综合测试卷（三）-《数学 拓展模块下册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 本套综合训练紧扣中职数学核心考点，通过章节AB卷分层巩固与综合测试卷实战模拟，系统整合数列、概率、三角函数等知识，强化数学思维与应用能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数列|选择4题、填空1题、解答2题|含等差等比运算及实际应用（利润、粉丝增长）|从通项推导到求和及建模，体现模型意识| |概率统计|选择2题、解答1题|古典概型、正态分布及分布列|从随机现象抽象到数据处理，培养数据意识| |三角函数与解三角形|选择3题、填空1题、解答2题|图像平移、三角变换及距离计算|从函数图像到边角关系，结合几何直观| |排列组合与二项式定理|选择1题、填空2题、解答1题|排列应用及展开式系数|从计数原理到公式应用，强化推理能力|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（三） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．数列，，，，…的一个通项公式为（） A． B． C． D． 2．在等差数列中，若，则等于（   ） A． B． C．0 D．5 3．在等比数列中，，，则公比的值为（    ） A． B．2 C． D． 4．某公司第一年的利润为800万元，计划从第二年起，每一年该公司的利润是上一年的1.5倍.若预计前年的利润总和为6500万元，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．袋中有4个小球，除颜色外其他都相同，其中有2个黄球，2个绿球．从中任取2球，取出的球为1黄1绿的概率为（   ） A． B． C． D． 6．已知随机变量X服从正态分布，若，则（   ） A． B． C． D． 7．在中，已知，，，则（   ） A． B． C． D．或 8．若，则为（     ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．有一个内角为的直角三角形 D．有一个内角为的等腰三角形 9．要得到函数的图像，只需要将函数的图像（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 10．为宣传家乡，“保山文旅”制定了一个为期5周的“粉丝增长计划”，通过每周在抖音平台发布一系列优质视频实现粉丝增长．若其周粉丝增长量成等差数列，且第五周增长的粉丝数为第一周的3倍，5周目标共增加50万粉丝，则第2周应增长的粉丝数量是（ ） A．5万 B．7.5万 C．10万 D．12.5万 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11．展开式中项的系数为______. 12．七名同学站在一块照相，要求前排站3人，后排站4人，一共有________种站法． 13．在△ABC中，若，，，则________． 14．等差数列中，已知，则__________． 15．在正项等比数列中，若，是方程的两根，则的值是_________． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 90 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 16．（本小题10分）某地区抽取的样本中包含5个学校的数据，这5个学校的招生数量（单位：万人）分别为：25.2，26.4，24.8，23.6，23.5. (1)求这5个学校招生数量的极差和中位数； (2)从这5个学校中随机抽取3个，记抽取到的招生数量超过25万人的学校个数为随机变量，求的分布列. 17.（本小题10分）书架的第一层放4本不同的计算机书，第二层放3本不同的文艺书，第三层放2本不同的体育书，从书架的第一、第二、第三层任取一本书共有多少种不同的取法？ 18.（本小题10分）已知，在第一象限，求，，的值． 19．（本小题10分）在各项均为正的等比数列{}中，已知，且，，成等差数列．求： (1)数列{}的通项公式； (2)数列{}的前5项和． 20．（本小题10分）如图所示，村庄B在村庄A的北偏东方向，且村庄A与B的距离是，村庄C在村庄A的北偏西方向，且村庄A与C的距离是8km．现要在村庄B的北偏东方向建立一个农贸市场D，使得农贸市场D与村庄C的距离是与村庄B的距离的倍．求：   (1)村庄B与C的距离； (2)农贸市场D与村庄B的距离． 21．（本小题10分）已知的展开式中，第2项与第6项的二项式系数相等．求： (1)n及展开式中各项系数的和； (2)的常数项． 22．（本小题15分）在等差数列{}中，已知，． (1)求等差数列{}的通项公式； (2)若，求数列{}的前n项和． 23．（本小题15分）三角形的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（三） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．数列，，，，…的一个通项公式为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别分析数列各项分子和分母的规律，进而得出通项公式. 【详解】数列各项的分母依次为…，可写成…，即分母可写成， 数列各项的分子依次为…，可写成…，即分子可写成， 所以该数列的通项公式为． 故选：C． 2．在等差数列中，若，则等于（   ） A． B． C．0 D．5 【答案】C 【分析】先根据已知条件求出公差，再利用等差数列的通项公式求出. 【详解】等差数列中，， 则公差， 所以， 故选：C． 3．在等比数列中，，，则公比的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用等比数列的通项公式即可得解. 【详解】等比数列中，，， 则， 解得， 当时，计算得，与条件矛盾， 故不成立， 经检验，时成立，所以， 故选：. 4．某公司第一年的利润为800万元，计划从第二年起，每一年该公司的利润是上一年的1.5倍.若预计前年的利润总和为6500万元，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由题意知各年的利润成等比数列，由等比数列前项和的公式即可求得的值. 由题意知各年的利润成等比数列，记该数列为，前年的利润总和记为，公比. 由，解得， 故选：B. 5．袋中有4个小球，除颜色外其他都相同，其中有2个黄球，2个绿球．从中任取2球，取出的球为1黄1绿的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据古典概率的公式求解即可. 【详解】从4个球中任取2个，不考虑顺序，总共有种不同取法. 取出1黄1绿，需要从2个黄球中取1个、2个绿球中取1个，共种取法. 因此概率为. 故选：B. 6．已知随机变量X服从正态分布，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正态分布曲线对称的性质即可解答. 【详解】已知随机变量X服从正态分布， 已知正态分布曲线的对称轴为， 所以 ， 故选：A. 7．在中，已知，，，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】在中，已知，，， 则，解得. 因为，则或. 故选：D. 8．若，则为（     ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．有一个内角为的直角三角形 D．有一个内角为的等腰三角形 【答案】B 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】在中，正弦定理， 又，所以， 则，即， 又，则， 所以，所以为等腰直角三角形. 故选：B. 9．要得到函数的图像，只需要将函数的图像（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【分析】根据正弦型函数图像的平移变换即可求解. 【详解】因为函数， 要得到函数的图像， 需要将函数的图像向左平移个单位长度. 故选：A. 10．为宣传家乡，“保山文旅”制定了一个为期5周的“粉丝增长计划”，通过每周在抖音平台发布一系列优质视频实现粉丝增长．若其周粉丝增长量成等差数列，且第五周增长的粉丝数为第一周的3倍，5周目标共增加50万粉丝，则第2周应增长的粉丝数量是（ ） A．5万 B．7.5万 C．10万 D．12.5万 【答案】B 【详解】设该等差数列为，其公差为，依题意，， 则，即，解得， 所以第2周应增长的粉丝数量. 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11．展开式中项的系数为______. 【答案】 【分析】根据二项式展开式的通项公式即可求解. 【详解】展开式的通项公式为， 令， 此时， 故答案为： 12．七名同学站在一块照相，要求前排站3人，后排站4人，一共有________种站法． 【答案】5040 【分析】根据全排列公式求解即可. 【详解】七名同学站在一块照相，要求前排站3人，后排站4人，前排3个位置与后排4个位置均互异， 所以总排列数为，即共有5040种站法. 故答案为：5040. 13．在△ABC中，若，，，则________． 【答案】7 【分析】根据余弦定理计算即可. 【详解】由题可知：， 所以7 故答案为：7 14．等差数列中，已知，则__________． 【答案】 【分析】根据等差数列的性质及前项和公式求解． 【详解】等差数列中，， 则． 故答案为：． 15．在正项等比数列中，若，是方程的两根，则的值是_________． 【答案】 【分析】由等比数列的性质、对数的运算性质及根与系数的关系即可得解. 【详解】由，是方程的两根，可知， 由等比数列的性质可知，， 故. 故答案为：. 三、解答题（本大题共 8 小题，共 90 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 16．（本小题10分）某地区抽取的样本中包含5个学校的数据，这5个学校的招生数量（单位：万人）分别为：25.2，26.4，24.8，23.6，23.5. (1)求这5个学校招生数量的极差和中位数； (2)从这5个学校中随机抽取3个，记抽取到的招生数量超过25万人的学校个数为随机变量，求的分布列. 【答案】(1)极差为（万人），中位数为（万人） (2)分布列见解析. 【分析】（）将数据进行排列，利用极差和中位数的定义即可得解. （）求出随机变量的取值，利用古典概型及组合数分别求出概率即可得解. 【详解】（1） 将数据从小到大排列：23.5，23.6，24.8，25.2，26.4， 极差（万人），中位数（第3个数）（万人）. （2）招生数量超过25万人的学校：25.2，26.4，共2所；其余3所不超过， 的可能取值为0，1，2， ，，， 分布列： 0 1 2 17．（本小题10分）书架的第一层放4本不同的计算机书，第二层放3本不同的文艺书，第三层放2本不同的体育书，从书架的第一、第二、第三层任取一本书共有多少种不同的取法？ 【答案】9 【分析】根据分类加法的原理求解即可. 【详解】从书架的第一层任取一本书，有4种取法. 从书架的第二层任取一本书，有3种取法. 从书架的第三层任取一本书，有2种取法. 所以共用种不同的取法. 18．（本小题10分）已知，在第一象限，求，，的值． 【答案】 【分析】根据二倍角的正弦公式，和二倍角的余弦公式确定，的值，再由同角三角函数的商数关系求值即可. 【详解】因为，且在第一象限，所以， ， ， . 19．（本小题10分）在各项均为正的等比数列{}中，已知，且，，成等差数列．求： (1)数列{}的通项公式； (2)数列{}的前5项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等比数列公比为q，利用等差中项的性质列方程求解公比，即可得到数列的通项公式. （2）根据等比数列前n项和公式计算前5项和. 【详解】（1）设各项均为正数的等比数列的公比为，则，. 已知，则，. 因为，，成等差数列，所以，即，整理为， 解得或. 因数列各项均为正，故，舍去，得. 因此数列的通项公式为. （2） 。 20．（本小题10分）如图所示，村庄B在村庄A的北偏东方向，且村庄A与B的距离是，村庄C在村庄A的北偏西方向，且村庄A与C的距离是8km．现要在村庄B的北偏东方向建立一个农贸市场D，使得农贸市场D与村庄C的距离是与村庄B的距离的倍．求：   (1)村庄B与C的距离； (2)农贸市场D与村庄B的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据题意结合余弦定理即可得解. （）根据正弦定理求出，利用题意求出，代入余弦定理即可得解. 【详解】（1）由题意可知，在中，，， 由余弦定理： ， 所以. （2）在中，由正弦定理可知，，解得， 因为，所以，故在的正西方向， ，， 由余弦定理：， 解得 或（舍）， 所以 . 21．（本小题10分）已知的展开式中，第2项与第6项的二项式系数相等．求： (1)n及展开式中各项系数的和； (2)的常数项． 【答案】(1) ，展开式中各项系数的和为 (2) 【分析】（1）利用二项式系数的对称性求解，再通过赋值求各项系数和； （2）写出二项展开式的通项公式，令的指数为0，代入计算得到常数项. 【详解】（1）二项展开式中第项的二项式系数为，因此第2项的二项式系数为，第6项的二项式系数为. 由题意得，可得，解得，. 此时，令，则展开式中各项系数的和为. （2）的展开式通项为. 化简得，令的指数为0，即，解得. 将代入通项，则常数项为. 22．（本小题15分）在等差数列{}中，已知，． (1)求等差数列{}的通项公式； (2)若，求数列{}的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的性质求解首项和公差，即可推导通项公式； （2）根据错位相减法计算前项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为. 已知，解得. 已知，解得. 所以，得，代入，得. 因此的通项公式为. （2）由（1）得，设的前项和为， 则①. ②. ①②得. 因为， 所以， 因此. 23．（本小题15分）三角形的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理和三角形内角和求解即可； （2）由正弦定理和三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）根据题意， 由正弦定理得. 因为，所以， 又，得. 因为，， 所以或者， 而根据题意，故不成立， 所以，又因为，代入得，所以. （2）因为是锐角三角形， 由（1）知，得到， 故，解得. 由正弦定理，得， 由三角形面积公式，得 ， 又因为，， 故， 故，故的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $