第15卷 简单几何体 2027年山东省春季高考《数学45分钟训练卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 聚焦简单几何体概念与空间量计算，以“概念辨析-几何量计算-综合应用”为逻辑主线，适配一轮复习课堂检测需求，培养空间观念与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|3题（选择1/2/9）|考查棱柱、棱锥定义及充分必要条件|从几何体基本属性出发，建立概念认知框架| |空间几何量计算|12题（选择3-8/10，填空11-15）|涉及表面积、体积、外接球等计算|由直观图、三视图过渡到空间量公式应用，强化几何直观| |综合应用|3题（解答16-18）|结合正四棱锥、圆柱内接三棱柱、陀螺模型|整合概念与计算，体现数学建模与实际应用|

编写说明：2027年山东省春季高考《数学45分钟训练卷》，以历年真题分析为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 山东省春季高考《数学45分钟训练卷》 第15卷 简单几何体 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单项选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分. 1．下列有关棱柱、棱锥的说法中，正确的是（   ） A．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面 B．棱柱的侧面都是平行四边形，但底面不是平行四边形 C．各侧棱都相等的棱锥是正棱锥 D．底面是正多边形且各侧面是全等的三角形的棱锥是正棱锥 【答案】D 【分析】根据棱柱以及棱锥的结构特点求解即可. 【详解】对A，长方体中相对的两个侧面也互相平行，但它们不是棱柱的底面，A错误. 对B，平行六面体底面就是平行四边形，B错误. 对C，各侧棱相等且满足底面是正多边形的棱锥才是正棱锥，C错误； 对D，由“底面是正多边形”可知底边长都相等，再由“各侧面是全等的三角形”可推得各侧棱也都相等，因此该棱锥为正棱锥，D正确 故选：D. 2．如图所示的几何体中，棱柱的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由棱柱的结构特征即可得解. 【详解】棱柱有三个特征：①有两个面互相平行且全等； ②其余各面都是四边形；③侧棱互相平行． 易知所给几何体中①③④符合棱柱的三个特征， 所以棱柱的个数为3． 故选：C. 3．在如图所示的直观图中，，则其平面图形的面积是（   ） A．4 B． C． D．8 【答案】A 【分析】由斜二测画法还原出原图，即可求面积． 【详解】由斜二测画法可知,原图应为两条直角边长分别为2和4的直角三角形， 如图所示，所以其面积为． 故选：A. 4．如下图是一个六棱柱，其三视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三视图的方法求解. 【详解】该正六棱柱的三视图分别是 主视图是正六边形，左视图是两个上下相邻的矩形，俯视图三个左右相邻的矩形． 故选：A. 5．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆柱和圆锥的底面半径均为，根据侧面积相等可求出，然后利用圆锥的体积公式求解． 【详解】由题意，设圆柱和圆锥的底面半径均为，高均为， ∴圆锥的母线长为， ∵侧面积相等，∴，即，解得， ∴圆锥的体积为， 故选：B． 6．体积为8正方体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正方体的体积求出正方体的棱长，再利用正方体的体对角线的长就是外接球的直径计算可得外接球的半径，根据球的表面积公式求解即可. 【详解】设正方体的棱长为，外接球的半径为 由题意可得：，解得：， 则， 解得：，则. 故选：A. 7．长方体的长，宽，高分别为，，，其顶点都在球的球面上，则球的体积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据球的体积公式以及几何体的切接问题，即可求解. 【详解】长方体的体对角线是球的直径， 体对角线长为， 则球的半径为， 球的体积为． 故选：A. 8．在正四棱锥中，底面边长为2，侧棱与底面所成角为，则侧面积为（    ） A． B．8 C． D．12 【答案】A 【分析】根据正四棱锥的底面边长和侧棱与底面所成角，求得正四棱锥的高，再计算侧面高，即可求解. 【详解】 如图所示，在正四棱锥中底面边长为2，侧棱与底面所成角为， 顶点在底面的投影为正方形的中心，平面， 即是侧棱与底面的所成的角，即， 因为，即， 在中，， 作，易得， 所以， 所以正四棱锥的侧面积为. 故选：A. 9．“四棱锥是正四棱锥”是“四棱锥的底面为正方形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据正四棱锥的几何特征，结合充分条件与必要条件的概念分析即可. 【详解】若四棱锥是正四棱锥，则这个四棱锥的底面是正方形， 所以“四棱锥是正四棱锥”能推出“四棱锥的底面为正方形”， 若四棱锥的底面是正方形，而顶点在底面的射影不一定是底面的中心， 则这个四棱锥不一定是正四棱锥， 所以“四棱锥的底面是正方形”推不出“四棱锥是正四棱锥”， 所以“四棱锥是正四棱锥”是“四棱锥的底面为正方形”的充分不不必要条件． 故选：A． 10．已知长方体的体积是，点P、Q分别在侧棱和上，且，则四棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用长方体的性质，结合棱柱与棱锥的体积公式即可得解. 【详解】依题意，设，则正方体体积， 因为，所以， 所以， 又，所以， 所以四棱锥的体积. 故选：A. 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．已知一个圆锥的体积为，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的底面半径为_____． 【答案】 【分析】根据圆锥侧面积是底面积的2倍得到母线和半径的关系，再根据勾股定理得到圆锥的高，结合圆锥体积公式，即可求解. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 则底面积，侧面积， 又，所以，即， 所以圆锥的体积，解得． 故答案为： 12．一个圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则该圆柱的体积是______. 【答案】 【分析】根据题意，结合圆柱的侧面展开图，可知圆柱的底面周长和高，继而求得圆柱的底面半径，结合圆柱的体积公式，即可求解. 【详解】因为圆柱侧面展开图是边长为的正方形， 即圆柱底面周长，高， 所以圆柱的底面半径， 所以圆柱体积. 故答案为：. 13．若底面边长为4的正四棱锥与棱长为2的正方体体积相等，则四棱锥的高等于___________. 【答案】/1.5 【分析】设正四棱锥的高为h，根据锥体和柱体的体积公式，列式可求解. 【详解】设正四棱锥的高为h，由题知， ， 解得. 故答案为： 14．正三棱锥的底面边长为4，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为__________． 【答案】 【分析】根据三棱锥为正三棱锥，且侧面为直角三角形，得到3条棱互相垂直，且棱长为，再利用体积公式求解. 【详解】 ∵正三棱锥的底面边长为4，且侧面均为直角三角形， ∴，且均为等腰直角三角形， 即，. ∵，且平面,, ∴平面. 所以，三棱锥的体积为. 故答案为：. 15．如图所示，圆及其外切正方形绕虚线表示的对称轴旋转一周围成两个几何体，圆的旋转体的体积记做，正方形的旋转体的体积记做，则的值等于_____．    【答案】 【分析】首先设出圆的直径，然后分别根据球的体积公式和圆柱的体积公式即可求解. 【详解】设圆的直径为，则外切正方形的边长也为，   圆的旋转体是球体，半径为，则；   正方形的旋转体是直径为高为的圆柱体，则；   则. 故答案为：. 三、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 16．已知正四棱锥的底面边长为4，为的中点，且，求正四棱锥的侧面积与体积.    【答案】侧面积为，体积为 【分析】利用正四棱锥的结构特征，依次求得正四棱锥的高与侧面斜高，再利用棱锥的侧面积与体积公式即可得解. 【详解】因为底面是正方形，边长为， 所以是的中点，， 又因为是BC的中点，所以，， 在正四棱锥中，底面， 又底面，所以， 在中，， 在中，， 则， 所以正四棱锥的侧面积为， 体积为. 17．如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等.    (1)求圆柱的底面半径； (2)求三棱柱的体积. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据圆柱体积公式直接计算； （2）根据三棱柱体积公式以及正弦定理进行计算即可. 【详解】（1）设底面圆的直径为2r， 由题可知,圆柱的体积， 解得，即圆柱的底面半径为1 （2）因为为正三角形，底面圆的半径为1， 由正弦定理，边长， 所以三棱柱的体积 18．“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图，已知底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高.（结果保留）    (1)求这个陀螺的表面积； (2)求这个陀螺的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由圆柱和圆锥的表面积公式即可得解； （2）由圆柱和圆锥的体积公式即可得解. 【详解】（1）由题意，底面直径，故底面半径， 圆柱高，圆锥高， 圆锥母线长， 圆锥侧面积：， 圆柱侧面积：， 圆柱下底面积：， 总表面积：. （2）圆柱体积：， 圆锥体积：， 总体积：. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山东省春季高考《数学45分钟训练卷》，以历年真题分析为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 山东省春季高考《数学45分钟训练卷》 第15卷 简单几何体 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单项选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分. 1．下列有关棱柱、棱锥的说法中，正确的是（   ） A．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面 B．棱柱的侧面都是平行四边形，但底面不是平行四边形 C．各侧棱都相等的棱锥是正棱锥 D．底面是正多边形且各侧面是全等的三角形的棱锥是正棱锥 2．如图所示的几何体中，棱柱的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．在如图所示的直观图中，，则其平面图形的面积是（   ） A．4 B． C． D．8 4．如下图是一个六棱柱，其三视图为（   ） A． B． C． D． 5．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 6．体积为8正方体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．长方体的长，宽，高分别为，，，其顶点都在球的球面上，则球的体积为（    ）． A． B． C． D． 8．在正四棱锥中，底面边长为2，侧棱与底面所成角为，则侧面积为（    ） A． B．8 C． D．12 9．“四棱锥是正四棱锥”是“四棱锥的底面为正方形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．已知长方体的体积是，点P、Q分别在侧棱和上，且，则四棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．已知一个圆锥的体积为，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的底面半径为_____． 12．一个圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则该圆柱的体积是______. 13．若底面边长为4的正四棱锥与棱长为2的正方体体积相等，则四棱锥的高等于___________. 14．正三棱锥的底面边长为4，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为__________． 15．如图所示，圆及其外切正方形绕虚线表示的对称轴旋转一周围成两个几何体，圆的旋转体的体积记做，正方形的旋转体的体积记做，则的值等于_____．    三、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 16．已知正四棱锥的底面边长为4，为的中点，且，求正四棱锥的侧面积与体积.    17．如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等.    (1)求圆柱的底面半径； (2)求三棱柱的体积. 18．“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图，已知底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高.（结果保留）    (1)求这个陀螺的表面积； (2)求这个陀螺的体积. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $