综合测试卷（一）-《数学 拓展模块下册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 紧扣教材核心考点，采用AB卷分层训练与综合测试卷实战模拟，系统构建知识网络，提升知识应用与应试能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固与能力提升|每章AB卷+4份综合卷|基础题（等差等比计算）、综合题（概率统计结合）、应用题（解三角形实际应用）|从数列、排列组合等基础概念，到概率分布、回归分析等综合应用，形成概念生成-原理推导-实际问题解决的逻辑链条|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（一） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．在等差数列中，若，，且，则n＝（    ） A．49 B．50 C．51 D．52 【答案】B 【分析】根据题意结合等差数列的性质求出公差，利用等差数列的通项公式即可得解. 【详解】设等差数列的公差为， ，，则，解得， ，则，解得， 故选：. 2．已知数列为等比数列，前n项和，则a等于（   ） A．3 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】首先由时，，得出，再由等比数列的通项公式求出，最后由求值即可. 【详解】已知的前n项和， 则， ， 所以公比，所以， 则，解得， 故选：B. 3．某市技能大赛4位获奖学生和2位指导教师要求站成一排拍照留念，其中2位教师必须站在中间的种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用分步乘法计数原理，先计算2位教师在中间位置的排列数，再计算4位学生在剩余位置的排列数，二者相乘得到总排列种数即可. 【详解】安排2位教师站中间的2个位置， 排列数为， 安排4位学生站剩余的4个位置， 排列数为， 所以2位教师必须站在中间的种数为， 故选：A. 4．甲乙两人独立解决一道难题的概率分别为和，则该题被攻克的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据独立事件及对立事件的概率公式求解. 【详解】设“甲解决难题”为事件，“乙解决难题”为事件，所以事件与事件相互独立， 已知，， 可得，， 该题未被攻克的概率为， 所以该题被攻克的概率为：. 故选：B. 5.已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦的二倍角公式及诱导公式可求解. 【详解】由题可得：， 所以， 所以. 故选：C 6．在中，若，，，则等于（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】先根据正弦定理求出的值，再结合大边对大角以及三角形内角的范围确定的值. 【详解】已知，，，将其代入正弦定理中， 可得，即，解得， 因为，根据大边对大角可知， 又因为，则， 所以或. 故选：B. 7．已知随机变量的分布列： 0 1 2 3 则变量的数学期望等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数学期望的计算公式求值即可. 【详解】因为，所以， 则 . 故选：B. 8．已知的展开式中共8项，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二项展开式的性质得出，利用组合数的性质即可得解. 【详解】的展开式中共8项，则， 则， 故选：. 9．函数（，，）的部分图象如题图所示，则的解析式为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用最值可得，由图象上两个点的坐标求出正弦型函数的周期，进而求出，再代入一个点的坐标，即可得解. 【详解】由图可知，该函数的最大值为，最小值为，，即， 且函数最小正周期：，解得， 此时. 又函数经过，由“五点法”作图可得：， 所以. 又，所以，即为所求. 故选：A 10．如图所示，在等腰直角三角形中，斜边，过点作边的垂线，垂足为，过点作边的垂线，垂足为，过点作边的垂线，垂足为，…，以此类推，设，，则________．    【答案】/ 【分析】根据题意分析可知数列为等比数列，再利用等比数列通项公式求解即可. 【详解】因为在等腰直角三角形中斜边，所以直角边， 是等腰直角三角形斜边上的高，， 同理，由等腰直角三角形的性质可知，后续每一条垂线都是前一条的倍， 所以，构成等比数列， 其中，，公比，则． 故答案为：. 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11．某班级日常量化考核得分月度增量构成等差数列，已知该数列第4项，第6项 ，则该得分增量数列的首项________. 【答案】9 【分析】根据等差数列基本量的计算可得结果 【详解】设等差数列的公差为， 所以，，. 故答案为：9 12．若，且，则的值是_____________ 【答案】 【分析】根据同角三角函数的关系以及二倍角的正弦公式求解即可. 【详解】已知，， 则. 因为，所以，则，进而. 故答案为：. 13．设是等比数列的前n项和，若，，则__________． 【答案】60 【分析】设等比数列的公比为，根据等比数列的求和公式，分，两种情况，计算，可求解. 【详解】设等比数列的公比为，由题意： ①若时，则，方程组无解，故不符合题意； ②若时，则 ，解得， 又， 即，解得. 故答案为：60 14．用0，1，2，3，4，5，6，7八个数字组成无重复数字的整数，其中四位奇数有________个． 【答案】720 【分析】先确定个位数和千位数，再确定百位数和十位数，利用分步计数原理求解即可. 【详解】第一步确定个位数字，因为组成的数为奇数， 所以个位数为奇数，则从中选一个，有4种选法， 第二步确定千位数字，千位数字不能为0， 则千位数字从除0和已选个位数之外的6个数字中选取一个，有6种选法， 第三步确定百位和十位，从剩余6个数字中选2个数字排列，共有种， 根据分步计数原理可得四位奇数有个. 故答案为：. 15．某校随机抽取8名同学，测量同学们的体重（单位：kg）与身高（单位：cm），所得数据见下表，已知回归系数，某同学身高185cm，其体重大约为________.（保留两位小数）. 身高 172 150 170 165 180 176 155 160 体重 63 40 38 44 39 37 46 42 【答案】 【分析】求出的平均值，代入回归直线方程中求出得出回归方程，再将代入回归方程中即可得解. 【详解】， ， 因为，则，解得， 所以， 当时，， 故答案为：. 三、解答题（本大题共 8 小题，共 90 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 16．（本小题10分）2022年6月17日，我国第三艘航空母舰“中国人民解放军海军福建舰”正式下水，为了增强学生的国防意识，某校特组织全校学生参加“筑梦深蓝，山河荣耀”的国防知识大赛初赛，对全校1200名学生的参赛成绩进行统计，得到如图所示的频率直方图，其中分组的区间为成绩大于等于80分评为“优秀”等级.    (1)求a的值，并计算该校国防知识大赛初赛被评为“优秀”等级的学生人数； (2)在评为“优秀”等级的学生中采用分层抽样抽取6人，再从6人中随机抽取3人进行下一轮的决赛，设这3人中成绩在的人数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列及数学期望. 【答案】(1)a=0.025，360 (2)分布列见解析，数学期望为2.5 【分析】（1）根据频率和为1即可求解. （2）根据频率分布直方图，结合数学期望的公式即可求解. 【详解】（1）由题意得，，解得 . 则被评为”优秀”等级的学生人数为：. （2）由题意得，∵6人中成绩在的人数为：, 成绩在的人数为：， 则ξ 的取值有,所以 ，，   ∴随机变量ξ 的概率分布为 ξ 2 3 P 0.5 0.5 随机变量的数学期望：. 17．（本小题10分）某学校计算机专业计划在七一举办“红歌献给党”歌唱活动，为使活动顺利开展，需要从3名男生，4名女生的学生会成员中选派3人作为志愿者进行协助，求： (1)选派1名男生，2名女生，共有几种选派方法； (2)活动结束后，拟从5件不同的纪念品给每位志愿者送1件，共有几种送法． 【答案】(1)18 (2)60 【分析】（1）根据组合以及分步计数原理求解即可. （2）根据排列以及排列数的计算求解即可. 【详解】（1）选派1名男生，2名女生的方法有. 即选派1名男生，2名女生共有18种方法． （2）从5件不同的纪念品给每位志愿者送1件的方法有 即从5件不同的纪念品给每位志愿者送1件，共有60种送法． 18．（本小题10分）已知展开式中前三项的二项式系数和为16. (1)求的值； (2)求展开式中含的项的系数. 【答案】(1)5 (2)80 【分析】（1）根据已知结合组合数公式，通过解一元二次方程进行求解即可； （2）利用二项式的通项公式进行求解即可. 解：（1）由题意，展开式中前三项的二项式系数和为16. 即：，解得：或（舍去）. 即的值为5. （2）由通项公式， 令，可得：. 所以展开式中含的项为， 故展开式中含的项的系数为80. 19．（本小题10分）在等比数列中，已知，． (1)求数列的通项公式． (2)若等差数列的第3项，第5项，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的通项公式列方程求解即可. （2）根据等差数列的前项和公式求值即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为q， 则有，解得，. （2）由（1）得，， ，， 设等差数列的公差为d， 则有，解得， . 20．（本小题10分）在等差数列中，已知． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式列方程求解即可. （2）根据等比数列的前项和公式求值即可. 【详解】（1）在等差数列中，已知， 设公差为 ，则， 联立方程：，解得， 所以通项公式. （2）由（1）可知，， ，则， 即是首项为，公比为2的等比数列， 前项和. 21．（本小题14分）已知函数， (1)化简并求函数最小正周期； (2)求的单调递增区间. 【答案】(1)，最小正周期； (2). 【分析】（）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，结合正弦型函数的最小正周期公式即可得解.（）利用正弦型函数的单调性即可得解. 【详解】（1）函数， 函数的最小正周期. （2）函数， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. 22．（本小题12分）为了让乘客有良好的候车环境，某市在公交站牌旁投放大量的候车亭（如图①），其结构示意图的侧面如图②所示，其中支柱的长为，且支柱垂直于地面，顶棚横梁长为为镶接柱，镶接柱与支柱的夹角，与顶棚横梁的夹角，要求横梁一端点在支柱的延长线上，此时测量得镶接点与点的距离为.根据以上测量数据，求点A到地面的距离.（结果精确到，参考数据：.） 【答案】 【分析】根据题意，过作，过作，结合解直角三角形，即可求解. 【详解】过作，过作， 因为，， 所以，，则， 所以，则，且， 故， 因为， 所以到地面的距离 . 23．（本小题14分）在中，角所对的边分别为，已知，，. (1)求的值； (2)求角的大小及边的长. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据正弦定理代入求解即可. （2）根据（1）以及特殊角的三角函数值，以及正弦定理求解即可. 【详解】（1）由正弦定理， 得. （2）因为，所以， 又，所以或. 若，则，， 则. 若，则，， 则. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（一） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．在等差数列中，若，，且，则n＝（    ） A．49 B．50 C．51 D．52 2．已知数列为等比数列，前n项和，则a等于（   ） A．3 B．1 C． D． 3．某市技能大赛4位获奖学生和2位指导教师要求站成一排拍照留念，其中2位教师必须站在中间的种数为（    ） A． B． C． D． 4．甲乙两人独立解决一道难题的概率分别为和，则该题被攻克的概率为（   ） A． B． C． D． 5.已知，则（   ） A． B． C． D． 6．在中，若，，，则等于（   ） A． B．或 C． D． 7．已知随机变量的分布列： 0 1 2 3 则变量的数学期望等于（    ） A． B． C． D． 8．已知的展开式中共8项，则（    ） A． B． C． D． 9．函数（，，）的部分图象如题图所示，则的解析式为（   ）    A． B． C． D． 10．如图所示，在等腰直角三角形中，斜边，过点作边的垂线，垂足为，过点作边的垂线，垂足为，过点作边的垂线，垂足为，…，以此类推，设，，则________．    二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11．某班级日常量化考核得分月度增量构成等差数列，已知该数列第4项，第6项 ，则该得分增量数列的首项________. 12．若，且，则的值是_____________ 13．设是等比数列的前n项和，若，，则__________． 14．用0，1，2，3，4，5，6，7八个数字组成无重复数字的整数，其中四位奇数有____个． 15．某校随机抽取8名同学，测量同学们的体重（单位：kg）与身高（单位：cm），所得数据见下表，已知回归系数，某同学身高185cm，其体重大约为________.（保留两位小数）. 身高 172 150 170 165 180 176 155 160 体重 63 40 38 44 39 37 46 42 三、解答题（本大题共 8 小题，共 90 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 16．（本小题10分）2022年6月17日，我国第三艘航空母舰“中国人民解放军海军福建舰”正式下水，为了增强学生的国防意识，某校特组织全校学生参加“筑梦深蓝，山河荣耀”的国防知识大赛初赛，对全校1200名学生的参赛成绩进行统计，得到如图所示的频率直方图，其中分组的区间为成绩大于等于80分评为“优秀”等级.    (1)求a的值，并计算该校国防知识大赛初赛被评为“优秀”等级的学生人数； (2)在评为“优秀”等级的学生中采用分层抽样抽取6人，再从6人中随机抽取3人进行下一轮的决赛，设这3人中成绩在的人数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列及数学期望. 17．（本小题10分）某学校计算机专业计划在七一举办“红歌献给党”歌唱活动，为使活动顺利开展，需要从3名男生，4名女生的学生会成员中选派3人作为志愿者进行协助，求： (1)选派1名男生，2名女生，共有几种选派方法； (2)活动结束后，拟从5件不同的纪念品给每位志愿者送1件，共有几种送法． 18．（本小题10分）已知展开式中前三项的二项式系数和为16. (1)求的值； (2)求展开式中含的项的系数. 19．（本小题10分）在等比数列中，已知，． (1)求数列的通项公式． (2)若等差数列的第3项，第5项，求数列的前项和． 20．（本小题10分）在等差数列中，已知． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 21．（本小题14分）已知函数， (1)化简并求函数最小正周期； (2)求的单调递增区间. 22．（本小题12分）为了让乘客有良好的候车环境，某市在公交站牌旁投放大量的候车亭（如图①），其结构示意图的侧面如图②所示，其中支柱的长为，且支柱垂直于地面，顶棚横梁长为为镶接柱，镶接柱与支柱的夹角，与顶棚横梁的夹角，要求横梁一端点在支柱的延长线上，此时测量得镶接点与点的距离为.根据以上测量数据，求点A到地面的距离.（结果精确到，参考数据：.） 23．（本小题14分）在中，角所对的边分别为，已知，，. (1)求的值； (2)求角的大小及边的长. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $