主题1 第1章 培优拓展2 柯西不等式-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课件PPT（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“柯西不等式”核心考点，依据高考评价体系明确其在不等式模块中的考查要求，梳理二维形式、变式及向量形式等基础内容，通过高考真题分析归纳出最值求解等常考题型，体现备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题解析+技巧指导+素养培养”，以高考真题中“已知3x²+2y²≤6求2x+y最值”为例，示范巧拆常数、构造不等式结构的突破方法，培养学生数学思维与运算能力。提供跟踪训练与易错点提示，助力学生掌握答题技巧，教师可据此高效开展专题复习。

主题一 预备知识（必修第一册） 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 培优拓展2 柯西不等式 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS） 1．二维形式的柯西不等式 (a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立)． 2．二维形式的柯西不等式的变式 (1)eq \r(a2＋b2)·eq \r(c2＋d2)≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立)． (2)eq \r(a2＋b2)·eq \r(c2＋d2)≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立)． (3)(a＋b)(c＋d)≥(eq \r(ac)＋eq \r(bd))2(a，b，c，d≥0，当且仅当ad＝bc时，等号成立)． 3．二维形式的柯西不等式的向量形式 |α·β|≤|α||β|(当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立)． [典例]　已知x，y∈R,3x2＋2y2≤6，求2x＋y的最值． [解]　方法一　由柯西不等式得 (2x＋y)2≤[(eq \r(3)x)2＋(eq \r(2)y)2]eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(3))))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2))))2)) ＝(3x2＋2y2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)＋\f(1,2)))≤11. 当且仅当eq \r(3)x·eq \f(1,\r(2))＝eq \r(2)y·eq \f(2,\r(3))， 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(4\r(11),11)，,y＝\f(3\r(11),11)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－\f(4\r(11),11)，,y＝－\f(3\r(11),11)))时等号成立， 于是2x＋y的最大值为eq \r(11)，最小值为－eq \r(11). 方法二　由柯西不等式得|2x＋y|≤eq \r(\r(3)x2＋\r(2)y2) eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(3))))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2))))2) ＝eq \r(3x2＋2y2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)＋\f(1,2))))≤eq \r(11)， 当且仅当eq \r(3)x·eq \f(1,\r(2))＝eq \r(2)y·eq \f(2,\r(3))， 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(4\r(11),11)，,y＝\f(3\r(11),11)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－\f(4\r(11),11)，,y＝－\f(3\r(11),11)))时等号成立， 于是2x＋y的最大值为eq \r(11)，最小值为－eq \r(11). 掌握柯西不等式及其变式的结构，常用巧拆常数、重新安排某些项的次序、改变结构、添项等方法． 设a＝(1，－2)，b＝(x，y)，若x2＋y2＝16，则a·b的最大值为________． 解析：∵a＝(1，－2)，b＝(x，y)， ∴a·b＝x－2y. 由柯西不等式的向量形式可得[12＋(－2)2](x2＋y2)≥(x－2y)2， 即5×16≥(x－2y)2， ∴－4eq \r(5)≤x－2y≤4eq \r(5)，(*) 当且仅当b＝ka， 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(4\r(5),5)，,y＝－\f(8\r(5),5)))时，(*)式中右边等号成立， 或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－\f(4\r(5),5)，,y＝\f(8\r(5),5)))时，(*)式中左边等号成立， ∴当x＝eq \f(4\r(5),5)，y＝－eq \f(8\r(5),5)时， a·b的最大值为4eq \r(5). 答案：4eq \r(5) $