第19卷 概率与统计初步（2）2027年山东省春季高考《数学45分钟训练卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 聚焦概率统计核心考点，以“一考一讲”模式构建复习闭环，覆盖排列组合、分布列、二项式定理等模块，题型多样，注重知识逻辑与实际应用结合，培养数学思维与数据意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |排列组合应用|单选1-2、6-8、15，解答16|含限制条件的排列（如甲不跑第一棒）、组合（社区安排）|从基础排列组合到有限制条件的综合应用，体现“特殊元素优先”等逻辑| |随机变量与分布列|单选3、9-10，填空13，解答17|分布列概率计算、期望比较、正态分布应用|从概率性质到期望、正态分布，形成“概念-计算-应用”链条| |二项式定理|单选4，填空11-12|展开式常数项、二项式系数关系|基于二项式定理展开式通项，关联系数性质与计算| |古典概型与综合|单选5、14，解答18|产品检测、位置排列等实际问题|结合排列组合与概率，体现“数学眼光观察现实，数学语言表达问题”|

编写说明：2027年山东省春季高考《数学45分钟训练卷》，以历年真题分析为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 山东省春季高考《数学45分钟训练卷》 第19卷 概率与统计初步（2） 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单项选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分. 1．有三张卡片，第一张卡片的正反两面分别写有数字1，3，第二张卡片的正反两面分别写有数字2，4，第三张卡片的正反两面分别写有数字5，7，现从这三张卡片中任取两张并排放在桌面上，两张卡片朝上一面的数字组合成一个两位数，则所有不同两位数的个数是（    ） A．8 B．12 C．18 D．24 2．某运动员队准备参加米接力赛，队中共有5名运动员，其中甲运动员不能跑第一棒，教练从这5人中安排4人分别跑第一至第四棒，则所有不同安排方法的种数是（  ） A． B． C． D． 3．已知随机变量X的分布列 X 0 1 2 3 P 0.2 0.3 a 0.25 则实数a的值是（    ） A．0.15 B．0.25 C．0.35 D．0.45 4．的展开式中，常数项为（    ） A． B． C．20 D．160 5．某学校甲、乙两名教师和3名学生站在一排照相，如果教师甲位于教师乙的左边（可相邻，可不相邻），则至少有2名学生相邻的概率是（     ） A． B． C． D． 6．某学校安排甲、乙等6名同学到三个社区开展服务活动，每个社区均安排2名同学，其中甲乙二人必须安排在同一社区，则不同的安排的方法的个数为（     ） A．6 B．18 C．36 D．90 7．某职业学校在“职教宣传周”期间，把2件教师作品和编号为1~5的5件学生作品摆成一排进行展览，若将教师作品摆放在两端，1号学生作品摆放在正中间，则所有不同摆放方法的种数是（    ）． A．24 B．48 C．72 D．96 8．要安排3名学生到2个乡村做志愿者，若每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法种数是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 9．已知随机变量X服从正态分布，若，则（   ） A． B． C． D． 10．在一次测试中，甲、乙两名选手射击得分分别用变量，表示，经统计，变量，的分布列分别如下表所示： 1 2 3 1 2 3 P 0.1 0.6 0.3 P 0.4 0.2 0.4 依据表中数据，射击成绩较好的选手是（得分越大越好）（    ） A．甲 B．乙 C．甲、乙一样好 D．无法判断 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．已知二项式的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，______． 12．若，则________． 13．已知离散型随机变量X的概率分布如表所示： X 0 20 40 P 0.4 0.5 0.1 则______． 14．从五件正品一件次品中随机抽取两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品一件次品的概率是__________. 15．在一个三位数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼峰数”，比如“102”，“546”为“驼峰数”.由数字1，2，3，4可构成无重复数字的“驼峰数”有__________个. 三、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 16．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的三位数.求： (1)组成的三位数的个数； (2)组成的三位数中偶数的个数； (3)组成的三位数中比200大的数的个数； (4)组成的三位数中奇数的个数. 17．某市高二学生进行了体能测试，经分析，他们的体能成绩X服从正态分布，已知， (1)求； (2)现从该市高二学生中随机抽取3位同学，记抽到的3位同学中体能测试成绩不超过75分的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 18．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束． (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； (2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值． 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山东省春季高考《数学45分钟训练卷》，以历年真题分析为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 山东省春季高考《数学45分钟训练卷》 第19卷 概率与统计初步（2） 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单项选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分. 1．有三张卡片，第一张卡片的正反两面分别写有数字1，3，第二张卡片的正反两面分别写有数字2，4，第三张卡片的正反两面分别写有数字5，7，现从这三张卡片中任取两张并排放在桌面上，两张卡片朝上一面的数字组合成一个两位数，则所有不同两位数的个数是（    ） A．8 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【分析】由排列数公式和分步计数原理计算即可. 【详解】从三张卡片中任取两张按顺序并排放在桌面上有种不同的放法， 排放在十位数上的卡片又有种不同的数字， 排放在个位数上的卡片也有种不同的数字， 由分步计数原理得所有不同两位数的个数为. 故选:D. 2．某运动员队准备参加米接力赛，队中共有5名运动员，其中甲运动员不能跑第一棒，教练从这5人中安排4人分别跑第一至第四棒，则所有不同安排方法的种数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有无甲运动员进行分类计算，再将两种情况相加即可. 【详解】安排四人进行接力赛，可根据有无甲运动员分为两类. 第一类甲不参加接力赛，则安排方法有种. 第二类甲参加接力赛，则安排方法有种. 则所有不同安排有96种. 故选：C. 3．已知随机变量X的分布列 X 0 1 2 3 P 0.2 0.3 a 0.25 则实数a的值是（    ） A．0.15 B．0.25 C．0.35 D．0.45 【答案】B 【分析】根据随机变量分布列的概率和为求解即可. 【详解】由概率性质可得：，解得. 故选：B. 4．的展开式中，常数项为（    ） A． B． C．20 D．160 【答案】B 【分析】写出二项式的展开式通项，即可求得常数项. 【详解】的展开式通项为， 取常数项时，，故. 故选：B. 5．某学校甲、乙两名教师和3名学生站在一排照相，如果教师甲位于教师乙的左边（可相邻，可不相邻），则至少有2名学生相邻的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据排列的间接法和插空法易得答案. 【详解】教师甲位于教师乙的左边（可相邻，可不相邻）站在一排照相共有种， 教师甲位于教师乙的左边（可相邻，可不相邻）至少有2名学生相邻 站在一排照相共有种， 所以至少有2名学生相邻的概率. 故选：D. 6．某学校安排甲、乙等6名同学到三个社区开展服务活动，每个社区均安排2名同学，其中甲乙二人必须安排在同一社区，则不同的安排的方法的个数为（     ） A．6 B．18 C．36 D．90 【答案】B 【分析】根据组合的优先考虑法和捆绑法易得答案. 【详解】先排甲乙二人，所以有种情况， 所以不同的安排的方法的个数为种. 故选：B. 7．某职业学校在“职教宣传周”期间，把2件教师作品和编号为1~5的5件学生作品摆成一排进行展览，若将教师作品摆放在两端，1号学生作品摆放在正中间，则所有不同摆放方法的种数是（    ）． A．24 B．48 C．72 D．96 【答案】B 【分析】根据分步计数原理即可求解. 【详解】1号学生作品摆放在正中间，有1种摆法， 2件教师作品摆放在两端有种摆法， 剩下4件学生作品有种摆法， 由分步计数原理可知，共有种摆法. 故选：B. 8．要安排3名学生到2个乡村做志愿者，若每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法种数是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】将3名学生分成两个组，再将2组学生安排到2个村即可得解. 【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有种分法， 第二步，将2组学生安排到2个村，有种安排方法， 所以，不同的安排方法共有种. 故选：. 9．已知随机变量X服从正态分布，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正态分布曲线对称的性质即可解答. 【详解】已知随机变量X服从正态分布， 已知正态分布曲线的对称轴为， 所以， 故选：A. 10．在一次测试中，甲、乙两名选手射击得分分别用变量，表示，经统计，变量，的分布列分别如下表所示： 1 2 3 1 2 3 P 0.1 0.6 0.3 P 0.4 0.2 0.4 依据表中数据，射击成绩较好的选手是（得分越大越好）（    ） A．甲 B．乙 C．甲、乙一样好 D．无法判断 【答案】A 【分析】分别计算变量，的期望，比较大小即可. 【详解】变量的期望， 变量的期望， 则，故选手甲的射击成绩较好. 故选：A. 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．已知二项式的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，______． 【答案】10 【分析】由二项式展开式中的二项式系数可得，再由组合数求解即可. 【详解】因为二项式的展开式中，第4项与第8项的二项式系数相等， 所以，由组合数的性质，解得． 故答案为：10. 12．若，则________． 【答案】 【分析】根据二项分布的概率公式即可求解. 【详解】因为， 则． 故答案为． 13．已知离散型随机变量X的概率分布如表所示： X 0 20 40 P 0.4 0.5 0.1 则______． 【答案】14 【分析】根据离散型随机变量期望的求法，即可求解. 【详解】由表格可得， ． 故答案为：14. 14．从五件正品一件次品中随机抽取两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品一件次品的概率是__________. 【答案】 【分析】求出从六件产品中取出两件产品的组合数、取出的两件产品中恰好是一件正品一件次品的组合数，利用古典概率公式即可求解. 【详解】因为从六件产品中取出两件产品有种方法， 取出的两件产品中恰好是一件正品一件次品有种方法， 所以概率是. 故答案为： 15．在一个三位数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼峰数”，比如“102”，“546”为“驼峰数”.由数字1，2，3，4可构成无重复数字的“驼峰数”有__________个. 【答案】8. 【分析】通过题意进行分类讨论解答即可. 【详解】十位上的数为1时，有213，214，312，314，412，413，共6个， 十位上的数为2时，有324，423，共2个， 所以共有个， 故答案为：8. 三、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 16．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的三位数.求： (1)组成的三位数的个数； (2)组成的三位数中偶数的个数； (3)组成的三位数中比200大的数的个数； (4)组成的三位数中奇数的个数. 【答案】(1)48 (2)30 (3)36 (4)18 【分析】（1）利用特殊位置（元素）优先排列和分步计数原理即可得解； （2）利用特殊位置（元素）优先排列和分类计数原理即可得解； （3）利用排列和分步计数原理即可得解； （4）利用特殊位置（元素）优先排列和分步计数原理即可得解. 【详解】（1）0不能在首位，首位的排法有种， 其他两位从剩下的4个数字中选2个排列，有种， ∴共有（个）. （2）由于0的存在，分成两类： 第一类个位是0，有种； 第二类个位不是0，确定个位应从2，4中选一个，有种， 再定首位，有种，剩余的一位是三个数中选一个，有种. 共有（个）. （3）要组成比200大的数， 首位应从2，3，4中选一个，有种选法， 其余两位有种排法，共有（个）. （4）组成奇数，个位从1，3中选一个，有种， 首位从剔除0所剩下的三个数中选一个，有种， 十位上也有种选法，共有（个）. 17．某市高二学生进行了体能测试，经分析，他们的体能成绩X服从正态分布，已知， (1)求； (2)现从该市高二学生中随机抽取3位同学，记抽到的3位同学中体能测试成绩不超过75分的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 【答案】(1)0.4 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据概率的性质计算即可. （2）先求出人数ξ的所有可能取值，再由分别求解概率列分布列即可，由数学期望公式计算即可. 【详解】（1）∵体能成绩X服从正态分布， 且，， ∴ ． （2）ξ的可能取值为0，1，2，3， 因为，, 所以， ， ， ， ∴ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 P 所以数学期望. 18．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束． (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； (2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值． 【答案】(1) (2)分布列见解析，350元 【分析】（1）根据古典概型的概率公式求解即可. （2）根据古典概型以及离散型随机变量的分布列和均值. 【详解】（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A， 则． （2）X的可能取值为：200，300，400. ．． ． X的分布列为： X 200 300 400 P （元）． 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $