综合测试卷（四）-《数学 拓展模块下册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 本套综合训练紧扣教材章节，通过AB卷分层巩固与综合测试卷实战模拟，系统整合代数、三角函数与解三角形等核心知识，强化知识网络构建与应用能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数|6题（如1、11、16、21、23）|含排列组合、二项式定理、数列、概率，基础与综合题结合|从概念应用（如二项式系数）到综合建模（如数列求和）| |三角函数与解三角形|8题（如5、7、9、10、17、20、22）|涉及图像、性质、实际应用，强调公式推导与情境转化|从函数性质（周期、最值）到解三角形（正弦定理、余弦定理）的综合应用| |应用问题|3题（如10、22、23）|结合筒车、航海、图形规律等现实情境|体现数学建模与数据分析，培养应用意识与创新思维|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．从甲、乙、丙三个人中，抽取两人参加数学、英语两项竞赛活动，每项活动恰有1人参加， 则不同的抽取方法数为（    ） A．12 B．8 C．6 D．3 2．已知等差数列的前n项和为，若，则=（   ） A．45 B．50 C．90 D．100 3．求的值为（    ） A． B． C． D． 4．某职业学校毕业典礼上原定的6个学生节目已排成节目单，开演前又增加了3个教师节目，如果将这3个教师节目插入节目单中，那么不同的插法种数为（   ） A． B． C． D． 5．函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 6．已知在中，，，所对的边分别为，，，且满足，，，且，则（    ） A．2 B．4 C． D． 7．已知函数的图像过点，则函数的最大值为（    ） A．2 B． C． D．4 8．河北承德避暑山庄的古建筑檐角常被设计成三角形造型，现有一个三角形檐角框架，角所对的边分别是，满足，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形 9．函数（其中）的部分图像如图所示，则该函数的解析式是（    ）    A． B． C． D． 10．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动，如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆）．规定：盛水筒对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy．设盛水筒从点运动到点P时所经过的时间为t（单位：秒），且此时点P距离水面的高度为h（单位：米），则h与t的函数关系式为，若筒车的半径为2米，筒车转轮的中心O到水面的距离为1米．筒车每分钟沿逆时针方向旋转2圈．则下列h关于t的函数关系式正确的是（   ）        A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11．在的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于________． 12．一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出一本，则共有_______种不同的取法. 13．已知等差数列满足，则公差______． 14．已知，求的值. 15．已知公差不为的等差数列的首项，且，，成等比数列，则数列的通项公式 为____________． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 90 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 16．（本小题10分）袋中装有大小相同、质地均匀的2个红球和3个黑球，现从中任取3个球，设取到红球的个数为． (1)求随机变量的概率分布； (2)求随机变量的数学期望和方差． 17．（本小题12分）已知锐角三角形的内角A，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，角A与角的内角平分线相交于点，求面积的取值范围. 18．（本小题10分）已知二项式． (1)求展开式的第4项； (2)求展开式中的常数项． 19．（本小题12分）已知函数．求： (1)函数的最小正周期； (2)函数的最大值及取得最大值时对应x的集合． 20．（本小题12分）如图所示，在中，，，，点为的中点．求：    (1)的长； (2)中线的长． 21．（本小题12分）已知等差数列满足，． (1)求的通项公式； (2)设等比数列满足，， ①求数列的前项和； ②问：与数列的第几项相等？ 22．（本小题10分）如图所示，是海面上位于东西方向相距 的两个观测点.现位于A点北偏东方向、B点北偏西方向的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西且与B点相距 的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30／h，则该救援船到达D点需要多长时间？ 23．（本小题12分）如图，图中黑色阴影部分正方形个数记为.图1中黑色阴影部分正方形个数记为，图2中黑色阴影部分正方形个数记为，图3中黑色阴影部分正方形个数记为，……，以此类推，图中黑色阴影部分正方形个数记为.    (1)根据规律，写出的值； (2)求数列的通项公式； (3)若数列的前项和为 ，是否存在一个正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．从甲、乙、丙三个人中，抽取两人参加数学、英语两项竞赛活动，每项活动恰有1人参加， 则不同的抽取方法数为（    ） A．12 B．8 C．6 D．3 【答案】C 【分析】先由组合数选出两人参加活动的选法，再由排列数求解即可. 【详解】从甲、乙、丙三个人中，抽取两人参加活动，共有种不同选法， 现数学、英语两项竞赛活动，每项活动恰有1人参加， 则不同的抽取方法数为. 故选：C. 2．已知等差数列的前n项和为，若，则=（   ） A．45 B．50 C．90 D．100 【答案】A 【分析】利用等差数列的性质和前项和公式求解. 【详解】已知，根据等差数列的性质可得， 所以. 故选：A. 3．求的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角差的余弦公式求解即可. 【详解】. 故选：A. 4．某职业学校毕业典礼上原定的6个学生节目已排成节目单，开演前又增加了3个教师节目，如果将这3个教师节目插入节目单中，那么不同的插法种数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分步计数原理计算即可. 【详解】6个节目共有个空， 第一步，插入第一个教师节目，有7种方法， 7个节目形成个空， 第二步，插入第二个教师节目，有8种方法， 8个节目形成个空， 第三步，插入第三个教师节目，有9种方法． 故共有种不同的插法． 故选：A. 5．函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用正弦型函数的周期公式计算. 【详解】函数的最小正周期是， 故选：C. 6．已知在中，，，所对的边分别为，，，且满足，，，且，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】解法一：由正弦定理求得，再由勾股定理求得. 解法二：由余弦定理求得. 【详解】解法一：因为在中，，， 所以，所以. 由正弦定理知：，则， 所以，又，所以或. 因为，所以， 若，又，则，不满足，故舍去， 若，又，则，满足， 所以，， 所以，则. 故选：B. 解法二：由余弦定理知：， 所以， 所以，所以或. 因为，所以. 故选：B. 7．已知函数的图像过点，则函数的最大值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】A 【分析】利用降幂公式及辅助角公式将函数化为正弦型函数，由求出，再根据正弦函数的性质可得结果. 【详解】 , 因为图像过点， 所以，解得， 所以， 所以当，. 故选：A 8．河北承德避暑山庄的古建筑檐角常被设计成三角形造型，现有一个三角形檐角框架，角所对的边分别是，满足，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】根据题意结合正弦定理以及正弦的和角公式化简，即可求解. 【详解】由，得， 又因为，所以， 所以，则， 即，解得， 又，所以， 则，所以， 同理，所以是等边三角形. 故选：D. 9．函数（其中）的部分图像如图所示，则该函数的解析式是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图像确定最值可得出的值，再由周期得出的值，最后将点代入解析式求出的值即可. 【详解】由题意可知最大值是3，则， ，解得， 因为，解得， 则， 经过点，代入得， 即，则， 解得， 因为，所以，即， 故选：C. 10．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动，如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆）．规定：盛水筒对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy．设盛水筒从点运动到点P时所经过的时间为t（单位：秒），且此时点P距离水面的高度为h（单位：米），则h与t的函数关系式为，若筒车的半径为2米，筒车转轮的中心O到水面的距离为1米．筒车每分钟沿逆时针方向旋转2圈．则下列h关于t的函数关系式正确的是（   ）        A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分别求出以及，再根据周期求出，最后得到解析式. 【详解】筒车的半径为振幅，已知筒车半径为2米，因此. 已知圆心到水面的距离为1米，水面在圆心下方，是点到水面的高度， 因此函数的平衡偏移量. 筒车每分钟转2圈，因此转1圈的周期秒，则，得， 因此. 故选：B. 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11．在的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于________． 【答案】112 【分析】根据二项式系数的性质求出，再根据二项式定理求解即可. 【详解】因为所有项的二项式系数之和为，解得. 二项式的展开式通项为 令，解得. 则常数项为. 故答案为：112. 12．一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出一本，则共有_______种不同的取法. 【答案】37 【分析】根据分类加法计数原理求解. 【详解】第1类：从语文书中取出一本，有12种取法； 第2类：从数学书中取出一本，有14种取法； 第3类：从英语书中取出一本，有11种取法， 所以不同的取法有（种）． 故答案为：37. 13．已知等差数列满足，则公差______． 【答案】 【分析】设等差数列的通项公式，并表示出，比较系数可得结果. 【详解】因为是等差数列，且公差为，则， 由可得： ， 比较系数可得， ，解得，. 故答案为： 14．已知，求的值. 【答案】1 【分析】根据同角三角函数的关系式及二倍角公式化简求值即可. 【详解】已知， 则. 15．已知公差不为的等差数列的首项，且，，成等比数列，则数列的通项公式 为____________． 【答案】 【分析】设数列的公差为，由，，成等比数列可得，由等差数列的通项公式可求得的值，进而求出数列的通项公式. 设数列的公差为，由，，成等比数列可得， 且， 即， 则， 所以． 故答案为:. 三、解答题（本大题共 8 小题，共 90 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 16．（本小题10分）袋中装有大小相同、质地均匀的2个红球和3个黑球，现从中任取3个球，设取到红球的个数为． (1)求随机变量的概率分布； (2)求随机变量的数学期望和方差． 【答案】(1) 0 1 2 (2)数学期望为，方差为。 【分析】（1）先确定随机变量的所有可能取值，再用古典概型的组合计数公式计算各取值对应的概率，整理得到分布列. （2）分别代入离散型随机变量的期望、方差公式计算结果即可. 【详解】（1）由题意可知， 随机变量的可能取值为， 从5个球中任取3个的总基本事件数为， 当时，取出的3个球均为黑球，包含的基本事件数为， 故， 当时，取出的3个球含1个红球、2个黑球，包含的基本事件数为， 故， 当时，取出的3个球含2个红球、1个黑球，包含的基本事件数为， 故， 所以分布列为 0 1 2 （2）， . 17．（本小题12分）已知锐角三角形的内角A，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，角A与角的内角平分线相交于点，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理与两角和的正弦公式化简求解即可； （2）根据正弦定理与面积公式，借助正弦型函数的值域求解即可； 【详解】（1）根据正弦定理有， 即， 展开化简得， ，， ， ，， ， ，. （2）由题意可知，设， ，又， 在中，由正弦定理可得:. 即:， ， ， ， 所以三角形面积的取值范围为. 18．（本小题10分）已知二项式． (1)求展开式的第4项； (2)求展开式中的常数项． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先列出二项展开式的通项公式，再令求值即可. （2）令的指数为，列方程求出的值，代回通项公式即可. 【详解】（1）的二项展开式通项是， ， 当时，展开式的第4项为. （2）由（1）知的二项展开式通项是 ， 常数项即为变量的指数为0的项，令，解得， 因此常数项为. 19．（本小题12分）已知函数．求： (1)函数的最小正周期； (2)函数的最大值及取得最大值时对应x的集合． 【答案】(1) (2)最大值为，对应的集合为 【分析】（1）根据二倍角的正弦公式和余弦公式化简，再由正弦函数的周期公式求值即可. （2）根据正弦函数的最值公式求值即可. 【详解】（1）已知函数 得 ， 其中，所以最小正周期为. （2）由（1）可得，， 当时，取得最大值，， 此时，解得. 即取得最大值时对应x的集合为. 20．（本小题12分）如图所示，在中，，，，点为的中点．求：    (1)的长； (2)中线的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数关系式得到的值，再结合两角和的正弦公式得到，进而由正弦定理求解即可； （2）由正弦定理得到边长，再利用余弦定理求解即可； 【详解】（1）由得， 所以， 由正弦定理得. （2）由正弦定理得，， 所以在中，由余弦定理得， 所以. 21．（本小题12分）已知等差数列满足，． (1)求的通项公式； (2)设等比数列满足，， ①求数列的前项和； ②问：与数列的第几项相等？ 【答案】(1) (2)①；②与数列的第63项相等 【分析】（1）设出等差数列的公差以及首项，根据列式求出，再根据等差数列的通项公式求解即可. （2）①根据（1）求出的通项公式，再求出前项和.②根据与的通项公式求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为． 因为，所以， 又因为，所以，故， 所以． （2）①设等比数列的公比为． 因为，， 所以，， 所以． ②因为，，所以． 由，得， 所以与数列的第63项相等． 22．（本小题10分）如图所示，是海面上位于东西方向相距 的两个观测点.现位于A点北偏东方向、B点北偏西方向的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西且与B点相距 的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30／h，则该救援船到达D点需要多长时间？ 【答案】救援船到达D点需要的时间为1h 【分析】在中，由正弦定理求得，在中，由余弦定理求得，进而可得答案. 【详解】由题意，知 ， 在中，由正弦定理得， 即 . 又 ， ∴在中，由余弦定理得 ， 则救援船到达点需要的时间为. 23．（本小题12分）如图，图中黑色阴影部分正方形个数记为.图1中黑色阴影部分正方形个数记为，图2中黑色阴影部分正方形个数记为，图3中黑色阴影部分正方形个数记为，……，以此类推，图中黑色阴影部分正方形个数记为.    (1)根据规律，写出的值； (2)求数列的通项公式； (3)若数列的前项和为 ，是否存在一个正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1). (2). (3)存在，9. 【分析】（）根据图形规律求出的值. （）根据图形规律求出数列的通项公式. （）根据分组求和法求出，列出等式即可得解. 【详解】（1）根据图形规律： （2）根据图形规律： ， 所以，数列 的通项公式为. （3）存在一个正整数，使得 . ， ， ， 令，则， 当时，. 所以，存在满足条件的正整数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $