第16卷 立体几何 2027年山东省春季高考《数学45分钟训练卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 以“一考一讲”模式构建立体几何复习闭环，聚焦空间观念与推理能力，通过概念辨析-性质应用-综合计算的逻辑链条实现专项突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间基本关系|4单选+2填空|结合充分必要条件、命题判断考查点线面位置关系|从概念生成（异面直线、平行垂直定义）到性质推导（平行公理、垂直判定）| |空间角与距离|7单选+3填空|涉及异面直线成角、二面角、点面距离计算|由位置关系延伸至度量计算，强化几何直观与空间想象| |几何体综合应用|3解答题|结合正方体、三棱锥、折叠模型，需证明线面/面面垂直及求线面角|整合概念、性质与计算，形成“判断-证明-计算”完整解题链|

编写说明：2027年山东省春季高考《数学45分钟训练卷》，以历年真题分析为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 山东省春季高考《数学45分钟训练卷》 第16卷 立体几何 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单项选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分. 1．已知点直线，直线平面，有下列关系： ①；  ②；  ③；  ④. 其中，关系正确的序号是（   ）. A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 2．“两条直线没有公共点”是“两条直线异面”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知表示平面，l，m，n表示直线，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．在空间，下列命题中，正确命题的个数为（    ） ①平行于同一直线的两条直线平行      ②垂直于同一直线的两条直线平行 ③平行于同一平面的两条直线平行      ④垂直于同一平面的两条直线平行 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．在正方体中，点O为线段上的中点，则下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 6．如图所示，三棱锥中，分别为的中点．若异面直线与所成角的大小为，则线段的长为（   ） A． B． C．或 D．或 7．如图，已知正方体，则下列结论正确的个数为（   ）    ①与垂直；    ②与平行； ③直线与所成的角是；    ④直线与所成的角是． A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图所示，在正三棱柱中，，，E是的中点，有下列说法：    ①、与所成角的余弦值为； ②、平面 ③、为直角三角形 ④、平面 其中，说法正确的序号是：（    ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 9．如图所示，在棱长为1的正方体中，二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 10．如图所示，在正方体中，点分别是的中点，若为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C．平面 D．平面 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．设有直线异面，，则与的位置关系为__________ 12．在下列四个图中,分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线是异面直线的图形有__________．（填序号） 13．边长为的正方形沿对角线折叠成直二面角后，的长为__________． 14．在正方体中，E为棱的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为_______. 15．如图，在正方体中，点是的中点，则下列结论：    ①平面；②；③；④平面． 其中正确的序号是__________. 三、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 16．如图，在棱长为2的正方体，中，E，F分别为，BD的中点. (1)求EF与BC所成角的正切值； (2)求点D到平面AEF的距离. 17．如图所示，在三棱锥中，平面平面，且D，E，F分别是SC，AC，BC的中点，的边长都是2，． (1)求证：平面平面； (2)求直线SC与平面所成角的正弦值． 18．如图（a）所示，在直角梯形中，，，，．将沿折起，使得平面平面，连接，得到如图（b）所示的几何体． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角． 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山东省春季高考《数学45分钟训练卷》，以历年真题分析为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 山东省春季高考《数学45分钟训练卷》 第16卷 立体几何 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单项选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分. 1．已知点直线，直线平面，有下列关系： ①；  ②；  ③；  ④. 其中，关系正确的序号是（   ）. A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】根据点，直线，平面的位置关系判断即可. 【详解】∵点直线，直线平面，∴，故①正确，②错误； ∵直线平面，∴，故③错误，④正确， ∴关系正确的序号是①④. 故选：B． 2．“两条直线没有公共点”是“两条直线异面”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据直线之间的位置关系，结合充分性必要性的定义即可得解. 【详解】若两条直线没有公共点，则两条直线平行或异面，充分性不成立； 若两条直线异面，则两条直线没有公共点，必要性成立， 所以“两条直线没有公共点”是“两条直线异面”的必要不充分条件． 故选：. 3．已知表示平面，l，m，n表示直线，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据空间中直线的位置关系以及线面平行和垂直的性质判断即可. 【详解】垂直于同一直线的两条直线平行，相交或异面，A、B错误； 平行于同一平面的两直线平行，相交或异面，C错误； ，由线面平行的性质有，D正确． 故选：D. 4．在空间，下列命题中，正确命题的个数为（    ） ①平行于同一直线的两条直线平行      ②垂直于同一直线的两条直线平行 ③平行于同一平面的两条直线平行      ④垂直于同一平面的两条直线平行 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据空间中两条直线的位置关系即可得出. 【详解】平行于同一直线的两直线平行，由平行公理得①正确； 垂直于同一条直线的两直线平行、相交或异面，②错； 平行于同一平面的两直线平行，相交或异面，③错； 垂直于同一个平面的两直线平行，由线面垂直的性质得④正确； 共2个命题正确. 故选：C. 5．在正方体中，点O为线段上的中点，则下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行直线可判断AD选项，根据异面直线所成的角求解是否为直角判断B选项，由线面垂直的性质定理判断C选项即可. 【详解】A：连接， 在正方体中，， 又因为，所以不成立，故A错误； B：连接，, 设正方体的棱长为2，则， 所以， 在正方体中，平面， 又平面，所以， 同理可得， 所以在直角中有，， 在直角中有，， 又因为，所以不是直角， 即与不垂直，又， 所以不成立，故B错误. C：连接，则交于点O， 在正方体中，平面， 又平面，所以， 又因为与为正方形的对角线， 所以， 又，平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为，所以，故C正确. D：连接， 在正方体中，， 又因为，所以不成立，故D错误. 故选：C. 6．如图所示，三棱锥中，分别为的中点．若异面直线与所成角的大小为，则线段的长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据题意，取的中点E，连接，结合异面直线所成夹角的概念，可得或，结合余弦定理，即可求解. 【详解】 如图，取的中点E，连接，则， 因为异面直线与所成角的大小为， 所以是异面直线与所成角，或其补角， 即或， 因为，所以， 当时， ， 所以； 当时， ， 所以； 综上，或. 故选：D. 7．如图，已知正方体，则下列结论正确的个数为（   ）    ①与垂直；    ②与平行； ③直线与所成的角是；    ④直线与所成的角是． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据线面垂直的性质定理可判断①；根据线面垂直的判定定理可证明与垂直；根据异面直线所成的角将角放到三角形中即可判断③④. 【详解】①：在正方体中，平面， 又平面，所以，故①正确； ②：连接，    在正方体中，平面， 又平面，所以， 又因为在正方形中，， ，平面， 所以平面， 又平面，所以，故②错误； ③：连接，    在正方体中，， 所以为直线与所成的角， 又因为平面，平面， 所以， 设正方体棱长为a，则, 所以在直角三角形中，， 所以直线与所成的角不是，故③错误； ④：在正方体中，， 所以为直线与所成的角， 设正方体棱长为a，则, 所以在直角三角形中，， 又因为，所以， 所以直线与所成的角是，故④正确， 所以结论正确的为①④，共2个. 故选：B. 8．如图所示，在正三棱柱中，，，E是的中点，有下列说法：    ①、与所成角的余弦值为； ②、平面 ③、为直角三角形 ④、平面 其中，说法正确的序号是：（    ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】利用正三棱柱的结构特征，结合空间中直线与平面的位置关系与三角函数可判断. 【详解】因为为正三棱柱，则， 则与所成角为与所成角， 因为为正三棱柱，则平面，则， 则，，①正确； 因为为正三棱柱，则为等边三角形，则， 则不垂直，又因为平面，平面， 则与平面不垂直，②错误； 因为为等边三角形，E是的中点， 则，又因为，，则， ， E是的中点，且边长为2，则中线， 又，即， 则为直角三角形，③正确， ，平面，则与平面不平行， 则与平面不平行，④错误. 综上①③正确； 故选：C. 9．如图所示，在棱长为1的正方体中，二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，连接，设，连接，易得是二面角的平面角，结合解直角三角形，即可求解. 【详解】 连接，设，连接，则， 因为在正方体中，, 所以, 又平面平面，平面，平面， 所以是二面角的平面角． 在中，，， 所以． 故选：A. 10．如图所示，在正方体中，点分别是的中点，若为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C．平面 D．平面 【答案】B 【分析】根据正方体的结构特征，结合直线与平面、直线与直线的位置关系，逐一分析选项，即可得出答案. 【详解】A选项，当点与点重合时，与异面，所以A错误. B选项，在正方体中， 是正方体的体对角线，， ，且与都在平面内，平面， 平面，.所以B正确. C选项，当点与点重合时，， 又平面，平面，与平面不平行， 与平面不平行，即此时与平面不平行，所以C错误. D选项，当点与点重合时，与夹角为， 则与不垂直，又平面， 不垂直平面，所以D错误. 故选：B. 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．设有直线异面，，则与的位置关系为__________ 【答案】相交或异面 【分析】根据空间中直线的位置关系结合图形即可解答. 【详解】设有直线异面，， 若与有公共点则相交，若与无公共点则异面， 所以与的位置关系为相交或异面， 故答案为：相交或异面. 12．在下列四个图中,分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线是异面直线的图形有__________．（填序号） 【答案】②④ 【分析】根据题意,由正三棱柱的特征,再结合异面直线的定义即可判断. 【详解】图①中,直线; 图②中,三点共面,但平面,所以直线与异面, 图③中,,所以与共面; 图④中,共面,但平面,所以与异面. 故答案为: ②④ 13．边长为的正方形沿对角线折叠成直二面角后，的长为__________． 【答案】 【分析】由二面角的定义及勾股定理即可得解. 【详解】 取的中点，连接. 在正方形中，． 则为二面角的平面角. 所以. 因为边长为，则. 所以. 在中， 所以. 故答案为：. 14．在正方体中，E为棱的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为_______. 【答案】 【分析】将直线CD平移至直线，求出直线与直线所成角的正切值，即可. 【详解】如图所示，在正方体中，， 所以直线与直线所成即为异面直线与所成角， 由题意知E为棱的中点， 设正方体边长为，则，， 所以， 因为平面，平面， 所以， 所以． 故答案为：. 15．如图，在正方体中，点是的中点，则下列结论：    ①平面；②；③；④平面． 其中正确的序号是__________. 【答案】①② 【分析】根据正方体的性质和直线、平面的垂直与平行的关系判定. 【详解】连接，则，而在平面内,可知平面，①正确； 是的中点，，②正确； ，是等边三角形，是边上的高线，，③错误； 平面，不垂直于平面，④错误． 综上，正确的序号为①②． 故答案为：①②.    三、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 16．如图，在棱长为2的正方体，中，E，F分别为，BD的中点. (1)求EF与BC所成角的正切值； (2)求点D到平面AEF的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过平行直线，先找出异面直线EF与BC所成角，再由线面垂直的性质，在直角三角形中求正切值即可； （2）通过等体积法求点到平面的距离即可. 【详解】（1）连接， E、F分别为线段、BD的中点， ， ∴异面直线EF与BC所成的角为， 又平面平面， ， 正方体的棱长为2， ， ， ∴EF与BC所成角的正切值为； （2）在正方体中，E为线段的中点， 平面ADF，且， 点F是线段BD的中点， ， ∴三棱锥的体积， E，F分别为线段，BD的中点， ， 又， 在中满足，即为直角三角形， 则， 设点D到平面AEF的距离为d， 则，即，解得， ∴点D到平面AEF的距离为. 17．如图所示，在三棱锥中，平面平面，且D，E，F分别是SC，AC，BC的中点，的边长都是2，． (1)求证：平面平面； (2)求直线SC与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理依次证得平面，平面，再利用面面平行的判定定理即可得证； （2）取AB的中点G，连接SG，CG，由平面平面，可得平面，则有是直线SC与平面所成的角，在中可求解. 【详解】（1）如图所示，在中，因为D，F分别是SC，BC的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面， 同理平面， 因为平面， 所以平面平面. （2） 如图所示，取AB的中点G，连接SG，CG. 因为的边长都是2，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因此CG是SC在平面内的射影，则是直线SC与平面所成的角. 因为平面，所以， 在中，因为，所以， 在中，因为，所以， 所以直线SC与平面所成角的正弦值是. 18．如图（a）所示，在直角梯形中，，，，．将沿折起，使得平面平面，连接，得到如图（b）所示的几何体． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1) 要证明线面垂直，由条件可知，再根据面面垂直转化为证明，再根据线面垂直的判断定理证明； (2)由平面，可得直线在平面内的射影为，即为所求，分别求，可求解. 【详解】（1）证明：如图（a）所示，在中，，，所以， 因为，所以， 又因为在中，，所以， 所以，在图（b）中亦成立，即， 如图（b）所示，因为平面平面，平面平面，且，平面, 所以平面，则， 又因为，平面 所以平面． （2）解：因为平面，所以直线在平面内的射影为， 直线与的夹角即为直线与平面所成的角． 在中，因为，所以， 又在中，因为，所以； 则在中，， 所以或（舍去）， 所以直线与平面所成的角为． 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $