3）由题意可得， ，， 故答案为：， ； （4）由题意可得， ； （5）由题意可得， 原式 24.【答案】(1)A，B两点的距离为60，点P表示的数x为10 (2)点P表示的数为90或 (3) ①存在，点P表示的数为20或100；②秒或秒后点P到点Q的距离为10 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离公式，一元一次方程的实际应用以及绝对值的意义. （1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可求出A，B两点的距离；先判断出点P在A、B之间，然后表示出、的长，列方程求解即可； （2）根据点P到点B的距离等于50，B点表示的数为40，计算即可； （3）①分三种情况讨论∶当点P在点A的左侧时；当点P在点A、B之间时；当点P在点B的右侧时；根据点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍列出方程求解即可； ②设t秒后点P到点Q的距离为10，列出方程，求解即可 【详解】（1）∵数轴上A，B两点表示的数分别为和40， ∴， ∵点P到A，B两点的距离相等， ∴点P在A、B之间， ∵点P表示的数x， ∴，， ∴， 解得； （2）∵点P到点B的距离等于50，B点表示的数为40， ∴或， 即点P表示的数为90或； （3）存在，理由： 设点P表示的数为a， ①当点P在点A的左侧时，，不适合题意，舍去； 当点P在点A、B之间时，，， ∵点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍， ∴， 解得； 当点P在点B的右侧时，， ∵点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍， ∴， 解得； 综上，当点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍时，点P表示的数为20或100； ②设t秒后点P到点Q的距离为10， 此时P点表示的数为，Q点表示的数为， ∴， 即， ∴， 解得或， 所以秒或秒后点P到点Q的距离为10． 学科网（北京）股份有限公司 $