第17卷 立体几何综合 2027年山东省春季高考《数学45分钟训练卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 聚焦立体几何核心知识，以“一考一讲”模式构建从基础概念到综合应用的训练闭环，注重空间观念与推理意识培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间位置关系|选择1-2、填空14|线面/面面关系判定、充要条件分析|从概念辨析到命题推理，构建线面垂直与平行的逻辑体系| |几何体认知|选择3-4|三视图识别、斜二测画法还原|直观图与三视图转化，强化几何直观能力| |体积与表面积|选择5-6、填空11-13、选择9|折叠体体积、旋转体体积函数、正棱锥斜高计算|以体积不变性为核心，串联柱锥球体积公式的应用| |空间角与距离|选择7、填空14、解答17|异面直线所成角、点面距离|通过长方体、正方体模型，实现空间角与距离的转化计算| |综合证明|解答16-18|线面平行/垂直证明、面面垂直判定|以正方体、四棱锥为载体，整合线线、线面、面面关系的推理应用|

编写说明：2027年山东省春季高考《数学45分钟训练卷》，以历年真题分析为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 山东省春季高考《数学45分钟训练卷》 第17卷 立体几何综合 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单项选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分. 1．已知直线m，n和平面，，且，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知，是直线，是平面，给出以下四个命题： ①若，，则；②若，，则； ③若，，则；④若，，则． 其中，所有正确命题的序号是（    ）． A．① B．② C．②③ D．①④ 3．几何体的三视图如图所示，则该几何体的形状是（    ）． A．棱柱 B．圆柱 C．棱锥 D．圆锥 4．用斜二测画法画水平放置的四边形的直观图，如图所示，已知菱形的边长为2，则在平面直角坐标系中，四边形的周长是（   ）    A．6 B．8 C．10 D．12 5．如图所示的圆柱形容器，其底面半径为，高为（不计厚度），设容器内液面高度为，液体的体积为，把表示为的函数，则该函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 6．将边长为的正方形沿对角线折起，使得，则三棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 7．如图所示，在长方体中，，若为的中点，则直线与所成角的正切值是（    ）    A． B． C． D． 8．如图所示，容积为V的密闭长方体容器中，所盛液体的体积是，现将该容器以棱AB所在直线为轴旋转，容器旋转到任意一个位置后，将静止的液面抽象为平面a，该平面都可把长方体分为上半部分和下半部分，则下列说法正确的是（     ）    A．上半部分的几何体有可能是三棱锥 B．下半部分的几何体不可能是三棱锥 C．直线 AB与平面a始终平行 D．下半部分几何体的三视图中正视图面积不变 9．如图1所示，一个正三棱柱容器的棱长都为2，内装水高度为容器的一半，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2所示，则倒置后容器中的水面高度为（    ）    A． B． C． D． 10．如图所示，已知三棱锥的棱长都相等，，分别是棱，的中点，给出下列四个结论： ①直线与所成的角为； ②直线与平面所成的角为； ③直线平面； ④平面平面. 则所有正确命题的序号是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．在三棱锥中，底面是边长为3的正三角形，平面，，则该三棱锥的体积为________ 12．已知圆锥的体积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径为__________． 13．若正四棱锥的高为，侧棱与底面所成的角为，则该正四棱锥的斜高为________． 14．已知直线与平面所成角为，点，点，且，则点到平面的距离为_______________. 15．已知平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为2，则此球的表面积为________． 三、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 16．如图所示，在正方体中，是棱上的点，求证： (1)平面； (2). 17．在四棱锥中，已知底面ABCD是正方形，平面，，如图所示．    (1)求证：； (2)若E、F分别是AB，SC是中点，求直线EF与AD所成角的大小． 18．如图所示，在长方形中，已知，，E，F分别为，的中点，将长方形沿折成直二面角，使点A，D分别到点P，Q的位置，连接，．    (1)证明：平面； (2)求点E到平面的距离. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山东省春季高考《数学45分钟训练卷》，以历年真题分析为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 山东省春季高考《数学45分钟训练卷》 第17卷 立体几何综合 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单项选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分. 1．已知直线m，n和平面，，且，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据空间中直线与直线、平面与平面的位置关系以及充分条件和必要条件的概念判断. 【详解】若，，，则平面与平面可能平行，也可能相交，故充分性不成立； 若，，，根据两个平行平面的性质，可知与没有公共点， 那么与可能平行，也可能异面，故必要性不成立， 综上，是的既不充分也不必要条件. 故选：D. 2．已知，是直线，是平面，给出以下四个命题： ①若，，则；②若，，则； ③若，，则；④若，，则． 其中，所有正确命题的序号是（    ）． A．① B．② C．②③ D．①④ 【答案】A 【分析】根据线面垂直的性质即可求解. 【详解】对①，由线面垂直的性质可得，若，，则；故①正确. 对②，由线面垂直的性质可得，若，，则；故②错误. 对③，若，，则或；故③错误. 对④，若，，则或或相交；故④错误． 故选：A. 3．几何体的三视图如图所示，则该几何体的形状是（    ）． A．棱柱 B．圆柱 C．棱锥 D．圆锥 【答案】D 【分析】根据三视图易推出几何体即可. 【详解】对A：棱柱的俯视图为多边形，故A错误； 对B：圆柱的侧视图和主视图为矩形，故B错误； 对C：棱锥的俯视图为多边形，故C错误； 对D：圆锥的侧视图和主视图为三角形，俯视图为圆形，故D正确. 故选：D. 4．用斜二测画法画水平放置的四边形的直观图，如图所示，已知菱形的边长为2，则在平面直角坐标系中，四边形的周长是（   ）    A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】根据斜二测画法的定义求解即可. 【详解】斜二测画法中，直观图中菱形边长为2，则原图形中，， 四边形为平行四边形，周长为. 故选：D. 5．如图所示的圆柱形容器，其底面半径为，高为（不计厚度），设容器内液面高度为，液体的体积为，把表示为的函数，则该函数的图像大致是（    ） A． B． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆柱的体积公式判断函数的类型即单调性即可. 【详解】解：根据圆柱的体积公式可得， . 则是关于的正比例函数，且在区间上单调递增. 故选：A 6．将边长为的正方形沿对角线折起，使得，则三棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出正方形中对角线的一半即可知与的大小，由勾股定理得到，再由对角线互相垂直得到，即可证平面，再代棱锥体积公式计算即可. 【详解】如图所示，取中点，连接，， 在正方形中，有，， 且正方形边长为，则， 则由可知，， 因为平面，， 所以平面， 则. 故选：B.    7．如图所示，在长方体中，，若为的中点，则直线与所成角的正切值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意作出辅助线，找到异面直线所成角，求出所需线段的长度即可得解. 【详解】    如图所示，连接，因为， 则直线与所成角即为直线与所成角为， 因为，，则， 因为为的中点，则， 因为平面，平面，则， 所以， 故选：. 8．如图所示，容积为V的密闭长方体容器中，所盛液体的体积是，现将该容器以棱AB所在直线为轴旋转，容器旋转到任意一个位置后，将静止的液面抽象为平面a，该平面都可把长方体分为上半部分和下半部分，则下列说法正确的是（     ）    A．上半部分的几何体有可能是三棱锥 B．下半部分的几何体不可能是三棱锥 C．直线 AB与平面a始终平行 D．下半部分几何体的三视图中正视图面积不变 【答案】B 【分析】根据题意逐项分析即可得解. 【详解】容积为V的密闭长方体容器中，所盛液体的体积是，该容器以棱AB所在直线为轴旋转， 所以上半部分与下半部分都不可能是三棱锥，故A错误，B正确； 对于C选项：由题意可知，容器旋转到任意一个位置后，有平面或平面，故C错误； 对于D选项：在旋转过程中，下半部分几何体的形状会发生变化，其正视图的形状和面积也会随之发生变化， 所以下半部分几何体的正视图面积不是不变的，故D错误. 故选：B. 9．如图1所示，一个正三棱柱容器的棱长都为2，内装水高度为容器的一半，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2所示，则倒置后容器中的水面高度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先计算水的体积，利用三角形相似，求出倒置后空白区域的体积，根据水的体积不变，求出高度. 【详解】正三棱柱的底面是边长为的正三角形，其面积为. 容器的棱长为2，装水高度为容器的一半，所以水的体积为； 倒置后的容器：容器放倒后，以侧面为底面，此时水的体积不变，且水占容器体积的一半， 所以上方空的部分也是一个小三棱柱. 设倒置后水面高度为，则空的部分的截面是一个与底面相似的三角形，相似比为，面积比为. 因为水的体积是总体积的一半，所以空的部分体积也是总体积的一半. 因为，代入得， 化简得，. 故选：A. 10．如图所示，已知三棱锥的棱长都相等，，分别是棱，的中点，给出下列四个结论： ①直线与所成的角为； ②直线与平面所成的角为； ③直线平面； ④平面平面. 则所有正确命题的序号是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】根据异面直线所成角、直线与平面垂直的判定与性质判断①；根据直线与平面所成角的解法判断②；根据线面平行的判定判断③；根据面面垂直的判定判断④. 【详解】对于①，因为三棱锥的棱长都相等，所以， 取中点，连接、，则，， 又，平面，可得平面， 因为平面，所以，即直线与所成的角为，故①正确， 对于②，设三棱锥的棱长为， 设，则为的中心， 连接，则平面， 所以就是直线与平面所成的角， 在中，， 所以， 即直线与平面所成的角不是，故②错误， 对于③，因为，分别是棱，的中点，所以， 又平面，平面，可得平面，故③正确， 对于④，因为三棱锥的棱长都相等，是中点， 所以，， 又，平面，可得平面， 因为平面，所以平面平面，故④正确， 综上，①③④正确， 故选：C. 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．在三棱锥中，底面是边长为3的正三角形，平面，，则该三棱锥的体积为________ 【答案】 【分析】根据线面垂直的性质结合勾股定理求出长，代入棱锥的体积公式即可得解. 【详解】    如图所示，作出图像， 因为平面，平面，所以， 又， 在中，， 底面是边长为3的正三角形，则， 所以三棱锥的体积为， 故答案为：. 12．已知圆锥的体积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径为__________． 【答案】 【分析】设出圆锥高，底面圆半径及母线长，再根据体积和侧面展开图图形找出三个量的关系式即可求解. 【详解】设圆锥高为，底面圆半径为，则圆锥母线长为， 由圆锥体积可得， 且圆锥侧面展开图为半圆， 则半圆的半径即圆锥母线，半圆的弧长即底面圆周长， 则有，即， 由可得有， 整理得：，解得. 故答案为：. 13．若正四棱锥的高为，侧棱与底面所成的角为，则该正四棱锥的斜高为________． 【答案】 【分析】根据题意，结合正四棱锥的结构特征，解直角三角形，即可求解. 【详解】 由题意知底面， 所以为侧棱与底面所成角，即, 又, 所以， 所以底面边长为，, 所以斜高为． 故答案为：. 14．已知直线与平面所成角为，点，点，且，则点到平面的距离为_______________. 【答案】 【分析】由直线与平面所成角的定义及解直角三角形即可得解. 【详解】 作于点,连接如图所示. 线段即为点到平面的距离,是在平面的射影. 所以为直线与平面所成的角. 所以. 又因为. 所以. 所以点到平面的距离为. 故答案为:. 15．已知平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为2，则此球的表面积为________． 【答案】 【分析】根据题意结合球截面的性质求出球的半径，代入球的表面积公式即可得解. 【详解】平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为2， 则球O的半径为， 所以球的表面积为， 故答案为：.  三、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 16．如图所示，在正方体中，是棱上的点，求证： (1)平面； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线线平行推出线面平行. （2）根据线面垂直推出线线垂直. 【详解】（1）证明：因为是正方体， 所以，且， 所以四边形为平行四边形. 则. 又因为平面，平面， 所以平面. （2）证明：连接. 因为是正方体， 所以四边形为正方形，所以. 又因为是棱上的点，所以平面. 因为平面，所以. 又因为平面平面， 所以平面. 因为平面， 所以. 17．在四棱锥中，已知底面ABCD是正方形，平面，，如图所示．    (1)求证：； (2)若E、F分别是AB，SC是中点，求直线EF与AD所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）先证明线面垂直，即可证明线线垂直； （2）将两直线平移到同一平面，进而求解. 【详解】（1）已知底面ABCD是正方形，则有， 平面，平面，则有， 平面，平面，， 所以平面， 又因为平面， 所以； （2）    取SD中点G，连接GF和AG， 因为G，F是SD和SC的中点，所以, 已知底面ABCD是正方形，且E是AB的中点， 所以， 则， 所以四边形AEFG为平行四边形，则, 所以直线EF与AD所成角为， 因为平面，平面，所以， 又因为，G为SD中点， 所以在直角三角形中，， 所以为等边三角形， 所以. 18．如图所示，在长方形中，已知，，E，F分别为，的中点，将长方形沿折成直二面角，使点A，D分别到点P，Q的位置，连接，．    (1)证明：平面； (2)求点E到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质及直线与平面垂直的判定定理证明； （2）利用等体积法求解点到平面的距离. 【详解】（1）在长方形中，E，F分别为，的中点， ，， ，∴四边形为平行四边形， 又，， ∴四边形为正方形，， 同理四边形为正方形，，从而， 已知将长方形沿 折成直二面角，所以平面 平面 ， 且平面 平面 ， 平面 ，， 可得平面， 又因为平面，， 又，平面，， 平面. （2）连接，如图，    由（1）知平面，平面， ，， 又，平面，， 平面， 平面，， 在中，， ， ， ， 设点E到平面的距离为d， 由，得， 即，解得. 故点E到平面的距离为. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $