主题2 第3章 第2节 利用导数研究函数的单调性（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版）

**基本信息** 以导数工具为核心，通过构造函数、分类讨论等方法系统训练函数单调性分析，强化逻辑推理与数学抽象素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|1-5题|导数符号判定法、图像趋势分析法|从导数概念到单调区间判断，构建“求导-解不等式-定区间”逻辑链| |综合提升|6-8、13-14题|构造辅助函数法、奇偶性结合法|结合函数性质与导数，形成“性质-导数-单调性”综合推理体系| |参数问题|9-12、15-16题|参数分类讨论、恒成立转化法|通过参数影响导数符号，深化“导数应用-参数范围-函数性质”关联|

课时冲关17　利用导数研究函数的单调性 [基础训练组] 1．函数y＝x2·e－x的递增区间是(　　) A．(0,2) B．(－∞，0) C．(－∞，0)，(2，＋∞) D．(－∞，0)∪(2，＋∞) 解析：A　[由题意，函数f(x)＝x2·e－x＝，可得f′(x)＝，令f′(x)＞0，即x(x－2)＜0，解得0＜x＜2，所以函数y＝x2·e－x的递增区间是(0,2)．] 2．已知函数f(x)的导函数是f′(x)＝，则函数f(x)的图象可能是(　　) 解析：B　[由题知f′(x)≥0且不恒等于0，又因为y＝1－x2在(0,1)上单调递减，在(－1,0)上单调递增，y＝在定义域上单调递增，所以f′(x)在(0,1)上单调递减，在(－1,0)上单调递增，即当x∈[－1,1]时，f′(x)的值由小变大，再由大变小，即函数f(x)图象从左到右是单调递增，且变化趋势是先慢后快再变慢．] 3．已知函数f(x)＝，不等式f(x2)＞f(x＋2)的解集为(　　) A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2) C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－2,1) 解析：B　[因为f(x)＝，所以f′(x)＝＜0，所以f(x)在R上单调递减， 则f(x2)＞f(x＋2)等价于x2＜x＋2，解得－1＜x＜2，即原不等式的解集为(－1,2)．] 4．定义在(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(x)＜，则对任意x1、x2∈(0，＋∞)，x1≠x2，下列不等式中一定成立的有(　　) ①f(x1＋x2)＜f(x1)＋f(x2)；②f(x1)＋f(x2)＜f(x1)＋f(x2)；③；④f(x1x2)＜f(x1)f(x2)． A．①②③　　　　 B．②④ C．②③ D．③ 解析：A　[由已知g(x)＝，则g′(x)＝＜0， 故g(x)在(0，＋∞)上单调递减， 故(x1－x2)[g(x1)－g(x2)]＜0，展开即为②； 由于x1＋x2＞x1⇒g(x1＋x2)＜g(x1)⇒f(x1＋x2)＜f(x1)， 同理f(x1＋x2)＜f(x2)，相加得f(x1＋x2)＜f(x1)＋f(x2)，故①正确； 取f(x)＝1，它符合题意，但是④并不成立，综上一定成立的有①②③.] 5．下列两数的大小关系中正确的是(　　) A．π3＞3π B.＞ C．2ln 3＜3ln 2 D．tan 1＜1 解析：B　[对于A，设f(x)＝(x＞e)， 则f′(x)＝， 则当x＞e时，f′(x)＜0，∴f(x)在(e，＋∞)上单调递减，∴f(3)＞f(π)， 即＞，即πln 3＞3ln π，∴ln 3π＞ln π3，则3π＞π3，A错误； 对于B，∵()12＝34＝81，()12＝43＝64， ∴()12＞()12，则＞，B正确； 对于C，∵2ln 3＝ln 32＝ln 9,3ln 2＝ln 23＝ln 8，ln 9＞ln 8，∴2ln 3＞3ln 2，C错误； 对于D，tan 1＞tan＝1，D错误．] 6．已知f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，f′(x)是f(x)的导函数，f(1)≠0，且满足f′(x)ln x＋＜0，则不等式(x－1)f(x)＜0的解集为(　　) A．(1，＋∞) B．(0,1) C．(－∞，1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞) 解析：D　[∵[f(x)ln x]′＝f(x)＋f′(x)ln x＜0，∴g(x)＝f(x)ln x在(0，＋∞)上为减函数， 而g(1)＝0， ∴在(0,1)上ln x＜0，g(x)＞0；在(1，＋∞)上ln x＞0，g(x)＜0；而f(1)＜0， ∴在(0，＋∞)上f(x)＜0，又函数f(x)为奇函数， ∴在(－∞，0)上f(x)＞0， 不等式(x－1)f(x)＜0等价于或∴x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．] 7．(多选)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，其导函数为f′(x)，对于任意x∈(0，＋∞)，都有xln xf′(x)＋f(x)＞0，则使不等式f(x)ln x＋1＞成立的x的值可以为(　　) A.　　 B．1 C．2　　 D．3 解析：CD　[令g(x)＝f(x)ln x＋1－，所以g′(x)＝f′(x)ln x＋＋， 因为＞0，＞0，所以g′(x)＞0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又g(1)＝0，可得g(x)＞0的解集为(1，＋∞)．] 8．(多选)已知函数f(x)＝ln(e2x－ae－x)－x，其中e是自然对数的底数，则下列选项正确的是(　　) A．若a＝1，则f(x)为奇函数 B．若a＝－1，则f(x)为偶函数 C．若f(x)具备奇偶性，则a＝－1或a＝0 D．若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则a的取值范围为[－1，＋∞) 解析：BCD　[若a＝1，f(x)＝ln(e2x－e－x)－x，则e2x－e－x＞0，解得x＞0，故f(x)的定义域为(0，＋∞)，不关于原点对称，即A错误；若a＝－1，f(x)＝ln(e2x＋e－x)－x＝ln(e2x＋e－x)－＝，定义域为R，满足f(－x)＝f(x)，故f(x)＝为偶函数，即B正确； 当a＝－1时，由B可知f(x)为偶函数， 当a＝0时，易知f(x)＝x为奇函数，即C正确； 由题知，f(x)＝，若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则函数g(x)＝在(0，＋∞)上单调递增，则g′(x)＝·(e3x＋a)≥0在(0，＋∞)上恒成立，即e3x＋a≥0在(0，＋∞)上恒成立，解得a≥－1，即D正确．] 9．若函数f(x)＝ln x＋ax2－2x在区间(1,2)内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是________． 解析：f′(x)＝＋2ax－2， 若f(x)在区间(1,2)内存在单调递增区间， 则f′(x)＞0在x∈(1,2)有解，故a＞－， 令g(x)＝－，∵g(x)在(1,2)为减函数， ∴g(x)＞g(2)＝－＝，故a＞. 答案： 10．若函数f(x)＝(x2＋mx)ex在上存在单调递减区间，则m的取值范围是________． 解析：f′(x)＝(2x＋m)ex＋(x2＋mx)ex＝[x2＋(m＋2)x＋m]ex， 则原问题等价于f′(x)＜0在上有解，即x2＋(m＋2)x＋m＜0在上有解， 即m＜在上有解， 因为＝－(x＋1)＋，且y＝－(x＋1)＋在上单调递减， 所以当x＝－时，ymax＝－＋＝，所以m＜. 答案：m＜ 11．已知奇函数f(x)的定义域为R，且＞0，则f(x)的单调递减区间为______________；满足以上条件的一个函数是________． 解析：由＞0，可得f′(x)(x2－1)＞0， 所以或 所以当x＜－1或x＞1时，f′(x)＞0，当－1＜x＜1时，f′(x)＜0， 所以f(x)的单调递减区间为(－1,1)， 所以满足条件的一个函数可以为f(x)＝x3－x(答案不唯一)． 答案：(－1,1)　f(x)＝x3－x(答案不唯一) 12．已知函数f(x)＝kln x－1＋，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴垂直． (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若f(x)＞ax在0＜x＜1时恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＝， ∵y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴垂直， ∴f′(1)＝0，即k＝1，∴f′(x)＝， ∴当0＜x＜1时，f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0， ∴f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)． (2)f(x)＝ln x－1＋，∵f(x)＞ax 对0＜x＜1恒成立，∴a＜在(0,1)上恒成立， 设g(x)＝＝－＋(0＜x＜1)，则 g′(x)＝＋－＝， 令h(x)＝2x－xln x－2(0＜x＜1)，则 h′(x)＝2－ln x－1＝1－ln x＞0， ∴h(x)在(0,1)上单调递增，∴h(x)＜h(1)＝0， ∴g′(x)＜0，∴g(x)在(0,1)上单调递减， ∴g(x)＞g(1)＝0，∴a≤0. [能力提升组] 13．已知奇函数f(x)的定义域为∪，其导函数是f′(x)．当x∈时，f′(x)sin x－f(x)cos x＜0，则关于x的不等式f(x)＜2fsin x的解集为(　　) A.∪ B.∪ C.∪ D.∪ 解析：D　[g(x)＝， ∴g′(x)＝， ∵当x∈时，f′(x)sin x－f(x)cos x＜0，∴g′(x)＜0， ∴g(x)在上单调递减，∵f(x)是定义在∪上的奇函数， 故g(－x)＝＝＝g(x)，∴g(x)是定义在∪上的偶函数． ∴g(x)在上单调递增． ①当x∈时，sin x＞0， 则不等式f(x)＜2fsin x可转化为＜，即g(x)＜g，∴x＞， 故x∈. ②当x∈时，sin x＜0， 则不等式f(x)＜2fsin x可转化为＞， 即g(x)＞g＝g， ∴x＞－，故x∈. 不等式f(x)＜2fsin x的解集为∪.] 14．(多选)若定义域为(0，＋∞)的函数f(x)的导函数f′(x)满足xf′(x)＋1＞0，且f(1)＝1，则下列结论中成立的是(　　) A．f(e)＞0 B．f＜2 C．∀x∈(1，e)，f(x)＞0 D．∃x∈(1，e)，f(x)－f＋2＜0 解析：ABC　[根据题意，若定义域为(0，＋∞)的函数f(x)的导函数f′(x)满足xf′(x)＋1＞0，则有f′(x)＋＞0，则有(f(x)＋ln x)′＞0，设g(x)＝f(x)＋ln x，则g′(x)＝f′(x)＋＞0，则g(x)在(0，＋∞)上为增函数，依次分析选项：对于A，e＞1，则g(e)＞g(1)，即f(e)＋ln e＞1，则有f(e)＞0，A成立；对于B，＜1，则g＜g(1)，则f＋ln＝f－1＜1，即有f＜2，故B成立；对于C，g(x)在(1，e)上为增函数，且g(1)＝1，则有f(x)＋ln x＞1，则f(x)＞1－ln x，又当1＜x＜e时，0＜ln x＜1，则f(x)＞0，符合题意；对于D，当x∈(1，e)时，有x＞＞＞0，此时有g(x)＞g，即f(x)＋ln x＞f＋ln，变形可得f(x)－f＋2ln x＞0，又当1＜x＜e时，0＜ln x＜1，则f(x)－f＋2＞0恒成立，不符合题意．] 15．设函数f(x)＝ ①若f(x)有两个零点，则实数a的一个取值可以是______________________； ②若f(x)是R上的增函数，则实数a的取值范围是______________________． 解析：①函数f(x)＝3x＋a2在(1，＋∞)上单调递增，f(1)＝3＋a2＞0， 所以函数f(x)在区间(1，＋∞)上无零点， 则函数f(x)＝x3＋3ax在(－∞，1]上有2个零点， 即x3＋3ax＝0，x(x2＋3a)＝0，则x＝0，或x＝－或x＝，a＜0， 则＞1，解得a＜－， 所以a的一个值是－1； ②函数f(x)＝3x＋a2在(1，＋∞)上单调递增， 则在(－∞，1]上，f(x)＝x3＋3ax也单调递增，且13＋3a≤3×1＋a2， 若函数在f(x)＝x3＋3ax在区间(－∞，1]上单调递增，则f′(x)＝3x2＋3a≥0，即a≥－x2在区间(－∞，1]上恒成立，即a≥(－x2)max，即a≥0， 不等式13＋3a≤3×1＋a2，解得a≥2或a≤1， 综上可知，0≤a≤1或a≥2. 答案：①－1(a＜－内的值都可以) ②[0,1]∪[2，＋∞) 16．已知函数f(x)＝bln x＋x2－(b＋2)x. (1)当b＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)求f(x)的单调区间． 解析：(1)当b＝1时，f(x)＝ln x＋x2－3x， f(1)＝－2，f′(x)＝＋2x－3，f′(1)＝0， 故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－2. (2)f(x)＝bln x＋x2－(b＋2)x，其定义域为(0，＋∞)，则f′(x)＝＋2x－(b＋2) ＝＝. ①当≤0，即b≤0时，令f′(x)＜0，得0＜x＜1，令f′(x)＞0，得x＞1，故f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)． ②当＞0，即b＞0时，由f′(x)＝0，得x1＝，x2＝1. (ⅰ)当0＜＜1，即0＜b＜2时， 令f′(x)＞0，可得0＜x＜或x＞1； 令f′(x)＜0，可得＜x＜1， 故f(x)的单调递增区间为和(1，＋∞)， 单调递减区间为. (ⅱ)当＝1，即b＝2时，f′(x)＝＝≥0， 故f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间． (ⅲ)当＞1，即b＞2时， 令f′(x)＞0，可得0＜x＜1或x＞； 令f′(x)＜0，可得1＜x＜， 故f(x)的单调递增区间为(0,1)和， 单调递减区间为. 综上，当b≤0时，f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)； 当0＜b＜2时，f(x)的单调递增区间为和(1，＋∞)，单调递减区间为； 当b＝2时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间； 当b＞2时，f(x)的单调递增区间为(0,1)和，单调递减区间为. 学科网（北京）股份有限公司 $